§10.1計(jì)數(shù)原理與排列組合

【課標(biāo)要求】1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義2理解排列、組合的概念.3.能利用計(jì)數(shù)

原理、排列組合解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

⑴分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有〃，種不同的方法，在第2類方

案中芍〃種不同的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法.

(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有機(jī)種不同的方法，做第2步有〃種不同

的方法,那么完成這件事共有N=種不同的方法.

2.排列與組合的概念

名稱定義

排列從八個(gè)不同元素中取出按照—_________排成一列

組合個(gè)元素作為一組

3.排列數(shù)與組合數(shù)

(1)排列數(shù)：從〃個(gè)不同元索中取出個(gè)元素的所有的個(gè)數(shù)，用符號(hào)

表示.

(2)組合數(shù)：從〃個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有的個(gè)數(shù)，用符號(hào)

表示.

4.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

⑴叱________________________________=________________（〃，

公

且用《〃）.

式

（2）C￡=M=__________________（〃,且加W〃）.

Am

性（DO!=_______;A?=_______.

質(zhì)⑵cJH；c^=crm；CM/_________.

B自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“4”或“x”)

(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同)

(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.()

（3）所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.（）

（4）兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.（)

2.從6名班委中選出2人分別擔(dān)任正、副班長(zhǎng)，一共有種選法（）

A.llB.12C.30D.36

3.（多選）下列結(jié)論正確的是（）

A.3X4X5=A1B.C|+C3=C2

C.若Cfo二C：k2,則人=3D.0+C殲第+C$=54

4.由于用具簡(jiǎn)單，趣味性強(qiáng)，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng).某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部

分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動(dòng)，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃

掉“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有條.

3微點(diǎn)提醒

1.元素之間與順序有關(guān)的為排列，與順序無(wú)關(guān)的為組合.

2.（1）排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系為C7A*=A罌

（2）排列數(shù)與組合數(shù)公式的兩種形式分別為：①連乘積形式；②階乘形式.前者多用于數(shù)字計(jì)算，后者多用

于含有字母的排列數(shù)與組合數(shù)式子的變形與論證.

3.解有條件限制的排列、組合題，通常有直接法（合理分類）和間接法（排除法）.分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)

重復(fù)或遺漏.

4.對(duì)于分配問(wèn)題，一般先分組，再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.

題型一計(jì)數(shù)原理

例1（1）用3種不同顏色給如圖所示的五個(gè)圓環(huán)涂色，要求相交的兩個(gè)圓環(huán)不能涂相同的顏色，共有

種不同的涂色方案（）

A.243B.32

C.48D.1280

（2）如蟄，在某海岸尸的附近有三個(gè)島嶼Q,R,S,計(jì)劃建立三座獨(dú)立大橋，將這四個(gè)地方連起來(lái)，每

座橋直線連接兩個(gè)地方，且不出現(xiàn)立體交叉形式，則不同的連接方式有（）

⑨CD

A.24種B.20種

C.16種D.12種

思維升華完成一件事的方法種數(shù)的計(jì)算步驟

(1)審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的.

(2)分析完成這件事應(yīng)采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種.

(3)弄清在每一類或每一步中的方法種數(shù).

(4)根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算出完成這件事的方法種數(shù).

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024?成都模擬)某高中運(yùn)動(dòng)會(huì)設(shè)有8個(gè)項(xiàng)目，甲、乙兩名學(xué)生每人隨機(jī)選取3個(gè)項(xiàng)目

報(bào)名參加，則至少選中2個(gè)相同項(xiàng)目的報(bào)名方法有()

A.420種B.840種

C.476種D.896種

(2)如國(guó)，某種雨傘架前后兩排共8個(gè)孔，編號(hào)分別為1~8號(hào).若甲、乙、丙、丁四名同學(xué)要放傘，每個(gè)

孔最多放一把傘，則甲放在奇數(shù)孔，乙放在偶數(shù)孔，且丙、丁沒(méi)有放在同一排的放法有()

A.68種B.136種

C.272種D.544種

題型二排列、組合問(wèn)題

例2(1)甲、乙兩名同學(xué)從生物、地理、政治、化學(xué)中各選兩門(mén)進(jìn)行學(xué)習(xí)，若甲、乙不能同時(shí)選生物,

則甲、乙總的選法有()

A.27種B.18種

C.36種D.48種

⑵某單位開(kāi)展聯(lián)歡活動(dòng)，抽獎(jiǎng)項(xiàng)目設(shè)置了特等獎(jiǎng)、-一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)和鼓勵(lì)獎(jiǎng)共五種獎(jiǎng)項(xiàng).甲、

乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎(jiǎng)票，開(kāi)獎(jiǎng)后發(fā)現(xiàn)這5人的獎(jiǎng)項(xiàng)都不相同.甲說(shuō)：“我不是鼓勵(lì)獎(jiǎng)”；乙

說(shuō)：“我不是特等獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“我的獎(jiǎng)項(xiàng)介于丁和戊之間”.根據(jù)以上信息，這5人的獎(jiǎng)項(xiàng)的所有可

能的種數(shù)是()

A.15B.18

C.150種D.240種

思維升華求解排列組合問(wèn)題的6種主要方法

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算

優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元

捆綁法

素的內(nèi)部排列

對(duì)于不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的

插空法

元素插在前面元素排列的空當(dāng)中

定序問(wèn)題對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素

除法處理的全排列

間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化

跟蹤訓(xùn)練3(1)8名同學(xué)以2人為一組分為學(xué)習(xí)小組完成學(xué)習(xí)任務(wù)，則所有可能的分組方案數(shù)量是

()

A.28B.2520C.105D.128

(2)(多選)(2024.褐陽(yáng)模擬)身高各不相同的六位同學(xué)A,B,C,D,E,尸站成一排照相，則說(shuō)法正確的

是()

A.A,C,。三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法

B.A與C同學(xué)不相鄰，共有種站法

C.A,C,。三位同學(xué)必須站在一起，且A只能在C與。的中間，共有144種站法

D.A不在排頭，8不在排尾，共有504種站法

-微拓展----------------------------------------------------------------------------------------------

遞推數(shù)列在計(jì)數(shù)原理中的應(yīng)用

在計(jì)數(shù)原理中，當(dāng)計(jì)數(shù)的基數(shù)較大時(shí)，用枚舉法會(huì)顯得非常困難.如果問(wèn)題帶有明顯的遞推特征，把此類計(jì)數(shù)問(wèn)

題的基數(shù)從有限個(gè)且數(shù)目很少推廣到〃個(gè)，運(yùn)用數(shù)列知識(shí)建立遞推關(guān)系，經(jīng)過(guò)推廣就可以解決這類計(jì)數(shù)問(wèn)題.

典例(1)有4,4,…，A6共六個(gè)人，他們的座位分別為以，生，…，氏,現(xiàn)在求每一個(gè)人坐一個(gè)座位，且都

不坐自己座位，則共有種不同的坐法()

A.9B.16

C.44D.265

⑵如圖，一個(gè)環(huán)形的大會(huì)場(chǎng)被分成了〃個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有k種不同顏色的服裝提供給〃個(gè)區(qū)域的觀眾，要求同一區(qū)

域的觀眾著裝顏色相同，且相鄰區(qū)域的觀眾著裝顏色不同.當(dāng)〃=5，〃=6時(shí)，共有種不同的著裝方

法.

答案精析

落實(shí)主干知識(shí)

1.(1)m+n

2.一定的順序

3.(1)天同排列A#(2)不同組合十

4.n(〃l)(〃2)???(〃m+l)—^―1，?！4+謂7

(n-m)!?ni(n-m)：

自主診斷

1.⑴X(2)X⑶X(4)4

2.C3.AD4.6

探究核心題型

例1(1)C［從左到右依次涂色，第一個(gè)圓環(huán)可以涂3種顏色，第二、三、四、五個(gè)圓環(huán)各可以涂2種顏

色，共有3X2X2X2X2=48(種)不同的涂色方案.］

(2)D［可分為兩類：

第一類：從一個(gè)地方出發(fā)向其他三個(gè)地方各建一座橋，共有4種不同的連接方式;

第二類：一個(gè)地方最多建兩座橋，其中建橋連接方式：PSR。和QRSP屬于相同的建橋方法,所以共有:x

A%12（種）不同的連接方式，其中交叉建橋方法，例如PRSQ,PRQS,RPSQ,RPQS不符合題意，共有4

種，

所以第二類建橋方法共有124=8（種）不同的連接方式.

綜上可得，不同的連接方式有4+8=12（種）.］

跟蹤訓(xùn)練1（1）D［由題意可知，可以分兩種情況：

第一種情況：所選取的3個(gè)項(xiàng)目中恰有2個(gè)相同項(xiàng)目，

第一步，在8個(gè)項(xiàng)目中選取2個(gè)，共有髭=28（種），

第二步，甲在剩下的6個(gè)項(xiàng)目中選取1個(gè)，共有瑪=6（種），

第三步，乙在剩下的5個(gè)項(xiàng)目中選取1個(gè)，共有瑪=5（種），

由分步乘法計(jì)算原理可知，共有28X6X5=840（種）；

第二種情況：所選取的3個(gè)項(xiàng)目全部相同，

則有。=56（種）；

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，滿足要求的報(bào)名方法一共有840+56=896（種）.］

（2）C［根據(jù)題意，分2種情況討論：

①甲乙放在同一排，

有GaGGQA,=128（種）放法,

②甲乙不放在同一排，

有最GG瑪瑪A2144（種）放法,

則有128+144=272（種）不同的放法」

例2（1）A［當(dāng)甲選生物，乙不選生物時(shí)，甲、乙的選法有瑪髭=9（種）；當(dāng)甲不選生物，乙隨便選時(shí)，甲、

乙的選法有髭第=18（種）,則甲、乙總的選法有9+18=27（種）.］

（2）D［甲是特等獎(jiǎng)，不考慮丙的獎(jiǎng)項(xiàng)有A才種；甲不是特等獎(jiǎng)，不考慮丙的獎(jiǎng)項(xiàng)有禺種；而丙獎(jiǎng)項(xiàng)在

丁和戍之間的情況占?，所以5人的獎(jiǎng)項(xiàng)的所有可能的種數(shù)是-A抖瑪禺Ag）=26.］

跟蹤訓(xùn)練2（1）B［根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①在其他4人中，選出1人，安排在甲、乙中間，有C；A初8（種）情況；

②將3人看成一個(gè)整體，與其余3人全排列，有A*24（種）排法.

則有8X24=192（種）不同的站法.]

（2）C[由題意可知兩名男生必須分開(kāi)在兩組，則有I女1男為一組，余下的人為一組；

2女1男為一組，余下的人為一組；

3女1男為一組，余下的人為一組；

4女1男為一組，余下的人為一組；

所以兩個(gè)小組不同的分配方法有心（禺+《+C升《）=60（種）.]

例3AC[如果甲工序不能放在第一道，則甲有4種安排方式，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有

C；A；=4X4X3X2X1=96（種）加工順序，故A正確；

甲、乙兩道工序相鄰，將甲和乙捆綁為一道工序,和剩余3道工序放在一起排序，則共有

A,Ab2X4X3X2Xl=48（種）加工順序,故B錯(cuò)誤；

如果甲、丙兩道工序不能相鄰，則先安排剩余3道工序，在形成的4個(gè)空中，安排甲、丙，故共有

A弘￥=3X2X1X4X3=72（種）加工順序，故C正確；

現(xiàn)將5道不同的工序全排列，再除以乙、丙兩道工序的全排列，故共有§=5"：3：2X1=6O（種）加工順序,故

A?NX1

D錯(cuò)誤」

例490

解析由題意，取下6盞不同的花燈，

先對(duì)6盞不同的花燈進(jìn)行全排列，共有A&種方法，

因?yàn)槊看沃蝗∫槐K花燈，而且只能從下往上取，

所以必須除去不符合題意的排列順序，即先取上方的順序，故不同取法種數(shù)為盤(pán)”二90.

A2A2A2

例5B[5名新教師按3：1：1分組有髭種方法，按2：2：1分組有甯種分法，因此5名新教師的安排

方案有（髭+等）A,種，當(dāng)甲、乙在同一組時(shí)，甲、乙可視為1個(gè)人，即相當(dāng)于4名新教師的安排方案，

有C灣種，所以所求不同的安排方案有儂+等）A』C渴=25X66X6=114（種）.]

跟蹤訓(xùn)練3（1）C［由題意8名同學(xué)以2人為一組分為學(xué)習(xí)小組完成學(xué)習(xí)任務(wù)，則所有可能的分組方案數(shù)

ELBC】C式:C：_28X15X6_..

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⑵ABD［將A,C,。三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有獸=120（種）站法，故A正確；

A3

先排B,。，E,乙共有A*種站法，A與。同學(xué)插空站，有A1種站法，故共有種站法，故B正確；

將A,C,。三位同學(xué)捆綁在一起,且A只能在。與。的中間，有2種站法，捆綁后有A：種站法，故共有

2XA2=48（種）站法，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)A在排尾，8隨意站時(shí)，則有筋=120（種）站