第十六章整式的乘法單元測(cè)試-2025-2026學(xué)年人教版八

年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

一、選擇題

1.已知2x=5,則2T3的值是（）

A.8B.15C.40D.125

2.有（）個(gè)整數(shù)〃（不必是正的）可以使得4000.[-1的值是一個(gè)整數(shù).

k5,

A.4B.6C.8D.9

3.已知10"=20,10（/=50，則"+1的值是（）

22

A.2B.-C.3

2

4.若3、=4,9'=7,則3V+2J的值為（）

A.28B.14C.11D.18

5.一個(gè)矩形的面積為"2-4%，一邊長(zhǎng)為。，則它的另一邊長(zhǎng)為（）

A.a-bB.b'+aC.b~-abD.b-a~

6.下列計(jì)算正確的是（）

A./+/=/'B.a'-a2=aC.=ab'hD.

7.要使（N+ax+l）（-6x3）的展開(kāi)式中不含M項(xiàng)，則。應(yīng)等于（）

A.6B.-1C.-D.0

6

8.邊長(zhǎng)分別為加和的兩個(gè)正方形按如圖的樣式擺放，則圖中陰影部分的面積為（）

A.4〃，B.3w2C.2m2D.nf

9.2隙-1能分解成〃個(gè)質(zhì)因數(shù)的乘積，〃的值是（〕

A.6B.5C.4D.3

10.有兩類正方形A,B，其邊長(zhǎng)分別為。，現(xiàn)將8放在A的內(nèi)部得圖1,將A,8并

列放置后構(gòu)造新的正方形得圖2.若圖1和圖2中陰影部分的面積分別為1和12,則正方形

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

A,3的面積之和為()

圖1圖2

A.11B.12C.13D.14

二、填空題

II.已知廠=8,/=5,貝.

12.計(jì)算：(-2/丫=

13.已知3*=2,3)'=5,則9"'=.

14.計(jì)算：(1)(2?=.(2)(-5a2/>)(-3?)=；(3)(ab)5^-(ab)2=.

15.若關(guān)于x的多項(xiàng)式(2.t+4)(x-口展開(kāi)后不含有x一次項(xiàng)，則實(shí)數(shù)〃的值為.

16.如圖，正方形卡片/類，4類和長(zhǎng)方形卡片C類若干張，如果要拼一個(gè)長(zhǎng)為(3。+6),

寬為(〃+3力)的大長(zhǎng)方形,則需要C類卡片張數(shù)為

17.若有(x-3)。=1成立，則x應(yīng)滿足條件

18.化簡(jiǎn)(x+y+z)3-(y+z—x)3_(z+x-y)3_(x+y-z)3,結(jié)果為

19.若一個(gè)四位數(shù)M的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方差恰好是M去掉個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字后

得到的兩位數(shù)，則這個(gè)四位數(shù)M為“平方差數(shù)”.一個(gè)“平方差數(shù)”加的千位數(shù)字為。，百位數(shù)

字為從十位數(shù)字為八個(gè)位數(shù)字為d，記G(M)=@,且P(M)=2Z.當(dāng)G(M),P(M)均

是整數(shù)時(shí)，當(dāng)滿足條件的〃取得最大值時(shí)，c+d=,最大值為.

20.已知x+1=3,求丁+4=______.

xx2

三、解答題

21.計(jì)算：

⑴(一#/)+3聲產(chǎn))

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

(2)2(X2)?-x3-(3x3)'+(5.r)2-x7

22.閱讀理解：規(guī)定兩數(shù)。，〃之間的一種運(yùn)算，若a0=b,記作(。力)=5例如：因?yàn)?/p>

23=8,所以⑵8)=3.

⑴根據(jù)上述規(guī)定，填空：

①若(3,x)=3,貝ijx=；

②若(乃4)=2,貝=.

(2)若(2,5)=。，(2,3)=6,(4,15)=%請(qǐng)推理。，b,c三個(gè)量的數(shù)量關(guān)系.

23.若(/+m.8)仁-3/〃)的展開(kāi)式中不含/和3項(xiàng)，求小和〃的值

24.(閱讀理解問(wèn)題)認(rèn)真閱讀下面材料，I可答問(wèn)題：

例如：已知3"=59049,求3"一2的值.

解：?.?3"=59049,.?.3"2=3"+3?=59049+9=6561.

回答問(wèn)題：

(1)若9"=729,求的直;

(2)如果3*=27,求3*3的值

25.已知正整數(shù)x,y滿足22。32>'=55,求1的最大值.

26.(1)若x+：-2,求/+二，一+二的值；

(2)若d=3,2"=6，求2叱"，23f.

27.如圖1,將長(zhǎng)為2”，寬為防的長(zhǎng)方形對(duì)折后再對(duì)折，展開(kāi)得到如圖1所示的圖形，沿圖

中虛線用剪刀平均剪成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后用這四個(gè)小長(zhǎng)方形拼成如圖2所示的圖形.

(1)通過(guò)兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積，可得到關(guān)于。，6的等量關(guān)系為

(2)根據(jù)⑴中的等量關(guān)系，解決下列問(wèn)題：

①若〃7+〃=6,mn=3,則(加-的值為

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

1.c

【分析】根據(jù)逆用同底數(shù)恭的乘法進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：V2X=5,

二2"3=2匕23=5x8=40

故選C

【點(diǎn)睛】本題考杳了同底數(shù)幕的乘法，掌握同底數(shù)累的乘法法則是解題的關(guān)鍵.

2.D

【分析】本題主要考查同底數(shù)昂的乘法和同底數(shù)轅的除法，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的

<,\w>

關(guān)鍵.利用400()?-=2〃53XJ是整數(shù)，得出只需r.2"=25?"和3=5""同時(shí)是整數(shù)即

r5J55

可，得出整數(shù)〃需滿足：-5?〃43,即可求解.

【詳解】解：400(){5"=2〃5〃|^是整數(shù)，且2和5互質(zhì)，

故只需212"=25"和17=53一。同時(shí)是整數(shù)即可，

???2"2〃=2m是整數(shù)，需滿足整數(shù)a-5,

3二5.是整數(shù)，需滿足整數(shù)〃W3,

5"

???整數(shù)n需滿足：-5<n<3,

:*〃—3,2,1,0,—1,—2,—3,—4,—5,

???〃共有9個(gè)取值,

故選：D.

3.C

【分析】根據(jù)同底數(shù)據(jù)的乘法10。4()(/=103,可求a+2b=3再整體代入即可.

【詳解】解：?.?10"=20,10()6=50,

.MO'IOO6=10"2b=20x50=1000=10\

，。+2力=3,

???ga+b+g=；(Q+2b+3)=；(3+3)=3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查轅的乘方，同底數(shù)耗的乘法逆運(yùn)算，代數(shù)式求值，掌握舞的乘方，同底數(shù)

幕的乘法法則，與代數(shù)式值求法是解題關(guān)鍵.

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

4.A

【分析】本題考杳了同底數(shù)幕的乘法和某的乘方的逆用，熟記同底數(shù)昂的乘法法則是解題的

關(guān)鍵.

根據(jù)同底數(shù)幕的乘法和暴的乘方法則化簡(jiǎn)計(jì)算即可得出結(jié)果.

【詳解】解：???3，=4,9V=(32)V=32>'=7,

.守+不一巾"=4x7=28.

故選：A.

5.C

【分析】用2-/6除以。即可求出另一邊長(zhǎng).

【詳解】解：矩形的面積為a/-。力，一邊長(zhǎng)為。，則它的另一邊長(zhǎng)為

{ab'-a2b)+a=b2-ab；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的除法，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式除法法則進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算.

6.B

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則、幕的運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算即可判斷.

【詳解】解：A.1、/不是同類項(xiàng)，不能合并，不符合題意；

B.a^a2=a\符合題意；

C.(加>=a訝°,不符合題意：

D./+/=/,不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)和‘曷的運(yùn)算，掌握相關(guān)法則是解題關(guān)鍵.

7.D

【詳解】試題分析：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以單項(xiàng)式，首先將系數(shù)進(jìn)行相乘，然后根據(jù)同底數(shù)帚乘法”算

法則進(jìn)行計(jì)算得出答案.原式=-6x5-6&尸-6/，根據(jù)題意可得：_6a=0,解得：a=(),故選

D.

8.D

【分析】本題考查/整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)陰影部分的面積=兩個(gè)正方形的面積之和

一兩個(gè)三角形的面積列式計(jì)算即可得解.

【詳解】解：由圖可得：

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

圖中陰影部分的面積為

m2+(2TM)2--^x(7M+2//i)x2m--^x(2m-/n)x2/M=nt2+4m2-3m2-m2=m2,

故選：D.

9.C

【分析】此題考查了分解質(zhì)因數(shù)的問(wèn)題與平方差公式分解因式的知識(shí).題目難度適中，首先

利用平方差公式對(duì)進(jìn)行囚式分解，然后判斷每個(gè)因數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，即可確定其質(zhì)囚數(shù)

的個(gè)數(shù).

【詳解】解：2,6-1

=（叫2一1

=（28+1）（28-1）

=（28?1）（24?1）（241）

=（28+1）（24+1）（22+1）（23-1）

=（28+1）（24+1）（22+1）（2+1）（2-1）

=257x17x5x3x1,

其中,3,5,17,257是質(zhì)數(shù),

故2庫(kù)-1能分解成4個(gè)質(zhì)因數(shù)的乘積，即〃=4,

故選：C.

1（）.C

【分析】本題主要考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用和整體代入的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)圖

形得出數(shù)最關(guān)系是解題的關(guān)鍵.根據(jù)圖1的陰影部分面積求出（a-/，）?的值，根據(jù)圖2陰影

部分的面積求出2ab的值，再根據(jù)完全平方公式求出/的值即可得到答案.

2

【詳解】解：由圖1得：（a-b）=lt即/+從-2融=1,

由圖2得：（a+b）2-a2-b2=12,整理得2帥=12,

：?/+//=]3.

即正方形”、8的面積之和為13.

故選C.

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

11.40

【分析】本題考查了同底數(shù)尋乘法的逆用的知識(shí)點(diǎn).

根據(jù)同底數(shù)索的乘法法則求解即可.

【詳解】解：=8x5=40,

故答案為：40.

12.-8/

【分析】本題考查整式的運(yùn)算，先用枳的乘方將原式化為(-2)，(〃2?，然后根據(jù)有理數(shù)的

乘方及幕的乘方進(jìn)行計(jì)算即可.解題的關(guān)鍵是掌握：積的乘方、塞的乘方.

【詳解】解：(-2/丫=(-2)，(23=_&/

故答案為：-8a6.

13.100

【分析】根據(jù)同底數(shù)昂的乘法的逆運(yùn)算、轉(zhuǎn)的乘方的逆運(yùn)算將式子化為

9+=9'9=(32)'.(32)'=(3『(3))，再代入3'=2,3，=5,進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：???3'=2,3'=5,

9,+>，=9r-9v=(32)V-(32)V=(3')2.(3vj2=22x52=4x25=100,

故答案為：100.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)昂的乘法的逆運(yùn)算、哥的乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握同底數(shù)曷

的乘法的運(yùn)算法則以及累的乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)健.

14.8/15a%

【分析】(1)利用積的乘方法則計(jì)算可得；

(2)利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算可得；

(3)利用耗的除法法則計(jì)算可得.

【詳解】(1)(2x)3=81；

(2)(-5a%)(-3a)=15/6；

(3)(ab)5-i-(ab)2=(ab)3=a}bi.

【點(diǎn)睛】本題考查幕的運(yùn)算的理解與運(yùn)用能力，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法.幕的乘法法則：

塞的除法法則：/+/=?、?"0,陽(yáng)，〃均為正整數(shù)，并且〃?>〃).塞

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

的乘方法則：(〃為正整數(shù)).熟練掌握哥的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

15.2

【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘法中的無(wú)關(guān)型問(wèn)題，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則求

出(2x+4)(x-幻的結(jié)果，再根據(jù)展開(kāi)后不含有?次項(xiàng)，即含?次項(xiàng)的系數(shù)為0進(jìn)行求解即

可.

【詳解】解：(2八十4)(人-4)

=2x2-2kx+4x-4k

=2x2-(2k-4)x-4k,

???關(guān)于x的多項(xiàng)式(2x+4)(x-〃)展開(kāi)后不含有》一次項(xiàng)，

二2左一4二0,

?,?%=2,

故答案為：2.

16.10

【分析】本題考杳了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的應(yīng)用，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式等知識(shí).熟練掌握多項(xiàng)式乘

多項(xiàng)式的應(yīng)用，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵.

由題意知，大長(zhǎng)方形的面積為(3。+?(〃+36)=342+10砧+362,根據(jù)大長(zhǎng)方形的面積為力、

B、C類卡片面積的和求解作答即可.

【詳解】解：由題意知，大長(zhǎng)方形的面積為(3。+人)(。+36)=3/+10必+3人，

v1Oab+。0=10,

???需要C類卡片張數(shù)為10張，

故答案為：10.

17.燈3

【分析】便可推導(dǎo).

【詳解】解：根據(jù)題意得：x-3#0,解得：/3.

故答案是：/3.

【點(diǎn)睛】本題考杳“除0以外的任何數(shù)的0次方都是1”知識(shí)點(diǎn)，掌握0次哥為1成立的條件

為本題的關(guān)鍵.

18.24xyz

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

【分析】本題主要考查多項(xiàng)式的因式分解能力.特別是對(duì)復(fù)雜三次多項(xiàng)式的處理技巧.

發(fā)現(xiàn)表達(dá)式的對(duì)稱性，并通過(guò)巧妙的展開(kāi)或變量替換簡(jiǎn)化計(jì)算.

【詳解】解：當(dāng)x=0時(shí)，(x+y+zy-(y+z-xy-(z+x-y)3-(x+y-z)3

=(y+z)3-(^+z)3-(z-j)3-(y-z)3=O,

???原多項(xiàng)式含有因式(x-O),即含有因式肛

同理，原多項(xiàng)式含有因式V和z,

又???原式是三次對(duì)稱式，

???化簡(jiǎn)后結(jié)果不超過(guò)三次，

.,-iS(x+y+zY-(y+z-x)y-(z+x-yy~(x+y-z)3=kxyz,

令x=l,y=l,z=-l,

解得％=24.

結(jié)果為24xyz.

故答案為：24xyz.

19.96318

【分析】根據(jù)M為“平方差數(shù)”可得(d+c)(d-c)=10〃+/),則

M=1000Q+1005+10c+d=100(d+c)(d-c)+10c+d,P(M)=100(t/-c)+1+-^,進(jìn)而

c+ci

得到三9c是整數(shù)，設(shè)"=履，(%為整數(shù)且4工0),因此*9c7=39c一=/97,得到衣=2或

8,當(dāng)％=2時(shí)，對(duì)c,d在行取值，并求出此時(shí)M；當(dāng)4=8時(shí)，對(duì)c,d進(jìn)行取值，并求出

此時(shí)即可求解.

【詳解】解：G(M)=j且尸(”)=芻,

???四位數(shù)M為“平方差數(shù)”，

：.(d+c)(d-c)=\Qa+bt

AAf=1000a+100/)+10c+c/

=100(10a+5)+10c+d

—100(d+c)(d-c)+10c+d,

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

v7c+d

100(d+c)(d-c)+10o+d

c+d

=100(<7-c)+

???尸(〃)是整數(shù),

???一7是整數(shù)，

c+d

由G(M)=，為整數(shù)可知，d>c,

c

設(shè)G(.M)=4=%(左為整數(shù)且女工o),

C

,?d=kc9

9c9c9

c+dc+kc1+4

??.%=2或8,

當(dāng)〃=2時(shí)，

①若c=l,則d=2,此時(shí)(d+c)(d-c)<I0,不符合題意;

②若c=2,則d=4,此時(shí)(d+c)m-c)=12,M=I224；

③若c=3,則"=6,此E寸(d+c)(d—。)=27,M=2736；

④若c=4,則d=8,此時(shí)(d+c)(d-c)=48,M=4848：

⑤若。=5,則d=10,不符合題意；

當(dāng)％=8時(shí)，

①若c=l,則d=8,此時(shí)(d+c)(d-c)=63,M=6318；

②若。=2,則d=16,不符合題意.

綜上，符合條件的M有1224,2736,4848,6318,其中最大值為6318,此時(shí)c+d=9.

故答案為：?9；@6318.

【點(diǎn)睛】本題考杳因式分解的應(yīng)用，涉及整除、新定義等知識(shí)，理解新定義，并用含c,d

的代數(shù)式表示出M是解題關(guān)鍵.

20.7

【分析】本題考查了分式的運(yùn)算，對(duì)已知式子進(jìn)行平方運(yùn)算可得/+與+2=9,然后可得

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

答案.

【詳解】解：?.?x+1=3,

X

+—=./+3+2=9,

Ix）廠

???x2+-y=7,

X

故答案為：7.

21.

（2）0

【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

（1）先計(jì)算積和基的乘方，再合并同類項(xiàng)即可；

（2）先計(jì)算幕的乘方.再計(jì)算同底數(shù)幕乘法,最后合并同類項(xiàng)即可：

【詳解】（1）解：（-1o2T+3[|xy

I2/2

-Q+3,2

276.2766

~^xy+]X_y

2766

二『八

(2)解：2(/)3+(5x)2.，

=2八/一272+25X2?/

=2X9-27X9+25X9

=0.

22.⑴①27,②±2

⑵a+b=2c

【分析】本題考查定義新運(yùn)算，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，同底數(shù)昂的乘法，暴的乘方的逆用:

（I）根據(jù)新運(yùn)算，得到X=33,/=4,進(jìn)行求解即可;

（2）根據(jù)新運(yùn)算，2"=5,2〃=3,4，=15,根據(jù)同底數(shù)幕的乘法，制的乘方的逆用進(jìn)行判斷

即可.

【詳解】（1）解：①X=33=27;

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

故答案為：27

②?."=4,(-2『=4,

：.y=±2

故答案為：±2：

(2)???(2,5)=。，(2,3)=b,(4,15)=c,

.?.2"=5,2'=3,4'=15,

=15,

???3x5=15,

?2a2力_20+人_22c

.,.a+b=2c.

m=3

23.

/?=17

【分析】首先根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則將多項(xiàng)式進(jìn)行展開(kāi)，然后進(jìn)行合并同類項(xiàng).根據(jù)不含哪

一項(xiàng)，則哪一項(xiàng)的系數(shù)為零列出方程組，從而得出答案.

【詳解】原式=x'+(7/7-3)x3+(n-3m-8)x2+(mn+24)

〃?一3=0

根據(jù)展開(kāi)式中不含/和2項(xiàng)得:

n-3m-8=0

m=3

解得:

n=\l

【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式的乘法計(jì)算法則，屬于中等難度的題型.能夠進(jìn)行合并同類項(xiàng)

是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵.

24.(1)81；

(2)19683

【分析】(1)由9"=729可得3?”=729,再仿照閱讀材料解答即可求解；

(2)利用幕的乘方和同底數(shù)幕乘法的逆運(yùn)算可得32"3=(3')，33,進(jìn)而即可求解：

本題考查了塞的乘方、同底數(shù)塞的乘法和除法的逆應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】⑴解：,.?9”=729,

???3筋=729,

???32"-2=32”+32=729+9=81；

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

（2）解：???3，=27,

:.32x+3=（3r丫x33=272x27=19683.

25.3

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用平方差公式將等式變形，再結(jié)合正整

數(shù)的條件分析因數(shù)分解的情況求解.

先利用平方差公式將22、-32〉變形為（2、-3，）（2、+3，）,再根據(jù)X,y是正整數(shù)，對(duì)55進(jìn)行

正整數(shù)因數(shù)分解，分情況列方程組求解，進(jìn)而確定x的最大值.

【詳解】解:?.?22:32,=55,

.?.（2、）2-（3）2=55,

(2X-3V)(2X+3V)=55.

",N是止整數(shù),

??.2"3’都是正整數(shù)，且2*+3'>2'-3,>0.

v55的正整數(shù)因數(shù)分解有55=1x55=5x11,

???分以下兩種情況討論:

2"-3『=1

情況一：，

2r+3r=55

將這兩個(gè)方程相加，可得:

(2*4)+(2'+3>')=1+55

2x2'=56

2V=28

???2JI6,2:32,

???不存在正整數(shù)式使得2'=28,

此情況無(wú)解.

2、一3)'=5

情況二:

2-1

將這兩個(gè)方程相加，可得:

(2、-3，)+(2'+3>')=5+11

2x2A=16

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

2,=8

??"=8,

***x=3.

把x=3代入2，一3，=5,可得：

84=5

3、=3

y=i

x=3,y=i均為正整數(shù)，符合條件.

綜上，X的最大值為3.

26.（1）X2+4=2；x4+—=2；（2）18；0.75.

x'x

【分析】Q）因?yàn)閄與L兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，它們的積是I,所以我們可先計(jì)算出這兩個(gè)數(shù)的

X

和的平方，再移項(xiàng)計(jì)算出它們的平方和，相同的辦法，利用兩個(gè)數(shù)的平方和，兩邊平方，計(jì)

算出這兩個(gè)數(shù)的4次方的和.

（2）根據(jù)同底數(shù)第的除法和乘法進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】（1）因?yàn)閤+1=2,

x

所以（X+，）2=22

X

即X2+4+2=4,

X'

所以x2+±=2.

.V

因?yàn)閤2+—r=2

x-

所以（x2+1）2=4

廠

upX4+-!-+2=4.

x

所以X4+4=2.

X

（2）2mx2n=2m^n=3x6=18,

（2W）3=2?W,（2Z'）2=22n,

23*2”=23W^22W=3M2=0.75.

【點(diǎn)睛】此題考查分式的加減，幕的乘方與積的乘方，同底數(shù)幕的除法，解題關(guān)鍵在于掌握

答案第11頁(yè)，共13頁(yè)

運(yùn)算法則.

27.(l)(a-Z>)2=(a+