中國(guó)精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）復(fù)習(xí)題庫及答案(上海市2025年)一、選擇題1.已知某壽險(xiǎn)保單在時(shí)刻\(t\)的死亡力為\(\mu_{x+t}=\frac{1}{100-x-t}\)，\(0\leqt\lt100-x\)，則該保單在\(x\)歲投保，保險(xiǎn)期限為\(n\)年的定期生存保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)為（）A.\(\frac{100-x-n}{100-x}\)B.\(\frac{100-x}{100-x-n}\)C.\(e^{-\int_{0}^{n}\frac{1}{100-x-t}dt}\)D.\(e^{\int_{0}^{n}\frac{1}{100-x-t}dt}\)答案：A解析：定期生存保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)公式為\(_{n}p_{x}=e^{-\int_{0}^{n}\mu_{x+s}ds}\)。已知\(\mu_{x+t}=\frac{1}{100-x-t}\)，則\(\int_{0}^{n}\mu_{x+s}ds=\int_{0}^{n}\frac{1}{100-x-s}ds=-\ln(100-x-s)\big|_{0}^{n}=-\ln(100-x-n)+\ln(100-x)=\ln\frac{100-x}{100-x-n}\)。所以\(_{n}p_{x}=e^{-\ln\frac{100-x}{100-x-n}}=\frac{100-x-n}{100-x}\)。2.設(shè)某離散型隨機(jī)變量\(X\)的分布律為\(P(X=k)=\frac{1}{5}\)，\(k=1,2,3,4,5\)，則\(E(X)\)為（）A.2B.3C.4D.5答案：B解析：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式\(E(X)=\sum_{k}x_{k}P(X=k)\)。這里\(x_{k}=k\)，\(P(X=k)=\frac{1}{5}\)，\(k=1,2,3,4,5\)。則\(E(X)=\sum_{k=1}^{5}k\times\frac{1}{5}=\frac{1}{5}(1+2+3+4+5)=\frac{1}{5}\times\frac{5\times(5+1)}{2}=3\)。3.已知利率\(i=0.05\)，則\(d\)（利息力）為（）A.\(\frac{0.05}{1+0.05}\)B.\(\frac{0.05}{1-0.05}\)C.\(0.05\)D.\(1+0.05\)答案：A解析：利息力\(d\)與利率\(i\)的關(guān)系為\(d=\frac{i}{1+i}\)。已知\(i=0.05\)，則\(d=\frac{0.05}{1+0.05}\)。二、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述生命表的基本概念和作用。生命表是根據(jù)一定時(shí)期內(nèi)各個(gè)年齡的死亡統(tǒng)計(jì)資料編制的，反映一定范圍內(nèi)的一群人從出生直至全部死亡的生死規(guī)律的一種統(tǒng)計(jì)表。其作用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：-在壽險(xiǎn)精算中，生命表是計(jì)算純保費(fèi)、責(zé)任準(zhǔn)備金等重要指標(biāo)的基礎(chǔ)。通過生命表可以確定不同年齡的被保險(xiǎn)人在未來一定時(shí)期內(nèi)的死亡概率，從而合理確定保險(xiǎn)費(fèi)率。-對(duì)于保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和管理至關(guān)重要。它幫助保險(xiǎn)公司評(píng)估不同年齡段的風(fēng)險(xiǎn)狀況，制定合理的承保政策，控制風(fēng)險(xiǎn)暴露。-用于養(yǎng)老金等長(zhǎng)期保險(xiǎn)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)和定價(jià)?？梢愿鶕?jù)生命表預(yù)測(cè)被保險(xiǎn)人的生存情況，確定養(yǎng)老金的給付金額和期限。-在人口統(tǒng)計(jì)學(xué)研究中，生命表可以反映一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的人口健康狀況和壽命趨勢(shì)，為政府制定相關(guān)政策提供參考。2.說明利息理論中積累函數(shù)和現(xiàn)值函數(shù)的關(guān)系。積累函數(shù)\(a(t)\)表示單位本金在時(shí)刻\(t\)的積累值，即\(a(t)\)是將初始時(shí)刻的1元錢在\(t\)時(shí)刻的價(jià)值。而現(xiàn)值函數(shù)\(v(t)\)是積累函數(shù)的倒數(shù)，它表示\(t\)時(shí)刻的1元錢在初始時(shí)刻的價(jià)值。數(shù)學(xué)關(guān)系為\(v(t)=\frac{1}{a(t)}\)。例如，在單利情況下，積累函數(shù)\(a(t)=1+it\)（\(i\)為單利利率），則現(xiàn)值函數(shù)\(v(t)=\frac{1}{1+it}\)；在復(fù)利情況下，積累函數(shù)\(a(t)=(1+i)^{t}\)（\(i\)為復(fù)利利率），則現(xiàn)值函數(shù)\(v(t)=(1+i)^{-t}\)。這種關(guān)系在利息計(jì)算中非常重要，通過積累函數(shù)可以計(jì)算未來值，通過現(xiàn)值函數(shù)可以將未來的現(xiàn)金流折現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)刻，方便進(jìn)行投資決策和保險(xiǎn)精算中的價(jià)值評(píng)估。三、計(jì)算題1.某人向銀行貸款10000元，年利率為6%，按復(fù)利計(jì)算，分5年等額年末償還，每年應(yīng)償還多少元？設(shè)每年償還金額為\(A\)元。已知貸款金額\(P=10000\)元，年利率\(i=0.06\)，還款期數(shù)\(n=5\)。根據(jù)等額年金現(xiàn)值公式\(P=A\timesa_{\overline{n}\verti}\)，其中\(zhòng)(a_{\overline{n}\verti}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\)。先計(jì)算\(a_{\overline{5}\vert0.06}=\frac{1-(1+0.06)^{-5}}{0.06}=\frac{1-0.747258}{0.06}=\frac{0.252742}{0.06}\approx4.21236\)。由\(P=A\timesa_{\overline{n}\verti}\)可得\(A=\frac{P}{a_{\overline{n}\verti}}=\frac{10000}{4.21236}\approx2374\)（元）。所以每年應(yīng)償還約2374元。2.已知某壽險(xiǎn)保單的死亡力\(\mu_{x+t}=0.02\)，利息力\(\delta=0.05\)，求保額為1的終身壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)\(\overline{A}_{x}\)。根據(jù)終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)公式\(\overline{A}_{x}=\int_{0}^{\infty}v^{t}_{t}p_{x}\mu_{x+t}dt\)。因?yàn)閈(\mu_{x+t}=0.02\)，則\(_{t}p_{x}=e^{-\int_{0}^{t}\mu_{x+s}ds}=e^{-0.02t}\)，又\(v^{t}=e^{-\deltat}=e^{-0.05t}\)。所以\(\overline{A}_{x}=\int_{0}^{\infty}e^{-0.05t}\timese^{-0.02t}\times0.02dt=0.02\int_{0}^{\infty}e^{-(0.05+0.02)t}dt\)。令\(u=(0.05+0.02)t\)，\(dt=\frac{1}{0.07}du\)，當(dāng)\(t=0\)時(shí)，\(u=0\)；當(dāng)\(t\rightarrow\infty\)時(shí)，\(u\rightarrow\infty\)。則\(\overline{A}_{x}=0.02\times\frac{1}{0.07}\int_{0}^{\infty}e^{-u}du\)。由于\(\int_{0}^{\infty}e^{-u}du=1\)，所以\(\overline{A}_{x}=\frac{0.02}{0.07}=\frac{2}{7}\approx0.2857\)。四、證明題1.證明\(_{m+n}p_{x}=_{m}p_{x}\times_{n}p_{x+m}\)。根據(jù)生存概率的定義，\(_{m+n}p_{x}\)表示\(x\)歲的人存活\(m+n\)年的概率，即\(_{m+n}p_{x}=\frac{l_{x+m+n}}{l_{x}}\)。\(_{m}p_{x}\)表示\(x\)歲的人存活\(m\)年的概率，\(_{m}p_{x}=\frac{l_{x+m}}{l_{x}}\)；\(_{n}p_{x+m}\)表示\(x+m\)歲的人存活\(n\)年的概率，\(_{n}p_{x+m}=\frac{l_{x+m+n}}{l_{x+m}}\)。則\(_{m}p_{x}\times_{n}p_{x+m}=\frac{l_{x+m}}{l_{x}}\times\frac{l_{x+m+n}}{l_{x+m}}=\frac{l_{x+m+n}}{l_{x}}=_{m+n}p_{x}\)。所以\(_{m+n}p_{x}=_{m}p_{x}\times_{n}p_{x+m}\)得證。2.證明在復(fù)利情況下，積累函數(shù)\(a(t)=(1+i)^{t}\)滿足\(a(t_{1}+t_{2})=a(t_{1})\timesa(t_{2})\)。已知復(fù)利情況下積累函數(shù)\(a(t)=(1+i)^{t}\)。則\(a(t_{1}+t_{2})=(1+i)^{t_{1}+t_{2}}\)。又\(a(t_{1})=(1+i)^{t_{1}}\)，\(a(t_{2})=(1+i)^{t_{2}}\)。所以\(a(t_{1})\timesa(t_{2})=(1+i)^{t_{1}}\times(1+i)^{t_{2}}=(1+i)^{t_{1}+t_{2}}\)。因此\(a(t_{1}+t_{2})=a(t_{1})\timesa(t_{2})\)得證。五、綜合分析題某保險(xiǎn)公司推出一款5年期定期壽險(xiǎn)產(chǎn)品，保險(xiǎn)金額為10萬元。已知該年齡段的生命表數(shù)據(jù)如下：\(l_{x}=10000\)，\(l_{x+1}=9950\)，\(l_{x+2}=9900\)，\(l_{x+3}=9850\)，\(l_{x+4}=9800\)，\(l_{x+5}=9750\)，年利率\(i=0.03\)。（1）計(jì)算每年的死亡概率\(q_{x}\)，\(q_{x+1}\)，\(q_{x+2}\)，\(q_{x+3}\)，\(q_{x+4}\)。根據(jù)死亡概率公式\(q_{x}=\frac{d_{x}}{l_{x}}=\frac{l_{x}-l_{x+1}}{l_{x}}\)。\(q_{x}=\frac{l_{x}-l_{x+1}}{l_{x}}=\frac{10000-9950}{10000}=0.005\)；\(q_{x+1}=\frac{l_{x+1}-l_{x+2}}{l_{x+1}}=\frac{9950-9900}{9950}\approx0.00503\)；\(q_{x+2}=\frac{l_{x+2}-l_{x+3}}{l_{x+2}}=\frac{9900-9850}{9900}\approx0.00505\)；\(q_{x+3}=\frac{l_{x+3}-l_{x+4}}{l_{x+3}}=\frac{9850-9800}{9850}\approx0.00508\)；\(q_{x+4}=\frac{l_{x+4}-l_{x+5}}{l_{x+4}}=\frac{9800-9750}{9800}\approx0.0051\)。（2）計(jì)算該定期壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)。定期壽險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)公式為\(A_{x:\overline{5}\vert}^{1}=\sum_{k=0}^{4}v^{k+1}_{k}p_{x}q_{x+k}\times100000\)。其中\(zhòng)(v=(1+i)^{-1}=(1+0.03)^{-1}\)，\(_{k}p_{x}=\frac{l_{x+k}}{l_{x}}\)。\(_{0}p_{x}=1\)，\(q_{x}=0.005\)，\(v^{1}=(1+0.03)^{-1}\)；\(_{1}p_{x}=\frac{l_{x+1}}{l_{x}}=\frac{9950}{10000}=0.995\)，\(q_{x+1}\approx0.00503\)，\(v^{2}=(1+0.03)^{-2}\)；\(_{2}p_{x}=\frac{l_{x+2}}{l_{x}}=\frac{9900}{10000}=0.99\)，\(q_{x+2}\approx0.00505\)，\(v^{3}=(1+0.03)^{-3}\)；\(_{3}p_{x}=\frac{l_{x+3}}{l_{x}}=\frac{9850}{10000}=0.985\)，\(q_{x+3}\approx0.00508\)，\(v^{4}=(1+0.03)^{-4}\)；\(_{4}p_{x}=\frac{l_{x+4}}{l_{x}}=\frac{9800}{10000}=0.98\)，\(q_{x+4}\approx0.0051\)，\(v^{5}=(1+0.03)^{-5}\)。\(A_{x:\overline{5}\vert}^{1}=100000\times\left[(1+0.03)^{-1}\times1\times0.005+(1+0.03)^{-2}\times0.995\times0.00503+(1+0.03)^{-3}\times0.99\times0.00505+(1+0.03)^{-4}\tim