中國(guó)精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）復(fù)習(xí)題庫(kù)及答案(黑龍江省2025年)中國(guó)精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）復(fù)習(xí)題庫(kù)及答案（黑龍江省2025年）一、單項(xiàng)選擇題1.已知年利率為5%，按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，現(xiàn)在投資多少元，10年后可得10000元？A.6065.31元B.6139.13元C.6209.21元D.6309.13元答案：A解析：根據(jù)連續(xù)復(fù)利公式\(A=Pe^{rt}\)（其中\(zhòng)(A\)為終值，\(P\)為本金，\(r\)為年利率，\(t\)為時(shí)間），已知\(A=10000\)，\(r=0.05\)，\(t=10\)，則\(P=\frac{A}{e^{rt}}=\frac{10000}{e^{0.05\times10}}=\frac{10000}{e^{0.5}}\approx6065.31\)元。2.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為\(P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\)，已知\(P(X=1)=P(X=2)\)，即\(\frac{\lambda^{1}e^{-\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{-\lambda}}{2!}\)，化簡(jiǎn)可得\(\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}\)，因?yàn)閈(\lambda>0\)，所以解得\(\lambda=2\)。3.已知年金在第一年末支付1元，以后每年增加1元，共支付\(n\)年，年利率為\(i\)，則該年金的現(xiàn)值為（）A.\(\frac{\ddot{a}_{\overline{n}|}-nv^{n}}{i}\)B.\(\frac{a_{\overline{n}|}-nv^{n}}{i}\)C.\(\frac{\ddot{a}_{\overline{n}|}+nv^{n}}{i}\)D.\(\frac{a_{\overline{n}|}+nv^{n}}{i}\)答案：B解析：設(shè)該年金為遞增年金，其現(xiàn)值\(Ia_{\overline{n}|}=\sum_{k=1}^{n}kv^{k}\)。我們知道\(a_{\overline{n}|}=\sum_{k=1}^{n}v^{k}=\frac{1-v^{n}}{i}\)，對(duì)\(Ia_{\overline{n}|}\)進(jìn)行推導(dǎo)：\(Ia_{\overline{n}|}=v+2v^{2}+3v^{3}+\cdots+nv^{n}\)\(vIa_{\overline{n}|}=v^{2}+2v^{3}+\cdots+(n-1)v^{n}+nv^{n+1}\)兩式相減得：\((1-v)Ia_{\overline{n}|}=v+v^{2}+v^{3}+\cdots+v^{n}-nv^{n+1}=a_{\overline{n}|}-nv^{n+1}\)所以\(Ia_{\overline{n}|}=\frac{a_{\overline{n}|}-nv^{n}}{i}\)。4.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,4)\)，則\(Z=2X-Y\)的分布為（）A.\(N(-1,8)\)B.\(N(-1,6)\)C.\(N(1,8)\)D.\(N(1,6)\)答案：A解析：若\(X\simN(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})\)，\(Y\simN(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})\)，且\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，則\(aX+bY\simN(a\mu_{1}+b\mu_{2},a^{2}\sigma_{1}^{2}+b^{2}\sigma_{2}^{2})\)。已知\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,4)\)，對(duì)于\(Z=2X-Y\)，其中\(zhòng)(a=2\)，\(b=-1\)，\(\mu_{1}=0\)，\(\sigma_{1}^{2}=1\)，\(\mu_{2}=1\)，\(\sigma_{2}^{2}=4\)。則\(E(Z)=2E(X)-E(Y)=2\times0-1=-1\)，\(D(Z)=2^{2}D(X)+(-1)^{2}D(Y)=4\times1+1\times4=8\)，所以\(Z\simN(-1,8)\)。5.已知某壽險(xiǎn)保單的保額為10000元，被保險(xiǎn)人在1年內(nèi)死亡的概率為0.01，若保險(xiǎn)人收取保費(fèi)120元，則保險(xiǎn)人在該保單上的期望利潤(rùn)為（）A.20元B.30元C.40元D.50元答案：A解析：設(shè)保險(xiǎn)人的利潤(rùn)為\(L\)，若被保險(xiǎn)人在1年內(nèi)死亡，保險(xiǎn)人的支出為10000元，收取保費(fèi)120元，此時(shí)利潤(rùn)\(L_1=120-10000=-9880\)元；若被保險(xiǎn)人在1年內(nèi)未死亡，保險(xiǎn)人收取保費(fèi)120元，支出為0元，此時(shí)利潤(rùn)\(L_2=120\)元。被保險(xiǎn)人在1年內(nèi)死亡的概率\(q=0.01\)，未死亡的概率\(p=1-q=0.99\)。則期望利潤(rùn)\(E(L)=0.01\times(-9880)+0.99\times120=-98.8+118.8=20\)元。二、多項(xiàng)選擇題1.以下關(guān)于精算數(shù)學(xué)中常用函數(shù)的說(shuō)法正確的有（）A.生存函數(shù)\(S(x)\)表示個(gè)體在\(x\)歲時(shí)存活的概率，且\(S(0)=1\)，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}S(x)=0\)B.死亡力函數(shù)\(\mu(x)\)可以表示為\(\mu(x)=-\frac{S^{\prime}(x)}{S(x)}\)C.累積死亡力函數(shù)\(\Lambda(x)=\int_{0}^{x}\mu(t)dt\)，且\(S(x)=e^{-\Lambda(x)}\)D.年齡為\(x\)歲的個(gè)體在\(x+t\)歲前死亡的概率為\(1-S(x+t)/S(x)\)答案：ABCD解析：-選項(xiàng)A：生存函數(shù)\(S(x)\)定義為個(gè)體在\(x\)歲時(shí)存活的概率，顯然出生時(shí)存活概率為1，即\(S(0)=1\)，隨著年齡趨于無(wú)窮大，個(gè)體最終會(huì)死亡，所以\(\lim_{x\rightarrow+\infty}S(x)=0\)，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)B：根據(jù)死亡力函數(shù)的定義，\(\mu(x)=-\frac{S^{\prime}(x)}{S(x)}\)，這是死亡力函數(shù)與生存函數(shù)的重要關(guān)系，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)C：由\(\mu(x)=-\frac{S^{\prime}(x)}{S(x)}\)，兩邊積分\(\int_{0}^{x}\mu(t)dt=-\int_{0}^{x}\frac{S^{\prime}(t)}{S(t)}dt=-\lnS(x)\)，即\(\Lambda(x)=\int_{0}^{x}\mu(t)dt\)，所以\(S(x)=e^{-\Lambda(x)}\)，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)D：年齡為\(x\)歲的個(gè)體在\(x+t\)歲前死亡的概率為\(_{t}q_{x}=1-_{t}p_{x}\)，而\(_{t}p_{x}=\frac{S(x+t)}{S(x)}\)，所以\(_{t}q_{x}=1-\frac{S(x+t)}{S(x)}\)，該選項(xiàng)正確。2.對(duì)于離散型隨機(jī)變量\(X\)，其概率分布為\(P(X=x_{i})=p_{i}(i=1,2,\cdots)\)，以下關(guān)于期望和方差的計(jì)算公式正確的有（）A.\(E(X)=\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}p_{i}\)B.\(E(g(X))=\sum_{i=1}^{\infty}g(x_{i})p_{i}\)（\(g(x)\)為關(guān)于\(x\)的函數(shù)）C.\(D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\)D.\(D(X)=\sum_{i=1}^{\infty}(x_{i}-E(X))^{2}p_{i}\)答案：ABCD解析：-選項(xiàng)A：離散型隨機(jī)變量的期望定義為\(E(X)=\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}p_{i}\)，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)B：根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式，若\(Y=g(X)\)，則\(E(Y)=E(g(X))=\sum_{i=1}^{\infty}g(x_{i})p_{i}\)，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)C：方差的計(jì)算公式\(D(X)=E[(X-E(X))^{2}]=E(X^{2}-2XE(X)+[E(X)]^{2})=E(X^{2})-2E(X)E(X)+[E(X)]^{2}=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\)，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)D：這是方差的另一種定義式，\(D(X)=\sum_{i=1}^{\infty}(x_{i}-E(X))^{2}p_{i}\)，該選項(xiàng)正確。3.以下關(guān)于年金的說(shuō)法正確的有（）A.期末付年金是指在每個(gè)支付期期末支付的年金B(yǎng).期初付年金的現(xiàn)值與期末付年金的現(xiàn)值關(guān)系為\(\ddot{a}_{\overline{n}|}=(1+i)a_{\overline{n}|}\)C.永續(xù)年金是指支付期限為無(wú)限的年金D.延期年金是指在經(jīng)過(guò)一定時(shí)期后才開始支付的年金答案：ABCD解析：-選項(xiàng)A：期末付年金的定義就是在每個(gè)支付期期末支付的年金，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)B：期初付年金現(xiàn)值\(\ddot{a}_{\overline{n}|}=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k}\)，期末付年金現(xiàn)值\(a_{\overline{n}|}=\sum_{k=1}^{n}v^{k}\)，\(\ddot{a}_{\overline{n}|}=(1+i)a_{\overline{n}|}\)，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)C：永續(xù)年金的特點(diǎn)就是支付期限為無(wú)限，該選項(xiàng)正確。-選項(xiàng)D：延期年金是指在經(jīng)過(guò)一定時(shí)期后才開始支付的年金，該選項(xiàng)正確。三、解答題1.已知某保險(xiǎn)公司承保的一類保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，每份保單的保額為5000元，被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)死亡的概率為0.005。若該保險(xiǎn)公司希望每份保單的期望利潤(rùn)為100元，問應(yīng)收取多少保費(fèi)？解：設(shè)應(yīng)收取的保費(fèi)為\(P\)元。若被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)死亡，保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)\(L_1=P-5000\)；若被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)未死亡，保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)\(L_2=P\)。被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)死亡的概率\(q=0.005\)，未死亡的概率\(p=1-q=0.995\)。根據(jù)期望利潤(rùn)的計(jì)算公式\(E(L)=q\timesL_1+p\timesL_2\)，已知\(E(L)=100\)，則有：\(0.005\times(P-5000)+0.995\timesP=100\)\(0.005P-25+0.995P=100\)\(P-25=100\)解得\(P=125\)元。所以，保險(xiǎn)公司應(yīng)收取125元保費(fèi)。2.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從均勻分布\(U(0,1)\)，\(Y=e^{X}\)，求\(Y\)的概率密度函數(shù)。解：首先，\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f_{X}(x)=\begin{cases}1,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)。設(shè)\(y=g(x)=e^{x}\)，則\(x=h(y)=\lny\)，\(h^{\prime}(y)=\frac{1}{y}\)。\(y=e^{x}\)在\((0,1)\)上單調(diào)遞增，當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=1\)；當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y=e\)。根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)公式\(f_{Y}(y)=f_{X}(h(y))\verth^{\prime}(y)\vert\)，可得：\(f_{Y}(y)=\begin{cases}\frac{1}{y},&1<y<e\\0,&\text{其他}\end{cases}\)3.已知年利率為6%，計(jì)算5年期期末付年金，每年支付1000元的現(xiàn)值和終值。解：-現(xiàn)值計(jì)算：期末付年金現(xiàn)值公式為\(a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^{n}}{i}\)，其中\(zhòng)(i=0.06\)，\(n=5\)，\(v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.06}\)。\(a_{\overline{5}|}=\frac{1-(1/1.06)^{5}}{0.06}\approx4.21236\)。每年支付1000元的期末付年金現(xiàn)值\(P=1000\timesa_{\overline{