試題試題廣東省深圳實驗學(xué)校高中部2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月份第二次培優(yōu)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知直線與垂直，則實數(shù)的值是（）A.0或3 B.3 C.0或 D.3.已知、，則以為直徑的圓的一般方程為（）A B.C. D.4.如圖所示，直線與的圖象可能是（）A. B.C. D.5.直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A. B. C. D.6.，分別為直線與上任意一點，則最小值為（）A. B. C. D.7.直線與直線相交于點P，對任意實數(shù)m，直線,分別恒過定點A，B，則的最大值為()A.4 B.8 C. D.8.在長方體中，，，是的中點，點在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下面四個結(jié)論正確的是（）A.已知向量，，若，則鈍角B.已知，，則向量在向量上投影向量是C若直線經(jīng)過第三象限，則，D.已知，，三點不共線，對于空間任意一點，若，則，，，四點共面10.下述四個結(jié)論,正確的是（）A.過點在軸,軸上截距都相等的直線方程為B.直線與圓相交充分不必要條件是C.直線表示過點的所有直線D.過點與圓相切的直線方程為11.已知點和，是直線上的動點，則（）A.存在，使最小 B.存在，使最小C.存在，使最大 D.存在，使最小三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知、滿足，則的最大值為______.13.已知從點發(fā)出的光線，經(jīng)軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為__________.14.閱讀下面材料:在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線的方程為.根據(jù)上述材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的余弦值為____________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知圓C的圓心在y軸上，并且過原點和.（1）求圓C的方程；（2）若線段的端點，端點B在圓C上運動，求線段的中點M的軌跡方程.16.已知直線過定點（1）若到直線的距離為，求直線的方程；（2）若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于兩點，求（為坐標(biāo)原點）面積的最小值及此時直線的方程.17.已知的頂點，邊上的高所在直線的方程為，邊上的中線所在直線的方程為．（1）求直線的方程；（2）求的面積．18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面是的中點，作交于點．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大?。?9.已知點，圓.直線與圓相交于A、B兩點，.（1）若直線過點，求直線的方程；（2）①若線段AB的中點為，求點的軌跡方程；②過點作直線與曲線交于兩點M、N，設(shè)的斜率分別為，求證：為定值.廣東省深圳實驗學(xué)校高中部2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月份第二次培優(yōu)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直線的斜率，再由解出傾斜角即可.【詳解】因為該直線的斜率為，所以它的傾斜角為.故選：A.2.已知直線與垂直，則實數(shù)值是（）A.0或3 B.3 C.0或 D.【答案】D【解析】【分析】利用兩條直線垂直的性質(zhì)，即可求出的值【詳解】因為直線與垂直，所以，解得，故實數(shù)的值是.故選：D.3.已知、，則以為直徑的圓的一般方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的中點和可得以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑，進而得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將其轉(zhuǎn)化為一般方程即可得解.【詳解】已知、，則中點坐標(biāo)為即.，所以以為直徑的圓的圓心為，半徑為.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，展開可得，整理得.故選：B.4.如圖所示，直線與的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析兩直線的斜率以及在軸上的截距，可得出的符號，即可得出合適的選項.【詳解】直線方程可化為，斜率為，在軸上的截距為，直線方程可化為，斜率為，在軸上的截距為，對于A選項，由直線的圖象可得，即，由直線的圖象可得，A不滿足條件；對于B選項，由直線的圖象可得，即，由直線的圖象可得，即，B不滿足條件；對于C選項，由直線的圖象可得，即，由直線的圖象可得，C滿足條件；對于D選項，由直線的圖象可得，即，由直線的圖象可得，D不滿足條件.故選：C5.直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：先求出A，B兩點坐標(biāo)得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．6.，分別為直線與上任意一點，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩平行線間的距離公式可求出的最小值.【詳解】由，可得兩條直線相互平行，所以最小值為平行線之間的距離，可化為，所以，.故選：A7.直線與直線相交于點P，對任意實數(shù)m，直線,分別恒過定點A，B，則的最大值為()A.4 B.8 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求點的坐標(biāo)，并判斷兩條直線的位置關(guān)系，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】直線，當(dāng)，得，即點，直線，當(dāng)，得，即點，且兩條直線滿足，所以，即，，，當(dāng)時，等號成立，所以的最大值為4.故選：A8.在長方體中，，，是的中點，點在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，其中，利用空間向量法求出取值范圍.【詳解】以點為坐標(biāo)原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)點，其中，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，，因為，則，則，則，所以，，則.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下面四個結(jié)論正確的是（）A.已知向量，，若，則為鈍角B.已知，，則向量在向量上的投影向量是C.若直線經(jīng)過第三象限，則，D.已知，，三點不共線，對于空間任意一點，若，則，，，四點共面【答案】BD【解析】【分析】取可得，進而得到A錯誤；由投影向量的計算可得B正確；令可得C錯誤；由空間向量共面定理可得D正確；【詳解】對于A，當(dāng)時，，，，此時為，故A錯誤；對于B，向量在向量上的投影向量為，故B正確；對于C，令，則直線為，且經(jīng)過第三象限，但此時，故C錯誤；對于D，因為，，所以由向量共面定理的推論可得，，，四點共面，故D正確；故選：BD.10.下述四個結(jié)論,正確的是（）A.過點在軸,軸上截距都相等的直線方程為B.直線與圓相交的充分不必要條件是C.直線表示過點的所有直線D.過點與圓相切的直線方程為【答案】BD【解析】【分析】對于A,沒有考慮截距均為0的情況,排除A;對于B,根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小比較進行求解即可;對于C,利用反例即可排除;對于D,設(shè)出過直線方程,再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑即可求出結(jié)果.【詳解】對于A,沒有考慮截距均為0的情況,排除A;對于B,若直線與圓相交,則,解得,是直線與圓相交的充分不必要條件,故B正確.對于C,點在軸上,但無論取何值,不能表示軸,故C不正確.對于D,設(shè)過的直線方程為,即,,即,解得,過的直線方程為,故D正確.故選:BD.11.已知點和，是直線上的動點，則（）A.存在，使最小 B.存在，使最小C.存在，使最大 D.存在，使最小【答案】ACD【解析】【分析】A：先求點關(guān)于直線的對稱點為，根據(jù)直線與直線的交點坐標(biāo)即可判斷；B：為線段的垂直平分線與直線的交點；C：根據(jù)絕對值的特點得出為直線與直線的交點；D：設(shè)出點坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解出取最小值時點坐標(biāo).【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中作出點和直線，由圖可知，點和在直線同側(cè)，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則有，解得，得，，當(dāng)且僅當(dāng)為直線與直線的交點時有最小值，直線的斜率為，方程為，由，解得，存在，使最小，A選項正確；最小值為0，當(dāng)且僅當(dāng)，即為線段垂直平分線與直線的交點，的中點坐標(biāo)為，直線的斜率為，則線段的垂直平分線方程為，即，，解得，存在，使最小，B選項錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)為直線與直線的交點時有最大值，直線的方程為，即，，解得，存，使最大，C選項正確；設(shè)，，當(dāng)時有最小值，此時，所以存在，使最小，D選項正確.故選：ACD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知、滿足，則的最大值為______.【答案】##【解析】【分析】利用圓的性質(zhì)及兩點的距離公式計算即可.【詳解】由題意可知，設(shè)，則在以為圓心，半徑的圓上，而，顯然.當(dāng)且僅當(dāng)P在延長線上時取得最大值.故答案為：13.已知從點發(fā)出的光線，經(jīng)軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為__________.【答案】【解析】【分析】先求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)直線平分圓的圓周可知，反射光線所在直線過圓心，根據(jù)對稱性可知反射光線過點，即可求直線方程.【詳解】由圓的方程得：圓心為，∵反射光線恰好平分圓的圓周，∴反射光線經(jīng)過點，∵關(guān)于軸對稱的點為，∴反射光線所在直線經(jīng)過點，∴反射光線所在直線斜率為，所以方程為，化簡得.故答案為：.14.閱讀下面材料:在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線的方程為.根據(jù)上述材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的余弦值為____________.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線的方向向量，由平面交線為可知兩平面的法向量都與垂直，由數(shù)量積運算求解一個直線的方向向量，再由向量方法求解線面角可得.【詳解】因為平面的方程為，所以平面的一個法向量為，同理可得，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，設(shè)直線的方向向量為，則，取，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，即直線與平面所成角的余弦值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知圓C的圓心在y軸上，并且過原點和.（1）求圓C的方程；（2）若線段的端點，端點B在圓C上運動，求線段的中點M的軌跡方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法計算即可求解；（2）設(shè)，，由中點坐標(biāo)公式可得，，代入圓C方程，整理即可求解.【小問1詳解】設(shè)圓C方程：，由已知，解得，∴圓C的方程為.【小問2詳解】設(shè)點，.∵，∴.整理得，，∵點B在圓C上，∴，∴點M的軌跡方程為.16.已知直線過定點（1）若到直線的距離為，求直線的方程；（2）若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于兩點，求（為坐標(biāo)原點）面積的最小值及此時直線的方程.【答案】（1）或（2）最小值為，直線l的方程為.【解析】【分析】（1）就斜率是否存在分類討論后結(jié)合點到直線的距離公式可求直線方程；（2）設(shè)直線為，則可用斜率表示面積，結(jié)合基本不等式可求面積的最小值，從而可求直線方程.【小問1詳解】當(dāng)直線斜率不存時，由過得，滿足到的距離為3，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為即，點到直線的距離為，解得.此時直線的方程為即，綜上所述，所求的直線方程為或.【小問2詳解】若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于兩點，則設(shè)直線為，，則，.，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故面積的最小值為12，此時直線l的方程為.17.已知的頂點，邊上的高所在直線的方程為，邊上的中線所在直線的方程為．（1）求直線的方程；（2）求的面積．【答案】（1）（2）24【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直，求直線方程.（2）先確定、點的坐標(biāo)，可求線段的長度，利用點到直線的距離求點到直線的距離，即三角形的高，就可以求出三角形的面積.【小問1詳解】由于邊上的高所在直線方程為，所以設(shè)直線的方程為，由于點在直線上，即，解得，所以直線的方程為.【小問2詳解】由于點既滿足直線的方程，又滿足的方程，所以，解得，故，所以，設(shè)，由于點滿足直線，故，設(shè)的中點坐標(biāo)為，滿足，所以，整理得，所以，解得，所以，則點到直線的距離，故.18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面是的中點，作交于點．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大小．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量坐標(biāo)，再利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）由，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理證明.（3）求得平面和平面的法向量坐標(biāo)，再利用面面角的向量求法求解.【小問1詳解】在四棱錐中，底面，底面，則，由底面是正方形，得，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則，而平面，