安徽省淮北市第一中學202小2025學年高一下學期期末測試

數(shù)學試卷

一、單選題

1.若靖=1—后，則忖=()

A.1B.V7C.瓜D.3

2.如圖所示，V4O6表示水平放置的VAO8的直觀圖，則V4O8的面積是()

C.D.2

3.甲、乙兩個人進行“剪子、包袱、錘”的游戲,兩人都隨機出拳，則一次游戲兩人平局的概率為

12I2

A.3一B.3-4-D.9-

4.已知一組數(shù)據(jù)為20,30,40,50,50,60,70,80,其平均數(shù)、第60百分位數(shù)和眾數(shù)的大小關系是()

A.平均數(shù)＞第60百分位數(shù)〉眾數(shù)B.平均數(shù)〈第60百分位數(shù)〈眾數(shù)

C.第60百分位數(shù)v眾數(shù)v平均數(shù)D.平均數(shù)=第60百分位數(shù)=眾數(shù)

5.已知a,尸是平面，加，〃是直線，下列命題中不正確的是()

A.若〃〃/a,aR=n,則

B.若m//n,〃?_La,則n_La

C.若〃?_La,則。

D.若〃7_La,mu/3，則aJL/7

6.已知平面向量a=(l,D,b=(3,Z),若人在〃方向上的投影向量為2a,貝V=()

A.2B.-1C.0D.I

7.下列說法正確的是()

A.AB同時發(fā)生的概率一定比A3中恰有一個發(fā)生的概率小

B.若P(A)+P(B)=1,則事件A與8是對立事件

C.當4〃不互斥時，可由公式P(Au8)=P(A)+P(8)-尸(AB)計算A8的概率

D.某事件發(fā)生的概率是隨著實驗次數(shù)的變化而變化的

8.費馬點是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內(nèi)角都小于子時，費馬

點與三角形三個頂點的連線構(gòu)成的三個角都為年.如圖，已知VABC和VAOE都是正三角形，AB=6,

AE=3,且優(yōu)A。三點共線，設點P是ZXACE內(nèi)的任意一點，則尸A+尸C+PE的最小值為（）

A.3幣B.3瓜C.3百D.12

二、多選題

9.動力電池組對新能源汽車的性能表現(xiàn)以及安全性影響巨大，是新能源汽車非常核心的部件.如圖是刀片

電池、三元鋰電池和磷酸鐵鋰電池部分指標的雷達圖，則下列說法正確的是（）

——刀片電池--一元鋰電池?一磷酸鐵鋰電池

A.刀片電池的安全性更高，價格優(yōu)勢更突出

B.三元鋰電池的缺點是循環(huán)壽命較短、價格偏高、安全性偏低

C.對于這7項指標，刀片電池的平均得分低于三元鋰電池

D.磷酸鐵鋰電池能量密度低、低溫性能好

10.下列說法正確的是（）

A.復數(shù)z=2-i的虛部為-i

B.若1+i是關于x的二次方程ad+法+2=0（a/￡R）的根，則l—i也是該方程的根

C.i+i2+i3+-.+i2025=i

D.若復數(shù)z滿足|W=1,則|z-3-4i|的最大值為6

11.在直三棱柱ABC-中，ZABC=90\且A8=8C=CC；=2,M為線段8c（不含端點）上的動點,

則下列結(jié)論中正確的是（）

B

A.AB.1A.M

B.異面直線入超與4M所成角的取值范圍為

c.|AM|+|GM的最小值為3+6

D.當M是8c的中點時，過A，M，C三點的平面截三棱柱A8C-A4G外接球所得的截面面積為停兀

三、填空題

12.已知圓錐的底面半徑為2,高為4夜，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為.

13.已知圓。的半徑為3,弦A8=3,。為圓。上一動點，則的最大值為.

M.某工廠的三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，三個車間的產(chǎn)量分布如圖所示，現(xiàn)在用分層隨機抽樣方法從三個

車間生產(chǎn)的該產(chǎn)品中，共抽取60件做使用壽命的測試，則C車間應抽取的件數(shù)為；若A,B,。三

個車間產(chǎn)品的平均壽命分別為220,240,230小時，方差分別為20,20,30,則總樣本的方差為.

四、解答題

15.在VABC中，0=14,c=16,sinC=—.

7

⑴求4：

(2)求甲、乙兩人共答對3道題的概率.

19.已知ax〃是一個向量，它與向量〃力都垂直，它的模,如圖，在四棱錐P-A8CO中,

底面A8C￡>為矩形，9_L底面A3CZ),OP=￡)A=4,E為A。上一點，|AOx研|=8石.

⑴求48的長；

(2)若七為A。的中點，求二面角P-E8-4的余弦值；

⑶若M為早上一點，目滿足4/)x8〃=,求I"

題號12345678910

答案CBADADCAABBCD

題號11

答案ABD

1.c

將原式變形，由復數(shù)的除法運算可得z=6+i，再由夏數(shù)的模的運算求解即可.

【詳解】因為Zi3=l-J5i,

所以z=%=匕四=匕國二逐+i，

i3-i-ii

所以|z|=J（6）+1=>/6.

故逃：C.

2.B

根據(jù)直觀圖和原圖間的關系可求答案.

【詳解】由圖可得VAOB的底邊為2,高為4,所以VAOB的面積是4.

故選：B

3.A

先列表得到所有的基本事件的個數(shù)及平局對應的基本事件的個數(shù)，根據(jù)公式可得所求的概率.

【詳解】甲、乙兩個人進行“剪子、包袱、錘”的游戲，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下：

錘剪子包袱

乙

錘（錘,錘）（錘，剪子）（錘，包袱）

剪子（剪子，錘）（剪刀，剪子）（剪子，包袱）

包袱（包袱，錘）（包袱，剪子）（包袱，包袱）

因為由表格可知，共有9種等可能情況.

其中平局的有3種：（錘，錘）、（剪子，剪子）、（包袱，包袱）.

設A為“甲和乙平局”，則P（A）=；3=§I,故選A.

4.D

【詳解】解：平均數(shù)為一x(20+30+40+50+50+60+70+80)=50,

8

.8x60%=4.8,

???第5個數(shù)50即為第60百分位數(shù).

眾數(shù)為50,

???它們的大小關系是平均數(shù)=第6。百分位數(shù)=眾數(shù).

故選：D.

5.A

【詳解】對于A：若〃?//a,a"=〃，則〃?〃〃或加與〃異面，故A錯誤；

對干B：兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面，

故若in//n,ntla,則〃_La,故B正確；

對干C：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，

故若〃z_La,m工戶,則a/啰，故C止確；

對于D：根據(jù)面面垂直的判斷定理可知，若〃，〃u0,則a_L￡,故D正確：

故選:A

6.D

由投影向量的幾何意義列方程，解方程即可.

【詳解】由投影向量的幾何意義，S-2d)d=(l,"2)?(l,l)=l+"2=0,所以，=1.

故選：D.

7.C

根據(jù)概率的性質(zhì)判判斷A,根據(jù)對立事件的概率性質(zhì)判斷B,根據(jù)概率加法公式判斷C,根據(jù)概率的性質(zhì)判

判斷D.

【詳解】對于A,對于兩個不可能事件來說，同時發(fā)生的概率與恰有一個發(fā)生的概率相等，均為零，故A

中說法錯誤；

對于B,在P(A)+P(8)=I條件下，事件A與事件H不一定互斥，故事件A與8不一定是對立事件，故B中

說法錯誤；

對于C,根據(jù)概率的性質(zhì)可知，當A,3不互斥時，P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)1故C中說法正確；

對于D,某事件發(fā)生的概率只與該事件本身有關，與實驗次數(shù)無關，故D中說法錯誤.

故選：C.

8.A

在zMCE中，利用余弦定理求出CE,然后利用勾股定理逆定理可得/XACE為直角三角形，由題意可知

B4+尸C+PE取得最小值時，點P為費馬點，設E4=a,PE=b,PC=c,在△APC,△4PE,ZXE尸。中

分別使用余弦定理，三式相加，再結(jié)合三角形面積公式化簡可求出a+0+c,從而可得答案.

【詳解】由題可知，ZEAC=p在AACE中，由余弦定理得

C￡2=AC2+/l￡2-2AC>4￡cos-=36+9-2x6x3x1=27,

32

所以CE=3X/5,

所以C^+AE?=27+9=402,所以AACE為直角三角形，

由定義可知尸A+PC+依取得最小值時，點尸為費馬點，

設P人=a,PE=b,PC=c,且NAPC=/APE=N￡PC=§7C,AE=3,AC=6,CE=3y/3,

a2+b2=9-ab

在△AP￡中分別使用余弦定理可得檸+c?=2”反，

a2+c2=36-ac

相加得/+b2+c2=36-^(ab+bc+ac)

由三角形面枳得乎("+Ac+ac)=,即必+Z?c+ac=18,

所以/+從+。2=36-118=27.

2

所以(PA+PC+PE)2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+lab+2bc+lac=63

PA+PC+PE=3y/l,

所以P4+PC+PE的最小值為3不

故選：A.

9.AB

借助于雷達圖分析數(shù)據(jù)，對A、B、C、D一一驗證即可.

【詳解】由雷達圖易知刀片電池的安全性更高，價格優(yōu)勢更突出，A正確；

三元鋰電池的循環(huán)壽命較短、價格偏高、安全性偏低，B正確；

對于這7項指標，刀片電池的平均得分為(4+4+5+4+5+5+4)+7=9,三元鋰電池的平均得分為

(5-5+3+5+3+4+5)。7=寧，所以C錯誤；

磷酸鐵鋰電池能量密度低、低溫性能差，D錯誤.

故選：AB

1().BCD

由復數(shù)虛部的概念可得A錯誤；由實數(shù)系一元二次方程的虛根成共物復數(shù)可得B正確；由復數(shù)的運算性質(zhì)

可得C正確；由亞數(shù)模長的運算結(jié)合絕對值可得D正確.

【詳解】對于A、復數(shù)z=2-i的虛部為-1，故A錯誤；

對于B、若1+i是關于x的二次方程潑+/，x+2=0（aSeR）的根，

則其共挽狂數(shù)1-i也是該方程的根，故B正確：

對干C、因為i+i2+i?3+i4=0,

所以i+i?+i3++i2°25=506x（i+i2+i3+i4）+i=i，故C正確；

對于D、|z—3—4把忖+|3+倒=1+5=6,故D正確.

故選：BCD.

11.ABD

建立空間直角坐標系，求出相應向量的坐標表示，得出選項A正確，根據(jù)向量夾角余弦公式，求出異面直

線所成角的取值范圍判斷B：將空間線段長轉(zhuǎn)化為平面線段長求最值，得出C錯誤；求利用向晟法求出圓

心到平面的距離，利用垂徑定理得出截面圓的半徑，求出所截的圓的面積，得出D正確.

【詳解】以B為原點，所在直線方向分別為巴），，z軸，建立空間直角坐標系，

設故4(-2,0,0),4(0,0,2),A(-2,0,2),M(0,一肛0),C,(0,-2,2)

對于A選項：Aq=(2,0,2),AM=(2,—〃?,—2),A4AM=2X2+0X(—〃7)+2X(—2)=0,

故Aq_LAM,故A正確；

對干B選項：A8=(2,0「2),4M=(0,T幾—2),

故cos(A￡/=A/'/"=:=夜,

卜聞?忸闿2及?J”/+4J+4'

因為〃?e(0,2),cos(AB,B|M,e—,

X227

故異面直線AB與B}M所成角的取值范圍為故B正確.

對于C選項：,GM=(0,2-〃?,一2),

|A^|+|C,M|=7(^-O)2+(O-2X/2)2+7(W-2)2+(0+2)2，機eQ2)

可將其看成N。兒0)分別到點。(0,2&),G(2,-2)的距離和，

當且僅當MQ,G三點共線時，此時距離最小|QG|=,22+(2+2近丫=46+8應,故C錯誤;

對干D選項：當M為中點時，則M(0,—1,0),外接球圓心為0(-1,—1』)且

半徑為R=^+BC2+BB；={4+4+4二省,

22

設球心。到平面AMG的距離為4

設平面AMG的法向量為〃=a,＞，,z),AM=(2,-l,-2),AG=(2,-2,0)

則口黑，丁，令工=],則

,OA|Jxl+lx(—l)+lx；j

XO4,=(-UJ),貝U"二

同1+1+(3

由截面圓半徑r=JFK=JW=楞,

故截面圓面枳為5="2=yn,故D正確.

故選：ABD.

12.8兀

作出內(nèi)切球的軸截面，再根據(jù)幾何關系求解即可.

【詳解】如圖，作出該圓錐與其內(nèi)切球的軸截面圖形,

設該內(nèi)切球的球心為。，內(nèi)切球的半徑為，笈尸為切點,

所以，OE=OF=OB=r,

由已知得80=0/=2,A4=40,人力=J（4后『+2?=6,

所以，在中，AO2=OF2+AF2,即1&—）=，+（6—2）2,解得/=0,

所以，該圓錐的內(nèi)切球表面積為4兀/?2=8幾

故答案為：8冗.

13.生

2

以圓心。為原點，過點。且與直線A4的直線為上軸，線段A4的垂直平分線所在直線為＞軸建立平面直角

坐標系，設點O（3cos，,3sin，），利用平面向最數(shù)量積的坐標運算可求得人〃人4的最大值.

【詳解】以圓心。為原點，過點。且與直線A8的直線為x軸,

線段八8的垂直平分線所在直線為了軸建立平面直角坐標系，

’oa(aan、

則A——、8—,——,設點。(3cosO,3sine),

乙乙)乙乙、

\/\Z

3

AB=(3,0),AD=3cosO+5,3sin0+

----92727

所以，ABAD=9cosO+-<—,當且僅當cos?=l時，人少人。取最大值彳.

27

故答案為：y

14.1884

第一空，根據(jù)分層抽樣的定義即可求解；第二空，根據(jù)分層抽樣的方差公式即可求解

【詳解】由分層抽樣方法可得：抽取C車間應抽取的件數(shù)為60x30%=18；

2x220+5x240+3x230

總樣本平均值工==233,

10

總樣本方差為

,2x[20+(220-233f][204-(240-233)2]+3x[30+(230-233)2]。/

s~=-----------------------+--5--x---------------------------------------------=o4.

10

5(Dy

Q)3仃或5石

(I)利用正弦定理求得sinB,由此求得山

(2)利用余弦定理求的。，結(jié)合面積法求得人B邊上的高.

【詳解】(1)由正弦定理得」-=」—,力】8=幽￡=匕*拽=3

sinBsinCc1672

由于〃vc,所以8是銳角，所以B=g

J

2

(2)由余弦定理得從=船+c_2accosB，

142=6t2+162-2a16cos?,

3

a2-16?+60=0,(?-6)(a-10)=0,

解得a=6或〃=10,

設A4邊上的高為人

I,1,.「，absinC

貝n!i]l—ch=—absinCJi=----------,

22c

,u475

所以6xl4x--或1in0xl4x--

'"以h=--------乙-%h=------------L=5后

1616

16.(1)證明見解析

⑵手

3

(1)連接?！?利用三角形中位線定理證明BCJ/DE,由線線平行即可證得線面平行；

(2)先求出A。，再求AA，接著證明COJ?平面利用等體積轉(zhuǎn)化即可求得三棱錐A/。的體

積.

【詳解】C)如圖，連接/犯，因四邊形ACCA為矩形，則E為AG的中點，又D是4?的中點，則得立3/。口

因DEu平面ADC,BG<X平面4DC,故〃平面A。。.

22

(2)依題意，兀xAb=5兀，解得人。=6，在Rl^AA。中，AtA=y/A,D-AD=2.

因VA8C為正三角形，則CO_LAB,又3片_1平面A3C,8u平面A8C,故BBJCD,

因48184=%48,84匚平面488仙，故CD_L平面48用4,即CO為三棱錐C-小呂的高，

則三棱錐8-A。。的體積為：Vf>~~t*=v=-3S/MzZ,/ijJnxCD=-3x—2xlx2x—2x2=—3.

17.(1)518.5；(2)529；(3)

3

(1)由頻率和為1可構(gòu)造方程求得/，根據(jù)頻率分布直方圖估計平均數(shù)的方法直接求解即可：

(2)由頻率可知80%分位數(shù)工目525,535),由此構(gòu)造方程求得結(jié)果；

(3)采用列舉法可得樣本空間，并確定符合題意的基本事件個數(shù)，由古典概型概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】(1)由題意得：(O.OO5+O.O15+O.O2+O.O35+/)xlO=l,解得：/=0.025.

則各個小組的頻率分別為0.15,0.2,0.35,0.25,0.05.

估計該工廠生產(chǎn)的零件重量的平均數(shù)約為500x0.15+510x0.2+520x0.35+530x0.25+540x0.05=518.5；

(2)設80%分位數(shù)為x,

.前三組頻率和為0.7,前四組頻率和為0.95,??/?525,535),

...0.7+(x-525)x0.025=0.8,解得；x=529,

該工廠生產(chǎn)的零件重量的80%分位數(shù)為529；

(3)由條件知：6個零件中，重量在［525,535)內(nèi)的零件個數(shù)為5,分別記為A民CRE：重量在［535,545］

內(nèi)的零件個數(shù)為1,記為了.

從中隨機抽取2個，樣本空間為

C={(AB),(AC),(A0,(AE),(AJMA,C),(A,O),(8,E),

(B,/),(C,D),(C,E),(G/),(/ZE),(/Z/),(￡,/))，.二〃(。)=15.

設“這2個零件的重量均在［525,535)內(nèi)“為事件",

則"={(AA),(AC),(A0,(AE),(A,C),(ao),(RE),(C0,(C,K),(20},「.〃(M)=1O,

??小卜喘守卷

32

18.(i)〃="q=3

嗚

(1)利用獨立、互斥事件概率公式得到方程組求解;

(2)先求出甲、乙答對題目數(shù)為0、1、2的概率，再由甲乙總共答對3道題，等價于甲答對2道題乙答對

I道題或甲答對1道題乙答對2道題，利用獨立、互斥事件概率公式”?算求得.

【詳解】(1)設A：甲同學答對第一題，B：乙同學答對第一題，則P(A)=〃，P(B)=q.

設C：甲、乙兩人均答對第一題，D；甲、乙兩人恰有一人答對第一題,

則。=從「6,O=(4c月)u(Wc8).

???甲、乙兩人答題互不影響，旦每人各題答題結(jié)果互不影響，

與〃相互獨立，AF與AcR互斥,

/.pg=P(AcB)=P(A)P(B)=網(wǎng)，P(￡))=/(AC豆)+P(AnB)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).

32

〃P=3

由題意得$解得=;7或3

p(\-q)+q(i-p)=—,

39

■:P>q,p——,q=二.

43

(2)設A：甲同學答對了i道題，B,：乙同學答對了i道題，i=0J2.

」FK"c/A、13313n/A\3392I124224

由題意得P(A)=_x_+_x_=「P(A,)=-x-=—,P(B)=-x-+-x-=-,P(B,)x=-x-=-

'"44448V4416'"l33339'“339

設氏甲、乙兩人共答對3道題，則石=（AcR）u（&cHj,

34945

???P(E)=P(An^)+P(Ana)=-x-+—x-=—

s->'-178916912

???甲、乙兩人共答對3道題的概率為/

19.(1)2

⑵T

(3)：0

（1）根據(jù)已知條件找到直線AO與依所成的角，再利用|AOxBP|=86即可求解;

（2）在平面A8C。內(nèi)過點。作交3￡的延長線于點/，連接,證明為二面角2一七8-。

的平面角，由二面角〃-麗與/P4）互補即可求解：

（3）作出四邊形。石MN為平行四邊形，進而可得解.

【詳解】（1）底面A4C。為矩形，.??人?！?