人教版（2024）八（±）數(shù)學第十三章單元質(zhì)量檢測培優(yōu)卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.直角三角形中兩個銳角的平分線相交所成的鈍角的度數(shù)為（）

A.90°B.135°

C.120D.45°或135°

2.在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于180。''時,綜合實踐小組的同學作了如圖四種輔助線，其中不能

證明“三角形的內(nèi)角和等于180。”的是（）

①②③

A.如圖①，過點C作E/ri/IB

B.如圖②，延長RC到F,過點C作CEII48

C.如圖③，過48上一點。作OEIIBC,DF||AC

D.如圖④，過點。作OEIIBC

3.小明把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，貝吐1+N2等于（)

C.210°D.270°

4.如圖，點D是A/IBC邊上的中點，點E是/10上一點旦=F、G是邊A8上的三等分點,

若四邊形FGOE的面積為14,則AABC的面積是（）

A.24B.42C.48D.56

S.如圖，△ABC為直角三角形，^ACB=90°,A。為NC43的平分線，與NA3C的平分線5E交于點

E,3G是△ABC的外角平分線，A。與8G相交于點G,則乙4OC與/G8”的和為（）

A.120°B.135°C.150°D.160°

6.如圖，在△CEF中，乙E=80°,Z-F=50°,AB||CF,AD||CE,連接BC,CD,則〃的

度數(shù)是（）

7.如圖，481C。于點0,點E、F分別是射線04、OC上的動點（不與點。重合），延長FE至點G,（BOF

的角平分線及其反向延長線分別交NFE。、4GE。的角平分線于點M、N.若AMEN中有一個角是另一個

角的3倍，則乙EF。為（）.

C.45°或60°D.67.5°或45°

8.如圖，△ABC中，ZACB=90°,D為AB上任一點，過D作AB的垂線，分別交邊AC、BC的延

長線于EF兩點，NBACNBFD的平分線交于點I,AI交DF于點M,FI交AC于點N,連接BI.下列

結(jié)論：?ZBAC=ZBbD；②NENUNEMI；③A1_LH；（4）ZABl=ZbBl；具中正確結(jié)論的個數(shù)是

()

9.在直角三角形ABC中，ZC=90°,484c的平分線交8。于點0,々ABC的平分線8E交4c于點E,

AD.8E相交于點F,過點。作DG||48,過點8作8G_LOG于點G,有以下結(jié)論：①乙4/8=135。；

②乙BDG=2(CBE；③BC平分乙ABG；④乙BEC=LFBG,其中正確的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.如圖，已知△人"的內(nèi)角乙A=a,分別作內(nèi)角與外角/ACD的平分線，兩條平分線交于點為,

得以;乙418c和〃1CD的平分線交于點力2,得乙心；……以此類推得到乙42022,則乙%022的度數(shù)是

()

(XOLaa

A.2B.^022C.^2021D.90+2

二、填空題，本大題共5小題，每小題3分，共15分。

11.若三角形的周長為13,且三邊均為整數(shù)，則滿足條件的三角形有種.

12.△ABC中，NA是最小角，/B是最大角，且2NB=5NA,若NB的最大值m。，最小值n。，則

m+n=.

13.如圖，△ABC中，點E是BC上的一點，EC=2BE,點D是AC的中點.若△ABC的面積SAABC

=12,則SAADF-SABEF=.

a、b均為正數(shù).

LEDF=40°,如圖1,求4ECF度數(shù);

(2)若a=4,Z,DAC=30°,ADBC=40°,如圖2,則當乙4DB變化時,b為何值時,乙E為與a、

b無關(guān)的定值？

(3)若“AC=乙DBC=。為定值，如圖3,貝必和b滿足關(guān)系式時，”為與a、匕無關(guān)的定

值

17.如圖，△ABC中，AD平分NBAC交BC于點D,AE_LBC于點E,點F在AE上且CF〃AD.

(I)如圖①，若△ABC是蛻角三角形，ZB=30°,ZACB=80°,則NCFE=度.

(2)如圖①，若△ABC是銳角三角形，ZACB>ZB,NB=x,ZACB=y,則NCFE=(用

含x,y的代數(shù)式表示).

(3)如圖②，若△ABC是飩角三角形，NACB為鈍角，其余條件不變，則(2)中的結(jié)論還成立

嗎？說明理由.

18.平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.

(1)如圖①，若AB〃CD,點P在AB,CD外部，則有/B=NBOD,又因為NBOD是APOD

的外角，故NBOD=/BPD+ND,得NBPD=NB-ND.將點P移到AB,CD內(nèi)部，如圖②，以卜.

結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，則NBPD,ZB,/D之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明

你的結(jié)論；

(2)在圖②中,將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q,如圖③，則NBPD,

ZB,ZD,NBQD之間有何數(shù)量關(guān)系？(不需證明)

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，求圖④中NA+NB+NC+ND+NE的度數(shù).

19.△ABC中，AD是NBAC的角平分線，AE是AABC的高.

(I)如圖1,若NB=40。，ZC=60°.求NDAE的度數(shù).

(2)如圖2(/RV/C),試說明/DAE與/R、的數(shù)量關(guān)系.

(3)拓展：如圖3,四邊形ABDC中，AE是NBAC的角平分線，DA是NBDC的角平分線，猜

想：NDAE與NB、NC的數(shù)帚關(guān)系是否改變，說明理由.

20.如圖①，在-ABC中,乙4BC與乙4cB的平分線相交于點P.

(I)若〃=60°,

(2)如圖②，作△力外角乙M8C,4NCB的角平分線交于點Q,試探索乙Q,乙4之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖③，延長線段BP,QC交于點E,在△8QE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，求41

的度數(shù).

（1）【課本再現(xiàn)】如圖1,在448。中，線EF經(jīng)過點AjaEF||BC.求證；乙BAC+乙8+NC=180°；

（2）【變式演練】如圖2,在△.48C中，“=50。，點。在8c邊上，DE||48交4c于點尸.若/I=125°,

求乙B的度數(shù);

（3）【方法應(yīng)用】如圖3,直線匕與直線，2相交于點。，夾侑的銳角為a,點B在直線。上且在點。右

側(cè)，點C在直線L上且在直線匕上方，點4在直線匕上且在點。左側(cè)運動，點E在射線C。上運動（不與點

C、。重合）.當a=70。時，“平分4/lEC,4G平分4E43交直線EF于點G，求4G的度數(shù).

22.請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

有趣的“飛鏢圖”

如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖當我們仔細觀察后發(fā)現(xiàn)，它實際上就

是凹四邊形.那么它具有哪些性質(zhì)呢？乂將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進行認識與探究：pq四邊形通俗地

說，就是一個角嚇『進去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個內(nèi)角之和.

（即如圖1,NADB=NA+NB+NC）理由如下：

方法一：如圖2,連接AB,則在△ABC中，ZC+ZCAB+ZCBA=180°,B|J

Zl+Z2+Z3+Z4+ZC=180°,又???在△ABD中，Zl+Z2+ZADB=180°,AZADB=Z3+Z4+ZC,

即NADB=NCAD+ZCBD+ZC.

方法二：如圖3,連接CD并延長至F,VZ1和N3分別是^ACD和△BCD的一個外角，.....

大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？

任務(wù)：

（1）填空："方法一''主要依據(jù)的一個數(shù)學定理

是____________________________________________________

（2）探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分;

(3)應(yīng)用：如圖4,AE是NCAD的平分線，BF是NCBD的平分線，AE與BF交于G,若

ZADB=150°,ZAGB=110°,請你直接寫出NC的大小.

23.已知AB〃CD,點F、G分別在AB、CD±,且點E為射線FG上一點.

(1)如圖1：當點E在線段FG上時，連接AE、DE,易得乙4E0=Z.EAF+乙EDG.

小明給出的理由是：如圖1,過E作EH〃AE,

VAB/7CD,

???AB〃CD〃EH.(平行于同一條直線的兩條直線互相平行)

：.^.EAF=LAEH,乙EDG=2DEH,(依據(jù)1)

:.Z-AED=Z-AEH+乙DEH=Z.EAF+乙EDG；(依據(jù)2)

填空：依據(jù)1：.

依據(jù)2：.

(2)如圖2,當點E在FG延長線上時，求證：^EAF=^AED+^EDG；

(3)如圖3,AI平分NBAE,DI交AI于點I,交AE于點K,且“D/：乙CDI=2：1/AED20°,

4/=30°,求NEKD的度數(shù).

答案解析部分

人教版(2024)八(±)數(shù)學第十三章單元質(zhì)量檢測培優(yōu)卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.直角三角形中兩個銳角的平分線相交所成的鈍角的度數(shù)為()

A.90°B.135°

C.120°D.45°或135°

【答案】B

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；直角三角形的性質(zhì)；角平分線的概念

【蟀析】【解答】解：如圖，在ABC中，ZC=90°,

AZCAB+ZCBA=90°,

VAE.BD分別平分NCAB、ZCBA,

.,.ZEAB+ZDBA=iZBAC+lzABC=i(ZABC+ZBAC)=45°,

AZAOB=180°-(ZEAB+ZDBA)=135°,

即直角三角形中兩個銳角的平分線相交所成的鈍角的度數(shù)為135°.

故答案為：B.

【分析】利用直角三角形兩銳角互余及角平分線的定義可得NEAB+NDBA=45。，再利用三角形內(nèi)角

和定理求出NAOB的度數(shù)即可.

2.在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于180?！睍r，綜合實踐小組的同學作了如圖四種輔助線，其中不能

證明“三角形的內(nèi)角和等于180。”的是()

A.如圖①，過點C作

B.如圖②，延長AC到F,過點C作CEII4B

C.如圖③，過48上一點。作。EIIBC,DF||AC

D.如圖④，過點。作OEIIBC

【答案】D

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；平行線的應(yīng)用-證明問題

【解析】【解答】解：A、如圖①，過點C作EF//AB,則NB=NFCB,ZA=ZECA,

ZECA+NACB+NFCB=180°,

，NA+/B+NACB=180。，：.A正確，不符合題意；

B、如圖②，延長AC到F,過點C作CE〃AB,則NB=/BCE,ZA=ZECF,

ZBCE+NECF+ZACB=180°,

AZA+ZB+ZACB=180°,1.B正確，不符合題意；

C、如圖③，過AB上一點D作DE//BC,DF〃AC,則四邊形CEDF是平行四邊形，

AZC=ZEDF,

VDE/7BC,

AZB=ZADE,

VDF//AC,

AZA=ZBDF,

???ZEDF+ZADE+ZBDF=180。，

AZA+ZB+ZC=180°,???C正確，不符合題意；

D、如圖④，過點D作DE〃BC,無法證明三角形的內(nèi)角和等于180。，???D不正確，符合題意;

故答案為：D.

【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理及平行線的性質(zhì)及角的運算逐項分析判斷即可.

3.小明把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，貝"1+乙2等于（）

C

DE

A.150°B.180°C.210°D.270°

【答案】C

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)

【解析】【解答】解：:△DEF與△ABC是一幅直角三角尺

AZD=30°,ZE=90°,ZF=60°,ZA=ZB=45°,ZC=90°

VZ1=ZD+Z3,Z2=ZE+Z6

???Z1+Z2=ZD+Z3+ZE+Z6

VZ3=Z4,Z5=Z6

AZ3+Z6=Z4+Z5=180°-ZC=90°

AZ1+Z2=ZD+ZE+Z3+Z6=30°+90°+90°=210°

故答案為：C

【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，由N1=ND+N3,Z2=ZE+Z6,可得出

N1+N2=/?+/3+/￡+/6,由4DEF與^ABC是一幅直角三角尺可得出ND=30。，NE=9O。，NF=60。,

ZA=ZB=45°,ZC=90°,由對頂角相等可知N3=N4,Z5=Z6,所以/3+/6=/4+/5=180。-/09()。

代入N1+N2=ND+N3+NE+N6即可得出答案.

4.如圖，點D是A/IBC邊上的中點，點E是/10上一點旦=F、G是邊A8上的三等分點，

若四邊形FGOE的面積為14,則AABC的面積是()

A.24B.42C.48D.56

【答案】C

【知識點】三角形的中線

【解析】【解答】解：如圖,連接DF,

VDE=3AE,

:*SADEF=3sAAEF=3x,

:?SAADF=S^DEF+S&AEF=4%,

??下、G是邊AB上的三等分點，

AAF=FG=GB,

:?S&ADF=S&GDF-S"DG=4-

???四邊形FGDE的面積為：S^DEF+S“DF=3%+4%=7x,

丁四邊形FGDE的面積為14,

/.7x=14,

/.x=2,

,'?SAABD=SMDF+S^QDF+S^BDG=12x=12x2=24,

?ID是BC的中點，

:,SAABC=2sAABD=2x24—48?

故答案為：C.

【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中線將三角形的面積分為相等的

兩部分，同高三角形面積比等于底的比.連接DF,設(shè)=則SAD1=3%,S^ADP=4%,由F、

G是AB的三等分點可得出Su"=S.DF=S^BDG=4x,從而有四邊形FGDE的面積為7x=14,解方

程求出x的值，最后根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得S△48c=2s△皿°的值.

5.如圖，△ABC為直角三角形，44c8=90。，4。為NC43的平分線，與N/WC的平分線8E交于點

E,5G是△ABC的外角平分線，4。與8G相交于點G,則NAQC與的和為（）

A

A.120°B.135°C.150°D.160°

【答案】B

【知識點】角的運算：三角形內(nèi)角和定理；角平分線的概念

【解析】【解答】VZACB=90°,

AZCAB+ZCBA=90°,

TAE、BE分別平分NCAB、ZCBA,

???ZEAB+ZEBA=izCAB+lzCBA=45°,

〈BG平分NCBF,

AZCBG=|ZCBF,

VZCBE=izCBA,

乙

AZCBE=ZCBG+ZCBE=1ZCBF+1ZCBA=9O°,

乙乙

.?.ZG=90o-45o=45°,

VZADC=ZBDG,

，ZADC+ZGBF=ZBDG+ZDBG=1800-ZG=l35°,

故答案為：B.

【分析】利用角平分線的定義及等量代換可得NEAB+NEBA§NCAB+/NCBA=45。，再求出

ZCBE=ZCBG+ZCBE=1ZCBF+|ZCBA=900,最后求出

NADC+/GBF=NBDG+/DBG=1800-NG=135。即可.

6.如圖，在△CEF中，乙E=80°,乙F=50°,AB||CF,AD||CE,連接BC,CD,則44的

度數(shù)是（）

B

c

\\JE

A.45°B.50°C.55°D.80°

【答案】B

【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理

【解?析】【解答】解：連接AC并延長交EF于點M.

???z.3=Z.1,

-AD||CE,

:.z.2=Z.4,

???LBAD=z34-z4=zl4-z2=Z.FCE,

???LFCE=180°-zF-zF=180°-80°-50°=50°,

???二BAD=乙FCE=50°,

故答案為：B.

【分析】連接AC并延長交EF于點M,根據(jù)兩直線平行同位角相等，可得乙3=41,乙2=乙4,從

而得出NBAD=NFCE,利用三角形的內(nèi)角和求出NFCE的度數(shù)，即得/BAD的度數(shù).

7.如圖，481CD于點0,點、E、F分別是射線。4、OC上的動點（不與點。重合），延長FE至點G,乙BOF

的角平分線及其反向延長線分別交匯/^0、4GEO的角平分線于點M、N.若AMEN中有?個角是另?個

角的3倍，則“尸。為（）.

A.45?；?0。B.30?；?0。

C.45?；?0。D.67.S°或45。

【答案】C

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)：直角三角形的性質(zhì)；角平分線的概念

【解析】【解答】解：???EM平分NFEO,EN平分NGEO,

Z.ZMEN=90°,

???△MEN中有一個角是另一個角的3倍，

ZEMN=30°或NEMN=22.5°,

??,OM平分/BOF,

???ZBOM=45°,

/.NMEO=NBOM-NEMN=15?；?2.5。，

???NFEO=30°或45。，

NEFO=90°?NFEO=60或45°.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得NMEN=90。，再根據(jù)AMEN中有一個角是另一個角的3倍可得

NEMN=30?；?EMN=22.5。，根據(jù)角平分線的定義可得NBOM=45。，再根據(jù)外角的性質(zhì)可得

ZMEO=ZBOM-ZEMN,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得ZEFO=90°-ZFEO,即可求得.

8.如圖，△ABC中，ZACB=90°,D為AB上任一點，過D作AB的垂線，分別交邊AC、BC的延

長線于EF兩點，NBACNBFD的平分線交于點I,AI交DF于點M,FI交AC于點N,連接BI.下列

結(jié)論：?ZBAC=ZBFD；②NENI二NEMI：③AI_LFI；④NABInNFBI：其中正確結(jié)論的個數(shù)是

()

D.4個

【答案】C

【知識點】三角形的角平分線、中線和高；三角形外角的概念及性質(zhì)

【解析】【解答】解：VZACB=90°,

/.ZDBF+ZBAC=90°,

VFD1AB,

AZBDF=90°,

.-.ZDBF+ZBFD=90o,

AZBAC=ZBFD,故①正確；

VZBAC=ZBFD,/BAC、NBFD的平分線交于點I,

.*.ZEFN=ZEAM,

VZFEN=ZAEM,

AZENI=ZEMI,故②正確；

;由①知NBAONBFD,NBAC、NBFD的平分線交于點I,

AZMAD=ZMFI,

VZAMD=ZFML

.,.ZAIF=ZADM=90°,即AIJ_FI,故③止確；

〈BI不是NB的平分線，

AZABI^ZFBI,故④錯誤.

故答案為：C.

【分析】先根據(jù)NACB=90。可知NDBF+NBAO90。，再由FD_LAB可知NBDF=90。，所以

NDBF+NBFD=9()。，通過等量弋換即可得出NBAC=/BFD：故①正確；

根據(jù)NBAC二NBFD,/BAC、NBFD的平分線交于點I可知NEFN=NEAM,再由對頂角相等可知

ZFEN=ZAEM,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可判斷出NENI=/EMI,故②正確；

由①知NBAC=NBFD,因為/BAC、NBFD的平分線交于點1,故/MAD=NMFI,再根據(jù)

NAMD二NFMI可知，ZAIF=ZADM=90°,即AI_LFL故③正確；

因為BI不是NB的平分線，所以NABHNFBI,故④錯誤.

9.在直角三角形ABC中，4c=90。，484c的平分線力。交BC于點0,4/1BC的平分線BE交4c于點E,

AD.BE相交于點F,過點。作DG||48,過點B作BG1DG于點G,有以下結(jié)論：①乙4/5=135。；

②乙BDG=24CBE；③8C平分448G；④乙BEC=LFBG,其中正確的個數(shù)是()

AB

A.I個B.2個C.3個D.4個

【答案】c

【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理：三角形外角的概念及性質(zhì)；角平分線的概念

【解析】【解答】解:①???"=90。，

，乙B4C+乙4BC=90。，

〈AO平分BE平分448C,

：-LFAB+Z.FBA=^BAC+^ABC=^(^BAC+iABC)=45。，

：,LAFB=180-^FAB+Z.FBA)=180°-45°=135°,故①正確：

②TOG||AB,

：.LBDG=匕ABC,

〈BE平分乙ABC,

:?“BE=\LABC=鼻BOG,

J乙

C.LBDG=2乙CBE,故②正確：

③的度數(shù)不確定，

???根據(jù)已知條件無法證明BC平分乙4BG,故③不正確；

?*：BG1DG,

:?乙BGD=90°,

:,乙BDG+乙DBG=90°,

'：LC=90°,

：.LCAB+^ABC=90°,

9：DG||AB,

:?乙BDG=乙ABC,

工人DBG=Z-CAB,

又Y乙BEC=乙CAB十ABE,

:?乙BEC=乙DBG+乙ABE,

〈BE平分乙48C,

J.LABE=乙EBC,

:?乙DBG+Z.ABE=乙DBG4~Z.EBC=乙EBG,

:,乙BEC=^FBG,故④正確；

綜上所述，正確的個數(shù)是3個，

故答案為：C.

【分析】①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得/8力。+乙48。=90°,由角平分線定義得N凡4B+/.FBA=45°,

再利用三角形內(nèi)角和定理得乙“8=135。；②由平行線的性質(zhì)得=結(jié)合角平分線性質(zhì)

得乙BDG二2乙CBE；③根據(jù)已知條件無法判斷；④先推出zOBG=4二48,結(jié)合三角形外角的性質(zhì)

以及角平分線定義得4BEC=乙FBG.

10.如圖，已知△48C的內(nèi)角乙4=a,分別作內(nèi)角乙48c與外角乙的平分線，兩條平分線交于點心，

得乙公；乙力道。和乙4C0的平分線交于點左，得乙公；……以此類推得到乙士022，則乙&022的皮數(shù)是

()

【答案】B

【知識點】三角形外角的概念及性質(zhì)；角平分線的概念

【解析】【解答】解：???AiB是/ABC的平分線，AC是/ACD的平分線,

AZAiBC=lZABC,ZAiCD=lZACD,

乙乙

又丁/ACD=ZA+ZABC,ZAiCD-ZAiBC+ZA>,

/.I(ZA+ZABC)=lZABC-FZAi,

AZAi=lZA,

*.*ZA=a,

*,?NAi=/；

同理可得NA2=)Ai=4?1a=*

乙乙乙乙

同理可得NA3=〃A2T?聶=§,

/.ZAn=pi,

a

ZA2022=^2022-

故答案為：B.

【分析】根據(jù)角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)分別求出/A|會ZA2=lZA.=p,ZA3=

1ZA2=^-,從而得出NAn=$i，繼而得解.

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。

11.若三角形的周長為13,且三邊均為整數(shù)，則滿足條件的三角形有種.

【答案】5

【知識點】三角形三邊關(guān)系

【解析】【解答】解：設(shè)三邊長分別為把b%,則a+b=13?c>靖,

.13<13

c=5或6,

當①當c=5時，b=4,a=4或b=3,a=5；

②當c=6時，b=4,a=3或b=6，a=l或b=5,a=2；

???滿足條件的三角形的個數(shù)為5.

故答案為：5.

【分析】在三角形的三邊中，除等邊三角形三邊相等外，必有一邊是最長邊；先確定最長邊的取值

范圍，然后分類討論，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，即可解答.

12.△ABC中，NA是最小角，NB是最大角，且2NB=5NA,若NB的最大值m。，最小值n。，則

m+n=.

【答案】175

【知識點】解一元一次不等式組；三角形內(nèi)角和定理

【解析】【解答】解：..?2/B=5NA,即/B=5ZA,

乙

AZC=180o-ZA-ZB=180°-：NA,

XVZA<ZC<ZB,

7

zA

-

.,.ZA<180°-2

解得NAaO。：

又,.,180。-ZZA<|NA,

解得NAN30。,

.?.30o<ZA<40°,

即30。&|ZB<40°,

.,.75°<ZB<100°

/.m+n=175.

故答案為：175.

【分析】由2NB=5NA,得NB=1ZA,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得/C=180。?NA?NB=180。

77

zA和o

-彳；根據(jù)題意有則。---解兩個不

ZANAWNCW/B,NAW8021802ZA<|ZA,

等式得30。04*0。，而NA=看ZB,得到NB的范圍，從而確定m,n.

13.如圖，^ABC中，點E是BC上的一點，EC=2BE,點D是AC的中點.若△ABC的面積SAABC

=12,貝！JSAADF-SABEF=.

【答案】2

【知識點】三角形的角平分線、中線和高

【解析】【解答】解：???點D是AC的中點,

AAD=1AC,

,**SAABC=12,

11

??SAABD=2SAABC=2X12=6.

VEC-2BE,SAABC-12,

**?SAABE=^SAABC=^X]2=4,

VSAABD-SAABE=(SAADF+SAABF)-(SAABF+SABEF)=SAADF-SABEF?

B|jSAADF-SABEF=SAABD-SAABE=6-4=2.

故答案為：2.

【分析】本題需先分別求出SAABD，SAASE再根據(jù)SAA"-SA8EF=S.A8D-SAABE即可求出結(jié)果.

14.如圖，在△ABC中，BD、BE分別是△ABC的高線和角平分線，點F在CA的延長線上，F(xiàn)H±BE

交BD于點G,交BC于點H.下列結(jié)論：①NDBE=NF；②NBEF=1(ZBAF+ZC)：

③NFGD=NABE+NC；④(ZBAC-ZC)；其中正確的是.

【答案】①②③④

【知識點】三角形的角平分線、中線和高

【解析】【解答】解：①?.?BDIFD.

/.ZFGD+ZF=90°,

VFH±BE,

???NBGH+NDBE=90。，

VZFGD=ZBGH,

AZDBE=ZF,

故①正確；

②;BE平分NABC,

JNABE=NCBE,

NBEF二NCBE+NC,

A2ZBEF=ZABC+2ZC,

ZBAF=ZABC+ZC,

???2ZBEF=ZBAF+ZC,

AZBEF=1(ZBAF+ZC),

故②正確；

@VZAEB=ZEBC+ZC,

VZABE=ZEBC,

AZAEB=ZABE+ZC,

VBDXFC,FHXBE,

AZFGD=90°-ZDFH,ZAEB=90°-ZDFH,

AZFGD=ZAEB

AZFGD=ZABE+ZC.

故③正確；

④NABD=90。-/BAC,

ZDBE=ZABE-ZABD=ZABE-900+ZBAC=ZCBD-ZDBE-90°+ZBAC,

VZCBD=90°-ZC,

???ZDBE=ZBAC-ZC-ZDBE,

由①得，ZDBE=ZF,

???ZF=ZBAC-ZC-ZDBE,

AZF=1(ZBAC-ZC)；

故④正確，

故答案為：①②③④.

【分析】根據(jù)三角形的高以及角平分線的性質(zhì)分別進行判斷，選擇合適的答案。

15.如圖1,六分儀是一種測量天體高度的航海儀器，觀測者手持六分儀，可得出觀測點的地理坐標.

在圖2所示的“六分儀原理圖”中，所觀測星體記為S,兩個反射鏡面位于A,B兩處，B處的鏡面

所在直線FBC自動與0?？潭染€4E保持平行(即BCII4E),并與A處的鏡面所在直線N4相交于點C,

【知識點】三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)

【解析】【解答】解：-：BC||AEt

'.LC=Z.EAC.

'：cEAC=3,

??乙C=co?

'：LSAN=Z.CAD,^BAC=zSAN=a,

:?乙BAD=Z.BAC4-￡.CAD=2a.

???乙尸8A是AABC的外角，

/.LFBA=LBAC+Z.C,

即S=a+o),

：.LSDM=180°-^DAB-々ABO=180°-2a-(180°-2Q=2(/?-a)=2a).

故答案為：2a).

【分析】先利用平行線的性質(zhì)證得乙C二s,再利用已知條件得到484。=2a,然后根據(jù)三角形外角

的性質(zhì)得出/?=a+3,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解.

三、解答題：本大題共8小題，共75分

16.如圖，線段4c與BO相交于心點G、H分別是AD延長線、BC延長線上一點.線段DE在，GDF內(nèi)部，

線段EC在NHCF內(nèi)部.四邊形DEC尸始終為凸四邊形，且有3+l"GDE=4GD幾b乙HCE=^ECF,

a、b均為正數(shù).

(1)若Q=b=l,Z-DAC=30°,L.DBC=35°,^EDF=40°,如圖1,求/ECF度數(shù);

(2)若a=4,Z.DAC=30°,408c=40。，如圖2,則當乙變化時，b為何值時，乙E為與Q、

廳無關(guān)的定值？

(3)若々04C=々DBC=仁為定值，如圖3,貝和b滿足關(guān)系式時，乙E為與a、b無關(guān)的定

值.

【答案】(1)解：V(a+l)zG/)F=zGDF,b乙HCE=^ECF,a=b=1,

1

：?2乙GDE=LGDF,乙HCE=CECF=3乙HCF,

：.LGDE=Z-EDF=40°,

：.LGDF=80°,

???乙ADB=180°-80°=100°,

???乙DAC=30°,

工乙CFB=乙DFA=180°-100°-30°=50°,

?:乙DBC=35°,

，乙HCF=350+50°=85°,

：-LECF=^￡.HCF=42.5°;

(2)解：???(Q+1)ZGO￡=4GDBa=4,

：.5z.GDE=乙GDF,

：.LEDF=4乙GDE,

*：LDAC=30°,

：.^DFC=^DAC+^ADF

=30°+180°-乙GDF

=210°-5zGDE,

*：cDBC=40°,b乙HCE=cECF,

：.LDFC=Z.DBC+^LBCF

=40°+180°-乙HCF=220°-QHCE+乙ECF)

=220°-(b+l)zHCE,

.??210°-Sz-GDE=220°-(b+1"HCE,

，乙GOE二室4”。9一2°，

：.cE=360°-Z.EDF-Z,DFC-乙ECF

=360°-4乙GDE-Z-DFC-乙ECF

b+1

=360°-45乙HCE-2°-220°+(b+1”HCE-bz.HCE

4b-1

=148°-乙HCE，

5

J當室1=0,即b=3時，乙E為與a、b無關(guān)的定值.

(3)ab=1

【知識點】角的運算；三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的概念及性質(zhì)

【解析】【解答］(3)解：???(a+lUGDE=4GOF,b乙HCE=LECF,

:?乙EDF=a^GDE,乙HCF=(b+乙HCE,

9：LDAC=乙DBC=a,

：.LDFC=ADAC+^ADF

=a+180°-"OF

=<r+180o-(a+l)z(；DE,

'：CDAC=4DBC=a,

：.LDFC=Z-DBC+Z-BCF

=a+180°-乙HCF

=cr+180°-(b+l)zHCF,

???a+180°-(a+1)4GDE=Q+180°—(b+1)乙HCE,

;?iGDE=空乙HCE，

a+1

：.LE=360°-Z,EDF-乙DFC-乙ECF

6+1

=360°-a乙GDE-乙DFC-Z.ECF=360°-a———r^HCE-a-180°+(b+1)乙HCE-b乙HCE

a+1

=180°-a-空屋HCE,

a+1

???當ab—1=0,即a/?=l時，z_E為定值.

故答案為：ah=l.

【分析】(1)先利用角的運算及等量代換求出“/^=/。出=180。一100。-30。=50。，再結(jié)合

LDBC=35°,利用角的運算求出47。/=35。+50。=85。，最后求出/ECF=/々HCF=42.5。即可;

(2)先利用角的運算及等量代換求出4DFC=4ZMC+乙/防=220。一(匕+1RHCE,再求出"二

360。一乙￡。尸一乙。尸。一乙￡>。尸二148。一^1乙”(；￡，即可得至1」當^^=0,即8=,時，49為與。、

b無關(guān)的定值，從而得證；

(3)先利用角的運算及等量代換求出2。尸。=△。4。+△405=戊+180。-9+1)460￡,再求出

乙E=360°-乙EDF-(DFC-LECF=180O-a即可得至U當ab-1=0,即ab=1時,

a+1

NE為定值，從而得解.

(1)解：V(a+l)z(；DE=zGDF,b乙HCE=cECF,a=b=l,

：?2乙GDE=LGDF,Z.HCE=Z.ECF=^Z-HCF,

：.LGDE=乙EDF=40°,

：.LGDF=80°,

=180°-80°=100°,

*：LDAC=30°,

工乙CFB=乙DFA=180°-100°-30°=50°,

■:乙DBC=35°,

，乙HCF=350+50°=85°,

：-LECF=^￡.HCF=42.5°;

(2)解：V(a+l)zGDE=zGDF,a=4,

：,5￡.GDE=乙GDF,

：.LEDF=4乙GDE,

9：LDAC=30°,

：.LDFC=Z-DAC+/-ADF

=30。+180°—4GDF

=210°-5“DE,

'：LDBC=40°,b乙HCE=LECF,

：,LDFC=乙DBC+乙BCF

=40°+180°-乙HCF

=220°-QHCE+乙ECF)

=220°-(b+l)zHCE,

.??210°-Sz-GDE=220°-(b+1"HCE,

，乙GOE二室4”。9一2°，

：.cE=360°-Z.EDF-Z,DFC-乙ECF

=360°-4匕GDE-乙DFC-Z-ECF

36。。""1例”2。

-220°+g+l)zHCF-bZ-HCE

=148。一飛，4HUE,

J

???當誓L=o,即8=，時，4E為與Q、匕無關(guān)的定值.

(3)解：V(a+1)NGOE=乙GDF,b^HCE=乙ECF,

:?4EDF=a乙GDE,乙HCF=(b+1”HCE,

V^DAC=LDBC=a,

二乙OFC=Z.DAC+^.ADF

=a+180。-ZGOF

=”+180°-(a+l)4GDE,

'：CDAC=zJ)BC=a,

：.LDFC=/-DBC+Z-BCF

=a+180°-乙HCF

=2+180°一(匕+1”HCE,

：.oc+180°-(a+1)KGOE=Q+180°一(b+1"HCE,

，乙GOE=嗎乙HCE,

a+1

：.LE=360°-Z,EDF-乙DFC-乙ECF

=360°-a乙GDE-匕DFC-乙ECF

=36。—?甯加E-…8。*—3

=180。-"好”“，

???當ab-l=0,即ab=l時，々E為定值.

故答案為：ab=l.

17.如圖，△ABC中，AD平分NBAC交BC于點D,AE_LBC于點E,點F在AE上且CF〃AD.

(1)如圖①，若△ABC是銳角三角形，ZB=30°,ZACB=80°,則NCFE=度.

(2)如圖①，若△ABC是銳角三角形，ZACB>ZB,ZB=x,NACB=y，則NCFE=（用

含x,y的代數(shù)式表示）.

（3）如圖②，若△ABC是鈍角三角形，NACB為鈍角，其余條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立

嗎？說明理由.

【答案】（1）25

力1

⑵2y21X

（3）解：（2）中的結(jié)論成立，理由:

在△ABC中，ZB=x,ZACB=y,

/.ZBAC=180°-ZB-ZACB=1800-x-y,

TAD平分NBAC,

11

ALCAD=ILBAC=I(180°-%-y)，

乙乙

VZACB=y,

???ZACE=180°-ZACB=180°-y,

VAE1BC,

.,.ZAEC=90°,

/.ZCAE=90°-ZACE=90°-(180°-y)=y-90°,

???ZDAE=ZCAD+ZCAE

=i(180°-x-y)+(y-90°)

=90°—yx—十y—90°

【知識點】三角形內(nèi)角和定理

【解析】【解答］解：(1)根據(jù)題意，在三角形ABC中，ZB=30°,ZACB=80°,

所以NBAC=18()o-NB-NACB=70。，因為AD平分NBAC,

所以/CAD=1/BACqx7()o=35°,

因為AE_LBC,所以NAEO90。，

所以NCAE=90O-NACB=9()o-80o=10。，所以/DAE=NCAD-NCAE=25。，

因為CF〃AD,所以NCFE=NDAE=25。；

(2)在三角形ABC中，NB二x,ZACB=y,所以NBAC=18O0-NB-NACB=18O0-x-y,

因為AD平分NBAC,所以NCADj/BACq(180°-x-y),

因為AE_LBC,所以NAEO90。，0rt!ZCAE=90°-ZACB=90°-y

所以NDAE=NCAD-NCAE§*x；

(3)(2)中的結(jié)論成立，理由：在△ABC中，NB=x,ZACB=y,

ZBAC=180°-ZB-ZACB=180°-x-y,

因為AD平分NBAC,

所以NCAD=|NBAC=/(180°-x-y),

因為NACB=y,

所以/ACE=18O°-ZACB=180°-y,

因為AE_LBC,

所以NAEC=90。，

所以NCAE=900-NACE=90°?(180°-y)=y-90°,

所以NDAE=NCAD+NCAE

=1(180°-x-y)+(y-90°)

=900-lx-ly-90°=ly-ix,

因為CF〃AD,所以NCFE=NDAE=Sygx；

【分析】(1)在三角形中結(jié)合內(nèi)角和定理求出NBAC的度數(shù)，繼而根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出NCAD,

繼而求出NDAE,根據(jù)直線平行的性質(zhì)得到NCFE的度數(shù)即可；

(2)同理.，在三角形中結(jié)合內(nèi)用和定理求出NBAC的度數(shù)：繼而根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出NCAD,

繼而求出NDAE,根據(jù)直線平行的性質(zhì)得到/CFE的度數(shù)即可；

(3)類比(2)中的結(jié)論，求出NCFE的度數(shù)。

18.平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.

(1)如圖①，若AB〃CD,點P在AB,CD外部，則有/B=NBOD,又因為NBOD是ZkPOD

的外角，故NBOD=NBPD+ND,得NBPD=NB—ND.將點P移到AB,CD內(nèi)部，如圖②，以上

結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，則NBPD,ZB,ND之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明

你的結(jié)論；

(2)在圖②中,將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q,如圖③，則NBPD,

ZB,ZD,NBQD之間有何數(shù)量關(guān)系？(不需證明)

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，求圖④中NA+/B+NC+ND+NE的度數(shù).

【答案】(1)解：以上結(jié)論不成立，ZBPD=ZB+ZD,

延長BP交CD于點E,VAB/2CD,

AZB=ZBED,

VZBPD=ZBED+ZD,

AZBPD=ZB+ZD；

(2)解：NBPD=NBQD+NB+ND,連接QP并延長，

??,NBPE為4BPQ的外角，ZDPE為APDQ的外角，

.*.ZBPE=ZB+ZBQE,ZDPE=ZD+ZDQP,

ZBPE+ZDPE=ZB+ZD+ZBQE+ZDQP,

/.ZBPD=ZBQD+ZB+ZD；

(3)解：根據(jù)(2)的結(jié)論，ZAFG=ZB+ZE,ZAGF=ZC+ZD,

ZA+ZAFG+ZAGF=180°,

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180o；

【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形外角的概念及性質(zhì)

【解析】【分析】(1)延長BP交CD于點E,根據(jù)直線平行的性質(zhì)求出NB=NBED,繼而由三角形外

角的性質(zhì)求出答案；

(2)連接QP并延長，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到NBPE=/B+NBQE,NDPE=ND+/DQP,證明

結(jié)論即可；

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，ZAFG=ZB+ZE,ZAGF=ZC+ZD,結(jié)合NA+NAFG+NAGF=180。求出結(jié)

論。

19.△ABC中，AD是NBAC的角平分線，AE是AABC的高.

(1)如圖1,若NB=40。，ZC=60°.求NDAE的度數(shù).

(2)如圖2(NBVNC),試說明NDAE與NB、NC的數(shù)量關(guān)系.

(3)拓展：如圖3,四邊形ABDC中，AE是NBAC的角平分線，DA是NBDC的角平分線，猜

想：NDA