專題5?3平面向量中的奔馳定理以及三角形四心的相關(guān)計(jì)算

目錄

奔馳定理和四心的性質(zhì)及證明.......................................................3

奔馳定理以及四心的向量式..........................................................4

蝴o四心的識(shí)別.........................................................................5

奔馳定理...........................................................................7

8

酗國(guó)奔馳定理與四心的綜合題...........................................................II

|知識(shí)點(diǎn)?梳理］

技巧一.四心的概念介紹：

(1)重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2：1.

(2)內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)，角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

(3)外心：中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

(4)垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直.

技巧二.奔馳定理…解決面積比例問題

重心定理：三南形三條中線的交點(diǎn).

已知/XABC的頂點(diǎn)A*1,y),B(X2,y2),C(x,,為)，則△ABC的重心坐標(biāo)為G(%+；+—,，+,+，).

注意：(1)在ZSABC中，若。為重心，則04+04+00=0.

(2)三角形的重心分中線兩段線段長(zhǎng)度比為2：1,且分的三個(gè)三角形面積相等.

重心的向量表示：AG=-4/?+-AC.

33

奔迪定理：SAOA+SliOB+ScOC—Q,則A4O3、AAOC、ABOC的面積之比等于4：4：4

奔地定理證明：如圖，令4。4=。入，408=0同，^OC=OC,即滿足QA+08+OG=0

S/MO8_]S&oc=]S^BOC1

瓦，故Sg(〉B-Sg0c:0c=4：不：4.

s&、o鳳44'0cl44'?！鞅赜?/p>

技巧三.三角形四心與推論:

(1)0是AA5C的重心：S^BOC:SACOA:S^A0B=\:\:\^>OA+OB+OC=0.

(2)。是AA6C的內(nèi)心：S^K.::S^AOB=a:btc^>aOA4bOB+cOC=0.

(3)。是A48C的外心：

S.BQCSEI:S=sin2A:sin2B:sin2C<=>sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

(4)。是△ABC的垂心:

SAg0C::SgoB=tanA:tanB\tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常見結(jié)論

ABAC

(1)內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量[7彳+[777所在的直線上.

\AB\\AC

卜耳.QC+卜cj.-C+|CA|?=0op為AABC的內(nèi)心.

(2)外心：網(wǎng)=?=|PC|op為的外心.

(3)垂心：PAPB=PBP(j=PCPAoP為^ABC的全心.

(4)重心：PA+PB+PC=0=P為AABC的重心.

奔馳定理和四心的性質(zhì)及證明（全）

【重心】：若0為^ABC重心

⑴S^BOC'S^COA：SMO/J=1：1：1;

⑵。4+。8+。。=0；

（3）動(dòng)點(diǎn)p滿足OP=QA+X（A5+A《），％a（0，+8）,則2的4九跡一定通過ZXA3C的重心

AB4C

(4)動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=0A+4+2G(0,+8)則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通

ABsinBACsinC

/

過4ABC的重心

(x.+y.+%+Vr、

(5)重心生標(biāo)為：—------——-,―—―——

I33)

【垂心】：若O為4ABC垂心

(1)OAOB=OBOC=OCOA

(2)OA-2+BC.2=OBr2+|1CAf|2=OC-2+AB.2

(3)動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+/l—：----+—：------/IG（0,4-co）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一■定通過

ABcosBACcosC

△ABC的垂心

⑷S△BOC:S^COA:S&O8=9nA:tanB:tanC

(5)tan人?3+m口=

【內(nèi)心】：若O為XABC內(nèi)心

(DS&BOC：S&COA：S^AOB=a："：。B

(2)a-OA+b-OB+c-OC=0

=tanA?OA+tanB?OB+tanC?OC=0

重點(diǎn)題型?歸類精講

題型四心的識(shí)別

1.己知點(diǎn)P是AABC所在平面內(nèi)點(diǎn)，有下列四個(gè)等式：

甲：PA+PB+PC=0；乙：PA（PA-PB）=PC（PA-PB）；

丙：|PA|=|PB|=|PC|；T：PAPB=PBPC=PCPA.

如果只有一個(gè)等式不成立，則該等式為（）

A.甲B.乙C.丙D.T

2.已知點(diǎn)。是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP=OA+A±~+,/lw[0,+oo）,則尸的軌跡一定通過△43。的（）

11ABi\AC\）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

3.若0在aABC所在的平面內(nèi)，a,b,c是aABC的三邊，滿足以下條件

a-OA+力?O8+c-OC=0,則。是AABC的（）

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.外心

4.若。在AABC所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件

ACABBCBACACBl

OA-=OB,=OC-=0,則0是4人8（3的（）

(MCI1例\BC\BAllC4|\CB\)

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.夕卜心

【四心之垂心】

5.已知。是平面上一定點(diǎn)，AB,。是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

/__.\

4?sr

OP=OA+A------------+—：--------,Ze(0,+co),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△A4C的

ABcosBACcosC

\/

().

A.重心B.夕卜心C.內(nèi)心D.垂心

6.P是△43C所在平面上一點(diǎn)，若西?麗=麗?無(wú)=正.瓦｛,則P是△48。的()

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

7.若”為△43C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且網(wǎng)［+阿卜|附?倒2=|用

則點(diǎn)H是AA3c的()

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【四心之重心】

8.己知G是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若GA+GB+GC=O,則G是△48。的().

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

9.已知。是平面上一定點(diǎn)，AB,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP=OA+A(AB+AC)tZG(0,+QO),則P的軌跡一定通過△ABC的().

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

/、

AR

10.0是aABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+2———十———，

ABsinBACsinC

冗￡（0,+8）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過AABC的（）

A.內(nèi)心B.重心C.外心D.垂心

【四心之外心】

11.已知。是△A8C所在平面上一點(diǎn)，若OA?=o§2=僅父，則。是△48。的（）.

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

12.已知。是平面上的一定點(diǎn)，AB,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

ABAC

砂空產(chǎn)+2+,4E（0,+8）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC

ABcosBACcosC

的（）。

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

13.。是5c所在平面上一點(diǎn),若(0A+0孫AB=(OB+OC).8C=(O4+OCjAC=0,則

。是△43。的（）.

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

CD奔馳定理

14.已知點(diǎn)P是A43C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足2PA+5P4+3尸C=0，S“BC=$，則&/>碇=

15.已知點(diǎn)P是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足Q4+/%+2PC=3A8,則AA5尸與AA8C面積之比是

16.設(shè)P為AABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足3尸A+4PC=〃?A8（m>0）.若△AHP的面積為8,

則AABC的面積為.

17.已知。是58c內(nèi)部的一點(diǎn)，/A,/B,NC所對(duì)的邊分別為〃=3,b=2,c=4,若

siivVQA+sinB?O8+sinC-OC=。，則4.AO8與./3C的面積之比為()

18.已知。是三角形ABC內(nèi)部一?點(diǎn)，且OA+2O8+OC=0，則A4O3的面積與AABC的面積之比為（）

19.若點(diǎn)”是58C所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)。是邊AC靠近A的三等分點(diǎn)，且滿足5AM=AB+AC，則

4ABM與△A8O的面積比為（）

20.平面上有/及其內(nèi)一點(diǎn)。，構(gòu)成如圖所示圖形，若將AQIA,△OBC,二比4的面積分別記作S0,

ccUUUUU111MUI

Sa,黑，則有關(guān)系式SjOA+S/（M+S,-OC=（）.因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為

“奔馳定理已知58c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若滿足a.04+4O8+「OC=O，則

0為“8C的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

題I型S四心的相關(guān)計(jì)算

21.著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的

距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理.已知一/8C

的外心為0,重心為G,垂心為〃，M為8c中點(diǎn)，且A8=5,AC=4,則下列各式正確的有.

①AG9C=-3?AOBC=-()

?OH=OA+OB+OC?AB+AC=4OM+2HM

22.若。為的重心(重心為三條中線交點(diǎn))，且Q4+O8+2OC=0，則義=一.

23.銳角乂8c中，a,b,c為角A,B,C所對(duì)的邊，點(diǎn)G為“8c的重心，若AG_L8G,貝l」cosC的

取值范圍為.

24.設(shè)點(diǎn)。是aABC外接圓的圓心，AB=3,且AO-8C=—4，則任0的值是_______.

sinC

外心向量計(jì)算可以構(gòu)造方程組

一4-1

25.已知點(diǎn)0是AABC的外心，若A。=一A8十—AC,貝ijcosNBAC=________.

99

4-1

26.已知點(diǎn)0是aABC的內(nèi)心，若AO=,AB+—AC,則cosNBAC=()

A.—B.—C.—D.—

5689

江西贛州市高一期中第16題一外心、重心相關(guān)計(jì)算

27.AA3c中，A〃=3,/4C-6.G為AABC的重心，。為AWC的外心，則AO-AG=.

28.(1)己知AABC的外心為O,且AB=5,AC=3,AO-BC=.

(2)已知AABC的重心為O,且AB=5,AC=3,則AO-BC=.

(3)已知AABC的重心為0,且AB=5,AC=3,A=^fD為BC中點(diǎn)，則AOOO=.

29.設(shè)H為AABC的垂心，且3“A+4”8+5”C=0，則cos/A”3=.

30.(多選)對(duì)于給定的△ABC,其外心為O,重心為G,垂心為H,則下列結(jié)論正確的是()

A.AOAB=-AB2

2

B.OAOB=OAOC=OB-OC

C.過點(diǎn)G的直線/交AB、AC于E、F,若而=4A8，AF=uAC,則7+—二3

/t〃

,.ABAC

D.AHJ:共線

|AB|cosZ?IAC|cosC

31.著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重

心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為

歐拉線定理.己知△A8C的外心為0,垂心為“，重心為G,且A8=2/C=3,則下列說

法正確的是()

A.A〃-8C=0B.AGBC=-|

----------5

C.AOBC=-D.OH=OA+OB^-OC

32.著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重

心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱

為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)。，〃分別是△ABC的外心、垂心，且M為8c中點(diǎn)，則()

A.嬴+近=3月M+3M0B.鼐+元=3月M-3M0

C.茄+AC=2而+4MOD.茄+AC=2HM-4MO

山東省棗莊、膝州市高一期中聯(lián)考第16題一外心相關(guān)計(jì)算

33.已知O是aABC的外心，AB=6,AC=10,若AO=xAB+yAC,且2/+10)=5(xw0),則

△ABC的面積為.

(1)已知AABC的外心為O,且AB=5,AC=3,則A0-8C=

(2)已知aABC的重心為0,且AB=5,AC=3,則=

(3)已知aABC的重心為0,且AB=5,AC=3,A=j,D為BC中點(diǎn)，則AOOD=

34.在乂)。中，八歷AC=16，S.8c=6,DC-3,且若O為“UJC的內(nèi)心，則AO.8C=

35.設(shè)/為,ABC的內(nèi)心，AB=AC=5,BC=6?A/=mAB+nBC，則"z+〃為

3

36.在△ABC中，cosA=w，。為△48C的內(nèi)心，AO=xAB-yAC（x,yeR）,則x+.y的最大值為（）

A2口6-V67-V78-2&

.二IJ.--------Lrz?-----Dn?-------

3567

3一1

37.已知點(diǎn)。是小水?的內(nèi)心，若A0=]人8+則cosN34C=.

38,已知。為S8C的外心，AC=3,8c=4,則0C.A8=.

39.在“AC中，AB=6,4。=36.點(diǎn)M滿足AM=:AB+!AC.過點(diǎn)用的直線/分別與邊/仍,AC交

54

La.KJLA.OULUI-

于點(diǎn)DE且AO='AB,AE=[AC.己知點(diǎn)G為工3C的外心，AG=：A3+〃AC,則“為.

I?

40.已知“為45。的垂心（三角形的三條高線的交點(diǎn)），若AH=§A8+wAC,則sinNB4C=.

41.設(shè)〃是J4C的垂心，且444+5〃B+6〃C=0JUJcosZ/V78=.

42.在uWC中，點(diǎn)。、點(diǎn)，分別為認(rèn)BC的外心和垂心，1八例=5,|4。|=3,則?！?4。=.

題理@奔馳定理與四心的綜合題

43.已知AA4C的內(nèi)角A、13、C的對(duì)邊分別為。、b、c,。為A43c內(nèi)一點(diǎn)，若分別滿足下列四個(gè)條件:

?aOA+bOB+cOC=Oi

②tanAOA+tanOB+tanC-OC=0;

③$in24QA+sin2BO8+sin2COC=0;

④O4+O8+OC=0;

則點(diǎn)。分別為AAAC的（）

A.外心、內(nèi)心、垂心、重心B.內(nèi)心、外心、垂心、重心

C.垂心、內(nèi)心、重心、外心D.內(nèi)心、垂心、外心、重心

44.奔馳定理：已知。是aABC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,AAOC,aAOB的面積分別為SiS^Sc

則S,S/O4+S屋O8+S??OC=0"奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)?/p>

這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地稱其為“奔

馳定理若0是銳角^ABC內(nèi)的一點(diǎn)，A,B,C是AABC的一個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)0滿足則

OAOB=OBOC=OCOA，則（）

A.。為△A8C的垂心B.ZAOB=TI-C

C.OA:OB:OC=sinA:sinB:sinCD.tanA-OA+tanB-6>B+tanC-OC=0

45.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很

相似，故形象地稱其為“奔馳定理奔馳定理：己知。是△A8C內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC,△AOC,△A08

的面積分別為5八SQ則有S,0A+S6O8+SCOC=O,設(shè)。是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，ZBAC,

/ABC,NACB分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，以下命題錯(cuò)誤的是（）

A.若。4+。8+0。=0，則。為△ABC的重心

B.若OA+2O8+3OC=0，則臬：:S。=1：2:3

C.則。為（不為直角三角形）的垂心，則tan/4ACO4+tan/A3c?O3+tan乙4CBOC=0

D.若國(guó)二畫=2,NAO8=￡,2OA+3OB+4OC=6>則S,AM=g

46.（多選題）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車

（Mercedeslwiz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理奔馳定理：已知。是工8。內(nèi)一點(diǎn)，BOC,

J<OC,"OB的面積分別為4,Ss，Sc,則S.?+S"?OB+Sc?OC=0，。是-ABC內(nèi)的一點(diǎn)，NAAC,

/ABC,NAC8分別是J3C的三個(gè)內(nèi)角，以下命題無(wú)聊的有（