2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試：統(tǒng)計與決策與案例分析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項字母填在題后的括號內(nèi)。）1.下列關(guān)于總體參數(shù)的表述，正確的是（）。A.總體參數(shù)是隨機(jī)變量B.總體參數(shù)是確定的，但未知的C.總體參數(shù)是樣本的函數(shù)D.總體參數(shù)的值隨樣本的不同而變化2.在一個正態(tài)分布總體中，樣本容量n=36，欲構(gòu)造總體均值μ的95%置信區(qū)間，應(yīng)使用的臨界值是（）。A.t分布的臨界值B.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值C.χ2分布的臨界值D.F分布的臨界值3.對于一個假設(shè)檢驗H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?，如果檢驗的p值小于顯著性水平α，那么（）。A.應(yīng)該接受H?B.應(yīng)該拒絕H?C.拒絕H?的證據(jù)不充分D.無法判斷H?的真假4.在簡單線性回歸分析中，決定系數(shù)R2的取值范圍是（）。A.[0,1]B.(-1,1)C.[0,+∞)D.(-∞,+∞)5.若兩個變量的相關(guān)系數(shù)r=0.8，則說明這兩個變量之間（）。A.線性關(guān)系非常強(qiáng)B.線性關(guān)系非常弱C.不存在任何關(guān)系D.存在負(fù)相關(guān)關(guān)系6.在方差分析中，F(xiàn)檢驗的零假設(shè)是（）。A.各總體均值相等B.各總體均值不等C.樣本方差相等D.樣本方差不等7.抽樣調(diào)查中，抽樣誤差是指（）。A.調(diào)查人員工作中的登記誤差B.調(diào)查人員工作中的計算誤差C.由于抽樣導(dǎo)致樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間存在的隨機(jī)誤差D.由于抽樣導(dǎo)致樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間存在的系統(tǒng)誤差8.設(shè)總體X服從均勻分布U[0,θ]，θ未知，若用樣本最大值max(X?,...,X?)作為θ的點估計量，則該估計量（）。A.是無偏估計B.是有偏估計，但方差較小C.是無偏估計，但方差較大D.是有偏估計，且方差較大9.在多元線性回歸模型中，多元線性關(guān)系顯著性的檢驗通常使用（）。A.t檢驗B.F檢驗C.χ2檢驗D.Z檢驗10.對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行假設(shè)檢驗，要判斷這兩組數(shù)據(jù)的均值是否存在顯著差異，最常用的方法是（）。A.方差分析B.相關(guān)分析C.獨立樣本t檢驗D.配對樣本t檢驗二、多項選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題列出的五個選項中，有多項是符合題目要求的，請將正確選項字母填在題后的括號內(nèi)。多選、少選或錯選均不得分。）11.下列關(guān)于參數(shù)估計的表述，正確的有（）。A.點估計是使用一個樣本統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)B.區(qū)間估計是一個范圍，用于估計總體參數(shù)的可能區(qū)間C.置信水平表示區(qū)間估計的可靠程度D.置信區(qū)間越小，估計的精度越高E.點估計總是比區(qū)間估計更精確12.假設(shè)檢驗的步驟通常包括（）。A.提出原假設(shè)和備擇假設(shè)B.選擇合適的檢驗統(tǒng)計量C.確定顯著性水平D.計算檢驗統(tǒng)計量的觀測值E.根據(jù)P值或臨界值做出統(tǒng)計決策13.簡單線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，關(guān)于回歸系數(shù)β?的說法，正確的有（）。A.β?表示自變量X每變化一個單位，因變量Y的平均變化量B.β?是未知的總體參數(shù)C.β?的估計量通常用b?表示D.β?的t檢驗用于判斷X與Y之間是否存在線性關(guān)系E.β?的符號取決于X和Y之間的相關(guān)系數(shù)的符號14.方差分析的應(yīng)用前提條件通常包括（）。A.各樣本相互獨立B.各總體服從正態(tài)分布C.各總體的方差相等（同方差性）D.樣本容量足夠大E.觀察值是連續(xù)型變量15.抽樣方法根據(jù)抽取樣本的方式不同，可以分為（）。A.簡單隨機(jī)抽樣B.分層抽樣C.系統(tǒng)抽樣D.整群抽樣E.非概率抽樣三、計算題（本大題共4小題，每小題10分，共40分。請寫出詳細(xì)的計算步驟。）16.某燈泡廠生產(chǎn)一批燈泡，燈泡壽命X（小時）服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2=4000。隨機(jī)抽取容量為n=25的樣本，測得樣本均值x?=1500小時。求總體均值μ的95%置信區(qū)間。17.某研究人員欲研究吸煙是否與患肺癌有關(guān)系，收集了100名成年人的數(shù)據(jù)，其中吸煙者50人，不吸煙者50人。經(jīng)統(tǒng)計，吸煙者中有10人患肺癌，不吸煙者中有5人患肺癌。檢驗吸煙與患肺癌之間是否獨立（α=0.05）。18.某公司想了解廣告投入額（X，單位：萬元）與銷售額（Y，單位：萬元）之間的關(guān)系。隨機(jī)收集了10對數(shù)據(jù)，計算得到：∑X=60,∑Y=500,∑X2=410,∑Y2=27500,∑XY=3020。試建立Y對X的簡單線性回歸方程，并解釋回歸系數(shù)b?的含義。19.某農(nóng)場想比較四種不同的肥料對小麥產(chǎn)量的影響，在條件相同的10塊土地上進(jìn)行試驗，分別施用四種肥料。試驗結(jié)果（單位：kg/畝）如下：肥料A:30,34,29,32,31肥料B:26,27,25,28,24肥料C:35,37,36,34,38肥料D:29,30,27,31,28試檢驗四種肥料的平均產(chǎn)量是否有顯著差異（α=0.05）。四、簡答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分。請簡要回答下列問題。）20.簡述假設(shè)檢驗中犯第一類錯誤和第二類錯誤的含義。P值的大小對假設(shè)檢驗的決策有何影響？21.解釋什么是相關(guān)系數(shù)？相關(guān)系數(shù)的取值范圍是多少？它反映了變量之間關(guān)系的什么特征？22.在進(jìn)行抽樣調(diào)查時，為什么要進(jìn)行抽樣？與全面調(diào)查相比，抽樣調(diào)查有哪些優(yōu)點？五、案例分析題（本大題共1小題，共21分。請根據(jù)要求完成下列問題。）23.某超市連鎖店想了解其不同門店的銷售額（Y，單位：萬元）與其廣告投入額（X?，單位：萬元）和員工數(shù)量（X?，單位：人）之間的關(guān)系，以便更有效地分配資源。隨機(jī)選取了10家門店的數(shù)據(jù)如下：門店編號|銷售額Y|廣告投入X?|員工數(shù)量X?--------|--------|----------|----------|1|50|3|202|45|2|183|60|5|254|65|6|305|55|4|226|40|1|157|75|7|358|70|6|329|65|5|2810|60|4|26（1）假設(shè)銷售額Y與廣告投入X?和員工數(shù)量X?之間存在線性關(guān)系，建立Y對X?和X?的多元線性回歸方程。（請寫出計算過程的關(guān)鍵步驟和最終的回歸方程）（2）對建立的多元線性回歸方程進(jìn)行整體顯著性檢驗（F檢驗），說明其統(tǒng)計意義。（α=0.05）（3）解釋回歸系數(shù)b?和b?分別代表什么經(jīng)濟(jì)意義？根據(jù)你的分析，該超市應(yīng)如何調(diào)整廣告投入和員工數(shù)量來提高銷售額？試卷答案一、單項選擇題1.B2.B3.B4.A5.A6.A7.C8.B9.B10.C二、多項選擇題11.ABCD12.ABCDE13.ABCDE14.ABC15.ABCDE三、計算題16.解：已知σ2=4000，σ=63.25，n=25，x?=1500，置信水平為95%，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得Z_(α/2)=1.96。置信區(qū)間下限：x?-Z_(α/2)*(σ/√n)=1500-1.96*(63.25/√25)=1500-1.96*12.65=1500-24.874=1475.126置信區(qū)間上限：x?+Z_(α/2)*(σ/√n)=1500+1.96*(63.25/√25)=1500+24.874=1524.874置信區(qū)間為（1475.126,1524.874）。17.解：檢驗吸煙與患肺癌是否獨立，提出H?：吸煙與患肺癌獨立vsH?：吸煙與患肺癌不獨立。構(gòu)建列聯(lián)表：患肺癌未患肺癌合計吸煙104050不吸煙54550合計1585100計算期望值：E??=(50*15)/100=7.5,E??=(50*85)/100=42.5E??=(50*15)/100=7.5,E??=(50*85)/100=42.5計算檢驗統(tǒng)計量：χ2=[(10-7.5)2/7.5]+[(40-42.5)2/42.5]+[(5-7.5)2/7.5]+[(45-42.5)2/42.5]=[2.52/7.5]+[(-2.5)2/42.5]+[(-2.5)2/7.5]+[2.52/42.5]=0.833+0.059+0.833+0.059=1.784查χ2分布表，df=(2-1)*(2-1)=1，α=0.05，臨界值為χ2_(0.05,1)=3.841。因為χ2=1.784<3.841，所以不拒絕H?。結(jié)論：在α=0.05水平下，沒有足夠的證據(jù)表明吸煙與患肺癌不獨立。18.解：n=10,∑X=60,∑Y=500,∑X2=410,∑Y2=27500,∑XY=3020。計算相關(guān)系數(shù)：lxx=∑X2-(∑X)2/n=410-602/10=410-360=50lyy=∑Y2-(∑Y)2/n=27500-5002/10=27500-25000=2500lxy=∑XY-(∑X)(∑Y)/n=3020-60*500/10=3020-3000=20計算回歸系數(shù)：b?=lxy/lxx=20/50=0.4b?=y?-b?x?=(500/10)-0.4*(60/10)=50-0.4*6=50-2.4=47.6回歸方程為：Y=47.6+0.4Xb?的含義：廣告投入額X?每增加一個單位（萬元），銷售額Y平均增加0.4萬元。19.解：n=4,k=5,m=10。計算各肥料總產(chǎn)量及平方和：T?=30+34+29+32+31=156,T?=26+27+25+28+24=120,T?=35+37+36+34+38=180,T?=29+30+27+31+28=145SSt=∑(X??)2-(∑∑X??)2/n=(302+342+...+282)-(156+120+180+145)2/10=5154-69002/10=5154-476100/10=5154-47610=394SStotal=∑(Y?)2-(∑∑Y?)2/n=(156+120+180+145)2/10-69002/10=69002/10-69002/10=0SStreatment=(1562+1202+1802+1452)/5-69002/10=(24336+14400+32400+21025)/5-476100/10=92161/5-47610=18432.2-47610=0SSw=SSt-SStreatment=394-0=394計算組間和組內(nèi)方差：MST=SStreatment/(k-1)=0/3=0MSE=SSw/(n-k)=394/(20-4)=394/16=24.625F=MST/MSE=0/24.625=0查F分布表，df?=k-1=3,df?=n-k=16，α=0.05，臨界值為F_(0.05,3,16)=3.238。因為F=0<3.238，所以不拒絕H?。結(jié)論：在α=0.05水平下，沒有足夠的證據(jù)表明四種肥料的平均產(chǎn)量存在顯著差異。四、簡答題20.犯第一類錯誤（α錯誤）是指在原假設(shè)H?為真時，錯誤地拒絕了H?；犯第二類錯誤（β錯誤）是指在原假設(shè)H?為假時，錯誤地接受了H?。P值是當(dāng)原假設(shè)H?為真時，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。如果P值小于顯著性水平α，則拒絕H?；如果P值大于或等于α，則不拒絕H?。21.相關(guān)系數(shù)是用于衡量兩個變量之間線性關(guān)系強(qiáng)度和方向的統(tǒng)計量，記為r。其取值范圍是[-1,1]。r=1表示完全正相關(guān)，r=-1表示完全負(fù)相關(guān)，r=0表示沒有線性相關(guān)關(guān)系。|r|越接近1，線性關(guān)系越強(qiáng)；|r|越接近0，線性關(guān)系越弱。22.抽樣調(diào)查是從總體中抽取一部分單位作為樣本進(jìn)行觀察，并依據(jù)樣本信息來推斷總體特征的一種非全面調(diào)查方法。進(jìn)行抽樣的原因包括總體單位過多、調(diào)查成本過高、時間限制、破壞性檢驗等。與全面調(diào)查相比，抽樣調(diào)查具有節(jié)省時間、節(jié)省費用、減少工作量和誤差、可及到全面調(diào)查無法調(diào)查的領(lǐng)域等優(yōu)點。五、案例分析題23.（1）計算各變量的均值：y?=575/10=57.5,x??=40/10=4,x??=220/10=22計算離差平方和與離差乘積和：lxx?=∑(X??-x??)2=(3-4)2+(2-4)2+...+(4-4)2=1+4+9+1+0+1+9+4+1+0=30lxx?=∑(X??-x??)2=(20-22)2+(18-22)2+...+(26-22)2=4+16+25+36+0+25+81+16+36+16=233lxy?=∑(X??-x??)(Y?-y?)=(3-4)(50-57.5)+(2-4)(45-57.5)+...+(4-4)(60-57.5)=(-1)*(-7.5)+(-2)*(-12.5)+...+(0)*2.5=7.5+25+(-15)+(-10)+0+(-5)+45+(-5)+0+(-2.5)=40lxy?=∑(X??-x??)(Y?-y?)=(20-22)(50-57.5)+(18-22)(45-57.5)+...+(26-22)(60-57.5)=(-2)*(-7.5)+(-4)*(-12.5)+...+(4)*2.5=15+50+(-18)+(-30)+0+(-10)+90+(-5)+28+10=120計算回歸系數(shù)：lxx?x?=∑(X??-x??)(X??-x??)=(3-4)(20-22)+(2-4)(18-22)+...+(4-4)(26-22)=(-1)*(-2)+(-2)*(-4)+...+(0)*(4)=2+8+(-18)+(-24)+0+(-10)+36+(-8)+0+0=-12b?=[lxy?*lxx?-lxy?*lxx?]/[lxx?*lxx?-lxx?2]=[40*233-120*30]/[30*233-(-12)2]=(9320-3600)/(6990-144)=5720/6846≈0.835b?=[lxy?*lxx?-lxy?*lxx?]/[lxx?*lxx?-lxx?2]=[120*30-40*(-12)]/[30*233-(-12)2]=(3600+480)/(6990-144)=4080/6846≈0.596b?=y?-b?x??-b?x??=57.5-0.835*4-0.596*22=57