高三數(shù)學(xué)上學(xué)期專題突破練：空間向量與立體幾何

一.選擇題（共8小題）

1.（2025春?江蘇月考）若平面a的一個法向量為3=（2,1,1）且該平面過點A（6,3,0）,則點P

（5,I,5）到平面a的距寓為（）

A.二76\/3x/6

B.——C.—D.—

9633

2.（2025春?廬山市月考）在三棱錐P-ABC中，P（0,0,1）,4（0,瓜,0）,8（1,聒,0）,C

（2,0,0）,則PC與平面辦8所成角的正弦值為（）

2V5\/15785

A.-B.—C.---D.---

331010

3.（2025春?民勤縣校級期中）若向量3=（1,31）,b=（2,-1,-2）,月工與匕的夾角余弦值為

W則人等于（

)

9

2y[72774

A2〃B.—C.土罕D.-

A.7777

4.（2025春?環(huán)縣校級期中）點A（3,4,5）關(guān)于坐標平面0戶對稱的點8的坐標為（）

A.(3,4,-5)B.(-3,4,5)

C.(-3,4,-5)D.(-3,-4,-5)

5.（2025春?龍?zhí)秴^(qū)校級期末）某公司利用無人機進行餐點即時的送，利用空間坐標表示無人機的位

置，開始時無人機在點O（0,0,0）處起飛，6秒后到達點A（0,0,90）處，15秒后到達點8

處，若7^=（120,0,0）,^\\OB\=（）

A.30V7B.120C.150D.210

6.（2025春?安徽月考）設(shè)空間兩個單位向量&=（m,n,0）,OB=（0,p,九），兀與向量品=

TC——

（1,1,1）的夾角等于f則向量。力，。8夾角的余弦值等于（）

1111

A.-CD

4B?5--4--8

7.（2025春?南充月考）如圖，正方體中，P為8c的中點，點Q為四邊形CCiQiO

及其內(nèi)部的動點，尸Q〃平面.則PQ與平面人BCD所成角正切值的范圍（)

a

C.[0,卓]D.[0,V2]

8.（2025春?環(huán)縣校級期中）如圖所示，在直四棱柱48C。-ABCiEh中，底面ABC。為平行四邊形,

BD1DC,8。=。。=1,點E在A4i上，^.AE則點8到平面EDC\的距離為（)

=\1,AAX=乙

C.在2y[2

D.——

33

二.多選題（共3小題）

（多選）9.（2025春?民勤縣校級期中）如圖，已知平行六面體A8CD?A'B'C。'，點E是CC'

的中點，下列結(jié)論中正確的是（)

A.AB+AD=ACB.AB-AA1=BA'

C.AB+AD+AA'=ACD.AB+BC+^CC'=AE

（多選）10.（2025?錦江區(qū)校級模擬）已知正方體48CQ-4B1。"的棱長為近，點M在底面A4CO

上（含邊界），且M5=H，則下列說法正確的是（）

A.點M的軌跡的長度為］

B.直線8M與平面CO。。所成角的正切值最大為1+應(yīng)

n

C.平面A用C械該止萬體內(nèi)內(nèi)切球所得截面的面枳為三

D.若動點N在線段上，P為&D1的中點,則MN+NP的最小值為企

（多選）11.（2025?吉林模擬）如圖，在正方體48C。-4/力。。|中，￡尸分別是A3,41c的中點,

G是棱4。1上的動點，則下列說法正確的有（）

A.Eb_L平面Ai8。

B.存在點G,滿足CG〃平面小￡尸

C.當且僅當/）IG=3GAI時，GE+GF取得最小值

y/6

D.直線切力與平面COG所成角的正弦值的最大值為女

三.填空題（共3小題）

12.（2025春?寶山區(qū)校級期中）已知空間向量Z=（l,1,Ai,b=（-2,2-M,A-6）,若工*勺

夾角為鈍角，則實數(shù)入的取值范圍為.

13.（2025春?龍?zhí)秴^(qū)校級期末）已知平面a的法向量為￡=（2,1.2）,點4（0,1,1）為平面a

內(nèi)一點，點P（1,0,2）為平面a外一點，則點P到平面a的距離為.

14.（2025春?江北區(qū)校級期中）如圖所示，已知在三棱錐A?BC。中，二面角A?8?！?。為直二面

角，BCLCD,CB=CD=2?AB=AD=2^2,若三棱錐A?8CO的各個頂點都在同一個球面上，

則該球的體積為.

四.解答題（共5小題）

15.（2025春?蘭州校級期中）如圖,正方體44C。-AIICIDI的棱長為2,E是3。的中點.

（1）求訐：8。1_1_平面CDE：

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

B.

19.(2025?西青區(qū)校級三模)如圖，在四棱錐P-A8c。中.底面ABCD為矩形，側(cè)棱PO_L底面A8CD,

PD=DC=2AD=2,七是PC的中點.

(1)求證：以〃平面EDB；

(2)求平面EDB與平面用。夾角的余弦值；

TT_\/6

(3)若B尸=4BP(OV/IV1),且點尸到平面EQB的距離為一，求入的值.

6

高三數(shù)學(xué)上學(xué)期專題突破練：空間向量與立體幾何

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

題號12345678

答案BCABCDDC

二.多選題（共3小題）

題號91011

答案ACDACDACD

一.選擇題（共8小題）

1.（2025春?江蘇月考）若平面a的一個法向量為7=（2,1,1）且該平面過點4（6,3,0）,則點。

（5,1,5）到平面a的距離為（)

6B.一C心D.在

A.一

9633

【解答】解：因為點A（6,3,0）,點P(5,1,5),

所以筋=（一1,一2,5）,

又平面a的一個法向量為i=（2,1,1）,

\n-AP\_1-1x2-2x1+5x11_|-2-2+5|瓜

所以點P（5,1,5）到平面a的距離為4=----：^3-----------------------=—:-

|n|22+12+1244+1+1.6■

故選：B.

2.（2025春?廬山市月考）在三棱錐P-ABC中，P（0,0,1),4(0,疽0),B(l,聒,0),C

(2,0,0),則PC與平面以B所成角的正弦值為（)

2V53V85

A.-B.—D.——

331010

【解答】解:因為。(0,0,1),4(0,V3,0),B(l,百，0),C(2,0,0),

故24=(0,V3,-1),PB=(1,怎一1),PC=(2,0,-1),

設(shè)平面RW的一個法向量1=（無，y,z）,

砸J■小,則￡小=何一=。

1PB（n-PF=x4-V3y—z=0

令y=1,則工=0,z—>/3；

故3=(0,1,V3),

設(shè)PC與平面所成角為3

則g賽再—、睡

275=w-'

故選：c.

3.(2025春?民勤縣校級期中)若向量：二(1,31),7=(2,-1,-2),且之與7的夾角余弦值為

率則人等于()

A.一孥B,迫C.+平D,

77-77

【解答】解：???向量2=(1,九1),b=(2,一1,一2),且之與力的夾角余弦值為卓，

9

.J：；、2-A-2/2

??cos<a,b>=/—=-Q-,

國a9

解得；1二土孥，

由已知得人<0,??.a=-竽.

故選：A.

4.(2025春?環(huán)縣校級期中)點A(3,4,5)關(guān)于坐標平面Oyz對稱的點8的坐標為()

A.(3,4,-5)B.(-3,4?5)

C.(-3,4,-5)D.(-3,-4,-5)

【解答】解：關(guān)于坐標平面Oyz對稱的點，橫坐標變換為其相反數(shù)，縱坐標、豎坐標不變.

即點A(3,4,5)關(guān)于坐標平面0戶對稱的點B的坐標為(-3,4,5).

故選：B.

5.(2025春?龍?zhí)秴^(qū)校級期末)某公司利用無人機進行餐點即時的送，利用空間坐標表示無人機的位

置，開始時無人機在點O(0,0,0)處起飛，6秒后到達點A(0.0,90)處，15秒后到達點8

處，若6=(120,0,0),則|n|=()

A.30eB.120C.150D.210

【解答】解：由題意可知，OB=OA+AB=(120,0,90),

所以|兀|="202+02+qo2=iso.

故選：C.

6.(2025春?安徽月考)設(shè)空間兩個單位向量。4=(m,n,0),OB=(0,p,n),。8與向量OC二

71TT

(LL1)的夾角等于彳，則向量04,0B夾角的余弦值等于()

1111

A.-B.-C.-4D.

4848

【解答】解：由題意得^?A=p+〃，|0^|=yj02+p2+n2=1,\0C\=Vl+1+1=V3,

.*./?+??=1xV3xcos^=勺，

..22_]?(p+n)2-(p2+n2)_

?pn十+〃n-19??up_---------2-----------

則向量而夾角的余弦直為：

cos<OA,而>=片一看

\OA\-\OB\0

故選：D.

7.（2025春?南充月考）如圖，正方體ABC。-481aoi中，P為8c的中點，點Q為四邊形CCIOI。

及其內(nèi)部的動點，PQ〃平面8與。1。.則尸。與平面48CD所成角正切值的范圍（)

A.[0/-^]B.[0,C.[0,等]D.[0,V2]

【解答】解：在正方體/WCO-AIBICIOI中，取線段CD,CIDI,小。的中點分別為E,F,G,

連接EF,EP,FG,GP,

因為E/〃PG,

所以四點E，F(xiàn),G,。四點共面,

又因為88i〃PG,88iu平面881Q1。，PGC平面

所以PG〃平面881Q1Q,

又因為。山1〃rG,。出iu平面BBiQiQ,FGC平面881DQ,

所以bG〃平面8用。1。，

又因為FGAPG=G,FG,PGu平面EFGP,

所以平面EFG尸〃平面BBiDiD,

因為點Q為四邊形CCiDiD及其內(nèi)部的動點，所以當QCEF,即PQu平面EFGP,

所以此時有PQ〃平面

因為QE_L平面A8CD,

所以PQ與平面ABCD所成角就是NQPE,

又因為￡QTI4QP￡=器,

設(shè)正方體的棱長為2,則￡加4（22￡>=嘴，

J2

此時QE日0,2],所以CanzQPE=修￡[0,V2].

8.（2025春?環(huán)縣校級期中）如圖所示，在直四棱柱ABCD-A\B\C\D\中，底面ABCD為平行四邊形,

11

BDA.DC.8O=OC=1,點E在A4上，且4E==今則點8到平面EDC\的距離為（）

*乙

【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標系,

_5一2，?

所以m二Li'5J5

1^251二條:亍

EDO的距離d=同2、

所以點、B到平面

，D'，點七是CC'

故選：c

,己知平行六面依ABCD-AB，C

二多選'器勒縣梭級期"

二,…中正…)

cz

D

A'B'

E

C

D——?

7]'=BA'

BB.AB-AA

A

「二

忘+AD=ACD.ATB”TCI+'/CC'AE

A.

T

AD+AA，--所以A正確;

C.AB+:AB”D=AC，

??頡ABCD是平行醐形可知

【解答】解

一靛，所以B不正確;

&_AA'=

靛二M所以c正確;

AB+LQ匚融所以D正確?

:匚AC+

TBC+#2

AB+

故選：ACD.

（多選）10.（2025?錦江區(qū)校級模擬）已知正方體A3C。-AI&CIOI的棱長為遮，點M在底面A8CO

上（含邊界），且MDi=VS,則下列說法正確的是（）

A.點M的軌跡的長度為］

B.直線3M與平面CQDICI所成角的正切值最大為1+魚

C.平面A31C截該正方體的內(nèi)切球所得截面的面枳為g

D.若動點N在線段3。|上，P為a。I的中點，則MN+NP的最小值為企

【解答】解：對于選項A,根據(jù)正方體性質(zhì)可得M。：=時。2+0。工可知。加=1,

故點M的軌跡是以力為圓心，1為半徑的四分之一圓，如下圖所示：

則其軌跡的長度為2兀乂1乂,=今故選項A正確：

對于選項8,易知當點M位于棱C。上時，直線8M與平面CD。。所成的角最大，

?BCV2廠

此時L一=-7=—=2+“2,

CMV2-1

即直線BM與平面CD。］。所成角的正切值最大為24-y/2,故選項B錯誤：

V2

對于選項C,易知內(nèi)切球的半徑為三，球心。位于正方體的中心，其到平面A&C的距離為d,

易知8劣=①，8。=4，點B平面481c的距離為二停：

可得球心O到平面AB\C的距離為d=8。一鼻。1二第一鼻遍二咯，

3ZoO

故截面圓的半徑r滿足產(chǎn)=（孝）2一（半）2巖，則所得截面的面積為爭故選項C正確：

對于選項Q,如下圖:

先固定點N,當點M在ND上時，MN最小，

再讓點N移動，當P,N,M三點共線時，MN+NP最小，

此時MN+NP==夜，故選項力正確.

故選：ACD.

(多選)11.(2025?吉林模擬)如圖，在正方體ABCZ”48ICI。］中，E,尸分別是AB,8C的中點,

G是棱4。|上的動點，則下列說法正確的有()

A.ERL平面48。

B.存在點G,滿足CiG〃平面

C.當且僅當OiG=3G4憶GE+GF取得最小值

V6

D.直線8。與平面CDG所成角的正弦值的最大值為T

【解答】解：如圖，以點。為原點建立空間直角坐標系，

設(shè)正方體的棱長為2,D\G=a(0W.W2),

貝ijA(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A\(2,0,2),ii\(2,2,2),

Cl(0,2,2),

D\(0,0,2),E(2,I,0),F(1,2,1),G(a,0,2),

對于A,EF=(-1,1,1).DAX=(2,0,2),DB=(2,2,0),

則措扇i=0,EFDB=0,

所以￡7<LOAi,EFLDB,

XDA\DDB=D,DA\,OBu平面AiB。，

所以ERL平面AiBD,故A正確；

對于4C：G=(a,-2,0),8；E=(0,-1,-2),

設(shè)平面劭￡尸的法向量為蔡=Qi，月,zi),

1EF-m=-Xi+yi+Z]=0

則管T,則有

BVELmB]E?m=-yx-2zx=0

取y=2,則藍=(1,2,-1),

若C]G//平面B]EF,則m?CXG=a-4=0,

解得。=4,

又因為0WaW4,

所以不存在點G,滿足CiG〃平面8iE凡故B錯誤；

對于C,后=(2-a,1,-2),GF=(l-a,2,-1),

則|盤|+|備|=J(2-研+5+J(l-a)2+5,

J(2—a》+5+J(1—a》+5可看作點M(小0)到點N(2,5)與到點7(1,5)的距離之和，

點N(2,5)關(guān)于工軸的對稱點N'(2,-5),

則當M,T,N三點共線時，點0)到點N'(2,-5)與到點7(1,5)的距離之和最

小，

即點M(a,0)到點N(2,5)與到點7(1,5)的距離之和最小，

MT=(1-a,5),TN'=(1,-10),

因為必||TN',

所以-10(1-〃)-5=0,解得a=小

所以當Q=5時，GE+G廠取得最小值，

此時D]G=5,GAI=3，BlD\G=3GA\,故C正確；

對于￡),BDi=(-2,-2,2),DC=(0,2,0),DG=(a,0,2),

設(shè)平面CDG的法向量為蔡=丫2,z2),

則佟反,則有歸,/2=。,

(OG1n{DG-n=ax2+2z2=0

取X2=2,則幾=(2,0,-a),

設(shè)直線BD\與平面CDG所成的角為a,

則sina=|cos<n,贏>\=^-^11=―472al=。+2,

IMIBDil2存"+4J3a2+12

令f=a+2,同2,4],Ma=t-2,

則sina=/'=,1

.(?2)2+12及T+3

當一1二二1，即/=4.即〃=2時，sina取得最大值，最大值為二.故Q正確.

t43

故選：ACD.

三.填空題(共3小題)

12.(2025春?寶山區(qū)校級期中)已知空間向量；二(1,1,⑷，b=(-2,2-"，A-6),若￡*勺

夾角為鈍角，則實數(shù)人的取值范圍為(0,2)U(2,+8).

【解答】解：由：=(1,1，2),b=(-2,2-A2,A-6),

且工b的夾角為鈍角，

可得之?b<0且a與b不反向共線，

由；?1<0,可得-2+2-鏟+入(A-6)<0,

整理得-6入V0,解得人>0,

當之與％共線時，設(shè)3=/，

2

則有［2-;(2=3解得/『J

Q-6=UU=2

當人=2時，有力=-2a,不合題意,

故實數(shù)入的取值范圍是(0,2)U(2,+8).

故答案為：(0,2)U(2,+8).

13.(2025春?龍?zhí)秴^(qū)校級期末)已知平面a的法向量為幾=(2,1,2),點人(0,I,1)為平面a

內(nèi)一點，點P(l,0,2)為平面a外一點，則點P到平面a的距離為1

【解答】解：由題意得力P=(l,-1,1),

又平面a的法向量為幾二(2,1,2),

???點P到平面a的距離d=喀丹=|=1.

|n|3

故答案為：1.

14.(2025春?江北區(qū)校級期中)如圖所示，已知在三棱錐A-8CQ中，二面角A?8。?C為直二面

角，BCVCD,CB=CD=2?AB=AD=1V2,若三棱錐A-BCD的各個頂點都在同一個球面上,

64揚r

則該球的體積為

3

【解答】解：在三棱錐A?BCD中,取8。的中點￡連接AE,

因為AB=A。，所以AE_L8D,

因為二面角A?8。?C為直二面角，因為A￡u平面ABQ,

所以4E_L平面BCD,

因為8c_LCO,BC=CD=2V3,所以8。=2乃，BE=CE=通,

AE=\lAB2-BE2=J(2//-(V6)2=0,

所以AC=7AE?+CE2=J(，2)2+"6)2=2V2,

AC=AB=ADf

因為BC_LCO,所以外接球的球心在4E上，設(shè)為O,連接BO、DO,

則石2=^^+(AE-AO)2,

可得BO?=6+(&-40)2,

解得力0=BO=2或,

所以該球的體積為?（2歷」="子

故答案為：空棄.

四.解答題（共5小題）

15.（2025春?蘭州校級期中）如圖，正方體ABCO-AIBICIDI的棱長為2,E是8a的中點.

（1）求證：8Ci_L平面CDE；

（2）求直線與平面8DE所成角的正弦值.

【解答】解；（1）證明；連接CE,在正方體八〃C。-八中，

因為。C_L平面BCC41,又BCiu平面8CC41,

所以。ULB。，乂因為四邊形8C。陰是正方形，正是ECi的中點,

所以CEJ_8Ci,又CECCD=C,CE,COu平面CDE,

所以8cl_L平面CQE；

（2）以。為坐標原點，分別以D4,DC,。。1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

由棱長為2,

則。(0,0,0),B(2,2,0),Ci(02,2),D\(0,0,2),E(1,2,1),

所以幽=(-2,-2,2),DB=(2,2,0),DE=(1,2,1),

設(shè)平面8OE的法向量為］=(x,y,z),

則岱1.，所以舊.國=2%+2y=0,

令x=l得3=(1,-1,1),

設(shè)直線BDi與平面3DE所成角為仇

TT

所以sin。=|cos<n,BDi>|=,叱］I=2=

InllFDJJ3X2J3J

1

所以直線BD\與平面BOE所成角的正弦值為

16.(2025?承德模擬)在四棱卷尸-A8CO中，％_L平面A8C。，底面ABCO是菱形，NABC=60°

且附=2A8=4,E,尸分別為PQ,P8的中點.

(1)若平面?！陱S與平面ABCO的交線為,,證明：1//EF；

(2)求平面CEP與平面ABCO所成角的余弦值；

(3)若平面CE尸與線段外交于點M,求PM的長.

【解答】解：(1)證明：如圖所示，連接BD,因為E,產(chǎn)分別是PZ),PB的中點,

所以

E/過平面ABCD,BOu平面A8CO,可口么EF〃平面A6CQ,

又EFu平面CEF,平面CEFC\平面ABCD=l,

所以/〃EF；

（2）因為底面A8CO為菱形，NABC=60°,設(shè)CO中點為G,易知AB,AG,"兩兩互相垂直,

故以點A為坐標原點，直線A3,AG,AP分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

由題意加=248=4,所以C（l,遍，0）,尸（0,0,4）,8（2,0,0）,尸（1,0,2）,。（一1,百，0）,

1月八

上（一2，r，2）'

顯然平面ABC。的法向量可以是6=（0,0,4）,

TTW"

而CF=（0,-V3,2）,CE=（遙,一號，2）,

設(shè)平面CE尸的法向量為￡=（x,y,z）,

/TT

rT同

1(n--

In<TCaF2^Z

I3

rln2

In1v---

-2X-

令z=V5,解得y=2,x=

所以可取1=（竽，2,V3）,

3

-

故IcosvG,\>|=中?=絲~5

I研?|川4x再

所以平面CE/與平面4BC7）所成角的余弦值為￡；

（3）設(shè)M（0,0,a）,則C,E,M,”四點共面/3=（-1,0,a-2）,

由（2）知平面CEF的法向量為5=（孥，2,V5）,

TT-2V3L

則n?=0,即三一+V3（a-2）=0,

解得Q=導(dǎo)，所以PM=4—寺=1.

17.（2025春?貴州期末）如圖，在四棱錐P-4BCD中，AD//BC,ADLDC,BC=CD=^AD=1,

乙

七為棱4。的中點，ZM_L平面A3C￡>.

(1)求證：48〃平面PCE；

(2)求證：平面以3_L平面P8Q；

(3)若二面角P-C。-A的大小為45°,求直線以與平面PBO所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：連接CE,

因為BC=CD=^AD=1,且七是八。的中點，

所以AE〃BC,AE=BC,

所以四邊形4BCE是平行四邊形，

所以AR//CE,

又48e平面PCE,CEu平面PCE,

所以A8〃平面PCE.

(2)證明：在直角梯形ABCO中，BC=CD=^AD=1,

所以A8=&,BD=V2,

所以4解+87)2=人。2,即48_L8。，

因為%_L平面4BCD,BOu平面ABC。，

所以PALBD,

乂ABAB4=4,AB、%u平面布B,

所以8。_1_平面PAB,

又8Qu平面PBD,

所以平面見3_L平面PBD.

(3)解：因為外，平面48CQ,ADLDC,

所以由一：垂線定理知，PD1CD,

所以/4OP就是二面角P-CO-A的平面角，即乙40P=45°,

所以%=40=2,

所以PB=>JPA24-AB2=22+(\/2)2=瓜

由(2)知，平面平面PBD,

所以直線PA與平面PBD所成角即為NAP8,

在Rt△出4中，sin/4P3=^=^=冬

故直線PA與平面P8。所成角的正弦值為

18.（2025秋?麗江月考）如怪，在三棱臺/WC-AimCi中，八|八_1平面月臺（?，A3_LAC,AI3=AC=

A4=2,4。=1,M為8C中點，N為AB的中點.

（I）求證：4N〃平面AM。；

（2）求平面AMC\與平面ACC\A\所成夾角的余弦值；

（3）求點C到平面AM。的距離.

【解答】解：（1）證明：連接MMC\A,由M,N分別是8C,84的中點,

根據(jù)中位線性質(zhì)，MN//AC,且MN=竽=L

由棱臺性質(zhì)，A\C\//AC,于是MN〃4Ci,

由MN=4Ci=l可知,四邊形MNA\C\是平行四邊形,則A\N//MCif

又4NC平面CiMA,MCiu平面GM4,

尸是4N〃平面AMC1；

（2）過M作MEJ_AC,垂足為E,過E作EF_LACi,垂足為F,連接MF,CiE,

由MEu平