微專題20圓錐曲線經典難題之一類面積、面積比問題的通性通法研究秒殺總結1.三角形面積問題模型一：基本方法模型二：分割三角形模型三：三角形面積坐標表示模型四（面積比）：“等角”“共角”“對頂角”蝴蝶模型蟬模型2.四邊形面積問題模型一模型二模型三3.圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系；（3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.4.圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值．典型例題例1．（2022·寧夏銀川·一模（文））如圖，已知橢圓，曲線與軸的交點為，過坐標原點的直線與相交于、，直線、分別與交于點、.(1)證明：以為直徑的圓經過點；(2)記、的面積分別為、，若，求的取值范圍.例2．（2022·山東臨沂·一模）已知橢圓C：(，)的左、右焦點分別為，，離心率為，直線被C截得的線段長為.(1)求C的方程：(2)若A和B為橢圓C上在x軸同側的兩點，且，求四邊形面積的最大值及此時的值.例3．（2022·浙江·模擬預測）如圖，已知橢圓和拋物線，斜率為正的直線與軸及橢圓依次交于、、三點，且線段的中點在拋物線上．(1)求點的縱坐標的取值范圍；(2)設是拋物線上一點，且位于橢圓的左上方，求點的橫坐標的取值范圍，使得的面積存在最大值．例4．（2022·浙江·模擬預測）如圖，點A，B是橢圓與曲線的兩個交點，其中點A與C關于原點對稱，過點A作曲線的切線與x軸交于點D．記△ABC與△ABD的面積分別是，．(1)證明：；(2)若，求的最大值．例5．（2022·河南·一模（理））已知點F為橢圓的右焦點，橢圓上任意一點到點F距離的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若M為橢圓C上的點，以M為圓心，長為半徑作圓M，若過點可作圓M的兩條切線(為切點)，求四邊形面積的最大值.例6．（2022·天津·南開中學二模）已知橢圓的左右焦點分別是和，離心率為，點P在橢圓E上，且的面積的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）直線l過橢圓C右焦點，交該橢圓于A?B兩點，AB中點為Q，射線OQ交橢圓于P，記的面積為，的面積為，若，求直線l的方程.過關測試1．（2022·寧夏·銀川二中一模（理））已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若四邊形的頂點在橢圓上，且對角線過原點，直線和的斜率之積為，證明：四邊形的面積為定值.2．（2022·全國·模擬預測）已知拋物線，點，過點M的直線與拋物線C交于點，，且.過A，B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為N.(1)證明：點N的縱坐標為定值；(2)若點N的橫坐標為1，點D為拋物線C夾在點A，B之間部分上的任意一點（不與點A，B重合），過點D作拋物線的切線與直線NA?直線NB分別交于P，Q兩點，求△NPQ面積的最大值，并求出△NPQ的面積取最大值時點D的坐標.3．（2022·全國·模擬預測（理））在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點為，，直線與橢圓交于，兩點．已知周長的最大值為，且當，時，．(1)求橢圓的標準方程；(2)設的面積為，若，求的取值范圍．4．（2022·四川宜賓·二模（文））已知橢圓的左右焦點分別為，，為的上頂點，且.(1)求的方程；(2)過坐標原點作兩直線，分別交于，和，兩點，直線，的斜率分別為，.是否存在常數(shù)，使時，四邊形的面積為定值？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.5．（2022·河南鄭州·二模（文））已知橢圓：（）過點，離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過橢圓上的點（）的直線與，軸的交點分別為，，且，過原點的直線與平行，且與交于，兩點，求面積的最大值.6．（2022·四川雅安·二模）已知橢圓：（）的離心率為，點在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)設是橢圓上第一象限內的點，直線過點且與橢圓有且僅有一個公共點．①求直線的方程（用，）表示；②設為坐標原點，直線分別與軸，軸相交于點，，試探究的面積是否存在最小值．若存在，求出最小值及相應的點的坐標；若不存在，請說明理由．7．（2022·重慶市天星橋中學一模）已知為坐標原點，點在橢圓上，橢圓的左右焦點分別為，且.(1)求橢圓的標準方程；(2)若點在橢圓上，原點為的重心，證明：的面積為定值.8．（2022·新疆·一模（理））在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，過橢圓C的焦點F作長軸的垂線，交橢圓于點P，且．(1)求橢圓C的方程；(2)假設直線與橢圓C交于A，B兩點．若原點O到直線l的距離為1，并且，當時，求的面積S的取值范圍．9．（2022·湖南常德·一模）已知兩點分別在軸和軸上運動，且，若動點滿足，設動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點作直線的垂線，交曲線于點（異于點），求面積的最大值.10．（2022·重慶市育才中學模擬預測）已知雙曲線：過點，且的漸近線方程為.(1)求的方程；(2)如圖，過原點O作互相垂直的直線，分別交雙曲線于A，B兩點和C，D兩點，A，D在x軸同側.請從①②兩個問題中任選一個作答，如果多選，則按所選的第一個計分.①求四邊形ACBD面積的取值范圍；②設直線AD與兩漸近線分別交于M，N兩點，是否存在直線AD使M，N為線段AD的三等分點，若存在，求出直線AD的方程；若不存在，請說明理由.11．（2022·新疆烏魯木齊·二模（理））已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且．(1)求拋物線的方程；(2)設是拋物線上異于原點的一點，過點作圓的兩條切線與拋物線分別交于異于點的，兩點，若切線互相垂直，求的面積．12．（2022·江蘇·南京市寧海中學二模）已知橢圓：的右焦點與右準線：的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線：與橢圓相交于，兩點，線段的垂直平分線與直線及軸和軸分別相交于點，，，直線與右準線相交于點．記，的面積分別為，，求的值．13．（2022·四川南充·二模（文））如圖所示，橢圓的右頂點為，上頂點為為坐標原點，.橢圓離心率為，過橢圓左焦點作不與軸重合的直線，與橢圓相交于兩點.直線的方程為：，過點作垂線，垂足為.(1)求橢圓的標準方程；(2)①求證：直線過定點，并求定點的坐標；②求面積的最大值.14．（2022·江西·臨川一中模擬預測（文））已知橢圓的左右焦點分別為，，其離心率，過左焦點的直線l與橢圓交于A，B兩點，且的周長為8.(1)求橢圓C的標準方程；(2)如圖過原點的直線與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點（點E在第一象限），過點E作x軸的垂線，垂足為點G，設直線與橢圓的另一個交點為H，連接得到直線，交x軸于點M，交y軸于點N，記、的面積分別為，，求的最小值.15．（2022·河南·三模（文））橢圓，A，B為其左右頂點，G點坐標為，c為橢圓的半焦距，且有，橢圓E的離心率.(1)求橢圓E的標準方程；(2)已知O為坐標原點，M，N為橢圓上不重合兩點，且M，N的中點H在直線上，求面積的最大值.16．（2022·河南省直轄縣級單位·二模（文））如圖，圓與拋物線相交于點、、、，且．(1)若拋物線的焦點為，為其準線上一點，是坐標原點，，求拋物線的方程；(2)設與相交于點，與組成蝶形（如圖所示的陰影區(qū)域）的面積為，求點的坐標及的最大值．17．（2022·陜西寶雞·二模（文））已知曲線上任一點到點的距離等于該點到直線的距離．經過點的直線與曲線交于、兩點．(1)求曲線的方程；(2)若曲線在點、處的切線交于點，求面積的最小值．18．（2022·新疆·一模（理））圓心為的圓與拋