高三數(shù)學一輪復習_一立體幾何中平行、垂直的證明專題

知識點?梳理

1、點、線、面的位置關系

①四個公理

（1）公理一：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線就在此平面內。

（2）公理二：過不在一條直線上的三點有且只有一個立面。

（3）公理三：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

（4）公理四：平行于同一條直線的兩條直線平行。

②用集合語言描述點、線、面閭的關系

（1）點與平面的位置關系：點A在平面。內記作AEC,點A不在平面a內記作A/a.

（2）點與線的位置關系：點A在直線/上記作Aw/,點A不在直線1上，記作Ac/.

（3）線面的位置關系：直線/在平面。內記作/ua,直線1不在平面a內記作/a。.

（4）平面。與平面夕相交于直線。，記作=

（5）直線/與平面。相交于點A,記作ac/=A.

（6）直線。與直線〃相交于點A,記作=

③空間直線與直線的位置關系

（1）位置關系的分類：共面直線（平行、相交）、異面直線（不同在任何一個平面內的兩條直線）；

（2）異面直線所成的角：設a,〃是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點0作直線"http://a,h'Hb,

把。'與"所成的角叫做異面直線a,b所成的角（或夾角）；異面直線所成角的取值范圍：（。，3

2、直線與平面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

平面外一條直線與此平面內的一條直線平

判定

行，則該直線與此平面平行a,aua,lUa,.*.!//a

定理

（線線平行=線面平行）

性質一條直線與一個平面平行，則過這條直線

.：l〃a,lu%aCB=b,：.l〃b

定理的任?平面與此平面的交線與該直線平行

第1頁共35頁

（簡記為“線面平行=線線平行”）

3、平面與平面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面內的兩條相交直線與另一

判定,：a"6b"B，aC\b=P.aua,bus,

個平面平行，則這兩個平面平行（簡、

定理：.a//p

記為“線面平行=面面平行”）口

如果兩個平行平面同時和第三個平

a〃B，aC\y=a,陽.=b,*.a//b

面相交，那么它們的交線平行出

性質

定理

如果兩個平面互相平行，其中一個7^7all-“

平面內的一直線平行與另外平面/au[3

4、線線平行證明的常見思路

①相似比（常用三角形的中位線）②構造平行四邊形（證明一組對邊平行且相等）

③平行的傳遞性④線面垂直的性質：垂直同一個平面的兩條直線平行

⑤線面平行的性質⑥面面平行的性質

5、直線與平面垂直

①直線和平面垂直的定義：直線/與平面a內的任意一條直線都垂直，就說直線/與平面?；ハ啻?/p>

直

②直線與平面垂直的判定定理及性質定理：

文字語言圖形語言符號語言

'a、bua

1

判定一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該uc\b=O*=>/±?

定理直線與此平面垂直/S可ILa

3

ab

性質(aLa

垂直于同一個平面的兩條直線平行?^a//b

定理也_La

、平面與平面垂直的判定定理與性質定理7

6

文字語言圖形語言符號語言

判定

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直

定理LJu/7

第2頁共35頁

性質兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與IuB

?=/_La

定理另一個平面垂直aop-a

bUJ,a

7、證明線線垂直的思路

①正方形、矩形產生垂直②菱形對角線互相垂直③等腰三角形和等邊三角形取中點產生垂直④通

過算變成結合勾股定理得到庭直

第3頁共35頁

【變式2】（201（）年真題）下面是關于兩條直線以〃和兩個平面。,分（〃2,〃均小在。/上）的四個命題:

Pi:mila.nlla=>〃"/〃p2:mlla,aI/mlIp

P3:m'la.nlIP，aH[i=>mlIn〃4:m!In,nL/3,mLaa!Ip

其中的假命題是

A、〃|,〃3B、PI，PAC、〃2，〃3D、“2,Pa

【變式3］（2009年真題）關于空間中的平面。和直線〃?,〃」，有下列四個命題:

Pi:mJ_/,〃JL/nm/Inp2:in//a,n//a=>m//n

〃3:m/〃/_Lanm±a幾：/_La,"7與/相交=>〃?J_a

其中真命題為

A、%,P3B、P2,P4C、P3D、p4

【變式4］設a，僅是兩個平面，叫/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若a、則小1/B.若mua,luI,貝l］a〃/

C.若an0=m、l〃a,l〃0,則〃?〃/D.若mLa、l10,m//1,則a_L）

【變式5］已知a］是兩個不同的平面，"?，〃是兩條不同的直線，下列命題不正確的是（）

A.若a,plljn±aB.若一_La,MJL夕,則a〃夕

C.若〃?_La,mu/，貝Ijal//D.若“1〃a,ac/3=n,則相〃〃

O題型二立體幾何中平行問題的證明

【例2-1］（2024年真題節(jié)選）在四面體ABCD中，點從產分別為8C的中點。證明:4口/平面DEF

第5頁共35頁

【例2-2】（2021年真題節(jié)選）如圖，正方形43CO-A旦GR中，E、尸分別是AB,AD的中點。證

明：直線七可|平面Cg0；

第19題

【例2-3］（2019年真題節(jié)選）如國，四棱雉尸-A3CO的底面是邊長為2的正方形，側面以八，底面

ABCD,且PA=PD=O,Ej分別為PC,3。的中點，證明：EF//平面以。

【例2-4］（2018年真題節(jié)選）如圖，ABCD-ARCR是棱長為1的正方體,L是9的中點證明:AC.//

平面4RE

【例2-51（2016年真題節(jié)選）如圖，正三棱柱ABC-A4G中，。是3c的中點，證明〃平面ADQ

第6頁共35頁

【例2-6】（2015年真題節(jié)選）如圖，四棱錐P-A8C。中，底面ABCO為梯形，AB/iCD,且

AB=-CD,NADC=90.PA_L平面ABC。,M是。。的中點，證明AM//平面PBC

【變式1】（2009年真題節(jié)選）正三棱柱ABC-A^C,已知A8=1,O為AG的中點，證明A^//平

面。3c

【變式2]（2007年真題節(jié)選）已知ABC-AEC為正三棱柱，O是8c中點，證明AB//平面AOC

[變式3】如圖，在直三棱柱"C-A/iG中，AB=2垃,AA=3,ACVBC,AC=8C,O,E分別是A8,

A圈的中點。證明：平面A。。//平面BEG；

【變式4】如圖，在四棱錐P-A4a＞中，PD=2,AD=\,PDJ?平面A4C。，底面ABCD為正方形'M,

N分別為4。，。。的中點。求證：PA//平面MNC；

第7頁共35頁

【變式5】如圖，在四棱錐P-A4C。中，PDL平面AAC。，底面"S為平行四邊形，己「分別為4RPQ

的中點。證明：防〃平面P8C；。

題型三立體幾何中垂直問題的證明

【例3?1】（2020年真題改編）如圖，正三棱柱ABC-A8c中，尸為8片中點，證明:平面APG，平

面4CGA

【例3?2】（2018年真題節(jié)選）如圖，A8C。-4片。//是棱長為1的正方體，E是的中點。證明:

AC】_L平面片RC

【例3?3】（2017年真題節(jié)選）如圖，四面體Q43C中，尸A_L8C,。在棱8C上,

AD±BC,AD=2,PA=\yZPAD=60,證明：PAJ_平面PBC

第8頁共35頁

A

B

【例3-4】（2014年真題節(jié)選）如圖，長方體ABCD—A'B'C'D'中AA，=AD=1,M,O分別是AB,A，C的

中I占八、、

【例3-5】（2012年真題節(jié)選）如圖，已知正方體ABCD-ABCQ的棱長為是q中點證明:

BM1AC

【變式1】（2010年真題改編）長方體A8C。-44儲。中，E為AG的中點，己知"=3。=2,

A4）=及，證明：AE_L平面A8。

【變式2］（2004年真題節(jié)選）已知△BOC是等腰直角三角形，=且30=。，又△A8D為

等邊三角形，平面/WOL平面8DC,求證平面A3DL平面AOC

【變式3］（2003年真題）如圖在正四棱柱ABC。-AACQ中，47、用）為底面4ACO的對角線，E

第9頁共35頁

為。。的中點，求證：。由JLAC

【變式4】如圖，在四棱錐。一44CD中，PD_L平面ABC。，AB//CD,ZADC=90fS.AD=CD=PD=2AB=2.

求證：43_1平面「4）；

【變式5】如圖、四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA=PD=6,PB=AB=BD=2°求證：平

面%Z）_L平面A8C3；

課后模擬?鞏固練習

1.己知/,，〃是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若，〃且貝Ija〃力

B.若IXa,m〃0,且/_!./〃，則。〃夕

C.若Uam」產,且/JD〃，則a，尸

D.若/〃。,加〃/，且則

2.已知〃J〃是兩條不同的直線，。，4是兩個不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若a〃/，mua,〃u/7,則加〃〃B.若a_LQ,小l|a,〃||《，貝

C.若〃z_La,八工0,m//n,則a_L/7D.若〃z_L〃，_La,n］。，則a_L力

第10頁共35頁

3.設。是空間中的一個平面，/,〃J〃是三條不同的直線，則下列結論中正確的是（）

A.若，〃ua,/_!_〃？,i±n,貝lJ/_L。

B.若l//m,m.La,n±a,則/_Ln

C.若Uhn,m//n,/±a,貝lj〃_La

D.若"iua,IInf〃_La,則l//m

4.已知〃z,〃是兩條不同直線，。，夕，/是三個不同平面，下列命題中正確的是（）

A.若〃z//a,nllay則〃z〃“B.若〃”///,則a/0

C.若a-L7,-L/,則a/力D.若〃7_La,〃_La,則〃?〃〃

5.設〃?、〃是兩條不同的直線，。、夕是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若mi1a,〃//a,貝B.若mlla,a!!P,則〃?//4

C.若〃?//a，a工B,則〃?_L/7D.若"?//〃，〃？_La,則〃_La

6.若加，〃為兩條不同的直線，。為一個平面，則下列結論中正確的是（）

A.若nJ/a,則〃z_L〃B.若mi/a,n//a,則"〃/〃

C.若〃?//a,nlafjjjljrn±nD.若"〃/a,〃_La,則〃？與〃相交

7.已知直線〃z,〃，/,平面。,夕，下列正確的是（）

A.若/ca=尸,〃ua,則/與"異面B.若則

C.若/_1"1,/_1〃,m<=1,〃匚。，JJlJ/lczD.若。_1_反機_La,〃_L/?,則根_L〃

8.己知。，一是兩個平面，/，機是兩條不同的直線，則下列說法正確的是（）

A.若m_La,/_L〃z,則/_LaB.若，??〃"〃〃〃，則〃?〃〃

C.若小〃a,/_La,則/_!_〃？D.若a〃夕,m〃a,貝1」叫|分

9.下列命題中不正確的是（）

A.如果平面aJ■平面夕，且直線"/平面。，則直線U平面尸

B.如果平面■平面夕，那么平面。內一定存在直線平行于平面夕

C.如果平面。不垂直于平面尸，那么平面a內一定不存在直線垂直于平面夕

D.如果平面a_L平面乙平面尸，平面7,af]0=l,那么

第11頁共35頁

10.空間中有兩個不同的平面a、夕和兩條不同的直線〃7、小則下列說法中正確的是（）

A.若a〃0，m11a,n//p,則〃?〃〃

B.若m/la,"?//〃，則〃~L4

C.若ctUp,ml/a,〃~L/，則〃?_L〃

D.若a%,ml/a,inJin,則〃〃夕

11.如圖尸4J■平面A8C￡),PA=AC=4,8C=2,A3=26.若A。//平面心C,證明：ADLPB；

12.如圖，在四棱錐P-A4c。中，底面448是正方形，PQ_L面A8CRP/）=AB=4,E為棱%上的動點.

若E為棱"中點，證明：PC//面E3D；

13.如圖，在棱長為2的正方體人BCQ-ABCQ中，石為的中點.求證：8C”平面ARE；

14.在四棱錐P-43CZ)中，已知PC_L平面ABC。，AD//BCtAB±ADfPC=AD=2AB=2BC=2fE是

線段尸D上的點，?！?2刖。證明：P8〃平面AEC；

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15.如圖,在直三棱柱ABC-4禺G中,AC_L4C,側面ACGA為正方形，AC=BC=2fD,E分別為A5,

AG的中點.求證：DE//平面38clC;G

E心

9「I、

:y-\B

16.四棱錐"一人及7）中，AD//BC,ABLBC,AB=BC=2AD9側面尸AB_L底面4/工nrM=m=AD;M

是棱PC上一動點。當〃//平面時，求器的值;

17.在直四棱柱AACO-AqCQ中，底面A3CD為等腰梯形，ABHCD,

產是楂A8的中點.平面A4Q。“平面FCG.

18.如圖，已知在四棱柱"CO-A優(yōu)CQ中，底面4BCO為梯形，AB//CD,的上底面4BCZ),AD±AB,

其中4B=/U,=2,AD=DC=\,E是8c的中點，尸是。。的中點。求證：RE"平面CB/；

19.三棱柱人灰:一486中，底面440,且各棱長均相等，。為4片的中點.口為的中點。

(1)證明：平面五qc//平面4C。；

第13頁共35頁

(2)證明：平面ACQJ_平面A44A.

20.如圖，在三棱錐A-8CQ中，△忒?￡＞為正三角形，E是C。的中點，ZABC=ZABD0求證：CD1AB；

21.如圖在三棱柱A8C-A8C中，側面8CC4,A網(wǎng)A均為正方形,AB=BC=1,ZABC=90°,點力是

棱AG的中點.求證：用。_L平面A4CC;

22.如圖，在正三棱柱AAC-ABC中，。是棱AC的中點.

(1)證明：BD1DQ.

(2)證明：用〃平面叫。；

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23.如圖，在四面體A3C￡＞中，AB=AC=BD=CD=4yBC=4y/3,AD=2fE是3C的中點。求證：8c_1平

面

24.已知直三棱柱A8C—AqG中，AB=BC=BB、=2,且A8J.BC,點E廠分別為線段4c和的中點。

證明：AEJ■平面8所;

25.如圖，在四棱錐尸-A8C。中，底面A8C￡＞是正方形，側面PAO是正三角形，側面尸AD_L底面A8CD,

M是PO的中點.

⑴證明：依〃平面MAC；

(2)證明：平面A4M_L平面PCD；

26.如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABC。中，PA_L底面即6,E、產分別是PC、。。的中點。

⑴求證：EF//平面PA3；

(2)求證：0c平面PAO。

第15頁共35頁

第16頁共35頁

____________立體幾何中平行、垂直的證明

I知識點?梳理］

1、點、線、面的位置關系

①四個公理

（1）公理一：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線就在此平面內。

（2）公理二：過不在一條直線上的三點有且只有一個立面。

（3）公理三：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

（4）公理四：平行于同一條直線的兩條直線平行。

②用集合語言描述點、線、面間的關系

（1）點與平面的位置關系：點A在平面a內記作Awa,點A不在平面a內記作Awa.

（2）點與線的位置關系：點A在直線/上記作AE/,點A不在直線1上，記作AN.

（3）線面的位置關系：直線/在平面。內記作/ua,直線1不在平面a內記作/a”.

（4）平面。與平面夕相交于直線a,記作=

（5）直線/與平面。相交于點A,記作ac/=A.

（6）直線。與直線〃相交于點A,記作ac〃=A.

③空間直線與直線的位置關系

（1）位置關系的分類：共面直線（平行、相交）、異面直線（不同在任何一個平面內的兩條直線）；

（2）異面直線所成的角：設?！ㄊ莾蓷l異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線4//a,b'1/b,

把"與"所成的角叫做異面直線a,b所成的角（或夾角）；異面直線所成角的取值范圍：0,3

\2

2、直線與平面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

平面外一條直線與此平面內的一條直線平

判定

行，則該直線與此平面平行■：/〃a,aua,Wa,*.I//a

定理

（線線平行=線面平行）

一條直線與一個平面平行，則過這條直線

性質

的任一平面與此平面的交線與該直線平行

定理

（簡記為'、線面平行n線線平行”）

第17頁共35頁

3、平面與平面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面內的兩條相交直線與另一

判定：，〃，au”，

個平面平行，則這兩個平面平行（簡?BbBaC\b=P,bua,

定理：.a//p

記為“線面平行=面⑶平行”）卜___/

如果兩個平行平面同時和第三個平

a■:a"B，aC\y=a,pC\y=b,??a//b

面相交，那么它們的交線平行

性質

定理

如果兩個平面互相平行，其中一個7^7

Ma

平面內的一直線平行與另外平面/a___/au例

4、線線平行證明的常見思路

①相似比（常用三角形的中位線）②構造平行四邊形（證明一組對邊平行且相等）

③平行的傳遞性④線面垂直的性質：垂直同一個平面的兩條直線平行

⑤線面平行的性質⑥面面平行的性質

5、直線與平面垂直

①直線和平面垂直的定義：直線/與平面a內的任意一條直線都垂直，就說直線/與平面a互相垂

直

②直線與平面垂直的判定定理及性質定理：

文字語言圖形語言符號語言

'a,buct

1

判定一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該acb=0=/_La

定理直線與此平面垂直ILa

73

a

性質(aLa

垂直于同一個平面的兩條直線平行>=a//b

定理二力JLa

6、平面與平面垂直的判定定理與性質定理

文字語言圖形語言符號語言

判定(ira\,0

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂苣=>a_L4

定理￡JUu"

"aLp

性質兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與lu/3

>=/_La

定理另一個平面垂直IVacB=a

bJ14

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7、證明線線垂直的思路

①正方形、矩形產生垂直②菱形對角線互相垂直③等腰三角形和等邊三角形取中點產生垂直④通

過算變成結合勾股定理得到豆直

第19頁共35頁

重點題型?歸類精講

題型一立體幾何中點、線、面的位置關系

【例1-1X2022年真題）設a，A/是三個平面，有下列四個命題，其中所有真命題的序號是.

①若a_LP，〃_Ly,則aJ_y②若a///?,p〃八則a//y

③若。_1夕,/?〃7，則。，7④若alip,p_Ly,則a〃y

【答案】（2）（3）

【解析】（1）。、/平面均與夕平面垂直,在保證與夕平面垂直的前提下轉動&、7平面，可知a與y平面

的位置關系不確定;（2）正確;（3）正詢:（4）正確結論應該是a，7。

【例1-2】（2021年真題）已知〃4"為兩條直線，/〃為兩個平面，下述四個結論正確的是（）

①若m\\a,n\\fi.a||人則6\\n②若m\\a,n則〃z±n

③若m_La,〃_L￡,a則〃z||n④若加_La,〃_L_L氏則〃?_Ln

A.??B.②④C.①④D.③④

【答案】D

【解析】思路，本題考瓷空間想象能力，考試時遇到這種問題，可以把考場的天花板、地面、黑板當

成平面，把中性筆、涂卡筆當成兩條直線，比劃比劃得出正確的選項。

（l）a//￡,找兩個平行的平面，如天花板和地面，一條直線（筆）與其中一個平面平行，另一條直線（筆）

與另一個平面平行，在保持平行的同時轉動其中一條直線，可以發(fā)現(xiàn)直線機與〃不一定平行。

（2）aJL￡,找兩個垂直的平面，如黑板和地面，一條直線（筆）與其中一個平面平行，另一條直線（筆）

與另一個平面平行，在保持平行的同時轉動其中一條直線，可以發(fā)現(xiàn)直線機與〃不一定平行。

【例1-3】（2020年真題）若平面。/，7滿足“_1_/,2<'^=d,/7_1,/,〃八/二〃，有下列四個判斷:

⑴（2）當a//〃n寸，ailb（3）a_L〃（4）當ac〃=c￥j,cl/

其中，正確的是（填寫所有正確判斷的序號）

【答案】（2）（4）

【解析】本題考查空間想象能力，可把房間、教室、考場的墻壁當作平面，取幾個筆當作直線，比劃

計劃求解。a_L7,ac/=a,可想象成天花板。與黑板/垂直，并且相交與直線。

￡J./,￡cy=b,可想象成取一張紙￡垂直于黑板乙并且與黑板交于直線力在△與7垂直的前提下，

順時針或逆時針轉動紙張，可知。與夕可能平行、垂直，或者既不平行，也不垂直，排除（1）（3）;當紙

第20貝共35貝

張夕與天花板a平行時，它們與黑板的交線。、〃也平行，當紙張與天花板交于直線。（紙張作為平面

可以無限延伸），直線c也與黑板垂直。

【例1?4】（2015年真題）設直線/,〃?，平面a,尸,有4個命題：

①若機_La,貝I"http://機②若////?,〃"http://,則///〃？

③若/_La,/_LQ,則④若“//。,〃?///，則a///7

其中真命題是

A、①@B、②③C、①④D、②④

【答案】A

【解析】②若//R，相〃/，則/〃加，或相交、或異面;④若〃7//a,"http:///，則a//,或相交

【變式1】（2012年真題）下面是關于三個不同平面的四個命題

P,：若aLy,。1y=a//。p2：若a///,尸//y=a//￡

?。喝鬭ty=a上。p4；若a_Ly,4///=>a_L/3

其中真命題是

A、P1，］%B、〃3，〃4C、D、〃2，〃4

【答案】D

【解析】Pl：若a，y，"，yna//萬或相交;〃3；若a，y,6L7na，分或相交

【變式2】（201（）年真題）下面是關于兩條直線以〃和兩個平面a,/（〃?,〃均不在a,4上）的四個命題:

Pi:mila,nl/a=>m!Inp2:m!la,alIp=>mlip

p3:ml/a,nll/3、a11。nml/np4:mHn,n10,m1a=a〃0

其中的假命題是

A、〃|,〃3B、/不〃4C、〃2，〃3D、〃2，〃4

【答案】A

【解析】平行于同一平面的兩個直線，位置關系無法確定，假如兩個筆同時平行于桌面，在保證平行

的前提下轉動筆，故兩直線位置關系無法確定，故8為假;兩個平面平行，如天花板、地面平行，一

條直線與天花板平行，另一條直線與地面平行，在保證平行的情況下轉動直線，故兩直線位置關系無

法確定。

第21頁共35頁

【變式3】（2（X）9年真題）關于空間中的平面。和直線有下列四個命題:

Pi:zw_L/,7?±/=>mlInp2:ml/a,n//a=>m//n

三：加〃，/=>〃?JLa〃4：/~1。,機與/相交=>〃?_1_。

其中真命題為

A、P|,〃3B、〃2，〃4C、〃3D、p4

【答案】c

【解析】平面內垂直與同一直線的兩直線平行，空間內不一定，可以在保證垂直的前提下，轉動〃7、〃，

故團、〃位置關系不確定，P1為假命題;在保證團、〃與平面平行的前提下，轉動〃?、〃，故〃2、"位置

關系不確定，”2假命題;，〃與/平行時，故〃4假命題

【變式4】設。，夕是兩個平面，見/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若a>B、m〃B、則加1/B.若mua,lu0,m//1,則a〃/

C.若aCP=m、l〃a,l〃p,則“?〃/D.若〃?_La,/"，則a_L尸

【答案】C

【詳解】A選項：如圖：

在正方體中，a、l〃。,此時，〃與/夾角為60。，A選項錯誤匕［二

B選項：如圖：

在正方體中，mua,ludm〃l,此時an〃=〃，B選項錯誤;

D選項：如圖：

在正方體中：mladl,此時a〃1,D選項錯誤；

C選項：如圖:

過/作平面使得。（1/=心BTL???/〃4/〃〃，//l2t則

又?.?an/=，〃，：J}//l2//mtC選項正確。故選：Co

【變式5】已知a/是兩個不同的平面，"?，〃是兩條不同的直線，下列命題不正確的是（）

A.若〃則〃_!_□B.若m上a、m10,則?！ㄊ?/p>

C.若〃」切u￡,則a_L〃D.若“〃a,6rc/?=〃，則”〃〃

【答案】D

【詳解】若〃?〃〃，〃?，〃，貝故A選項正確；由機，a,可以推出故B選項正確;

由平面與平面垂直的判定定理可知，若nUamu0,則a_L/,故C選項正確；mHa,則血/〃

第22頁共35頁

或〃?，〃異面，故D不正確。故選：Do

u題型二立體幾何中平行問題的證明

【例2-1］（2024年真題節(jié)選）在四面體ABCD中，點E、尸分別為A氏8c的中點。證明:人口/平面DEF

證明:⑴???￡?、尸分別為的中點

瓦'為△ABC中位線，即砂//4C

EFu平面DEF,AC（Z平面DEFAC//平面DEF

【例2-2】（2021年真題節(jié)選）如圖，正方形A8CO-4瓦。山中，E、尸分別是AB,AD的中點。證

明：直線￡可|平面C8Q；

證明:???瓦尸分別為A8,A。的中點

：.EF//BDvBDHB.D,:.EFHB,DX

BQ。平面CBR,EFu平面CBQ"〃平面CBQ第19題

【例2-3］（2019年真題節(jié)選）如圖，四棱雉的底面是邊長為2的正方形，側面A4OJ_底面

ABCD,且PA=PD=g，Ej分別為QCB。的中點，證明：砂//平面尸4力

證明:（1）?.?尸是3。的中點

二./也是AC的中點

EF是APAC的中位線「.EF=^PA

4

又P4u平面PAD,EFg平面PA。/.瓦7/平面PAD

【例2-4】（2018年真題節(jié)選）如圖，A3CO-AqGA是棱長為1的正方體，E是人4的中點證明：ACJ1

平面4RE

證明:連接4cl交片。于點。，連接￡0

???E為AA中點，。為4G中點.?.￡O〃：AG

???EOu平面與2瓦AG0平面片

???ACJ/平面片RE

【例2?5】（2016年真題節(jié)選）如圖，正三棱柱ABC-AMG中，力是BC的中點，證明平面ADG

證明：（I）連接AC,交AG于點。，則。是AC的中點

第23頁共35頁

?.?。是8。的中點

/.DO//48?.?DOu平面AOC］,4B2平面ADQ

???A3//平面AZ）G

【例2-6］（2015年真題節(jié)選）如圖，四棱錐P-/WCD中，底面ABC。為梯形，AB//CD,且

AB=-CD,ZADC=90,PA1平面ABCD,M是p。的中點，證明AM//平面PBC

9

證明：找CP的中點N,連接MN

???M、N分別為PD、尸。的中點

:.MNM'CD又?：回/心

2

/.ABMN為平行四邊形AM//BN

又「BVu平面PBC,AM2平面PBC

「.AM//平面尸8C

【變式1］（2009年真題節(jié)選）正三棱柱A5C-436，已知A8=I,。為4G的中點，訐明平

A.DC,

面。8c

（I）證明：連接8G與qc交于點。，連接。o

???o是四邊形對角線的交點.二。是8G的中點

又???Q是AC的中點0。是△ABG的中位線\BHDO

B

???ZX?u平面BCD,AB0平面B|CQA8//平面BiCD

【變式2］（2007年真題節(jié)選）已知A3C-A夕C為正三棱柱,D是3C中點,證明A8〃平面ADC'

證明：連接4C,交AC于點E,連接。七C

,1

因為E是長方形AfACC對角線的交點

所以CE=A'七又因為。是BC的中點

所以OE是△A8C的中位線

所以A8//QE因為?！陁平面AOCABa平面ADC

所以A8//平面AOC

【變式3】如圖，在直三棱柱43C-A4G中，AB=2近,M=3,AC.LBC,AC=8C,。，石分別是A8,

-M

A禺的中點。證明：平面4QC〃平面8田；

由直三棱柱48C-A4G性質，以及。，E分別是A8,

第24貝夫

B

所以。4=即四邊形。8碼為平行四邊形,

可得期〃鹿，又。A仁平面0G,3石u平而"G,

所以猴//平面8田；又易知。￡=CG，O￡//CG,即四邊形。ECC為平行四邊形，可得。C//EG,又DCs

平面BEG,EGu平面8EG,所以DC〃平面8EG;顯然。CcDA,=3。。,%<=平面AQC,所以平面

平面8EG；

【變式4】如圖，在四棱錐"-八叱7）中，PD=2,AD=\,PC_L平面AACQ,底面為正方形，M,

N分別為AO,。。的中點。求證：%//平面MNC；久

因為M，N分別為A。，PD的中點，太

所以PA//MN,

又平面MNC,MVu平面MMT,//iV--\

所以PA//平面MNC；

【變式5】如圖，在四棱錐，八8a>中，Q￡>_L平面八88,底面八88為平行四邊形，￡尸分別為

的中點。證明：M〃平面PAC;P

取PC的中點/，連接

在△PC。中，因為M，尸分別為PCPO中點，所以MF//CD、MF=；CD,

在四邊形WO中，鉆//8且相等，BE=^AB=^CDt/R；-…、-:》。

所以BE〃MRBE=MF,即四邊形BEFM為平行四邊形，匕-----\

AEB

所以EF//3M,又E/a平面P8C,8Mu平面依C,所以EF〃平面尸30。

題型三立體幾何中垂直問題的證明

【例3-1】（2020年真題改編）如圖，正三棱柱48C-A4C中，P為中點，證明:平面APG，平

/.PQLAQ

又???P0，CG，AG、C&交于點q

PQ_L平面ACC14

PQu平面APG平面”G，平面ACC|A

第25貝共35貝

【例3-2］（2018年真題節(jié)選）如圖，/WCO-43C。是棱長為1的正方體，E是A4的中點。證明:

AG_L平面

VMJL平面A4GA，4AU平面44CQ..A4_L8Q又???AC，與外刈、4G交于點A

/.BQ_L平面AAG又TAG<=平面A41cl/.BRJLAC}

連接8G,?.?BQ_LBQ,4C_LAB,AB.BQ交于點B,

MC_L平面A〃G，??^,C±AC,

又???BQ、BR交于點D,ACJB￡ACJBR,;.AC._L平面8QC

【例3-3］（2017年真題節(jié)選）如圖，四面體P4BC中，PA_L3c。在棱BC上,

AO_LBC,AO=2,PA=1,/PAO=60證明：E4_L平面P8C

連接PD-AD=2,PA=1,/PAD=60=7EA2+AD1-IPA-ADcos^i=6

ZAPD=90,即AP_LPD又PA±BC,PD、BC交于點。：.PA±平面PBC

【例3-4】（2014年真題節(jié)選）如圖，長方體ABCD-AECD'中AA^AD=1,M,O分別是AB,A，C的

中占

I八、、

DC±OO：DC1MO'QO'、MO'交于點。',C￡>_L平面MOO.CD±MO

AM2=AA2+AM2,CM2=BM2A-BC2,/AA'=RC,AM=RM

...AM=CM又???O是4。的中點MO_LAC又,.?AC、CQ交于點C

:.OM_L平面AfCD乂???OMcz平面A'MC■-平面AMC_L平面A:CD

【例3-5】（2012年真題節(jié)選）如圖，已知正方體的棱長為1,M是3A中點證明:

BMYAC

證明（1）連接BO,交AC于點。??.ACJ.BRACJ.M。又?.?瓦）、MO交于點O

AC_L平面BDDR又平面BDR片ACJLBM

【變式1】（201（）年真題改編）長方體/WCO-A3CR中，E為4G的中點，己知A8=BC=2,

A4,=x/2,證明：AE_L平面4皮）

8。_L平面AAGC，因為AEu平面小。。所以8Q.連接EO,則四邊形EOA\為正方形AE.EO

為正方形對角線所以。4、8。相交于點。所以XE_L平面48。

第26貝共35貝

【變式2】（2004年真題節(jié)選）已知△8QC是等腰直角三角形，/8OC=9（y,且8￡>=〃，又^ABD為

等邊三角形，平面平面BDC,求證平面平面AOC

證明：因為平面平面8DC8D為平面45力和平面3QC的交線

CD_LD3所以8_1_平面ABZ）又因為CDu平面AZX?

所以平面ABOJ_平面ADC

【變式3】（2003年真題）如圖在正四棱柱ABCD-AgCQ中，AC、8。為底面ABCZ）的對角線，E

為的中點，求證：D.BLAC

（1）證明：因為四邊形43co為正方形所以ACJL3O

又因為0A平面ABCD,ACu平面ABCD

所以OR_LAC