考點19?圓的相關(guān)概念與性質(zhì)（精講）

【命題趨勢】

圓的相關(guān)概念及性質(zhì)在中考數(shù)學(xué)中，小題通常考查圓的基本概念、垂徑定理、圓周角定理.、圓內(nèi)接四

邊形等基礎(chǔ)考點，難度一般在中檔及以下，而在解答題中，圓的基本性質(zhì)還可以和相似、三角形函數(shù)、特

殊四邊形等結(jié)合出題，難度中等或偏上。在整個中考中的占比乜不是很大，通常都是一道小題一道大題，

分值在8To分左右，屬于中考中的中檔考題。所以考生在復(fù)習(xí)這塊考點的時候，要充分掌握圓的基本性質(zhì)

的各個概念、性質(zhì)以及推論。

【知識清單】

1.與圓有關(guān)的概念（☆）

I）圓：平面上到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的所有點組成的圖形。

2）弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑,直徑是圓內(nèi)最長的弦。

3）?。簣A上任意兩點間的部分叫做強，符號：；小于半圓的弧叫劣弧,大于半圓的弧叫優(yōu)弧。

4）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。

5）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角。

6）弦心距：圓心到弦的距離，叫弦心￡上。

7）同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做圓圓；等圓：半徑相等的圓叫做等圓;同心圓：圓心相同，半徑不

相等的兩個圓叫做同心圓。

8）在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等弧,度數(shù)或長度相等的弧不一定是等弧。

2：二圓的相關(guān)性質(zhì)及推理（☆☆☆）

1）圓的對稱性

（1）圓既是地對稱圖形，又是中心對稱圖形。其中直徑所在的直線都是圓的對稱軸；圓心是圓的對稱中心，

將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這說明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。

（2）圓是一個特殊的對稱圖形，它的許多性質(zhì)都可以由它的對稱性推出。

2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧。

解題技巧：關(guān)廣垂徑定理的計算常與勾股定理相結(jié)合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂

線，構(gòu)造直角三角形。

3）推論

1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；

2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

3）如圖，可得①48過圓心：②加團CD；③CE=DE；?AC=ADx⑤BC=BO。

總結(jié)：垂徑定理及其推論實質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心；（2）垂直于弦：（3）平分弦（被平分的弦

不是直徑）；（4）平分弦所對的優(yōu)??；（5）平分弦所對的劣弧。若已知五個條件中的兩個，那么可推出其中

三個，簡稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運用該定理。

4）弧、弦、圓心角的關(guān)系

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相箜，那么它們

所對應(yīng)的其余自組量分別相等。

解題技巧：運用這些相等關(guān)系，可以實現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化。

5）圓周角定理：?條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的—生。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是宜.角,90。的圓周角所對的弦是直.徑。

注意：圓的一條?。ㄏ遥┲粚χ粋€圓心角，對應(yīng)的圓周角有元數(shù)個，但圓周角的度數(shù)只有兩個，這兩個

度數(shù)和為180。。

6）圓內(nèi)接四邊形：如果四邊形的四個頂點均在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形。這個圓叫做這

個四邊形的外接圓。

性質(zhì)：（1）圓內(nèi)接四邊形2；!魚互型；（2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角。

解題技巧：（1）在證明圓周角相等或弧相等時，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?；（2）當(dāng)已知

圓的直徑時，常構(gòu)造直徑所對的圓周角；（3）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化。比

如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余

進行轉(zhuǎn)化等。

【易錯點歸納】

1.求兩條弦間的距離時要分類討論兩條弦與圓心的相對位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)。

2.圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的

圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角。

【核心考點】

核心考點1.圓的有關(guān)概念

例1：（2025?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期末）下列說法中正確的是（）

A.直徑是弦，半圓不是弧B.相等的圓心角所對的弧也相等

C.周長相等的兩個圓是等圓D.圓是軸對稱圖形，每一條直徑都是它的對稱軸

變式1.（2025?江蘇宿遷?九年級校聯(lián)考期中）下列說法中，正確的是（）

A.半圓是弧，弧也是半圓B.長度相等的弧是等弧C.弦是直徑D.在一個圓中，直徑是最長的弦

變式2.（2025?福建?校考二模）生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進井里去，這是因為（）

A.同樣長度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B.同一個圓所有的直徑都相等

C.圓的周長是直徑的不倍D.圓是粕對稱圖形

例2：（2025?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由

兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正

確的是（）

A.只有甲是扇形B.只有乙是扇形C.只有丙是扇形D.只有乙、丙是扇形

變式1.（2025上?河北滄州?九年級?？计谥校┤鐖D，由點。引出的PA、PB、PC、0。為，。的四條弦，其

中最長的是（）

A.PAB.PBC.PCD.PD

變式2.（2025?浙江紹興?校聯(lián)考三模）計算機處理任務(wù)時，經(jīng)常會以圓形進度條的形式顯示任務(wù)完成的百分

比.下面是同一個任務(wù)進行到不同階段時進度條的示意圖：若圓半徑為1，當(dāng)任務(wù)完成的百分比為x時，線

段的長度記為d（x）.下列描述正確的是（）

A.4(25%)=1當(dāng)x>50%時，6/(x)>l

C.當(dāng)%>天時，d(%)>d(%)D.當(dāng)司+&=100%時，〃（%）=水々）

例3：（2025年江蘇省徐州市中考數(shù)學(xué)真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了

解到：玉壁，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅?釋器》記載：“肉倍好,

謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán).”如阻1,"肉”指邊（陰影部分），"好〃指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)

看，這兩種玉器的“肉”與”好〃未必符合該比例關(guān)系.

⑴若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為:

⑵利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）.

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)〃及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一〃？

②圖3表示一件圓形玉壞，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好〃，請畫出內(nèi)孔.

變式1.（2025?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，己知圓的直徑與正

方形的對角線之比為3：1,則圓的面積約為正方形面積的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

變式2.（2025?山東德州?統(tǒng)考二模）《墨子?天文志》記載："執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓."度方知圓，感悟數(shù)

學(xué)之美.如圖，正方形48C、。的面積為2,以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形A'B'CD,若

A'B':A3=2:1,則四邊形A'B'CD'的外接圓的周長為.

例4：（2025.山東東營?統(tǒng)考中考真題）如圖，在（。中，弦AP〃半徑C*/AQC=40。，則NAOC的度數(shù)

為__________

變式1.（2025?湖南?校考二模）如圖，點A,B,C均在“＞上，若NA=48。，NC=15。，則N8=（）

'B

A.48°B.78°C.63°D.49°

變式2.（2025年江西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點A,B,C,D均在直線/上，點2在直線/外，則經(jīng)過其

中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為（）

ABCD

A.3個B.4個C.5個D.6個

例5：（2024上?北京豐臺?九年級統(tǒng)考期末）如圖，點。為線段AB的中點，ZACB=ZADB=90°,連接OC,

OZ）.則下面結(jié)論不一定成立的是（）

A.OC=ODB.NBDC=NBACC.ZBCD+ZBAD=180°D.AC平分N8AZ）

變式1.（2025上?江蘇無錫?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，線段48為。的直徑，點C在48的延長線上,

AB=4,8C=2,點。是：。上一動點，連接。尸，以CP為斜邊在PC的上方作M&PC。，且使NDCP=60。,

A.719B.275C.2百十1D.4

變式2.（2025?廣東汕頭?統(tǒng)考一模）如圖，在等腰RJA8C中，AC=，點。在以斜邊A3為直徑

的半圓上，M為PC的中點.當(dāng)點尸沿半圓從點A運動至點8時，點M運動的路徑長是.

核心考點2.圓的相關(guān)性質(zhì)及推理

例5：（2025?四川德陽?模擬預(yù)測）下列語句中，正確的是（）

①相等的圓周角所對的弧相等；②同弧或等弧所對的圓周角相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦

所對的??；④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形.

A.B.②③C.②?D.④

變式1.（2025上?內(nèi)蒙古呼和浩特?九年級?？计谥校┫铝忻}錯誤的有（）個

A.弧長相等的兩段弧是等?。籅.過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條??；C,圓是軸對稱圖形，任何一條

直徑都是它的對稱軸；D.如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點在同一個圓上.

A.1B.2C.3D.4

變式2.（2024上?河南新鄉(xiāng)?九年級統(tǒng)考期末）有下列命題：①不在同一條直線上的三個點確定一個圓；②

相等的圓心角所對的弦相等；③同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A心角等于該弧所對的圓周角的一半；④一角形內(nèi)

切圓的圓心是三角形的內(nèi)心，是三邊垂直平分線的交點；⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補.其中真命題的個數(shù)

有個.

例6：（2025年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷））陜西飲食文化源遠流長，“老碗面〃是陜西地方特色美食之一.圖

②是從正面看到的一個“老碗"（圖①）的形狀示意圖.A8是。。的一部分，。是的中點，連接O。，

與弦A8交于點C,連接。4,OB.已知A8=24cm,碗深CD=8cm,則O的半徑。4為（）

圖①

A.13cmC.17cmD.26cm

變式1.（2025年湖北省宜昌市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，OA,OB,OC都是0。的半徑，AC,08交于點。.若

AD=CD=8,00=6,則50的長為().

B

A.5B.4C.3D.2

變式2.（2024?四川涼山?統(tǒng)考模擬預(yù)測）建設(shè)中的“樂西高速”是樂山市與西昌市的重要通道，建成后將極大

改善區(qū)域內(nèi)交通運輸條件，并對沿途各縣的經(jīng)濟發(fā)展有極大地促進作用，如圖是其中一個在建隧道的橫截

面，它的形狀是以點。為圓心的圓的一部分，若M是回。中弦CD的中點，EM經(jīng)過圓心。交日。于點￡,

且CD=8〃2,EM=8m,貝崛。的半徑為（）m

例7：（2025?遼寧撫順?校聯(lián)考一模）如圖，四邊形A8CO內(nèi)接。，4c平分N84O,則下列結(jié)論正確的是

()

A.AB=ADB.BC=CDC.AB=ADD.ZfiC4=ZDC4

變式L（2025?安徽滁州?校聯(lián)考一模）如圖，A8是回。的直徑，點C為圓上一點，4C=4夜，。是弧AC

的中點，AC與BD交于點E.若E是8。的中點，則的長為（）

11

EC

B

O

A.5B.3C.2D.1

變式2.（2025?四川成都?模擬預(yù)測）如圖，在中，弦A。、BC相交于點E,連接OE,已知八8=

⑴求證：BE=DE;（2）如果。。的半徑為5,AD工CB,DE=1,求AE的長.

例8：（2025年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在CO中，半徑OAO4互相垂直，點。在劣弧人4上.若

48c=19。，則N8AC=()

A

A.23°B.24°C.25°D.26°

變式1.（2025年遼寧省阜新市中考數(shù)學(xué)真題）如圖,A,8,C是G。上的三點，若Z4OC=90。，ZACB=25°,

C.40°D.50°

變式2.（2025年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，4c4c為。。的兩條弦，D,G分別為AC4c的中

點，的半徑為2.若NC=45。，則。G的長為（）

3

D.x/2

.2

例9:（2025年山東省棗莊市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在，O中，弦A?相交于點P,若NA=48。，乙4P。=80。,

則的度數(shù)為（）

變式L（2025?河北滄州?統(tǒng)考二模）某圓形舞臺，圓心為O.A,3是舞臺邊緣上兩個固定位置，由線段A8

及優(yōu)弧ACB（點C是該弧中點）圍成的區(qū)域是表演區(qū).如圖1,在A處安裝一臺監(jiān)控器，其監(jiān)控的度為70。.如

圖2,若再加一臺該型號的監(jiān)控器，可以監(jiān)控到表演區(qū)的整個區(qū)域，則下列方案可行的是（）

甲：在8處放置；乙：在M處放置；丙：在N處放置

A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙D.甲、乙、丙

變式2.（2025?遼寧撫順?統(tǒng)考一模）如圖，,ABC是，。的內(nèi)接三角形，AB為。的直徑，平分NACB,

交00于點。，連接A。，點E在弦CD上，且石￡）=人。，連接AE.

⑴求證：N84E=NC4E；(2)若/B=60°,A8=8,求4E的長.

例10:（2025年遼寧省營口市中考數(shù)學(xué)真題）如圖所示，4。是。的直徑，弦BC交AO于點E,連接ABAC,

若/孫。=30。，則ZAC3的度數(shù)是（）

C.70°D.60°

變式1.（2025年廣東省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，/W是O的直徑，NBAC=50。，則NO=（）

40°C.50°D.80°

變式2.（2025?江蘇鹽城?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，A〃是。的直徑，點C是8D的中點，CEJ.AB于點E,BD

交CE于點立⑴求證：CF=BF；⑵若BE=OE=3,求AQ的長度.

例11：（2025年西藏自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于（。，E為8。延長線上一點.若

D.140°

變式1.（2025年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AB是。的直徑，。，C是，。上的點,ZADC=115°,

C.35°D.40°

變式2.（2025年江蘇省淮安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形A8CD是O的內(nèi)接四邊形，8。是。的直徑,

BC=2CD,則的度數(shù)是

例12：（2025?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形A&7。為矩形，AB=3,BC=4.點P是線段3c上

一動點，點M為線段AP上一點.=則3M的最小值為（）

D

A.1B.yC.V13-|D.V13-2

變式1.（2025上?江蘇蘇州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，以式0,1）為圓心,半徑為2的圓與x軸交于4,B

兩點，與y軸交于C,D兩點，點E為（G上一動點，作b_LAE于點足當(dāng)點E從點3出發(fā)，順時針旋轉(zhuǎn)

到點。時，點〃所經(jīng)過的路徑長為（)

c.q

A.鳥B凡D.里

4323

變式2.（2025?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形A8CD中，^ABC=ZBAD=90°,AB=5,AD=4,AD<BC,

點E在線段8c上運動，點尸在線段4E上，NAD尸=NR4E,則線段環(huán)的最小值為

BE

考點19?圓的相關(guān)概念與性質(zhì)（精講）

【命題趨勢】

圓的相關(guān)概念及性質(zhì)在中考數(shù)學(xué)中，小題通?？疾閳A的基本概念、垂徑定理、圓周角定理.、圓內(nèi)接四

邊形等基礎(chǔ)考點，難度一般在中檔及以下，而在解答題中，圓的基本性質(zhì)還可以和相似、三角形函數(shù)、特

殊四邊形等結(jié)合出題，難度中等或偏上。在整個中考中的占比乜不是很大，通常都是一道小題一道大題，

分值在8To分左右，屬于中考中的中檔考題。所以考生在復(fù)習(xí)這塊考點的時候，要充分掌握圓的基本性質(zhì)

的各個概念、性質(zhì)以及推論。

【知識清單】

1.與圓有關(guān)的概念（☆）

I）圓：平面上到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的所有點組成的圖形。

2）弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑,直徑是圓內(nèi)最長的弦。

3）?。簣A上任意兩點間的部分叫做強，符號：；小于半圓的弧叫劣弧,大于半圓的弧叫優(yōu)弧。

4）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。

5）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角。

6）弦心距：圓心到弦的距離，叫弦心￡上。

7）同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做圓圓；等圓：半徑相等的圓叫做等圓;同心圓：圓心相同，半徑不

相等的兩個圓叫做同心圓。

8）在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等弧,度數(shù)或長度相等的弧不一定是等弧。

2：二圓的相關(guān)性質(zhì)及推理（☆☆☆）

1）圓的對稱性

（1）圓既是地對稱圖形，又是中心對稱圖形。其中直徑所在的直線都是圓的對稱軸；圓心是圓的對稱中心，

將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這說明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。

（2）圓是一個特殊的對稱圖形，它的許多性質(zhì)都可以由它的對稱性推出。

2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧。

解題技巧：關(guān)廣垂徑定理的計算常與勾股定理相結(jié)合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂

線，構(gòu)造直角三角形。

3）推論

1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；

2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

3）如圖，可得①48過圓心：②加團CD；③CE=DE；?AC=ADx⑤BC=BO。

總結(jié)：垂徑定理及其推論實質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心；（2）垂直于弦：（3）平分弦（被平分的弦

不是直徑）；（4）平分弦所對的優(yōu)??；（5）平分弦所對的劣弧。若已知五個條件中的兩個，那么可推出其中

三個，簡稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運用該定理。

4）弧、弦、圓心角的關(guān)系

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相箜，那么它們

所對應(yīng)的其余自組量分別相等。

解題技巧：運用這些相等關(guān)系，可以實現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化。

5）圓周角定理：?條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的—生。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是宜.角,90。的圓周角所對的弦是直.徑。

注意：圓的一條?。ㄏ遥┲粚χ粋€圓心角，對應(yīng)的圓周角有元數(shù)個，但圓周角的度數(shù)只有兩個，這兩個

度數(shù)和為180。。

6）圓內(nèi)接四邊形：如果四邊形的四個頂點均在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形。這個圓叫做這

個四邊形的外接圓。

性質(zhì)：（1）圓內(nèi)接四邊形2；!魚互型；（2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角。

解題技巧：（1）在證明圓周角相等或弧相等時，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?；（2）當(dāng)已知

圓的直徑時，常構(gòu)造直徑所對的圓周角；（3）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化。比

如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余

進行轉(zhuǎn)化等。

【易錯點歸納】

1.求兩條弦間的距離時要分類討論兩條弦與圓心的相對位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)。

2.圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的

圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角。

【核心考點】

核心考點1.圓的有關(guān)概念

例1：（2025?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期末）下列說法中正確的是（）

A.直徑是弦，半圓不是弧B.相等的圓心角所對的弧也相等

C.周長相等的兩個圓是等圓D.圓是軸對稱圖形，每一條直徑都是它的對稱軸

【答案】C

【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì).根據(jù)圓的基本性質(zhì)，逐項判斷，即可求解.

【詳解】解：A、直徑是弦，半圓是弧，故本選項錯誤，不符合題意；

B、同圓（或等圓）中，相等的圓心角所對的弧也相等，故本選項錯誤，不符合題意；

C、周長相等的兩個圓是等圓，故本選項正確，符合題意；D、圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都

是它的對稱軸，故本選項錯誤，不符合題意；故選：C

變式1.（2025?江蘇宿遷?九年級校聯(lián)考期中）下列說法中，正確的是（）

A.半圓是弧，弧也是半圓B.長度相等的弧是等弧C.弦是直徑D.在一個圓中，直徑是最長的弦

【答案】D

【分析】本題考查圓的基本概念辨析.根據(jù)?。簣A上兩點及其所夾的部分；弦：連接圓上兩點形成的線段，

逐一進行判斷即可.

【詳解】解：A、半圓是弧，但弧不一定是半圓，故選項錯誤；

B、在同圓或等廁中,長度相等的弧是等弧.故選項錯誤：C、弦不一定是百杼.故選項錯誤：

D、在一個圓中，直徑是最長的弦，故選項正確；故選D.

變式2.（2025?福建?校考二模）生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進井里去，這是因為（）

A.同樣長度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B.同一個圓所有的直徑都相等

C.圓的周長是直徑的〃倍D,圓是粕對稱圖形

【答案】B

【分析】根據(jù)圓的特征即可求解.

【詳解】解：根據(jù)同一個圓所有的直徑都相等，則井蓋就不會掉進井里去，故選：B.

【點睛】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識，理解并掌握圓的基礎(chǔ)知識，圓的基本特征是解題的關(guān)鍵.

例2：（2025?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由

兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心。的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正

確的是（）

A.只有甲是扇形B.只有乙是扇形C.只有丙是扇形D.只有乙、丙是扇形

【答案】B

【分析［根據(jù)扇形的定義，即可求解.扇形，是圓的一部分，由兩個半徑和和一段弧圍成.

【詳解】解：甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖

形；丙是由不過圓心。的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，只有乙是扇形，故選：B.

【點睛】本題考查了扇形的定義，熟練掌握扇形的定義是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2025上?河北滄州?九年級校考期中）如圖，由點戶引出的PA、PB、PC、9為，。的四條弦，其

中最長的是（）

A.PAB.PBC.PCD.PD

【答案】C

【分析】小題考行了圓中最長的弦為直徑，根據(jù)圓中最長的弦為直徑進行作答即可.

【詳解】解：由圖可知，PC過圓心為直徑，國尸C最長，故選：C.

變式2.（2025?浙江紹興?校聯(lián)考三模）計算機處理任務(wù)時，經(jīng)常會以圓形進度條的形式顯示任務(wù)完成的百分

比.下面是同一個任務(wù)進行到不同階段時進度條的示意圖：若圓半徑為1，當(dāng)任務(wù)完成的百分比為x時，線

段的長度記為4（x）.下列描述正確的是（）

A.6/(25%)=!B.當(dāng)x>50%時,d(x)〉l

C.當(dāng)時，d（內(nèi)）＞d（&）D.當(dāng)N+為=100%時，d(xP=d(x，

【答案】D

【分析】根據(jù)已知，利用圖象判斷即可.

【詳解】解：如圖，當(dāng)x=25%時，/MON=90。

當(dāng)工=50%時，ZMON=180。；OM=ON=\；

A、d（25%）=及＞1，本選項不符合題意；B、當(dāng)x＞50%時，0Sd（x）＜4,本選項不符合題意；

C、當(dāng)時，d&）與4（々）可能相等，可能不等，本選項不符合題意；

D、當(dāng)A+±=100%時，水芭）=水七），本選項符合題意；故選：D.

【點睛】本題考查了圓知識的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

例3：（2025年江蘇省徐州市中考數(shù)學(xué)真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉〃展廳參觀時了

解到；玉壁，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)三器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅?釋器》記載：“肉倍好,

謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán).〃如四1，“肉”指邊（陰影部分），“好〃指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)

看，這兩種玉器的“肉〃與”好〃未必符合該比例關(guān)系.

壁（肉倍好）環(huán)（肉好若一）

圖I圖2圖3

⑴若圖1中兩個大圓的直徑相等，則壁與環(huán)的“肉〃的面積之比為；

⑵利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）.

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)〃及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”

②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好〃，請畫出內(nèi)孔.

【答案】（1）32:27（2）①符合，圖見詳解；②圖見詳解

【分析】（1）根據(jù)圓環(huán)面積可進行求解；（2）①先確定該圓環(huán)的圓心，然后利用圓規(guī)確定其比例關(guān)系即可；

②先確定好圓的圓心，然后根據(jù)平行線所截線段成比例可進行作圖.

【詳解】⑴解：由圖1可知：璧的“肉”的面積為兀x（32-『）二肺；環(huán)的“肉”的面積為乃x（32-1.52）=6.75乃，

團它們的面積之比為8萬:6.754=32:27：故答案為32:27；

（2）解：①在該圓環(huán)任意畫兩條相交的線，且交點在外圓的圓上，且與外圓的交點分別為4、B、C,則

分別以A、4為圓心，大于;48長為半徑畫弧，交于兩點，連接這兩點，同理可畫出線段4c的垂直平分線，

線段A8.AC的垂直平分線的交點即為圓心0,過圓心。畫一條宜徑，以。為圓心，內(nèi)圓半徑為半徑畫弧，

看是否滿足“肉好若一”的比例關(guān)系即可

由作圖可知滿足比例關(guān)系為1:2:1的關(guān)系；

②按照①中作出圓的圓心0,過圓心畫一條直徑AA,過點A作一條射線，然后以A為圓心，適當(dāng)長為半

徑畫瓠，把射線三等分，交點分另J為C、。、E,連接死，然后分別過點。、短作房的平行線，交A8于點

F、G,進而以FG為直徑畫圓，則問題得解：如圖所示：

【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例，熟練掌握圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段

成比例是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2025?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正

方形的對角線之比為3：1,則圓的面積約為正方形面積的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

【答案】B

【分析】設(shè)OB=x,則。4=3X,BC=2X,根據(jù)圓的面積公式和正方形的面積公式，求出面積，進而即可求解.

【詳解】解：由圓和正方形的對稱性，可知：O4=OQ,OB=OC

團圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1,由設(shè)O8=x,則OA=3.x,BC=2A,

團圓的面積=兀（31）2=96，正方形的面積（2x『=21,

9

能以2“工2=3不。］4,即：圓的面積約為正方形面積的14倍，故選B.

【點睛】本題主要考查圓和正方形的面積以及對稱性，根據(jù)題意畫出圖形，用未知數(shù)表示各個圖形的面積，

是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2025?山東德州?統(tǒng)考二模）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓.”度方知圓，感悟數(shù)

學(xué)之美.如圖，正方形ABC。的面積為2,以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形A7TC77,若

Ab:A8=2:1,則四邊形的外接圓的周長為.

【答案】44

【分析】根據(jù)正方形A8C力的面積為2,求出A8=0，根據(jù)位似比求出夜，周長即可得出;

【詳解】解：連接AC,則AC是四邊形A'/TC。的外接圓的直徑.

；正方形ABCZ）的面積為2,AB=6，/VB':AB=2:1,；?A'B'=B'C'=2丘，

「?=4,團四邊形ATTCT）的外接圓的周長=AC萬=4萬；故答案為：4-

【點睛】本題考查位似圖形，涉及知識點：正方形的面積，正方形的對角線，圓的周長，解題關(guān)鍵求出正

方形A8C。的邊長.

例4：（2025?山東東營?統(tǒng)考中考真題）如圖，在（O中，弦AC〃半徑OB,NBOC=40。，則/人OC的度數(shù)

為■

【答案】1007100

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出同OCA的度數(shù)，再根據(jù)等邊對等角求出同OAC的度數(shù)，即可利用三角形內(nèi)

角和定理求出財。C的度數(shù).

【詳解】解：^\AC//OB,甌OCH38OC=40。，

回。3=。。，團團OAC=l2OC4=40°,皿OC=180°-回OAC團。C4=100°,故答案為：100°.

【點睛】本題主要考杳了平行線的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟知相

關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2025?湖南長沙??？级＃┤鐖D，點4,B,C均在0。上，若/A=48。，NC=15。，則//=（）

【答案】C

【分析】連接。4,根據(jù)等邊對等角得H；/OAC=/C=15。，則/。48=63。，最后根據(jù)等角對等角得出

NB=/OAB,即可求解.

【詳解】解：如圖，連接。4,0（M=OC,（3/Q4C=/C=15。，

A

團N84C=48。，團/。4"=48。+15。=63。，團。4=08,（3N5==63。.故選：C.

【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握半徑相等，等腰三角形“等

邊對等角〃.

變式2.（2025年江西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點A,B,C,D均在直線/上，點。在直線/外，則經(jīng)過其

中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為（）

P?

ABCD

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】D

【分析】根據(jù)不共線三點確定一個圓可得，直線上任意2個點加上點P可以畫出一個圓，據(jù)此列舉所有可能

即可求解.

【詳解】解：依題意，48；AC；AD；B,C；B,D,C。加上點P可以畫出一個圓，

回共有6個，故選：D.

【點睛】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不共線三點確定一個圓是解題的關(guān)鍵.

例5：（2024上?北京豐臺?九年級統(tǒng)考期末）如圖，點O為線段A8的中點，NAC/3=Z/V%=9（）。，連接。C,

OD.則下面結(jié)論不一定成立的是（）

A.OC=ODB./BDC=/BACC.ZBCD+ZBAD=\^)°D.AC平分/朋。

【答案】D

【分析】本題考查了直角三角形的特征，圓的定義，圓的基本性質(zhì)；由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的

一半得8=OC=04=O8,再止圓的定義得點4、。、C、B在以。為|員I心，長為半徑的圓」；由圓的

基本性質(zhì)及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求解；掌握有關(guān)性質(zhì)，能根據(jù)圓的定義確定A、。、C、8四點共圓

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,,,點0為線段A4的中點，ZACB=ZADB=90。,

OD=-AB,OC=-AB,..OD=OC=OA=OB,

22

???點4、D、C、3在以。為圓心，長為半徑的圓上，如圖，故A結(jié)論正確，不符合題意；

由圓周角定理得到N8OC=NB4C,故B結(jié)論正確，不符合題意；

"四邊形A8CO是圓內(nèi)接四邊形，「.N8cO+N朋力=180。，故C結(jié)論正確，不符合題意；

vBC和C。不一定相等，NDAC和/胡。不一定相等，

二?AC不一定平分N84O,故D結(jié)論錯誤，符合題意.故選：D.

變式1.（2025上?江蘇無錫?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，線段為。的直徑，點。在4B的延長線上,

AB=4,8C=2,點P是:。上一動點，連接CQ,以CP為斜邊在PC的上方作且使NDC〃=60。,

A.MB.2x/3C.2百+1D.4

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系;作艮OE,使得NCEO=90。，NECO=60。,

QpCPI

貝|JCO=2CE,OE=2y/3,NOCP=/ECD,由△COPs^CE。，推出二二==2,ED=-OP=\（定長）,

EDCD2

由點石是定點，OE是定長，點Q在半徑為1的OE上，由此即可解決問題.

【詳解】解：如圖，作CO石，使得NCEO=90。，ZECO=60°,則CO=2CE,。七=20，/OCP=ZECD,

COCPc

.CP=2CD,：.——=——=2,

CECD

OPCPi

ICOSCED,—=2,B[JED=-OP=1（定長）,

???點E是定點,DE是定長，，點。在半徑為1的。EE

OD￡OE+DE=26+1,「.OQ的最大值為2百+1,故選：C.

變式2.(2025?廣東汕頭?統(tǒng)考一模)如圖，在等腰RSA4C中，AC=笈。=30，點〃在以斜邊為直.徑

的半圓上，M為尸。的中點.當(dāng)點P沿半圓從點4運動至點8時，點”運動的路徑長是

【分析】取48中點O,連接OP,0C,取0C中點。，連接MZ),由勾股定理可得AA的長度，由三角形中

位線定理可知。例二:。。，可以推出點M的運動軌跡是以。為圓心，為半徑的半圓.

【詳解】取入8中點0,連接OP,0C,取OC中點。，連接MD,

0ABC為等腰直角三角形，團A3=VAC2+BC2=J(3應(yīng)產(chǎn)+(3人產(chǎn)=6，

113

0P=-AB=3,:.MD=-OP=~,

222

3

由題意可知，點M的運動路徑是以點。為圓心，以］為半徑的半圓，

1333

???點M的運動路徑長=：x2兀x===*故答案為：:冗.

2222

【點睛】本題考查了軌跡、點按一定規(guī)律運動所形成的的圓形為點運動的軌跡、等腰直角三角形的性質(zhì)、

勾股定理、三角形中位線定理、圓的周長的計算等知識點，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，正確尋找點的

運動軌跡.

核心考點2.圓的相關(guān)性質(zhì)及推理

例5：（2025?四川德陽?模擬預(yù)測）下列語句中，正確的是（）

①相等的圓周角所對的弧相等；②同弧或等弧所對的圓周角相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦

所對的?。孩軋A內(nèi)接平行四邊形?定是矩形.

A.B.②③C.??D.④

【答案】C

【分析】根據(jù)圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理判斷.

【詳解】①在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，本說法錯誤；

②同弧或等弧所對的圓周角相等，本說法正確；

③平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，本說法錯誤；

④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形，本說法正確；故選：C.

【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，掌握圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是解題的

關(guān)鍵.

變式1.（2025上?內(nèi)蒙古呼和浩特?九年級?？计谥校┫铝忻}錯誤的有（）個

A.弧長相等的兩段弧是等??；B.過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條??；

C.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；

D.如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點在同一個圓上.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本題根據(jù)等弧的定義、垂徑定理、圓的對稱性以及四點共圓的判定逐項判斷即可.

【詳解】解：A、在同圓或等圓中，弧長相等的兩段弧是等弧，故A錯誤，符合題意.

B、過弦（弦不能是直徑）的中點的直徑平分弦所對的兩條弧，放B錯誤，符合題意.

C、圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸.故C錯誤，符合題意.

D、如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點在同一個圓上，D正確，不符合題意.

綜上所述，符合題意的總共有3個，故選：C.

變式2.（2024上?河南新鄉(xiāng)?九年級統(tǒng)考期末）有下列命題：①不在同一條直線上的三個點確定一個圓；②

相等的圓心角所對的弦相等；③同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A心角等于該弧所對的圓周角的一半；④三角形內(nèi)

切圓的圓心是三角形的內(nèi)心，是三邊垂直平分線的交點；⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補.其中真命題的個數(shù)

有個.

【答案】3

【分析】根據(jù)圓的相關(guān)定義、定理，即可進行判斷求解，本題考查了，圓的基本概念，圓周角定理，三角

形內(nèi)心的定義，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記并充分理解相關(guān)定義、定理.

【詳解】①不在同一條直線上的三個點確定一個圓，是真命題，

②相等的圓心角所對的弦相等，是假命題，前提條件是：在同圜或等圓中，

③同弧（或等?。┧鶎Φ膱A心角等于該弧所對的圓周角的一半，是真命題，

④三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形的內(nèi)心，是三邊垂直平分線的交點，是假命題，三角形的內(nèi)心是三個內(nèi)角

的角平分線的交點，

⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補，是真命題，綜上所述①③⑤為真命題，故答案為：3.

例6：（2025年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷））陜西飲食文化源遠流長，“老碗面〃是陜西地方特色美食之一.圖

②是從正面看到的一個"老碗"（圖①）的形狀示意圖.A8是。。的一部分，。是A8的中點，連接O。，

與弦AB交于點C,連接。4,OB.已知A8=24cm,碗深CQ=8cm,則O的半徑。4為（）

圖①

A.13cm17cmD.26cm

【答案】A

【分析】首先利用垂徑定理的推論得出O""，AC=8C=gA4=12c〃，再設(shè)（O的半徑為Rem,則

OC=（R-8）cm.在Rt.OAC中根據(jù)勾股定理列出方程*=122+（7?-8f,求出R即可.

【詳解】解：A3是：。的一部分，。是A6的中點，48=24cm,

??.01）工AB,AC=BC=-AB=\2cm.設(shè)（O的半徑04為Rem,PPJOC=OD-CD=（/?-8）cm.

2

222

在Rl—OAC中，ZOC4=90°,:.OA=AC+OCf

.?.*=12?+（R-8）2,.?./?=13,即QO的半徑Q4為13cm.故選：A.

【點睛】本題考兗垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，設(shè)（O的半徑OA為Rem,列出關(guān)于R的方程是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2025年湖北省宜昌市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，OA,OB,X都是1。的半徑，AC,。8交于點Q.若

AD=CD=S,00=6,則4。的長為（）.

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出OO^AC,根據(jù)勾股定理求出OC=10,進一步可求出8。的長.

【詳解】解:團人。=8=8,回點。為AC的中點，團AO=CQ回OQ_LAC,

由勾股定理得，oc=而"=后"定=10,團。8=10,團8。=。8-。￡>=10-6=4,故選：B.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及圓的有關(guān)性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解答本題

的關(guān)鍵

變式2.（2024?四川涼山?統(tǒng)考模擬預(yù)測）建設(shè)中的“樂西高速〃是樂山市與西昌市的重要通道，建成后將極大

改善區(qū)域內(nèi)交通運輸條件，并對沿途各縣的經(jīng)濟發(fā)展有極大地促進作用，如圖是其中一個在建隧道的橫截

面，它的形狀是以點。為圓心的圓的一部分，若M是團。中弦CD的中點，經(jīng)過圓心。交（30于點E,

且CP=&〃，￡M=8m,貝帕O的半徑為（）m

C.7.5D.8

【答案】A

【分析】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用依據(jù)勾股定理等知識，根據(jù)垂徑定理得EM_LCD,則CM=OM=4,

在RtATOM中，由勾股定理得OC=CA^+ow,進而求出半徑OC即可.

【詳解】解：連接OC，如圖所示：

M是。弦。。的中點，CD=8m,/.EM1CD,CM=DM=-CD=4m,