專題21帶電粒子在組合場的運動

題型一帶電粒子在組合場中的運動.....................................................1

類型1帶電粒子由磁場進(jìn)入電場...................................................3

類型2帶電粒子由電場進(jìn)入磁場..................................................II

類型3帶電粒子在磁場和電場中往復(fù)運動..........................................18

類型4帶電粒子在組合場中的動量問題............................................25

題型二組合場中運動的實例分析......................................................37

類型1質(zhì)譜儀的原理及應(yīng)用......................................................37

類型2回旋加速器的原理和應(yīng)用..................................................41

題型一帶電粒子在組合場中的運動

I.組合場概念：

靜電場與磁場各位于一定的區(qū)域內(nèi)，并不重疊，或在同一區(qū)域，靜電場、磁場分時間段交替出現(xiàn)。

2.三種場的比較

力的特點功和能的特點

名稱

天?。篏=mg重力做功與路徑無關(guān)

重力場

方向：豎直向下重力做功改變物體的重力勢能

天?。篎=qE靜電力做功與路徑無關(guān)

靜電場方向：①正電荷受力方向與場強W=qU

方向相同靜電力做功改變電勢能

②負(fù)電荷受力方向與場強方向

相反

洛倫茲力大?。篎=qvB洛倫茲力不做功，不改變帶電粒

磁場

方向：根據(jù)左手定則判定子的動能

3.帶電粒子在復(fù)合場中的運動分類

(1)靜止或勻速直線運動

當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場中所受合力為零時，將處于靜止?fàn)顟B(tài)或做勻速直線運動。

(2)勻速圓周運動

當(dāng)帶電粒子所受的重力與靜電力大小相等，方向相反時，帶電粒子在洛倫茲力的作用下，在垂直于

勻強磁場的平面內(nèi)做勻速圓周運動。

(3)較復(fù)雜的曲線運動

當(dāng)帶電粒子所受合力的大小和方向均變化，且與初速度方向不在同一條直線上時，粒子做非勻變速

曲線運動，這時粒子運動軌跡既不是圓弧，也不是拋物線。

(4)分階段運動

帶電粒子可能依次通過幾個情況不同的復(fù)合場區(qū)域，其運動情況隨區(qū)域發(fā)生變化，其運動過程由兒

種不同的運動階段組成。

4.常見的基本運動形式

電偏轉(zhuǎn)磁偏轉(zhuǎn)

偏轉(zhuǎn)條件帶電粒子以v_LE進(jìn)入勻強電場帶電粒子以v_LB進(jìn)入勻強磁場

?????????????????

示意圖rf???,第6

-3…，」v

0

受力情況只受恒定的靜電力只受大小恒定的洛倫茲力

運動情況類平拋運動勻速圓周運動

運動軌跡拋物線圓弧

物理規(guī)律類平拋運動規(guī)律、牛頓第二定律牛頓第二定律、向心力公式

八mv2mv

q、B-「，—qB

17

L=vby=gal-

271m0T

基本公式T-qB一一27r

韭，△at

a一士，tan9-

mivrL

sinO="

靜電力既改變速度方向，也改變速洛倫茲力只改變速度方向，不改

做功情況

度大小，對電荷做功變速度大小，對電荷永不做功

類型1帶電粒子由磁場進(jìn)入電場

1.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)有一半徑R=1m的圓形區(qū)域，圓與％軸相切于力

點，力點坐標(biāo)4=4蛆m,治=0,圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強度大小8=1T、方向垂直紙面向

里的勻強磁場。力點處有一粒子源，有大量質(zhì)量m=2x10-22kg,電荷量q=+4x1（T】6C的粒

子以相同的速率%在“Oy平面內(nèi)沿不同方向從4點射入磁場，已知垂直”鈾方向射入磁場的粒子

恰好從C點水平射出磁場，C點為圓左側(cè)與圓心?！康雀叩奈恢茫豢紤]粒子間的相互作用，不計

粒子的重力。在勻強磁場的左側(cè)存在一有界勻強電場，電場強度E=1.5x106N/C,方向沿y軸

負(fù)方向，電場左邊界為y和，右邊界與y軸的距離乙=2m。求：

⑴粒子射入磁場時的速率幾；

（2）射入磁場時速度方向與無軸正方向成120。的粒子在磁場中運動的時間（結(jié)果可用兀表示）；

（3）某粒子經(jīng)磁場馬電場的偏轉(zhuǎn)恰好能到達(dá)坐標(biāo)原點0,求該粒子從A點射入磁場到。點離開電場運動

的總時間（結(jié)果可用乃表示）。

【答案】⑴2xl06m/s

（2Sx10-6s

⑶110q

t詳解】（1）垂直》軸方向射入磁場的微粒恰好從C點水平射出磁場，由幾何關(guān)系可知，帶電粒子

在勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑r=R

對微粒，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有9%8=萼

可得％=2x106m/s

（2）如圖所示，射入磁場時速度方向與力軸正方向成120。的微粒從P點射出，其軌道圓心記為。2，

則四邊形力。/。2為菱形。

畫出）；在y>0,z>0的空間內(nèi)存在沿％軸正方向的勻強電場（圖中未畫出）。一質(zhì)量為電

荷量為鄉(xiāng)的帶正電的粒子，由空間中4點（未知），-L,乎）處以大小為孫的初速度射出，

速度方向平行于yOz平面、與,，軸正方向的夾角。=60。。t=0時刻，粒子恰好從。點|：0,0,

甯）穿過yOz平面射入電場區(qū)域，經(jīng)過0點時沿z軸方向的速度分量為0,t=￡時粒子再次穿

⑴粒子由4運動至P所用的時間；

（2）勻強磁場磁感應(yīng)強度的大??；

⑶電場強度的大小及t=%時粒子的位置坐標(biāo)。

【答案】⑴孩

,.57rmv0

''4Lq

3手,（3但，3L,甯）

【詳解】（1）粒子沿1y軸正方向做勻速直線運動，速度大小為%二%cos。

沿y軸正方向有L=%匕

解得“=日

（2）粒子在平?行于％Oz的平面內(nèi)做勻速圓周運動，線速度大小為方=%sin。

1

運動的軌跡半徑為r=zP-zA=竽

由洛倫茲力提供向心力有石qu?二萼

（3）設(shè)粒子在電場中的加速度大小為“，則有Eq=ma

粒子在P點的速度可分解為沿），軸正方向的速度巧，和沿x軸負(fù)方向的速度以，沿％軸方向，根據(jù)

速度公式有％=-v2+a?—

解得E=警

3qL

t=色時，粒子在y軸上的坐標(biāo)為y=vxt

v0

解得y=3L

2

粒子在X軸上的坐標(biāo)為x=-v2t+|at

解得％=3V3L

粒子在z軸上的坐標(biāo)為Z=Zp=^

故t=*t，粒子的位置坐標(biāo)為（3國，3L,祟）

3.如圖，在xO.y直角坐標(biāo)系中，有一質(zhì)量〃?=1.0xI（）T2kg,帶電量q=2.0x|（）T（）C的帶正電的粒子

（不計重力），垂直x軸從A點以v=200m/s的初速度進(jìn)入x軸上方的勻強磁場中。磁場方向垂

直紙面向外，磁感應(yīng)強度8=1。粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后又從B點垂直x軸進(jìn)入第四象限，第四象

限中有平行于％軸負(fù)方向的勻強電場￡粒子隨后經(jīng)過y軸負(fù)半軸上的。點，此時速度方向與y

軸負(fù)半軸成60。。已知。氏。4。（結(jié)果可用兀和根號表示）求：

??通.................

AOBx

J^t=

⑴粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑，?和周期T；

⑵第四象限中場強E的大??；

⑶粒子從A點運動到。點所用的時間。

【答案】⑴lm,nxlO-2s

（2）300V/m

（3/衿xl0-2s

【詳解】（1）作出粒子運動軌跡如圖所示

粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有

代入數(shù)據(jù)解得r=1m

粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期T=耳=符s=71義10-2s

（2）設(shè)粒子運動到C點時，沿x軸負(fù)向的分速度大小為y/,則有tan6（T=拳

解得力=200\/3m/s

根據(jù)勻變速直線運動的速度位移公式有譜=2ax0B

因粒子是垂直于磁場邊界進(jìn)入的，所以從該邊界射出時，仍垂直于邊界，所以有%0B=r=lm

根據(jù)牛頓第二定律有q￡=ma

聯(lián)立解得￡=300V/m

（3）粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)了半個周期，則在磁場中運動的時間為ti=；T=gxlO-2s

A4

粒子在電場中做類平拋運動，則沿X軸方向有孫8=最亡2

聯(lián)立解得￡2=梟10%

則粒子從4點運動到。點所用的時間為￡=0+匕=也普x10-2s

4.如圖所示，平面直角坐標(biāo)系的笫四象限內(nèi)，一虛線邊界與），軸之間有沿），軸正方向的勻強電

場，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于坐標(biāo)平面向外勻強磁場I,圓與％軸相切于〃點，在第

二、三象限內(nèi)有垂直于坐標(biāo)平面向里、磁感應(yīng)強度大小與第四象限相同的勻強磁場II,在第三

象限內(nèi)行一平行于八?軸的無限長熒光屏（圖中未畫出），在〃點有一粒子源向第四象限內(nèi)各方向

發(fā)射速度大小為口、質(zhì)量為加、電荷量為q的帶正電的粒子，其中沿y軸負(fù)方向發(fā)射的粒子在

磁場I中偏轉(zhuǎn)后從虛線邊界上A點沿x軸負(fù)方向進(jìn)入電場，經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)剛好從坐標(biāo)原點0射入

勻強磁場II中，后恰好垂直打在熒光屏上。已知4點和y軸間距為d=&R,不計粒子的重

力。

\y

XXXXX

XXXXX

XXXXXo

⑴求磁感應(yīng)強度和電場強度的大??；

(2)若粒子進(jìn)入電場后均能從0點射入磁場跖求虛線邊界需滿足的軌跡方程;

⑶在滿足第(2)間的條件下，求熒光屏上能接收到粒子的區(qū)域長度。

【答案】⑴登,甯

⑵y=一如2

(3)(75+1)/?

【詳解】(1)粒子在磁場團(tuán)中的運動，由幾何關(guān)系知，運動半徑r=R

根據(jù)洛倫茲力提供向心力有=my

聯(lián)立可得8=吧

qR

在勻強電場中，粒子做類平拋運動|y0|=R

at

ftr類平拋規(guī)律得%o=d=vot,\y0\=|o?qE=ma

聯(lián)M可得E=弊

qR

(2)經(jīng)分析知，所有粒子均垂直于y軸進(jìn)入勻強電場，旦均能從。點進(jìn)入磁場團(tuán)，則電場中類平拋

運動，有工=-y=

聯(lián)立可得,=-白％2

(3)設(shè)。點的速度為刃，與x軸負(fù)方向的夾角為仇則有以=，缶，，1=勺=詈/

1cosO】qBqBcosd

故qcose=華=R為定值即為熒光屏到X軸的距離，即所有粒子進(jìn)入磁場后做圓周運動的圓心均

在熒光屏上，且均垂直打到熒光屏上，由幾何知識得，打到屏上與y軸的距離為L=/式1+sin。)

經(jīng)分析，在P點沿x軸正方向進(jìn)入磁場(3的粒子，進(jìn)入磁場團(tuán)時速度最大，半徑最大，且與x軸負(fù)方

向的夾角最大，打在熒光屏上時與y軸的距離最遠(yuǎn)；在。點沿x軸負(fù)方向進(jìn)入磁場。的粒子，打在

熒光屏上時與)，軸的距離最近，在P點沿X軸正方向進(jìn)入磁場⑦的粒子，進(jìn)入電場中運動，有|%|=

2R

由動能定理得資詔,=V5v0,sin&=也二=由,丹=q(l+sin%)=

ZZViv5

翳(1+sin%)

代入數(shù)據(jù)解得力=(遙+2)R

同理，在P點沿x軸負(fù)方向進(jìn)入磁場團(tuán)的粒子，在。點沿x軸負(fù)方向進(jìn)入磁場回，速度“2=%

打熒光屏上與y軸的距離為乙2=R

故熒光屏上能接收到粒子的區(qū)域長度為AL=人一G=(而-DR

5.如圖所示，半徑為R的虛線圓內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場，旦。心、0/P分別是虛線圓的輕

直半徑與水平半徑。尸點右側(cè)存在一均勻輻向分布的電場，方向沿徑向指向圓心02點，半徑為

R的圓弧PQ的圓心也在。2點，經(jīng)過圓弧PQ處的電場強度大小為且42。2。=53。，水平虛

線Q”與豎直虛線QG之間存在水平向左、電場強度大小也為E的勻強電場，M點是此區(qū)域內(nèi)

的一固定點，現(xiàn)有一質(zhì)量為〃2、帶電荷量為的粒子(重力不計)從。點沿。。/方向垂直射

入磁場，接著運動到。點，然后沿圓弧PQ運動經(jīng)Q點進(jìn)入勻強電場，隨后恰好運動到加點時

速度豎直向下，sin53°=0.8,cos530=0.6o

⑴求粒子在P點的速度大小以及勻強磁場的磁感應(yīng)強度8的大?。?/p>

⑵求粒子從。點到M點的運動時間以及粒子從。點運動到M點所受的平均作用力大??；

(3)N點是勻強電場區(qū)域內(nèi)的一個固定點，且回GQN=53。，若電場強度大小為E的勻強電場方向改為

由Q點指向N點，求Q、M兩點之間的電勢差。

【答案】⑴解Jg

324qE

143n+108

⑶鬻

【詳解】（1）帶電粒子在輻向電場中做勻速圓周運動，電場力提供向心力，則有成7=嗒帶電粒子

在勻強磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，有8qv=噂

由幾何關(guān)系可得粒了在磁場內(nèi)做圓周運動的半徑廠-R

聯(lián)立解得u=催,8=用

（2）由幾何關(guān)系可得粒子在。點時的速度方向與水平方向的夾角為53。，將速度分別沿水平方向

和豎直方向分解，則仃以=vcos53\vy=vsin53°

粒子從Q點運動到M點，在豎直方向上以v、=vsin53。向下做勻速直線運動，在水平方向上以

%=ucos53。向右做勻減速直線運動，且到達(dá)M點時水平方向的分速度為0；粒子在勻強電場中，由

牛頓第二定律得Eq=ma

則有以=at2

聯(lián)立解得￡2疆

帶電粒子從O點運動到Q點經(jīng)歷的時間0=里邕x2

360V

粒子從。點到M點，速度變化量為Av=v+vy

由動量定理可得F?1+￡2）=7n

聯(lián)匯解得R=324qE

143n+108

（3）粒子從。點運動到M點，在水平方向上行％

/OU

在豎直方向I'.Yfy=vyt2=

若電場強度大小為E的勻強電場方向改為由Q點指向N點，如圖所示,

!QM連線沿電場強度方向的投影距離為QK",則Q、M兩點的電勢

差為UQM=Ed

由幾何關(guān)系可得d=+y2cos（53。-乙GQM）

其中cos乙GQM=潑聲sin乙GQM=7==

因此d=ycos5304-xsin53°=翟＞

則

…U=—12G

類型2帶電粒子由電場進(jìn)入磁場

1.圓心為。、半徑為R的11形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直紙面的勻強磁場（未畫

出），磁場邊緣上的A點有一帶正電粒子源，半徑。4豎直，MN與0A平行，且與圓形邊界相

切于4點，在MN的右側(cè)有范圍足夠大且水平向左的勻強電場，電場強度大小為E.當(dāng)粒子的

速度大小為網(wǎng)且沿AO方向時，粒子剛好從3點離開磁場，不計粒子重力和粒子間的相互作

用，下列說法正確的是（）

A.圓形區(qū)域內(nèi)磁場方向垂直紙面向外

B.粒子的比荷為黑

DK

C.粒子在磁場中運動的總時間為喘

D.粒子在電場中運動的總時間為誓

【答案】ABD

【詳解】A.根據(jù)題意可知，粒子從A點進(jìn)入磁場時，受到洛倫茲力的作用，根據(jù)左手定則可知,

圓形區(qū)域內(nèi)磁場方向垂直紙面向外，故A正確；

B.根據(jù)題意可知，粒子在磁場中的運動軌跡如圖甲所示

根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子做圓周運動的半徑為七粒子在磁場中運動軌跡所對圓心角力》根據(jù)洛

倫茲力提供向心力則有Bq%=萼

解得g=黑，故B正確；

mBR

C.根據(jù)題意可知，粒子從8點進(jìn)入電場之后，先向右做減速運動，再向左做加速運動，再次到達(dá)

B點時，速度的大小仍為%,再次進(jìn)入磁場，運動軌跡如圖乙所示.

則粒子在磁場中的運動時間為"故C錯誤;

D.粒子在電場中，根據(jù)牛頓第二定律有Eq=ma

解得a=歿=也

mBR

根據(jù)物="結(jié)合對稱性可得，粒子在電場中運動的總時間為t電=等=等，故D正確。

故選ABDo

2.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xQy中，第二象限內(nèi)有沿y軸負(fù)方向的勻強電場，第四象限內(nèi)存在

垂直紙面向里的有界勻強磁場，磁場邊界分別為x軸、MN和），軸，M、N兩點的坐標(biāo)分別為

（L。）、（0,-V3L）.一質(zhì)量為小、電荷量為“（夕＞0）的帶電粒子從第二象限的4點沿x

軸正方向以初速度血射出，4點坐標(biāo)為（一2L,V3L）,粒子恰好從坐標(biāo)原點O進(jìn)入第四象

限，之后粒子從MN上的P點（圖中未標(biāo)出）進(jìn)入磁場，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后從工軸上的。點（圖中

未標(biāo)出）垂直于x軸射出磁場，不計粒子重力。求：

竽土十十卡位

J|||巾

-2Ao-/LxXXrX

//

/XXXX

/

?6L/N-XX

⑴勻強電場的電場強度大小E和勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小瓦

⑵粒子從A點運動到Q點所用的時間to

【答案】（1坦=步叱，8=也嗎

2qL3qL

（―大

【詳解】（1）粒子的凱跡如圖所示，在電場中做類平拋運動

之qE=ma

聯(lián)立解得0=§,E='；；；o,%=atj=V3v

0

粒子運動到。點速度與x軸正方向的夾角正切tan。=上=g，即。=60°

vo

粒子運動到。點的速度u=J%2+=2v0

在磁場區(qū)域，根據(jù)幾何關(guān)系可得r=gL

乂洛倫茲力提供向心力，有qi?B=m廿

解得8=嚕也

3qL

（2）由兒何關(guān)系可知，從。點到磁場之間，粒子運動的位移為L,則運動的時間J=$=2

在磁場中，粒子運動的周期丁二犯二包

Vv0

則運動的時間13=黑7=簪

OOUIZVQ

粒子從4點運動到Q點所用的時間￡="+￡2+匕=6+誓）5

3.如圖所示，紙面內(nèi)邊長為d的正方形區(qū)域45CD內(nèi)，有一磁感應(yīng)強度大小為名、方向垂直于紙

面向里的勻強磁場，在48的上方有一電場強度大小為從方向垂直向下的勻強電場?，F(xiàn)將

一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從。力延長線上的。點由靜止釋放，結(jié)果粒子通過4點后恰

好從C點射出磁場。不計粒子所受的重力。

⑴求。、4兩點間的距離與；

⑵若。點可以在CA的延長線上移動，要使粒子通過4點后不會從B點左側(cè)（包括B點）進(jìn)入電場區(qū)

域，求0、A兩點間的距離不應(yīng)滿足的條件。

【答案】⑴出=誓

(2)%>箸

8mE

【詳解】（1）設(shè)粒子通過4點時的速度大小為先,根據(jù)動能定理有qE%o=1m%2—o

根據(jù)兒何關(guān)系可知，粒子在磁場中做圓周運動的半徑r°=d

洛倫茲力提供粒子做圓周運動所需的向心力，有q%%=m叱

%

聯(lián)立解得&=嚕

（2）根據(jù)幾何關(guān)系可知，在粒子通過4點后不進(jìn)入電場區(qū)域而直接到達(dá)3點的情況下，粒子在磁場

中做圓周運動的半徑=T

設(shè)此種情況下粒子在磁場中做圓周運動的線速度大小為女,有=m吧

設(shè)此種情況下。、4兩點間的距離為不，根據(jù)動能定理有qE;q=：m巧2一。

解得與=喏

因此，要使粒了通過4點后不會從B點左側(cè)（包括3點）進(jìn)入電場區(qū)域，0、4兩點間的距離尤應(yīng)滿足

的條件為％〉誓。

8mE

4.現(xiàn)代科學(xué)儀器中常利用電、磁場控制帶電粒子的運動。如圖甲所示，紙面內(nèi)存在上、卜.寬度均

為d的勻強電場與勻強磁場，電場的下邊界與磁場的上邊界重合，電場強度方向豎直向下，磁

感應(yīng)強度方向垂直紙面向里?，F(xiàn)有一質(zhì)量為，〃、電荷量為q的帶正電粒子（不計重力）從電場

的上邊界的P點由靜止釋放，運動到磁場的下邊界的。點時正好與該邊界相切，圖中P'點與尸

點等高。已知電場強度大小為E=空。

甲乙

⑴求勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小以

⑵求粒子從釋放至回到與。點等高位置所用的時間/:

⑶若把電場下移至磁場所在區(qū)域，如圖乙所示，重新讓粒子從上邊界M點由靜止釋放，經(jīng)過一段

時間粒子第一次到達(dá)最低點M求粒子到達(dá)N點的速度為以及M、N兩點間的豎直距離鼠

【答案】（1）8=安

qd

（2）n（n=1,2,3,…）

（3）I?N=VQ9h=d

【詳解】（1）從尸到粒子離開電場過程，有Eqd=：mi;2

解得U=Vo

粒子在磁場中運動的半徑r=d

粒子在磁場中運動有=m亍

解得3=勺

<2）設(shè)粒子在電場中加速一次時間為￡1，有d=：〃o￡i

根據(jù)運動對稱性可知粒子在電場減速一次的時間匕=tl=-

v0

粒子在磁場中做圓周運動的圓心角為m

粒子在磁場中運動周期為T=—

v0

粒子在磁場中運動半圈時間為￡3=5

粒子的運動為周期性運動，故粒子回到與。點等高位置所用的時間￡=n（t]+￡2+t3）=

n（表d）（n-1,2,3,…）

（3）將粒子從M點到N點的過程中某時刻的速度分解為水平向右和豎直向下的分審，分別為以、

%，再把粒子受到的洛倫茲力分別沿水平方向和豎直方向分解，兩個洛倫茲力分量分別為/=

qBVy,fy=qBvx

設(shè)粒子在最低點N的速度大小為小，M、N兩點的豎直距離為從以向右為正方向，水平方向上由

動量定理可得=qBh=mvN-0

由動能定理得qE九=1九嗚

解得嗎/=%，h=d

5.如圖所示，直角坐標(biāo)系第，四象限存在磁感應(yīng)強度分別為28和3的勻強磁場，方向分別為垂

直紙面向外和向里。第二象限內(nèi)有一拋物線，拋物線與y軸正半軸之間存在沿y軸負(fù)方向的勻

強電場。某時刻在拋物線上M點和y軸上N點同時發(fā)射兩個帶電球形微粒甲、乙，微粒甲沿x軸

正方向，微粒乙速度方向與y軸正方向夾角。二45。，二者恰好在原點。發(fā)生對心碰撞（即正

碰），碰撞后二者合為一體，質(zhì)量和電量均發(fā)生疊加（將其稱為“組合體”）。已知甲、乙微粒的

質(zhì)量分別為27n和m,電量分別為+3q和+q,M點的橫坐標(biāo)為-20N點的縱坐標(biāo)為一心忽略微粒

重力和微粒間的相互作用。

⑴若拋物線方程為y則/c值為多少；

⑵求第二象限的電場強度大小和微粒甲發(fā)射時的速度大小;

⑶求碰撞后，組合體第二次經(jīng)過x軸時的橫坐標(biāo)。

【答案】（1段=5

4L

(2)E=%=黑

3n2m

（3比=喑％

【詳解】（1）由乙粒子在磁場中的運動可知，到達(dá)原點。時，速度方向與工軸成45。，甲、乙完成對

心碰撞，則甲粒子也必然與％軸成45。

由tana=2tan￡可知I,M點的縱坐標(biāo)為L

代入y=kx2

可解得k=2.

（2）對中粒子有4=y=1at2,a=

乙微粒運動時間《=§。7=粵

2nqB

且甲乙粒子運動時間相等，聯(lián)立以上各式可解得￡=等警，v0=—

3n2m口urn

（3）到。點時甲的速度u甲=6。=號戶

運動軌跡如圖所示

由兒何關(guān)系知，微粒乙在第四象限運動軌跡半徑「1二當(dāng)心由q乙口乙B二mJ

可得乙的速度口乙二甯

由動量守恒,27nl?甲—m?乙=3mv^

解得二加(16-

火67rm

3mpf.3mv7..

組合體電量為+4q,質(zhì)量為3m,由4qu共8=一4qu共x28=—

第二次到達(dá)“軸時的坐標(biāo)％=+r3)

聯(lián)立解得"耳斗

類型3帶電粒子在磁場和電場中往復(fù)運動

6.如圖所示，?平面內(nèi)第一象限有沿-％方向的勻強電場，第二象限有垂直于紙面向外的勻強

磁場，且在y=3ga處有一無限大平行“軸的擋板，質(zhì)量為?n、帶電量為+q的粒子從A點

(-a,0),以+y方向的速度孫射入磁場，當(dāng)粒子進(jìn)入電場時其速度與+y方向的夾角為60。，然

后粒子又射出電場重新進(jìn)入磁場垂直打在擋板上，不計重力。

⑴求磁感應(yīng)強度的大小B；

（2）求電場強度的大小E；

⑶若粒子從A點以與+%方向成30。角的速度火射入磁場，向下移動擋板的位置，仍然使粒子打在相

同位置，求移動后擋板位置的y坐標(biāo)。

【答案】（1）8=產(chǎn)

2qa

⑵八皿

2qa

⑶見解析

【詳解】（1）根據(jù)題意，作出粒子運動軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系有r=rcos8+a

解得r=2a

由牛頓第二定律有q為8=m,

（2）由對稱性可知，粒子射出電場時，速度大小仍為北,方向與y軸的夾角為60。，由幾何關(guān)系可

得粒子在電場中沿y方向的距離Ay=3，5a-2rsin60°=V3a

則粒子在電場中的運動時間為t=也

VOCOS0VQ

沿電場方向上，由牛頓第二定律有qE=ma

由運動學(xué)公式有2“osin6O。=at

解得后=乎，

2qa

（3）粒子的運動軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可?知，擋板移動后的位置坐標(biāo)為下列值時，粒子會打

在相同位置上

%=2（r—rcos300）=（4—2i/3）a

y2=yi+2rcos30°=4a

y3=y24-2(r—rcos30°)=(8—2>/3)

7.如圖所示，在第二象限存在垂直紙面向里、磁感應(yīng)強度大小B=0.5T的勻強磁場，在第三象限

存在平行于y軸且向上、電場強度大小E=5N/C的勻強電場，一比荷A=4C/kg的正粒子從y軸

上的P(0,2m)點垂直y軸射入第二象限，最終垂直”軸射入第三象限，不計粒子重力，求：

，了

P

XX

XXX

E

⑴粒子的初速度大小也

(2)粒子在第三象限離入軸的最遠(yuǎn)距離L；

⑶粒子從P點運動至第3次經(jīng)過％軸的時間為

⑷粒子從。點運動至第100次經(jīng)過工軸的總路程S&。

【答案】⑴4m/s

(2)0.4m

(3)(y+0.4)s

⑷(99TT+40)m

【詳解】(1)由題意可知粒子在磁場中運動的軌道半徑為X2m,根據(jù)僅8=機3

解得口=等=4m/s

(2)粒子平行電場方向進(jìn)入包場做勻減速運動，則當(dāng)速度減為零時距離x軸最遠(yuǎn)，則最遠(yuǎn)距離

qEL=jmv2

解得￡=0.4m

（3）粒子在磁場中運動的周期T=棄=7TS

從進(jìn)入電場到到達(dá)最遠(yuǎn)處的時間0=三=黃=0.2s

粒子從P點運動至第3次經(jīng)過了軸的時間為=\T+2tl=（斗+0.4）s

（4）粒子從P點運動至第100次經(jīng)過％軸的總路程s總=50（7rr+2L）-羨=（99TT+40）m

8.某空間存在著一個變化的電磁場，電場方向向右（即圖中由B到C的方向），電場大小變化如

E"圖像，磁感應(yīng)強度的變化如力/圖像，在人點從/=ls（即Is末）開始每隔2s有一相同帶電

粒子（重力不計）沿48方向（垂直于8C）以速度v射出，恰都能擊中。點，若AC=28C,且

粒子在A、C間運動的時間小于1s,則（）

A.磁場的方向垂直紙面向里

B.圖像中a和坳的比值為?

?5

C.圖像中a和坳的比值為當(dāng)

D.若第一個粒子擊中C點的時刻已知為（1+A/）s,那么第二個粒子擊中C點的時刻是

3。+條小

【答案】BD

【詳解】A.根據(jù)題意可知，粒子在電場中的偏轉(zhuǎn)方向與電場方向相同，故粒子帶正電，由左手定

則可知，磁場方向垂直紙面向外，故A錯誤；

BC.在t=ls至t=2s間，第一個粒子從A到C做勻速圓周運動，以。為圓心，設(shè)8C=4

AC=2BC=2d,Z-BAC=30°

由幾何知識可得，粒子圓周運動的半徑R=AC=2d

粒子在磁場中運動時，洛倫茲力提供向心力，則有=若

解得殳=器

粒子在電場中運動時，粒子做類平拋運動，沿4c方向則有6d二ut

沿8c方向則有d=；電/

zm

聯(lián)立解得=需

2n1-2

則含=餐=，，故B正確，C錯誤；

D.根據(jù)上述分析可知，粒子在磁場中運動的時間0==巴=需

由題可知4=符

第二個粒子在電場中運動時間￡2=華

聯(lián)立可知，第二個粒子擊中。點的時刻為（3+亡2力=（3+等-At）s,故D正確。

故選BD。

9.如圖所示，在乃。y坐標(biāo)系y>0的空間內(nèi)充滿勻強電場，電場強度大小為E,方向平行于xOy平

面，與x軸正方向夾角為60。斜向下；在y<0的空間內(nèi)充滿勻強磁場，方向垂直于xOy平面向

外。一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子從坐標(biāo)原點，沿y地正方向以速率北射入電場，然后經(jīng)過

工軸上A點進(jìn)入磁場，當(dāng)再次返回電場時，恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點。。不計粒子重力，求

⑴粒子通過％軸上A點時的速度大小巧；

⑵勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小從

⑶粒子第八次從磁場進(jìn)入電場時的橫坐標(biāo)。

【答案】⑴亨外

（2琮

⑶皿U退（〃=],23…）

在電場中，粒子在％軸方向上做勻加速直線運動，則有Eqcos60o=max，vx=axt

2

粒子在y軸方向上做勻變速直線運動，則有-Eqsin600=may,0=vQt+^ayt,vy=v0+ayt

粒子在八點速度%=7昵+環(huán)

解得%=與為

2

（2）04間距離%】=^axt

令A(yù)點速度與％軸正方向夾角為仇則有tan8=%

vx

￡1

令粒子在磁場中運動的半徑為由幾何關(guān)系有sin。=工

rl

根據(jù)牛頓第二定律有q/8=

解得B=手

2VO

（3）根據(jù)圓周運動的對稱性，粒子每次進(jìn)入電場時的豎直運度均為外,每次在電場中的運動時間

均為/,粒子下一次進(jìn)入電場時X軸方向上的速度等于上一次離開電場時％軸方向上的速度，所以，

粒子在電場中的運動可看作?段連續(xù)的勻變速直線運動，則有％電

粒子每次進(jìn)入磁場時y軸方向的速度為-%,出磁場時y軸方向的速度為孫，每一次在磁場中運動的

時間為A3沿y軸方向，根據(jù)動量定理有=m%-（-m%）

每一次在磁場中運動沿工軸的位移為%垓=直小

粒:廣笫n次從磁場進(jìn)入電場時的坐標(biāo)x=工電一nx^

解得％=931(/2=1,2,3...)

3Eq

10.如圖所示，在xQy平面由)，軸左側(cè)存在沿X軸正方向的勻強電場，場強大小為E；y軸右側(cè)有

垂直于xQy平面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為&一質(zhì)量為小，電量為+q(q>0)的粒

子從坐標(biāo)為(-乙,0)的M點由靜止釋放，忽略粒子重力。求：

⑴粒子從“點到達(dá)O點的過程中電場力沖量/的大??；

(2)粒子第2次到達(dá)y釉時距。點的距離5；

⑶粒子由開始運動到第6次到達(dá))，軸的時間九

【答案】⑴同而

⑶5厝+警

【詳解】(1)粒子在電場中做勻加速運動，設(shè)到達(dá)。點時間為￡:有乙=：砒/

根據(jù)牛頓第二定律，有Eq=ma

解得/=Eqt\=y/2mEqL

(2)粒子在磁場中做勻速圓周運動，有=

又u=%，s=2R

聯(lián)立解得s=\

(3)設(shè)粒子在磁場中經(jīng)歷半圓的時間為亡2,有￡2=^=北

解得第6次到達(dá)y軸的時間￡=5tl+3匕=5J萼+翳

類型4帶電粒子在組合場中的動量問題

11.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，X軸下方存在豎直向上的勻強電場，電場強度為&在大軸上

方，0〈注心的范圍內(nèi)存在垂直于紙面向外，磁感應(yīng)強度大小為無的勻強磁場區(qū)域I,在

的范圍內(nèi)存在垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強度大小也為人的勻強磁場區(qū)域有一質(zhì)量

為團(tuán)，電荷量為+q的帶電粒子從y軸負(fù)半軸上某點。靜止釋放，恰好不能進(jìn)入磁場區(qū)域1【

中，不計粒子重力。

⑵若磁場區(qū)域團(tuán)的磁感應(yīng)強度變?yōu)槭郑詮腜點靜止釋放該粒子，求粒子從釋放到離開磁場的時

間;

【答案】⑴（0,—禁）

（2片總=等+2nm

3qZ?o

【詳解】（1）粒子在電場中運動的過程中，由動能定理得好'8=如評

粒子在磁場區(qū)域團(tuán)中運動，恰不進(jìn)入磁場區(qū)域畫由幾何關(guān)系得r=L

由牛頓第二定律得q%Bo=等

聯(lián)立解得=需

故P點的坐標(biāo)為（。，一嘴）。

y

XXXXXgXx\XXXXXXX

XXXxx>xxxxxxxxll

XXXX即yXXXXXXX

(2)粒子在電場中，由動量定理得qEQ=nwo

解得h二陪

粒子在磁場區(qū)域位中，由牛頓第二定律得q%x勺=%i

解得「1=2L

由幾何關(guān)系得sin。=上

解得e=m

o

粒子在磁場區(qū)蜘中做圓周運動的周期n=署=翳

粒子在磁場區(qū)域田中運動的時間￡2=導(dǎo)A=普

2TT3Q6Q

在磁場區(qū)域回中，粒子做圓周運動的半徑為/?，設(shè)粒子射H；磁場區(qū)域必時的半徑與上邊界的夾角為

a，根據(jù)幾何關(guān)系得rsin。+rsina=L

解得a=?

o

粒子在磁場區(qū)域團(tuán)中做圓周運動的周期72=等

在磁場區(qū)咖中運動時間13=警72=墨

總時間￡息="+￡2+6

解得3=等+2nm

3q%

12.某離子控制裝置如圖所示，以P(0,10cm)為圓心的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場

(未畫出)，在磁場上方一足夠長的熒光屏與)，軸垂直放置，熒光屏被離子擊中時會發(fā)光。點

A坐標(biāo)為(10cm,0),點8坐標(biāo)為(10cm,20cm),點。為x=10cm與熒光屏的交點，BD右

側(cè)有水平向右的勻強電場，電場強度人小為E=5X106N/C。原點O的離子源能在圖示角度

范圍內(nèi)持續(xù)均勻發(fā)射離子，發(fā)射離子的質(zhì)量m=3.2xl0-27kg、帶電荷量q=+i.6x

10-19(2、速率%=2.5xl()6m/s。在48處放置長20cm的擋板，離子均垂直擊中擋板，擊中擋

板后以原速率反彈。不考慮電場邊緣效應(yīng)和離子間的相互作用。取sin37。=0.6。

⑴求磁場的磁感應(yīng)強度大小。

(2)求擋板上有離子擊中區(qū)域的長度。

⑶若離子源單位時間內(nèi)發(fā)射的總離子數(shù)為〃，求擋板上縱坐標(biāo)5cm?10cm范圍所受的沖擊力大

小。

⑷設(shè)8。=忙求同一時刻從離子源射出的離子到達(dá)熒光屏的最大時間差A(yù)t與力的關(guān)系，以及熒光

屏上亮線的長度L與力的關(guān)系。

【答案】⑴0.5T

(2)14cm

⑶等x10-2%

⑷公爭2一和+.)

【詳解】(1)根據(jù)題意，結(jié)合幾何關(guān)系可知，軌跡圓圓心、入射點、磁場圓圓心與出射點陶成的四

邊形為棱形，即離子在磁場運動的軌跡半徑等于磁場區(qū)域的半徑離子，在磁場中運動有q%3=

詔

7m71—

r

解得。=0.5T

(2)作出離子打到擋板最高位置C與最低位置，的圖像，如圖甲所示

由題意可得，打到C點的縱坐標(biāo)Wax=r+rsin37°

打到”點的縱坐標(biāo)ymin=r-rcos37°

則擋板上有離子擊中區(qū)域的長度，=ymax-ymin=14cm

(3)設(shè)離子發(fā)射速度方向與工軸正方向夾角心。與離子擊中擋板縱坐標(biāo)位置的關(guān)系為y=

r(l-cos。)

當(dāng)y=10cm時，解得。=90。

當(dāng)y=5cm時，解得6=60。

則單位時間內(nèi)打到擋板上縱坐標(biāo)5cm~10cm范圍的離子數(shù)為味"n=三

由動量定理有FA￡=；?m為一;At?m(-v0)

解得尸=等乂10一21N

(4)作出離子從發(fā)射到最終離開磁場區(qū)域過程的軌跡，如圖乙所示

圖乙

可知離子在磁場區(qū)域運動軌跡所對圓心角之和均為180%離子運動的時間t=5+竺二吧+」

2Vovosn

結(jié)合。的取值范圍可知，當(dāng)90。時，，的值最小，則有tmin=3+4九XlO-7S

當(dāng)6=37。時，，的值最大，則有￡max=T+gxl(T6s+3.2xl(r8s

則有—max-「min一竽乂10~7S+3.2X10-8s

作出離子部分軌跡，如圖丙所示

根據(jù)兒何關(guān)系有』=7.5cm

tan53

當(dāng)h<7.5cm時有L=」一+」一二*八

tan37°tan53°12

當(dāng)h>7.5cm時，離子打到熒光屏最左側(cè)的點到），軸的距離與=二三

tanss

離子在電場中運動的最長時間t'=廿窄

0

vosm37

離子在電場中的加速度a="

m

z,2

離子打到熒光屏最右側(cè)的點到y(tǒng)軸的距離初=丁+v0tcos37°+1at

解得L=x1+x2=.F-各+/（m）

13.如圖所示的坐標(biāo)系中，第一象限存在豎直向下的勻強電場，第二象限存在水平向右的勻強電

場，電場強度大小為位，在），軸的負(fù)半軸上A點靜止一質(zhì)量為三、不帶電的粒子乙，另一質(zhì)量

為機、帶電荷量為+q的粒子甲由第二象限的S點靜止釋放，經(jīng)過一段時間由），軸上的。點進(jìn)

入第一象限，然后粒子甲由x軸上的Q點離開電場。假設(shè)粒子甲運動到。點的瞬間立即撤去

電場，同時在整個空間充滿垂直紙面向外的勻強磁場，最終粒子甲剛好沿x軸的負(fù)方向與粒子

乙發(fā)生彈性碰撞，同時有+學(xué)的電荷轉(zhuǎn)移到粒子乙上。忽略粒子的重力以及粒子間的靜電力。

4

己知S點的坐標(biāo)為（-L,L）,Q點的坐標(biāo)為（等乙,0）。

y、

pTSE2

'lid.

Ox

4