專題8-4四大分布：二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布(13類題型)

題型?歸納

酗o兩點分布

二項分布

建立二項分布模型解決問題

服從二項分布的隨機變量概率最大問題

利用二項分布求分布列

二項分布之高爾頓釘板問題

超幾何分布

■入超幾何分布與二項分布

正態(tài)分布：正態(tài)曲線的對稱性

題園會正態(tài)分布的實際應用(選填)

頓令O正態(tài)分布大題專練

SSOS二項分布與正態(tài)分布

題回芬旦超幾何分布與正態(tài)分布

知識點?梳理

1、兩點分布

(1)兩步法判斷一個分布是否為兩點分布

①看取值：隨機變量只取兩個值：。和1.

②驗概率：檢驗。(X=O)+P(X=1)=1是否成立.如果一個分布滿足以上兩點，則該分布是兩點分布，否則

不是

(2)若隨機變量x服從兩點分布，即其分布列為

X01

P1-PP

其中Ovpvl,則稱離散型隨機變量X服從參數為〃的兩點分布.其中P（X=1）稱為成功概率.

注意：

兩點分布的試臉結果只有兩個可能性，且其概率之和為I;

兩點分布又稱0-1分布、伯努利分布，其應用十分廣泛.

2、二項分布

定義

一般地，在〃次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為〃，不

發(fā)生的概率9=1一〃，那么事件A恰好發(fā)生攵次的概率是P（X=A）=C：〃W"（攵=0,1,2,〃）

于是得到X的分布列

X01?..k???n

PC：典”CP0I???C：p”尸???c：P"Q

由干表中第二行恰好是二項式展開式

（夕+〃）"=C；〃"+C；+…+C：p，廣及+…+c：陽。各對應項的值，稱這樣的離散型隨機變量X服從

參數為〃，〃的二項分布，記作X?B（〃，p）,并稱〃為成功概率.

注意：由二項分布的定義可以發(fā)現，兩點分布是一種特殊的二項分布，即”=1時的二項分布，所以二項分

布可以看成是兩點分布的一般形式.

1.獨立重復試驗的特點

①每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的；

②母?次試驗中的事件是相互獨立的，其實質是相互獨立事件的轉例.

2.判斷隨機變量X服從二項分布的條件（X?8（〃，/?））

①的取值為0,I,2,…，〃：

②P(X=k)=I—py]￡(k=0,I,2,…，n,〃為試驗成功的概率).

注意：在實際應用中，往往出現數量“較大”“很大”“非常大”等字眼，這表明試驗可視為獨立重復試臉,

進而判定是否服從二項分布.

3.二項分布的適用范圍及本質

(1)適用范圍：

①各次試臉中的事件是相互獨立的：

②母次試驗只有兩種結果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；

③隨機變量是這〃次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數.

(2)本質：二項分布是放回抽樣問題，在每次試臉中某一事件發(fā)生的概率是相同的.

4.二項分布的期望、方差

若X?B(〃，p),則E(X)=〃p,D(X)=np(\-p).

3、超幾何分布

(1)本質：超幾何分布的模型是不放回抽樣，在每次試臉中某一事件發(fā)生的概率是不相同的.

(2)超幾何分布中的參數是M,N,n；

(3)超幾何分布可解決產品中的正品和次品、盒中的白球和黑紙、同學中的男和女等問題，往往由差異明

顯的兩部分組成.

4、正態(tài)分布

一、正態(tài)曲線

I、定義：我們才巴函數0”(幻=弓［^+00)(其中〃是樣本均值，。是樣本標準差)的圖

象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低.

2、正態(tài)四線的性質

(1)曲線位于x軸上方，與尤軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關于直線對稱；

(3)曲線在處達到峰值(最大值)-7=^:

(4)曲線與x軸之間的面積為1；

（5）當。一定時，曲線的位置由4確定，曲線隨著〃的變化而沿％軸平移，如圖甲所示：

（6）當〃一定時，曲線的形狀由。確定.。越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中：）越大，曲線

越“鏤胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：

二、正態(tài)分布

1、定義

隨機變量X落在區(qū)間（〃，加的概率為P（a<XKb）=f/o（x）dx,即由正態(tài)曲線，過點（。，0）和點（〃，0）的

兩條x軸的垂線，及工軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是X落在區(qū)間（。，勿的概

率的近似值.

一般地，如果對于任何實數。，b（a<b）,隨機變量X滿足P（a<X4勿則稱防機變量X服

從正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數〃，。確定，因此正態(tài)分布常記作N（〃，o2）.如果隨機變量X服從正態(tài)

分布，則記為X?N（〃，t/）.

其中，參數〃是反映隨機變量取值的平均水平的特征數，可以月樣本的均值去估計；。是衡量隨機變量總

體波動大小的特征數，可以用樣本的標準差去估計.

2、3o■原則

若X~N（〃，O2）,則對于任意的實數〃>o,P（〃-〃<XW〃+a）=J；：/b（x）dx為下圖中陰影部分的面積,

對于固定的〃和。而言，該面積隨著。的減小而變大.這說明。越小，X落在區(qū)間十，］的概率越大,

即X集中在，周圍的概率越大

特別地，有PQi-o<X<//+a)-0.6826；P(p-2a<X<//+2a)=0.9544；P(p-3a<X<〃+3。)=0.9974.

由P(〃-3。<X￡〃+3。)=0.9974,知正態(tài)總體幾乎總取值于區(qū)間(〃-3。，〃+3cr)之內.而在此區(qū)間以外

取值的概率只有0.0026,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件.在實際應用

中，通常認為服從于正態(tài)分布NS，/)的隨機變量x只取(〃-虱，〃+笫)之間的值，并簡稱之為3b原則.

正態(tài)分布在四個特殊區(qū)間內取值的概率若X~N(〃，er?)則

(1)P(X</z)=P(X>/z)=50%；

(2)P(\X-ju\<cr)=P(ii-cr4X?〃+b)a68.3%：

(3)P(\X-p\<2a)=PCu-2a<X<//+2a-)?95.4%；

(4)P(|X-//|<3O-)=P(M-3o<X4〃+3b)*99.7%.

三、趣幾何分布與二項分布的區(qū)別：

(1)超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；

(2)超幾何分布是不放回抽樣，而二項分布是放回抽樣(獨立重復)，當總體的容量非常大時，超幾何分

布近似于二項分布.

高考真題?回

1.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)某物理展?的測最結果服從正態(tài)分布N(10,/)，下列結論中不正確的是()

A.。越小，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測量中落在(9910.2)與落在(10,10.3)的概率相等

2.(2022.全國.統(tǒng)考高考真題)已知隨機變量X服從正態(tài)分布且尸(2<XV2.5)-0.36,則

P(X>2.5)=

3.（2017?全國?高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取

16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的

尺寸服從正態(tài)分布N（〃o2）.

（1）假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在（〃-女M+3。）之外的零件數，求

P（X21）及X的數學期望；

（2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在（〃-￡.〃+36之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產

過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查.

（i）試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性；

（ii）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸:

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116n16jI/16\

經計算得了=77Z%=9.97,s=）22t.-g2no.212,其中r?為抽取的第i個零件

16i=iV10f=1\163=]）

的尺寸，i=l,2,…,16.

用樣本平均數工作為〃的估計值用樣本標準差s作為。的估計值G,利用估計值判斷是否需對當天的生

產過程進行檢查？剔除（4-32R+33）之外的數據，用剩下的數據估計〃和。（精確到0.01）.

附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布則尸（〃—3b<Zv〃+3b）=0.9974,0.9974屋0.9592，

>/0008^0.09.

4.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應.實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中

20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼

養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.

（1）設X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數，求X的分布列和數學期望；

⑵實驗結果如下：

對照組的小白鼠體重的增加展從小到大排序為：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小鼠體重的增加量的中位數加，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于機與不小于的數據的個數，完成如下

列聯表：

nE]3

對照組二□

實驗組□□

(ii)根據(i)中的列聯表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加顯

有差異.

的."2=Mad-bc)?

，(a+Z?)(c+d)(a+c)(/?+d)'

0.1(X)0.0500.010

重點題型?歸類精練

兩點分布

1.設隨機變量X服從兩點分布，若尸(X=l)-P(X=0)=0.4,則E(x)=()

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

2.已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，且P(X=0)=3-4P(X=l)=a,則〃=()

A.IB.；C.-D.-

3234

3.已知隨機變量S滿足P(&=0)=Pi，P(&=l)=l—Pi，且i=l,2.若E(fi)vE(3)，則

().

A.Pi<P2?且。(fi)V。(§2)B.Pi>P2?且D(fi)>。⑥)

C.PivP2，Ro(fi)>。(#2)D.Pi>p2,且。(Si)v。(§2)

4.已知隨機變量f滿足P(t=0)=1—p,P(f=1)=p,其中0<pV1.令隨機變量〃=|f-E(f)|,則()

A.E(〃)>E⑹B.EM<F(f)

C.D(〃)>D(f)D.DS)VD(f)

5.若隨機變量X服從兩點分布，其中尸(X=0)=gE(X),D(X)分別為隨機變量X的均值與方差，則下列結

?J

論不正確的是(〉

A.P(X=1)=E(X)B.E(3X+2)=4

C.O(3X+2)=4D.D(X)=1

6.有3個人在一樓進入電梯，樓上共有4層，設每個人在任何一層出電梯的概率相等，并且各層樓無人再進

電梯，設電梯中的人走空時電梯需停的次數為G則E（f）=.

7.有一個盒子里有1個紅球，現將〃（〃eN“）個黑球放入盒子后，再從盒子里隨機取一球，記取到的紅

球個數為J個，則隨著〃（〃wN'）的增加，下列說法正確的是（）

A.E（g）減小,0（。）增加B.七代）增加，仇3減小

C.磯J）增加，。（）增加D.E《）減小,。收）減小

8.某工廠生產某種電子產品，每件產品不合格的概率均為〃，現工廠為提高產品聲譽，要求在交付用戶前

每件產品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗5件該產品，且每件產品檢驗合格

與否相互獨立.若每件產品均檢驗一次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢驗方案：洛產品每人個

僅45)一組進行分組檢驗，如果某一組產品檢驗合格，則說明該組內產品均合格，若檢驗不合格，則

說明該組內有不合格產品，再對該組內每一件產品單獨進行檢驗，如此，每一組產品只需檢驗1次或1+Z

次.設該工廠生產MXX)件該產品，記每件產品的平均檢驗次數為X.

(1)求X的分々列及其期望；

(2)(i)試說明，當〃越小時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數越少；

(ii)當P=0』時，求使該方案最合理時*的值及1000件該產品的平均檢驗次數.

S二項分布

【點撥】

1、二項分布求解隨機變量涉及“至少”“至多''問題的取值概率，其實質是求在某一取值范圍內的概率，一般

轉化為幾個互斥事件發(fā)生的概率的和，或者利用對立事件求概率.

2、二項分布的簡單應用是求〃次強立重復試臉中事件A恰好發(fā)生女次的概率.解題的一般思谿是：

(1)根據題意設出隨機變量；

(2)分析出隨機變量服從二項分布；

(3)找到參數〃，〃；

(4)寫出二項分布的分布列；

(5)將我值代入求解概率.

9.設隨機變量82,p),若Pi：?)],則〃的值為.

10.已知隨機變量4服從二項分布則。管=2)=.

X3)

19

11.在3重伯努利試驗中事件出現的概率相同，若事件A至少出現1次的概率為三，則事件人在1次試驗

中出現的概率為

12.假設某型號的每一架飛機的引擎在飛行中出現故障的概率為且各引擎是否有故障是獨

立的，如有至少50%的引擎能正常運行，飛機就可成功飛行，若使4引擎飛機比2引擎飛機更為安全,

則〃的取值范圍足

S建立二項分布模型解決問題

13.知甲每次投擲飛鏢中靶的概率為0.6,若甲連續(xù)投擲飛鏢〃次,要使飛鏢最少中靶一次的概率超過90%,

至少需要投擲￡鏢次.(參考數據：館2。0.3)

14.32名業(yè)余棋手組隊與甲、乙2名專業(yè)棋手進行車輪挑戰(zhàn)賽，每名業(yè)余棋手隨機選擇一名專業(yè)棋手進行

一盤比賽，每盤比賽結果相互獨立，若獲勝的業(yè)余棋手人數不少于10名，則業(yè)余棋手隊獲勝.已知每

名業(yè)余棋手與甲比賽獲勝的概率均為!，每名業(yè)余棋手與乙比賽獲勝的概率均為若業(yè)余棋手隊獲

34

勝，則選擇與甲進行比賽的業(yè)余棋手人數至少為()

A.24B.25C.26D.27

15.設隨機變量則函數/(力=/+?+<?存在零點的概率是.

題型服從二項分布的隨機變量概率最大問題

16.若乂~8(20q)，則P(X=Z)取得最大值時，k=.

17.有同學重復投擲一枚質地均勻的骰子并實時記錄點數1出現的次數，當投擲到第35次時，記錄到此時

點數1出現5次.若繼續(xù)再進行65次投擲試驗，則當投擲到第100次時，點數1一共出現的次數為一

的概率最大.

18.設隨機變量X~45，p),記P￡=C：pA(l-p)”T,在研究處的最大值時，某學習小組發(fā)

現并證明了如下正確結論：若5+l)P為正整數，當左=5+l)P時，0=此時這兩項概率均為最

大值；若(〃+l)P不為正整數，則當且僅當k取S+DP的整數部分時，0取最大值.某同學重復投擲

一枚質地均勻的骰子并實時記錄點數1出現的次數.當投擲到第20次時，記錄到此時點數I出現4次，

若繼續(xù)再進行80次投擲試驗，則在這100次投擲試驗中，點數1總共出現的次數為的概率最

大.

19.已知隨機變量X~8(6,〃)§<〃<$,若對9eN*,k45,都有P(X八)WP(X='〃)(〃?€N)則

￡(/〃X)的取值范圍是.

20.設隨機變量X~8(〃,p),記p*=Cp"l-p)x,4=0,1,2,.在研究凡的最大值時，某學習小組發(fā)

現并證明了如下正確結論：若5+l)P為正整數，當女=5+1)〃時，Pk=P"i，此時這兩項概率均為最

大值；若(〃+l)P不為正整數，則當且僅當k取(〃+l)P的整數部分時，取最大值.某同學重復投擲

一枚質地均勻的骰子并實時記錄點數I出現的次數.當投擲到第20次時，記錄到此時點數I出現4次，

若繼續(xù)再進行80次投擲試驗，則在這100次投擲試驗中，點數1總共出現的次數為的概率最

大.

21.已知一個質子在隨機外力作用下，從原點出發(fā)在數軸上運動，每隔一秒等可能地向數軸正方向或負方

向移動一個單位.若移動〃次，則當〃=4時，質子位于原點的概率為,當〃=一時，質子位于6

對應點處的概率最大.

利用二項分布求分布列

22.甲、乙兩名運動員進行五局三勝制的乒乓球比賽，先嬴得3局的運動員獲勝，并結束比賽.設各局比

賽的結果相互獨立，每局比賽甲贏的概率為彳2，乙贏的概率為三1.

(1)求甲獲勝的概率：

⑵設X為結束比賽所需要的局數，求隨機變量X的分布列及數學期望.

23.一個袋子中裝有N大小相同的球，其中有N1個黃球，N2個白球，從中隨機地摸出加個球作為樣本，

用X表示樣本中黃球的個數.

(1)若采取不放回摸球，當N=6,N、=2,M=4,〃?=3時，求X的分布列；

(2)若采取有放回摸球，當N=100,M=50,M=50,,〃=10時，用樣本中黃球的比例估計總體黃球的比

例，求誤差不超過0.1的概率(用分數表示).

24.“雙減”政策執(zhí)行以來，中學生有更多的時間參加志愿服務和體育鍛煉等課后活動.某校為了解學生課后

活動的情況，從全校學生中隨機選取100人，統(tǒng)計了他們一周參加課后活動的時間(單位：小時)，分

別位于區(qū)間[7,9),[9,11),[11,13),。3』5),[15,17),[17,19],用頻率分布直方圖表示如下，假設用

頻率估計概率，且每個學生參加課后活動的時間相互獨立.

八頻率/組距

0.200----……——1—

0.125-----------j—

0.075.......l

0.050……]—

0.025—T-------------?

。1113151719時間禰時

(1)估計全校學生??周參加課后活動的時間位于區(qū)間13/7)的概率：

(2)從全校學生中隨機選取3人，記J表示這3人一周參加課后活動的時間在區(qū)間[15,17)的人數，求J的分布

列和數學期望￡偌).

25.甲、乙兩位同學決定進行一次投籃比賽，他們每次投中的概率均為P,且每次投籃相互獨立，經商定共

設定5個投籃點，每個投籃點投球一次，確立的比賽規(guī)則如下：甲分別在5個投籃點投球，且每投中

一次可獲得1分；乙按約定的投籃點順序依次投球，如投中可繼續(xù)進行下一次投籃，如沒有投中，投

籃中止，且每投中一次可獲得2分.按累計得分高低確定勝負.

（1）若乙得6分的概率?，求〃；

O

⑵由（1）問中求得的〃值，判斷甲、乙兩位選手誰獲勝的可能性大？

26.鹽水詵種是古代勞動人民的智譽結晶，其原理是借助鹽水估測種子的密度,進而判斷其優(yōu)良.現對一

批某品種種子的密度（單位：g/cn?）進行測定，測定結果整理成頻率分布直方圖如圖所示，認為密度

不小于1.2的種子為優(yōu)種，小于1.2的為良種.自然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為0.8和0.5.

1頻率

［組距

101：2141：61：8種岸密度

（1）估計這批種子密度的平均值；（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）

⑵用頻率估計概率，從這批種子（總數遠大于2）中選取2粒在自然情況下種植，設萌發(fā)的種子數為X,求

隨機變量X的分布列和數學期望（各種子的萌發(fā)相互獨立）.

27.某工廠的質檢部門對擬購買的一批原料進行抽樣檢驗，以判定是接收還是拒收這批原料.現有如下兩種

抽樣檢驗方案：

方案一：隨機抽取一個容量為10的樣本，并全部檢驗，若樣本中不合格數不超過1個，則認為這批原料合

格，予以接收；

方案二：先隨機抽取一個容量為5的樣本，全部檢驗，若都合格，則予以接收；若樣本中不合格數超過1

個，則拒收：若樣本中不合格數為1個，則再抽取一個容量為5的樣本，并全部檢驗，且只有第二批樣本

全部合格才予以接收.

假設擬購進的這批原料的合格率為p（0<p<1），并用p作為原料中每件產品是合格品的概率.若每件產品所

需的檢驗費用為3元，且費用由工廠承擔.

（1）若p=j即方案二中所需的檢險費用為隨機變量X,求X的分布列與期望；

（2）分別計算兩種方案中這批原料通過檢驗的概率，若你是原料供應商，你希望質檢部門采取哪種檢驗方案?

說明理由.

二項分布之高爾頓釘板問題

28.高爾頓釘板是英國生物學家高爾頓設計的，如圖，每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每

個釘子水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進一個直徑略小于兩顆釘子之間距

離的白色圓玻璃球，白球向下降落的過程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概

率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個格子內為止現從入口

放進一個白球，則其落在第③個格子的概率為（）

①②③④⑤⑥⑦⑧

29.如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間

留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘

后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為I向右下落的概率為2:，最后落入底部的格子中.格

了從左到右分別編號為0,1,2,…，10,則小球落入號格了的概率最大.（圖片僅供參考）

30.高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一

排鐵釘數目都比上一排多一個，一排中各個鐵釘恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘的正中央.從入口處放入

一個直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將

以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘的間隙，又碰到下?排鐵釘.如此繼續(xù)下去，

在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球.

□[I]0H[?]

(1)理論上，小球落入4號容器的概率是多少？

(2)一數學興趣小組取3個小球進行試驗，設其中落入4號容器的小球的個數為X,求X的分布列.

31.高爾頓板是英國生物數學家高爾頓設計用來研究隨機現象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行

但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.讓一個小球從

高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞.且等可能向左或向右滾下，最后

掉入高爾頓板下方的某一球槽內.如圖所示的高爾頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第

2層中間的小木塊碰撞，以叁的概率向左或向右流下，依次經過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1,

2,…，7的球槽內.例如小球要掉入3號球槽，則在6次碰:童中有2次向右4次向左滾下.

1234567

(1)若進行一次高爾頓板試驗，求這個小球掉入2號球槽的概率;

(2)若進行5次高爾頓板試驗，記小球掉入偶數號球槽的次數為求J的分布列與期望.

15101051

323232323232

題型EE超幾何分布

【點撥】

1、隨機變量是否服從超幾何分布的判斷

若隨機變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試臉是不放回地抽取〃次：(2)隨機變量X表示抽取

到的次品件數(或類似事件)，反之亦然.

2、求超幾何分布的分布列的步驟

(1)險證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數N,M,〃的值；

(2)根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個使時的概率；

(3)列出分布列.

32.廠家在產品出廠前，需對產品做檢驗，廠家將一批產品發(fā)給商家時，商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一

定數量的產品做檢驗，以決定是否接收這批產品.若廠家發(fā)給商家20件產品，其中有3件不合格，按

合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產品，否則拒收.則該商

家拒收這批產品的概率是.

33.袋中裝有1()個除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個球，至少得到I個白球的概

率是現從該袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數為X,則反X尸.

34.某乒乓球隊訓練教官為了檢驗學員某項技能的水平，隨機抽取100名學員進行測試，并根據該項技能

的評價指標,按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]分成8組，得到如圖所

示的頻率分布直方圖.

⑴求。的值，并估計該項技能的評價指標的中位數(精確到0.1)；

(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標在［70,75)和［85,90)內的學員中隨機抽取12名，再從這12名學員中隨

機抽取5名學員，記抽取到學員的該項技能的評價指標在［70,75)內的學員人數為X,求X的分布列與數學

期望.

35.某公司生產一種電子產品，每批產品進入市場之前，需要對其進行檢測，現從某批產品中隨機抽取9

箱進行檢測，其中有5箱為一等品.

(1)若從這9箱產品中隨機抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；

(2)若從這9箱產品中隨機抽取3箱，記4表示抽到一等品的箱數，求4的分布列和期望.

36.課堂上，老師為了講解“利用組合數計算古典概型的問題”，準備了x(x>3,xGN-)個不同的盒子，

上面標有數字1,2,3,…，每個盒子準備裝x張形狀相同的卡片，其中一部分卡片寫有“巨額獎勵”的

字樣，另一部分卡片寫有“謝謝惠顧”的字樣.第1個盒子放有1張“巨額獎勵”，%-1張“謝謝惠顧”，

第2個盒子放有2張“巨額獎勵”，2張“謝謝惠顧”，…，以此類推.游戲時，老師在所有盒子中隨

機選取1個盒子后，再讓一個同學上臺每次從中隨機抽取1張卡片，抽取的卡片不再放回，連續(xù)抽取3

次.

(1)若老師選擇了第3個盒子,％=7,記摸至廠謝謝惠顧”卡片的張數為X,求X的分布列以及數學期望E(X)：

(2)若x=5,求該同學第3次抽至產謝謝惠顧”的概率.

37.為弘揚中國共產黨百年奮斗的光輝歷程，某校團委決定舉辦“中國共產黨黨史知識''競賽活動.競賽共有

4和B兩類試題，每類試題各10題，其中每答對I道A類試題得10分；每答對I道8類試題得20分，

答錯都不得分.每位參加競賽的同學從這兩類試題中共抽出3道題問答（每道題抽后不放歸1）.已知某

同學4類試題中有7道題能答對，而他答對各道B類試題的概率均為|.

（1）若該同學只抽取3道4類試題作答，設X表示該同學答這3道試題的總得分，求X的分布和期望；

⑵若該同學在A類試題中只抽I道題作答，求他在這次競賽中僅答對I道題的概率.

38.某從事智能教育技術研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個“AI作業(yè)”項目，并且在甲、乙兩個學校的高一學生中

做用戶測試.經過一個階段的試用，為了解“AI作業(yè)”對學生學習的促進情況，該公司隨機抽取了200名

學生，對他們的“向量數量積”知識點掌握的情況進行調查，樣本調查結果如下表：

甲校乙校

使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)

基本掌握32285030

沒有掌握8141226

假設每位學生是否掌握“向量數量積“知識點相互獨立.從樣本中沒有掌握“向量數量積”知識點的學生中隨機

抽取2名學生，用f表示抽取的2名學生中使用“AI作業(yè)”的人數，求f的分布列和數學期望

39.為了適當疏導電價矛盾，保障電力供應，支持可再生能源發(fā)展，促進節(jié)能減排，某省推出了省內居民

階梯電價的計算標準：以一個年度為計費周期，月度滾動使用.第一階梯：年用電量在2160度以下（含

2160度),執(zhí)行第一檔電價0.5653元/度;第二階梯：年用電量在2161度到4200度內(含4200度)，超

出2160度的電量執(zhí)行第二檔電價0.6153元/度：第三階梯：年用電量在4200度以上，超出4200度的

電量執(zhí)行第三檔電價0.8653元/度.

某市的電力部門從本市的用戶中隨機抽取10戶，統(tǒng)計其同一年度的用電情況，列表如下:

用戶

12345678910

編號

年用電量/度1(X)0126014001824218024232815332544114600

(1)計算表中編號為10的用戶該年應交的電費；

⑵現要在這10戶中任意選取4戶，對其用電情況進行進一步分析，求取到第二階梯的戶數的分布列.

題理也超幾何分布與二項分布

超幾何分布與二項分布的區(qū)別：

(1)超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；

(2)超幾何分布是不放回抽樣，而二項分布是放回抽樣(獨立重復)，當總體的容量非常大時，超幾何分

布近似于二項分布.

40.電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查.如

圖是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的步貝率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時

間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.將上述調查所得到的頻率視為概率.

(1)現在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中

的“體育迷”人數為X.若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列及數學期望.

⑵用分層抽樣的方法從這10。名,'體育迷”中抽取8名觀眾，再從抽取的抽取8名觀眾中隨機抽取3名，V表

示抽取的是“體育迷''的人數，求y的分布列.

41.近日，某企業(yè)舉行“猜燈謎，鬧元宵”趣味競賽活動，每個員工從8道謎語中一次性抽出4道作答.小張

有6道謎語能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語能猜中的概率均為p(0<pVI),且猜中每道謎語與

否互不影響.

(1)分別求小張，小王猜中謎語道數的分布列；

(2)若預測小張猜中謎語的道數多于小王猜中謎語的道數，求p的取值范圍.

42.4月23日是聯合國教科文組織確定的“世界讀書FT為了解某地區(qū)高一學生閱讀時間的分配情況，從該

地區(qū)隨機抽取了500名高一學生進行在線調查，得到了這500名學生的日平均閱讀時間(單位：小時)，

并將樣本數據分成［0,成、(2,4］、(4,6］、(6,8］、(8,10］、(10,12］、(12,14］>(14,16］>(16,18］九組,繪制

成如圖所示的頻率分布直方圖.

f頻率

0.15...............

5

OS..O4

.O3

O..O2

()..O1

()..O

O

24681012141618日平均閱讀時間/小時

(1)求頻率分布直方圖中Q的值；

(2)為進一步了解這500名學生數字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在

(6,8］、(14,16］、(16,18］三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10人中隨機抽取3人,

記口平均閱讀時間在(14,16］內的學生人數為X,求X的分布列和數學期望；

(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取8名學生，用P(￡)表示這8名學生中恰有k名

學生日平均閱讀時間在(8,12］內的概率，其中k=0,1,2,?一8.當。伏)最大時，請直接寫出k的值.(不需要說明

理由)

43.某學校從全體師生中隨機抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會實踐活動.

⑴假設30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數為。，從學校全體男生中隨機選取3人，記X為

3人中身高不超過。的人數，以頻率估計概率求X的分布列及數學期望：

（2）從參加社會實踐活動的72人中一次性隨機選出30位，記被選出的人中恰好有々（攵=1,2,…,3。）個男生的

概率為2（女）,求使得P（k）取得最大值的攵的值.

44.為不斷改進勞動教育，進一步深化勞動教育改革，現從某單位全體員工中隨機抽取3人做問卷調查.已

知某單位有N名員工，其中:是男性，:是女性.

（1）當N=20時，求出3人中男性員工人數X的分布列和數學期望；

（2）我們知道，當總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現在全市范圍內考慮.

從、名員工（男女比例不變）中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作Pi：有二項

分布中（即男性員工的人數X?〃（3,，）男性員工恰有2人的概率記作匕.那么當N至少為多少時，我們可

以在誤差不超過0.001（即Pi-P2W0.001）的前提下認為超幾何分布近似為二項分布.（參考數據：V578?

24.04）

45.杭州第19屆亞運會后，多所高校掀起了體育運動的熱潮.為了深入了解學生在“藝術體操''活動中的參

與情況，隨機選取了10所高校進行研究，得到數據繪制成如下的折線圖：

(1)若“藝術體操”參與人數超過35人的學?？梢宰鳛椤盎匦！?，現在從這10所學校中隨機選出3所，記可

作為“基地?！钡膶W校個數為f,求f的分布列和數學期望；

⑵現有一個“藝術體操”集訓班，對“支撐、手倒立、手翻''這3個動作技巧進行集訓，且在集訓中進行了多

輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”.在集訓

測試中，某同學3個動作中每個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為|,每個動作及每輪測試互不影響.如果該同學

在集訓測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數的平均值達到8次，那么理論上至少要進行多少輪測試？

正態(tài)分布：正態(tài)曲線的對稱性

46.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,〃)，若尸(XWa)=0.32,則P(.vXW4-a)=.

47.已知隨機變量X~8(8.〃),y~N(〃,『)，P(X>4)=1,且七(X)=E(Y),則〃=.

48.已知若函數/(X)=/>(XWJWX+3)為偶函數，則〃=.

49.設1~N(O,1),且P(歲vl.623)=p,那么P(-1.6234?！?)的值是()

A.pB.~PC.7?-0.5D.0.5-p

50.已知隨機變量X?8(2,p),隨機變量丫?N(2,"),若尸(XW1)=0.36，?“<4)=p,則尸(0<V<2)=

()

A.0.1B.0.2C.0.3D,0.4

題理*正態(tài)分布的實際應用(選填)

51.研究人員采取普查的方式調查某市國企普通職工的收入情況，記被調杳的職工的收入為X,統(tǒng)計分析可

知X~77(4200,62500),則尸(34504X44450)=()

參考數據：若4~N(〃,CT2),則尸(〃一b4g<〃+b)=().6827,P(/z-2cr<<//+2a)=0.9545,

P(,Z/-3CT<^<//+3O-)=0.9973.

A.0.8186B.0.9759C.0.74D.0.84

52.長風工廠產品質量指標X服從正態(tài)分布MIO。。>質量指標介于98至102之間的產品為良品.為使這種

產品的良品率達到95.45%,則需要調整生產工藝，使得。至多為.(若X?N(〃,『)，則

P{\X-fi\<2b}=0.9545)

53.山東煙臺某地種植的蘋果按果徑X(單位：mm)的大小分級，其中XW(8(),1(叫的蘋果為特級，且該

地種植的蘋果果徑X~N(85,25).若在某一次采摘中，該地果農采摘了2萬個蘋果，則其中特級蘋果

的個數約為()(參考數據：

P(〃-b<XV〃+b)H0.6827.P(4-2b<XK〃+2cr)?0.9545,尸(〃-3b<XK〃+3<r)n0.9973)

A.3000B.13654C.16800D.19946

54.在某次大型人才招聘活動中，共有2000人參加筆試，筆試成績位于區(qū)間[70,80),[80,90),[90,100]的

人數分別為683,272,45,已知此次筆試滿分為100分，且成績近似服從正態(tài)分布，則筆試成績的標

準差約為(參考數據：若則尸(〃—2o〈Xv4+2b)=0.9545)

正態(tài)分布大題專練

55.某地區(qū)舉行專業(yè)技能考試，共有8000人參加，分為初試和旦試，初試通過后方可參加復試.為了解考

生的考試情況，隨機抽取了100名考生的初試成績繪制成如圖所示的樣本頻率分布直方圖.

(2)若所有考生的初試成績近似服從正態(tài)分布NJ。?)，其中〃為樣本平均數的估計值，試估計所有

考生中初試成績不低于80分的人數；

(3)復試共四道題，前兩道題考生每題答對得5分，答錯得0分，后兩道題考生每題答對得10分，答錯得0

分，四道題的總得分為考生的復試成績.已知某考生進入復試，他在復試中前兩題每道題能答對的概率均

為:，后兩題每道題能答對的概率均為：，且每道題回答正確與否互不影響.記該考生的復試成績?yōu)閄,

45

求P(XN20).

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(〃Q2),則：P(〃—bvX<〃+b)=().6827,

-2b<Xv〃+2cr)=0.9545,P(//-3cr<X<//+3cr)=0.9973.

56.零件的精度幾乎決定了產品的質量，越精密的零件其精度要求也會越高.某企業(yè)為了提高零件產品質量,

質檢部門隨機抽查了100個零件的直徑進行了統(tǒng)計整理，得到數據如下表:

零件直徑(單位：厘米)[1.0,1.2)[1.2,14)[1.4,1.6)[1,6,1.8)[1.8,2.0]

零件個數1025302510

已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布N(〃Q2),分別為這I。。個零件的直徑的平均數及方差(同一

組區(qū)間的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點值代表).

(1)分別求〃，排的值；

(2)試估計這批零件直徑在［1.0441.728］的概率;

(3)隨機抽查2000個零件，估計在這2000個零件中，零件的直徑在［1.0441.728］的個數.

參考數據：而反。0.228；若隨機變量4?則尸(4—bWjw〃+b)a0.6827,

P(u-2cr<^<//+2a)?0.9545,P(//-3<r<^<//+3CF)?0.9973.

57.某公司建有1000個銷售群，在某產品的銷售旺季，所有群銷售件數X服從正態(tài)分布NR,/),其中〃=

376,a2=12100,公司把銷售件數不小于596的群稱為“A級群”，銷售件數在［266,596)齒的群為“B級

群”，銷售件數小于266的群為“C級群”.

(1)若P(X<a)>P(X>2a-l),求a的取值范圍：

⑵該公司決定對每個"A級群''獎勵1000元，每個“B級群”獎勵500元，每個“C級群”獎勵200元，那么公

司大約需要準備多少獎金？(群的個數按四舍五入取整數)

附：若，X?N3，。?)，則P(〃-o<XV4+o)、0.6827,P(〃-2。<X<〃+2。)、0.9545,P(〃-3。<

X〈〃+3o)a0.9973.

58.在某市舉行的2024屆高三第一次市統(tǒng)考中，為調查本次考試數學試卷的有效性，市教研部門從參加本

次數學考試且成績在5()分及以上的學生中隨機抽取1000名學生的成績作為樣本，并將數據統(tǒng)計如下

表所示.

成績X[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)

人數y2022053020030

⑴假設樣本中的數學考試成績X