第十八章分式單元測試卷人教版2025-2026學(xué)年

八年級上冊

總分：120分時間：90分鐘

一.單項選擇題（每小題4分，滿分40分）

1.下列分式是最筒分式的是（）

4cX-1廠r17

A.—B.-；—C.—；—D.------

2xx2-\x2+\x-\

2

2.若分式告有意義，則x的取值范圍是（）

x+\

A.x*1B.xw-lC.xwOD.x>-\

3.一只螞蟻的質(zhì)量約為0.00035千克.0.0（）035這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.02sxi（尸B.035x1（）7C.35xlO'3D.35x10^

11―r

4.把分式方程一--^=1,的兩邊同時乘以x?2,約去分母，得（）

x-22-x

A.l-（l-x）=lB.1+（17■尸1C.l-（l-x）=x-2D.l+（l-x）=x-2

5.如果把分式一―中的x、y同時擴(kuò)大為原來的2倍，那么分式的值（）

x-2y

A.縮小為原來的gB.擴(kuò)大為原來的2倍

C.擴(kuò)大為原來的4倍D.不變

6.《九章算術(shù)》中有一道關(guān)于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送

到800里遠(yuǎn)的城市，所需時間比規(guī)定時間多1天；若改為快馬派送，則所需時間比規(guī)定時間

少2天，已知快馬的速度是慢馬的|倍，求規(guī)定時間.設(shè)規(guī)定時間為x天，則下列分式方程

正確的是（）

80()58008005800

A.=—X---------B.=—X---------

x-22r+1丫+22r-1

80028008005800

C.=—X----------D.=—X----------

x-15x+2X+12x-2

7.已知關(guān)于n的分式方程‘一+二=1的解是非負(fù)數(shù)，則〃，的取值范圍是（）

X-I1-X

A.m>5B.m>5C.25且m工6D.w>5或，〃/6

-1=5?,則f+提■的值是（

8.已知a?.)

A.21B.23C.25D.27

試卷第1頁，共3頁

9.已知關(guān)于，的分式方程K”不無解，則.的,直為()

A.〃=2或％=—1B.k=-2C.k=2或k=1D.k=-\

(55、(55、(55、

10.若a+6+c=0且a,6,c均不為()，則。-+-+/>—+-+c—+;的值為()

\bc)[ac)\ab)

A.-15B.-12C.0D.12

二.填空題(每小題5分，滿分20分)

11.已知實數(shù)X，)'滿足G^+?—4|=0,則-=.

x<(I

12.已知關(guān)于x的一元一次不等式組，；-《的解集為xSa,且關(guān)于y的方程

3.v-1<2x+6

Y+生F=2有正整數(shù)解，則所有符合條件的整數(shù)a的個數(shù)是____.

y-2y-2

13.已知3十3A十1=0,則/+-V的值是.

14.已知,一工=1,則/+2/---2工+2021的值是.

X

三.解答題(共6小題，總分60分，每題須有必要的文字說明和解答過程)

15.計算

16.先化簡，再求值：fl—a~~4,其中a=2025.

Va-\)fl--2a+l

17.某市的道路改造工程，先由甲、乙兩個工程隊合作10天，再由甲單獨干20天，恰好完

成全部工作的。.已知甲工程隊單獨完成工程所需天數(shù)是乙工程隊單獨完成工程所需天數(shù)的

6

2倍.

(1)求甲、乙工程隊單獨完成此項工程各需多少天；

(2)如果甲工程隊施工每天需付施工費1萬元，乙工程隊施工每天需付施工費2.5萬元，甲工

程隊至少需單獨施工多少天后，再由甲、乙兩工程隊合俏施工完成剩下的工程，才能使施工

費不超過64萬元？

18.已知關(guān)于x的分式方程一、=3+詈.

X-1I-X

試卷第2頁，共3頁

(1)當(dāng)分式方程有增根時，求加的值.

(2)當(dāng)分式方程的解為正數(shù)時，求用的取值范圍.

(3)當(dāng)分式方程有整數(shù)解，且-4W〃?＜3時，直接寫出所有滿足條件的整數(shù)〃?的和.

19.新定義：如果兩個實數(shù)e。使得關(guān)于x的分式方程且+1=/＞的解是x=一1成立，那么

xa+b

我們就把實數(shù)。，〃組成的數(shù)對m句稱為關(guān)于％的分式方程，1=%的一個“關(guān)聯(lián)數(shù)對''.例

21I

如：。=2,人=-5使得關(guān)于x的分式方程1+1=-5的解是1=國司=-]成立，所以數(shù)對

[2,-5]就是關(guān)于x的分式方程2+1=人的一個“關(guān)聯(lián)數(shù)對”.

⑴下列數(shù)對是關(guān)于x的分式方程烏+1=6的“關(guān)聯(lián)數(shù)對哺_.(填字母)

x

A：[3,-5]B：[U-4]

(2)若數(shù)對[?,1是關(guān)于x的分式方程旦十1=》的“關(guān)聯(lián)數(shù)對”，求〃的值.

3Jx

(3)若數(shù)對[2〃?+%,-修(加工土;，且〃-0,丘-1)是關(guān)于x的分式方程￡+】=/＞的“關(guān)聯(lián)數(shù)

對”，且關(guān)于x的方程履-2〃?+l=F嗎，x有整數(shù)解，求整數(shù)掰的值.

20.定義：若分式P與分式。的差等于它們的積，即。-。=。。，則稱分式。是分式戶的“互

動分式

⑴判斷下列分式Q是否為分式〃的“互動分式”(若“是"，填"T”；若"不是“，填“x”.

1|107?

@P=-----,Q=------()@P=——，Q=——(

2。+3*2。+4Ja-\?4+2)③?"cFr—~\,"Q=?F2+—2

()

(2)小益在求分式一丁的“互動分式”時，用了以下方法：設(shè)Jr的“互動分式”為N,則

x+jx+y~

=丁二xN,/一二十力2丁/，:.N=」一請你仿照小益的

x+yx+y1廠+廣)x+尸x+y+\

方法求分式盧夫的“互動分式”：

2x+5y

⑶若如3是是，，互動分式，，，且關(guān)于y的方程2蘭=告-4的解為正整數(shù)，I為正

nix+nnix+my-2.y-2

整數(shù)，求代數(shù)式加d+/x+〃的最大值.

試卷第3頁，共3頁

1.c

【分析】本題考杳了最簡分式的判斷，解題關(guān)鍵是掌握一個分式的分子與分母沒有公因式時

叫最簡分式.根據(jù)最簡分式的定義，即可求出答案.

【詳解】解：A、F=不是最簡分式，不符合題意；

2xx

B、三%嬴占f占，不是最簡分式，不符合題意；

2x

C、是最簡分式，符合題意；

+1

1-xr—1

D、—-=-=-1,不是最簡分式，不符合題意；

x-1x-1

故選：C.

2.B

【分析】本題考查了分式有意義的條件.根據(jù)分母不為零列出不等式計算即可.

【詳解】解：???分式T2有意義，

x+l

???x+1w0,

x*-1>

故選：B.

3.D

【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義.

科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為axlO"的形式，其中1工忖<10，〃為整數(shù)，確定〃的值時，要

看把原數(shù)變成。時.，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕

對值大于等于10時，〃是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時〃是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到

答案.

【詳解】解:0.00035=3.5x10,

故選D.

4.D

【分析】本題需要注意的有兩個方面：①、第二個分式的分母為2.,首先要化成六2；②、

等式右邊的常數(shù)項不要漏乘.

1-X

【詳解】解:--------=1

x-22-x

2x2

答案第1頁，共12頁

兩邊同時乘以x-2,約去分母，得l+（l-x）=x-2

故選：D

【點睛】本題考查解分式方程.

5.D

【分析】本題主要考查分式的基本性質(zhì)，先根據(jù)題意列出式子再化簡，即可得出答案.

【詳解】解：?.?分式—一中的X、y同時擴(kuò)大為原來的2倍后變?yōu)楸R尸=一",

?.?分式的值不變.

故選：D.

6.A

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)

規(guī)定時間為天，則慢馬所需時間為（X+1）天，速度為「里/天；快馬所需時間為（》-2）天,

速度為怨里/天.根據(jù)快馬速度是慢馬的:倍，建立方程即可求解.

x-22

【詳解】解：由題意，快馬速度為粵，慢馬速度為空.

x-2x+1

根據(jù)題意得：歿岑，

x-22.x+1

故選：A

7.C

【分析】本題考查了解分式方程，分式方程的解.解分式方程可得x=〃?-5,即得

/n-5>0,得至1]〃?之5,又由x—lwO得到〃?工6,據(jù)U匕即可求解.

【詳解】解：分式方程去分母得，"L6=X-1,

解得x=〃?-5,

???分式方程/一+二=1的解是非負(fù)數(shù)，

x-l\-x

rn-5>0,

:.rn>5,

又X—1H0,即加一6H0,

二加工6,

工機(jī)25且用工6,

故選：C.

8.D

答案第2頁，共12頁

【分析】此題考查了完全平方公式，將已知等式變形得到。-，=5,再將。-1二5兩邊平方,

aa

利用完全平方公式展開即可求出所求式子的值.

【詳解】解：=

1u

:.a--=5,

a

將兩邊平方得：L-1>l=25,

。Ia)

.?./+1—2=25,

a~

a2+-v=27.

故選：D.

9.A

【分析】本題考查/解分式方程尢解的情況，理解分式方程尢解的意義是解題的關(guān)鍵.先將

分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可.

【詳解】解：去分母得，Ax-2(x-3)=-3,

整理得，(無-2)X=-9,

當(dāng)％=2時，方程無解，

當(dāng)心2時，令x=3,

解得立=-1,

kx3

所以關(guān)于x的分式方程3-2二/一無解時，左=2或k=-l.

x-33-x

故選：A.

10.A

【分析】此題考查了分式的化簡求值以及代數(shù)式的意義，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

先對分式進(jìn)行化簡，然后代數(shù)式變形代入求值即可.

【詳解】解：。住+牛心+"+。僅+E

\bc)\ac)\ab)

5ac+5ab5bc+5ab5bc+Sac

=-------+--------+-------

heacah

5a2c+5。2力Slrc+Sab15bc2+5ac2

=---------+---------+---------

ahcahcabc

_5a~c+5a2h+Sb2c+Sab2+5bc2+5ac2

ahc

答案第3頁，共12頁

5ac(a+c)+5ab(a+b)+5bc(b+c)

abc

a+b+c=Of

:.a+c=-b,a+b=-c,b+c=-a,

-5abc-5ahc-Sake-\5abc

???原式=---------;---------=—;-=-15.

abcabc

故選：A.

11.2

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)基的意義等知識，先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出

x、y的值，然后代入并結(jié)合負(fù)整數(shù)指數(shù)累的意義求解即可.

【詳解】解：???GI+?-4|=0,

Ax-2=0,^-4=0,

.?.x=2,y=4.

故答案為：2.

12.3

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，解分式方程.先解一元一次不等式組得出。的取

值范圍，再解分式方程得。的范圍，最后綜合求出滿足條件的〃的值，即可求得.

【詳解】解：解不等式3x-l?2x+6,

移項合并同類項得：x<7,

x<a

的解集為X"。

3x-1<2x+6

由“同小取小”得:a<7；

），一〃+2y—1

解分式方程:2,

y-2y-2

分式方程去分母，得：y-a+2y-l=2y-4,

移項合并同類項得：y=G-3,

???分式方程有正整數(shù)解,

?'??工2,

。H5,

答案第4頁，共12頁

,/a<lt

.??滿足條件的整數(shù)?？梢匀?,6,4,共3個.

故答案為：3.

13.7

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，完全平方公式，分式化簡.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練

掌握與冠活運用.已知等式兩邊同時除以尤，得至iJx+3-'=o,進(jìn)而得出x+」=-3,再平

XX

方后利用完全平方公式展開計算即可.

【詳解】解：:/+3x+l=0,

???當(dāng)x=0時，x2+3x+1=I*0>

二K工0,

x+3+—=0,

x

1.

「?x+—=-3,

x

(1丫

/.x+—=9,

IX)

X1+與+2=9,

x1

)

x2—1——7,

x

故答案為：7.

14.2020

【分析】本題考杳了分式的化簡求值、因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)

鍵.先根據(jù)已知等式可得1-障=%,-x2=x-1?x2+x=lt再將刀4+2/一/一2%+2021變

形為(犬-/)+(2.--2x)+2021,化簡代入求值即可得.

【詳解】解：,7=1,

X

1-X2=X?

-X2=X-1?X2+x=\?

.-?X4+2X3-X2-2X+2021

=(X4-X2)+(2X3-2x)+2021

222

-_X(1_X)_2X(1-X)+2O21

答案第5頁，共12頁

=-x2-x-2x-x+202\

=(X-1)X-2X2+2021

=/-X-2X2+2021

=-X2-X+2021

="(X2+X)+202I

=-1+2021

=2020,

故答案為:2020.

15.(l)x=9

(2)X=5

(3?=2

【分析】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是將分式方程化為整式方程，注意最后要進(jìn)行檢

驗

(1)化為整式方程進(jìn)行解答即可；

(2)化為整式方程進(jìn)行解答即可；

(3)化為整式方程進(jìn)行解答即可.

【詳解】(1)解：

x-3x

去分母得2x=3(x-3)

解得x=9

經(jīng)檢驗，x=9是分式方程的解.

(2)解：±2-x4+2=，1；

x-3x-3

去分母得2-X+2(X-3)=1

解得x=5

經(jīng)檢驗，x=5是分式方程的解.

3-V1

(3)解-：--+--=0

x-44-x

去分母得3-=0

解得“2

答案第6頁，共12頁

經(jīng)檢驗，X=2是分式方程的解.

。一12024

?a+2'2027

【分析】本題主要考查了分式的化簡與求值，熟練掌握分式的通分、因式分解、約分以及分

式的乘除運算是解題的關(guān)誕.先對括號內(nèi)的分式進(jìn)行通分，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，并進(jìn)行約

分以達(dá)到簡化的目的，最后將。的值代入簡化后的表達(dá)式中計算結(jié)果.

［詳解］解：1--1-k-A—7

I67-1)a--2a+\

tz-l-la1-2a+\

=------x——；-----

a-\a~-4

a-2("I)2

a-\(a+2)(a-2)

a-\

當(dāng)”2025時,

2024

~20270

17.(1)60天，30天

Q)36天

【分析】本題主要考杳分式方程的應(yīng)用：工程問題，一元一次不等式的應(yīng)用，找到合適的等

量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.注意應(yīng)用前面得到的結(jié)論求解.

(1)設(shè)乙單獨完成此項工程需要x天，則甲單獨完成需要2x天，根據(jù)題意列出方程求解即

可；

(2)設(shè)甲單獨做了V天，先算出剩下的工程所需時間，再根據(jù)題意列出不等式求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)乙單獨完成此項工程需要x天，則甲單獨完成需要2x天，

10+20105

-------F-=—，

2xx6

解得：x=30,

經(jīng)檢驗x=30是原方程的解.

2x=60,

答：甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程各需要60天，30天;

(2)解：設(shè)甲單獨做了》天，

答案第7頁，共12頁

則剩余工程兩隊合作需要：(1m+nt。-力天，

I607\60307\37

由題意得：y+(20-][x(l+2.5)K64,

解得：)236,

答：甲工程隊至少要單獨施工36天.

18.(l)w=l

(2)/〃>-I且加w1

(3)-4

【分析】本題考查了分式方程的相關(guān)知識，正確理解分式方程的增根是關(guān)鍵：

(1)先解分式方程求出方程的根，再把增根代入即可求解；

(2)根據(jù)題意可得：工>0且.丫-1工0,再代入方程的解，求解不等式即可；

(3)先根據(jù)-4K〃?<3得到x的范圍，進(jìn)而得到方程的整數(shù)解，即可得出用的值，再求和

即可.

【詳解】(1)解：分式方程去分母得：x=3(x-])-m+2,

整理可得：x=

當(dāng)分式方程有增根時，即x=l,

riI〃？+1,

則亍=1，

解得：〃?=1；

(2)解：根據(jù)題意可得：x>0且x-lwO,

即空1〉0,且空！工1,

22

解得：〃？>一1且〃?工1；

(3)解：當(dāng)-4工機(jī)<3時，

mI1

:.—Kxv2,

2

當(dāng)分式方程有整數(shù)解時，*=-1，。，1,

由于當(dāng)分式方程有增根時，即x=l,故x=l需要舍去，

當(dāng)％=-1時，m=-3,

當(dāng)x=0時，w=-1,

答案第8頁，共12頁

經(jīng)檢驗，都符合題意，

???它們的和是-3-1=-4.

19.(1M

Q)2

⑶1.

【分析】本題考查了新定義，分式方程的解，讀懂題意，準(zhǔn)確理解新定義，運用知識的遷移

能力求解即可，理解“關(guān)聯(lián)數(shù)對''的定義是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)對“定義逐個計算判斷即可得到答案；

(2)根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)對”定義，先求分式方程二+1=-0+n的解及

x3

11.

x=------=---------------------=-J

a+bn(1?，列方程求解即可得到答案；

I3；

(3)根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)對”定義，先求分式方程網(wǎng)二+l=d的解及

X

1114，/41

"=R=-m列方程解得人-蕓工，再由關(guān)于"的方程

去—2〃?+1=/丁x有整數(shù)解，將人代入恒等變形為(2〃L1)，=(1-2〃?)(1+2W),解出

.10

x=--——=-1----------，進(jìn)而得到2m-1=1或2〃1一1=一1或-1=2或2m-1=-2,求解

2m-12m-1

即可得到答案.

【詳解】(1)解：當(dāng)。=3,6=-5時，分式方程々+1=-5,解得x==,

x2

11

'3+(-5)=-5

.??[3,-5]是“關(guān)聯(lián)數(shù)對”;

當(dāng)。=1,〃=—4時，分式方程,+1=-4,解得x=[,

x5

?.*11=—1—工—1—

1+(-4)35,

..?[1,-4]不是“關(guān)聯(lián)數(shù)對”；

故答案為：A；

(2)解：一〃,一；十〃是關(guān)于x的分式方程3+1=%的“關(guān)聯(lián)數(shù)對”,

X

.二+1=」+〃,

x3

答案第9頁，共12頁

n3/7

解得-=7^,

---n

3

解得〃=2.

(3)解：???[2〃"上-打是關(guān)于x的分式方程@+l=b的“關(guān)聯(lián)數(shù)對”,

X

2m+k

+i=-k

x

2m+k

解得:x--------

k+\

?__2m+k=______I______=__I_

k+12機(jī)+k+(-%)2m

當(dāng)〃，工—工時，解得〃=-生巴

22m+1

將Ax-2加+1=-―"y化簡得(2〃?-1)2x=(1-2w)(l+2m),

2m+1

解得x=-

2m-12m-1

???關(guān)于x的方程-2，"仁前''有整數(shù)解，且〃，為整數(shù),

2〃?一1一±1或±2,

即2加一1=1或2加一1=-1或2加-1=2或2m-1=-2,

13

解得〃?=0或〃?=1或用=-7(舍去)或小=7(舍去),

22

工0,

/.m=\.

20.⑴①Y②X③X

⑵X君-V

⑶7

【分析1本題考查了分式的混合運算，分式有意義的條件，理解新定義是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)互動分式的定義進(jìn)行判斷：

(2)仿照題目中給到的方法進(jìn)行求解；

(3)根據(jù)(2)找規(guī)律求解：由①推出的結(jié)論，類比形式求解即可.

答案第1()頁，共12頁

111

【詳解】（1）解：①2：

2a+32Q+4(2a+3)(2〃+4)，

11

PQ---