等腰三角形中的半角模型

1.（2025秋?渝中區(qū)校級期末）如圖，RtAABC中，N/3AC=9O°,=。、七為3c邊上兩點，ZZM￡=45。，

過A點作AF_LAE,且AF=AE,連接。八BF.下列結論：?AABF^AACE,②4）平分ZEDA③

若比）=4,CE=3,則A3=6夜；④若/W=B￡,5必加=；右小，其中正確的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2025秋?鄭陽區(qū)期中）如圖，在等腰AAAC中，AB=ACtNAAC=12O°，點。是線段AC上一點，

ZA￡>C=90。，點P是胡延長線上一點，點O是線段4）上一點，OP=OC,下面的結論：①ZAPO=ZACO;

②ZAPO+NDCO=30。；?AC=AO+AP;④PO=PC,其中正確的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2025春?牡丹區(qū)期中）如圖，在RtAABC中，AB=ACt。、E是斜邊8c上兩點，且ZZME=45。，

將AADC繞點A順時針旋轉90。后，得到A4F8,連接叮，下列結論：

①A4￡D=AAEF;@ZfAD=90°;?BE+DC=DE?BE2+DC2=DE2,其中一定正確的是（）

A.①③B.①②@C.①②③④D.②④

4.（2024秋?宜興市期中）如圖，AWC是邊長為a的等邊三角膨，ABDC是等腰三角形，且N4DC=120°,

以。為頂點做一個60。角，使其兩邊分別交于點M,交人。于點N,連接MN,則AAMV的周長是

（）入

.uZ_\、，

8

A.aB.2aC.3aD.不能確定

5.（2025?夾江縣模擬）已知AAAC是等邊三角形，點?在上，過點P作P/）_LAC,垂足為。，延長

8c至點Q,使CQ=AP,連接PQ交AC于點石，如圖所示.如果等邊三角形ABC的邊長為4,那么線

段DE妁長為（)

A.1B.2C.1.8D.2.5

6.（2025?鄴州區(qū)校級開學）已知，如圖，在AA4C中，4=90°,點。在線段AC上，NC=2NEDB,BE工DE,

DE與AB交于點、F,作OGJ.OE交AC于點G.

(1)若DB=DC,且DG=Of,fi')tanZC=

(2)若DB=2DC,DF=DG,則=DE和A48C的面積之比;

順時針旋轉90。得到麻，連接*⑹給出結論：①DE②QI5。；③整［：④若

正方形48CD的邊長為2,則點加在射線上運動時，CF有最小值0.其中結論正確的是（把

你認為正確結論的序號都填上）.

8.（2025?大連模擬）綜合與實踐

問題情境：數學活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1,在中，點。在AC邊上，于

F爻BC于E,ZABD=2ZCAE.求t正AB=BD.

獨立思考：（1）請解答王師提出的問題.

實踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面條件，并提出新問題，請你解答.“如

圖2,作EG_LA。于點G,若AE=BD,探究線段4）與CE之間的數量關系，并證明

問題解析：（3）數學活動小組同學對上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現，當點G與點。重合時，連接

CF,若給出OE的值，則可求出6的值.該小組提出下面的問題，請你解答

如圖3,在（2）的條件下，當點。與點G重合時，連接CF,若￡>￡;=&,求CF的長”.

9.（2025秋?牡丹江期末）已知NM4N=6O。，等邊ABEF與NMBN頂點、B重合,將等邊M所繞頂點“順

時針旋轉，邊砂所在直線與NM8N的用V邊相交于點C,并在“M邊上截取八8=AC,連接A￡.

（1）將等邊拉達F旋轉至如圖①所示位置時，求證：CE=BE+AE;

（2）將等邊"所順時針旋轉至如圖②、圖③位置時，請分別直接寫出BE,CE之間的數量關

系，不需要證明;

（3）在（1）和（2）的條件下，若即=4,AE=1,則C￡=

12.(2025秋?連山區(qū)期中)如圖，AAAC中，AB=ACf4i4C=120。，點O在碇'邊上運動(O不與4、

C重合)，點。在線段A3上，連結AO,O￡>.點O運動時，始終滿足NAOD=N3.

(1)當40的最小值為4時，此時用)=;

(2)當OD//AC時，判斷叢的形狀并說明理由;

(3)在點O的運動過程中,AA8的形狀是等腰三角形時，請直接寫出此時ZBZX7的度數.

13.(2025秋?連山區(qū)期中)如圖1,等邊三角形皮力和等邊三角形4CE,連接4),BE.其中AC>8C.

(1)求證：AD=BE;

(2)如圖2,當點、A、C、4在一條直線上時，AO交CE于點尸，BE交CD于點、G,求證：BG=DF：

(3)利用備用圖補全圖形，直線/V),BE交于點、H,連接CH,若OH=3,CH=5,直接寫出的

長.

14.（2024春?楊浦區(qū)校級期末）在等邊A4AC的兩邊/W、AC所在直線上分別有兩點M、N,D為MBC

外一點，且乙W/2W=6U。，Z?/?C=I2UU,HD=IX：.探究：當M、N分別在直線/W、AC上移動時，BM、

NC、MN之間的數量關系及A4MV的周長Q與等邊^(qū)ABC的周長L的關系.

（1）如圖1,ZV$C是周長為9的等邊三角膨，則AAA/7V的周長Q=

（2）如圖2,當點例、N邊AB、AC上，且=時，BM、NC、MN之間的數量關系是

此時?=;

（3）點M、N在邊AB、4C上，且當時，猜想（2）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜

想并加以證明.

15.（2025秋?溫江區(qū)校級期中）如圖，在AABC中，44=45°.

（1）如圖1,若AC=6&,AB=2,求AA8C的面積；

（2）如圖2,。為AABC外的一點，連接CD,BD且CD=CB,ZABD=^BCD,過點C作CE_LAC交

的延長線于點E,求證：BD+2AB=>/2AC;

（3）如圖3,在（2）的條件下，作"平分NC4E交CE于點。，過七點作胡；_1_叱交AP的延長線于

點M,點K為直線AC上點的一個動點，連接MK,過M點作MK_LMK,且始終滿足MK'=MK,連

接AK,若AC=4夜，請求出W+MK，取得最小值時（4K+M/r）2的值.

圖I圖2圖3

16.(2024?宛城區(qū)一模)(1)問題背景：

如圖①，在四邊形中，AB=ADfNH，UJ=12U。，N4=ZA/JC=90。，h,“分別是〃C、C/J上的

點，且/石4尸=60。.探究圖中線段BE,EF,m之間的數量關系.

小明同學探究此問題的方法是，延長㈤到點G,使DG=BE,連接4G,先證明再證明

AAEF^MGF,可得出結論，他的結論應是;

(2)探索延伸：

如圖②，若在四邊形/WCO中，AB=ADfN4+NO=18()。.E,F分別是BC,C/)上的點，且NE4/胡。,

上述結論是否仍然成立，請說明理由；

(3)實際應用：

如圖③，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心O北偏西30°的八處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的

3處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以6()海里/小時的速

度前進，艦艇乙沿北偏東50。的方向以80海里/小時的速度前進，2小時后，指揮中心觀測到甲、乙

兩艦艇分別到達E,尸處，當Z￡OF=70。時，兩艦艇之間的距離是海里.

(4)能力提高：

如圖④，等腰直角三角形A6C中，ZZMC=90°,4?=AC,點M,N在邊3C上，且NAWV=45。.若8M=1,

CN=3,則用N的長為.

圖3

17.（2024?杭州模擬）（1）如圖1,菱形/WCO中，NBAD=120。，點、E,F分別在邊BC,CD上,NE4產=60。，

連接“，作AAGP,使AAG”與Mtb關于直線9對稱，連接/JG.求證：1KJ=B七；

（2）如圖2,等腰AA8C中，ZfiAC=120°,AB=AC,點M,N在邊8C上，M在N的左邊，且NM4N=60。,

若BM=2,NC=3,求MV的長.

18.（2025秋?內江期末）旋轉變換是解決教學問題中一種重要的思想方法，通過旋轉變換可以將分

散的條件集中到一起，從而方便解決問題.已知，A43C中，AB=ACfZBAC=a,點。、E在邊BC

上，JLZDAE=-a.

2

（1）如圖明當a=60。時，將AAEC繞點A順時針旋轉60。到AAfB的位置，連結DF.

?ZDAF=：②求證：DF=DE：

（2）如圖〃，當a=90。時，猜想AQ、DE、CE的數量關系，并說明理由.

19.（2025秋?西青區(qū)期末）已知在AA4C中，AB=ACfD,E是AC邊上的點，將AABD繞點A旋轉,

得到AAC",連接2分.

（1）如圖1,當/84C=120。，4ME=6O°B寸，求證：DE=?E；

（2）如圖2,當。石=。石時，請寫出a4￡與NA4C的數量關系，并說明理由.

（3）當N84C=90。，DE=DE,EC=CD'B+,請直接寫出用）與的數量關系（不必說明理由）.

20.（2024秋?新鄉(xiāng)期末）閱讀下面材料：

小輝遇到這樣一個問題：如圖1,在RtAABC中，ZZMC=90°,AB=AC,點。，E在邊5c上，

ZDAE=45°.若40=3,CE=1,求￡>￡的長.

小輝發(fā)現，將AABO繞點A按逆時針方向旋轉90。，得到AAC/，連接￡尸（如圖2）,由圖形旋轉的性

質和等腰直角三角形的性質以及Z/%￡=45。，可證AM￡MA/ME,得FE=DE.解AFCE,可求得正（即

DE）的長.

請回答：在圖2中，NFCE的度數是,DE的長為.

參考小輝思考問題的方法，解決問題：

如圖3,在四邊形A8CD中，AB=AD,4+4）=180°.E,尸分別是邊8C,CD上的點、,且

NEAF=1/BAD.猜想線段防，EF,㈤之間的數量關系并說明理由.

圖1圖2圖3

1.（2025秋?渝中區(qū)校級期末）如圖，RtAABC中，N8AC=90°,A4=AC,。、E為AC邊上兩點，ZZME=45°,

過A點作A?LAh,且A?=Ah,連接〃"、B卜.下列結論：①3AACE,②4J平分ZE》；③

若比＞=4,CE=3,則人8=6血；④若A￡?=8E,SA4BD=|SMD￡,其中正確的個數有（）

【解答】W：\AFlAEf

/.ZME=90°,

Za4C=90°,

.'.ZFAE-ZBAE=ZBAC-ZBAEf

.?."4B=N￡4C,

?.?AB=ACfAF=AEt

:.^ABF^SACE(SAS),

故①正確；

vZZME=45°,ZfXE=90°,

：.ZF'AD=ZFAE-ZDAE=45°,

：.ZFAD=ZDAEf

-AD=ADtAF=AEt

:.^FAD^^EAD(SAS)f

：.ZFD\=ZEDAf

:.AD五分ZEDF、

故②正確；

在RtAABC中，NH4C=90°,AB=ACf

：.ZABC=ZC=45°,BC=41AB,

AABF=^ACE,

7.ZABF=ZC=45°,BF=CE=3,

/.ZFBD=ZABF+ZABD=9(r,

:.DF=」BF2+BD1=J32+42=5,

AE4Z>=AE4Z）,

卜D=ED=3,

..BC=BD+DE+CE=4+5+3=\2,

/.AB=6?,

故③正確；

?AB=BE,ZABE=45°,

：.ZBAE=^BEA=67.5°f

vZZME=45°,

/.ZADE=180°-ZDAE-ZAED=67.5°,

ZADB=ZAEC,

?.?AB=ACfZABE=NC=45°,

:.SABD^MCE（AAS）,

BD—CE,

,:BF=CE,

:.BD=BF,

?.NFBD=90。,

/.DF=42BD,

:.DE=>/2BD,

SMOE='^■SMBD,

故④錯誤；

綜上股述，正確的個數有3個，

故選：C.

2.（2025秋?酈陽區(qū)期中）如圖，在等腰A43C中，AB=ACtN3AC=120°,點。是線段3c上一點，

ZAZX?=90。，點尸是4A延長線上一點，點O是線段">上一點，OP=OC,7面的結論：①ZAPO=ZACO；

②ZAPO+NDCO=30°；?AC=AO+AP\?PO=PC,其中王確的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：連接30,如圖1分示:

c

圖1

-.AB=ACfADlBCf

:.BO=CO,

ZOBC=ZOCBf

又：OP=OC,

:.OP=OB,

:.NORP=NOPB,

又.,在等腰兇BC中ZBAC=120°,

/.ZABC=ZACB=30°,

ZOBC+ZOBP=NOCB+ZACO,

:.4)BP=ZACO,

ZAPO=ZACO,故①正確；

又ZABC=^PBO+ZCBO=30°,

:.ZAPO+ZDCO=3(Tf故②正確；

?.NPBC+ZBPC+ZBCP=180°,ZPfiC=30°,

；.NBPC+/BCP=150°,

又ZBPC=ZAPO+乙CPO,

ZBCP=ZBCO+ZPCO,

ZAPO+ZDCO=30°,

ZOPC+NOCP=120°,

又,NPOC+NOPC+NOCP=180。，

："POC=0T,

又??OP=OC,

.?.△OPC是等邊三角形，

:.PC=P(),NPCO=60°,故④正確；

在線段AC上截取AE=/IP,連接莊，如圖2所示:

c

圖2

VZ^4C+ZC4P=I80°,Z^4C=120°,

ZC4P=60°,

「.AAPE是等邊三角形，

:.AP=EPt

又bOPC是等邊三角形，

；.OP=CP,

又ZAPE=Z4PO+ZOPE=60°,

Z.CPO=/CPE+/OPE=60°,

:.ZAPO=/EPC,

在^APO和AEPC中，

AP=EP

<NAPO=NEPC,

OP=CP

;.AAPO三AEPC（SAS）,

AO-EC,

又?.AC=A￡+EC,AE=APt

AO+AP=ACf故③正確：

故選：。.

3.（2025春?牡丹區(qū)期中）如圖，在RtAABC中，AB=ACt。、E是斜邊AC上兩點，且/?定=45。,

將AAPC繞點4順時針旋轉90。后，得到AA尸6,連接耳下列結論：

①AA￡DNAA￡F；②4X0=90。；?BE+DC=DE?BE2+DC2=DE2,其中一定正確的是（）

A.①③B.①?@C.①②③④D.②④

【解答】解：由旋轉得:

ZE4D=90°,AF=ADfBF=DC,ZABF=Z.C,

//■=45°,

ZF,AE=ZFAD-ZDAE=45°,

ZFAE=ZDAEf

AE=AEt

..^FAE^^DAE(SAS),

：.EF=DEf

?/ZZi4C=90o,

/.ZABC+ZC=90°,

/.ZABF+ZABC=9（r,

.."BE=90°,

在RtABFE中，BF2+BE2=EF1,

..CD1BE1=DE1,

上列結論，一定正確的是：①②④，

故選：B.

4.（2024秋?宜興市期中）如圖，AA3C是邊長為〃的等邊三角/ABDC是等腰三角形，且N8DC=120°,

以。為頂點做一個60。角，使其兩邊分別交4〃于點M,交4c于點N,連接MN,則ZV1M/V的周長是（

【解答】解：AB/9C是等腰三的形，且NA/X?=120°

-.ZBCD=ZDBC=3(T

AA8C是邊長為〃的等邊三角形

.-.ZABC=ZZMC=Z^C4=60°

/.z79B4=ZDC4=90°

延長Afi至/，使BF=CN,連接OF,

A

在RtABDF和RtACND中，BF=CN,DB=DC

RtABDF=RtACDN(HL),

:.NBDF=NCDN,DF=DN

ZA^)N=60°

.?.NBDW+NSV=60°

.\ZBZ>W+ZBDF=60o,/FDM=3=ZMDN,DM為公共邊

;.N)MN三^DMF(SAS),

:.MN=MF

.?.MMV的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB^AC=2ci,

故選：B.

5.(2025?夾江縣模擬)已知AA3C是等邊三角形，點。在44上，過點尸作夕。_LAC,垂足為。，延長

至點Q,使CQ=AP,連接PQ交4c于點￡,如圖所示.如果等邊三角形ABC的邊長為4,那么線

A.1B.2C.1.8D.2.5

【解答】解：如圖，過點、P作PF//BC,交AC于點產，

貝”NEPF=NQ,ZAPF-ZABC

AA5c是等邊三角形，

.\ZABC=ZACe=60°,

:.ZAPF=ZAFP=^)°f

「.AAPF也是等邊三角形，而CQ=AP

/.PF=AP=CQf

又.?NPEF=NQEC,

XPEF二bQEC,

EF=EC,

,.91AC于。，AA竹是等邊三南形，

：.AD=DFf

AD-^EC=DF+EF=DE=^AF+^CF=^(AF+CF)=^ACf

:.DE=-AC=2.

2

故選：B.

6.(2025?郅州I區(qū)校級開學)已知，如困，在AA8C中，/4=90°,點。在線段8C上，4C=2/EDB,BE工DE,

DE與AB支于點、F,作DG_LOE交AC于點G.

(1)若DB=DC,且DG=￡>￡,則tanNC=-：

-3-

【解答】解：(1)如圖1,過點。作ZW//4C交8f的延長線于點M,過點石作&V_LBC于點N,過

點G作GKJ.8c于點K,

?.DM"AC,

:.ZBDM=NC,

NC=2NEDB,

:.ZBIM=2/EDB,

:.ZEDB=/EDM,

BE1DE,

.-.Zr>￡8=ZD￡M=90°,

在ADEB和垃)EM中，

NEDB=/EDM

<DE=DE,

ZDEB=/DEM

:.BE=EMtDB=DM,

:.BM=2BE,

?/ENIBC,GK工BC,

/END=4DKG=90°,

:.NGDK+NDGK=90。,

-DG1DE,

：.ZGDK+ZEDN=90Pf

:.ZDGK=ZEDNf

?;DG=DE,

:.垃)ENwbGDK(AAS),

:.EN=DK,DN=GK,

?;NDBM+/BDE=ZBDE+ZGDK=90°,

/DBM=NGDK,

在國)M和ADCG中，

NDBM=ZCDG

DB=DC,

NBDM=ZC

.?.ABOM=ADCG(ASA),

:.DG=BM,DM=CG,

;.DG=2BE,CG=DC=DB,

?/ZGKD=ZENB=90°,NGDK=NDRM,

：.\GDK^^EBN,

GKDKDG、

...——=——=——=2,

ENBNBE

:.GK=2EN=2DK,

ENGK今

~BN~~DK~'

:.EN=2BNf

設BN=x,則EN=DK=2x,GK=DN=4x,CG=DC=DB=5xf

:.CK=DC-DK=5x-2x=3xf

ZGKC=90°,

小GK4x4

tanZC==—=—,

CK3x3

故答案為：

3

(2)如圖2,過點D作DW//AC交班:的延長線于點M,過點E作EN_L3C于點N,過點“作FT_L4c

于點丁，過點6作6長_1_4(7于點K,

由(1)知：/BDM=/C,ZDBM=ZCDG,DM=DB,

..ABDM^ADCGt

,BMDMDB

~DG~~CG~~DC'

?.DB=2DC,

:.BM=2DG,DM=2CG,

BM=2BE,CG=DC,

:.13E=DG,

DF=DG,

：.BE=DF=DG,

設BE=DG=DF=2a,DE=2b,則BD=?2ay+(處2=2,4?+從,

：.CG=DC=yla2+b2,BC=34d+b，,

BDEN=BEDE,

…，HEDE2〃x2〃2nb

BD-2^/77F-^/77p-，

/BNE=/BED=90。,/DBE=/EBN,

/.cosZ.DBE=cos/EBN,

,BEBN

而一正，

；.BE2=BNBD,即(2〃)2=BNx2廬77,

2a1

...BN=

\la2+b2

/DBM=4CDG,/CDG+/FDT=NFDT+/DFT=90P,

ZDBM=ZCDG=ZDFT,

jBE=DF=DG,ABNE=/FTD=6KG=9^,

MEN主AFDT主^DGK(AAS),

2ab

：.FT=DK=BN二產,EN=DT=GK=,

yla2+b2777^

22

b-a22

：.CK=CD-DK=>Ja2+b2-BT=BD-DT=2〃+b--3b=2(("p)

2222

yJa+bJa4b』a2-b2Ja2+b2

ZC=ZC,ZA=NCKG=900,

:MBVkCGK,

^^=(—)2=9,

SgCG

S&CBA=9sAeGK'

CKGK=-x^~a2x2abab(b2—ci2)

S&CGK~

2y/a2+b2\Ja2+b2a2+b2

s_QS_^ab(b2-a2)

°AC/M_"ACGK_2,I2

a+b

ZABC+ZC=90°,ZC+4CGK=90°,

：.NABC=4CGK,

tanZABC=tanNCGK,

FTCK

~BT~~GK，

la1lab.-L2(/+b1-cib)

:.FTGK=CKBT,即

y/a2+b2>la2+b2\]a2+b2yja1+h2

2222

化簡得:(a+b)(a+ab-b)=09

a2+b2>0,

：.a2+ab-b2=0,

6/>0,b>U,

75-I

b,

2

S^DE=~BE-DE=gx2ax2Z?=2ab,

2(/+/)_2(分4尸+從2M

s

Q\BDElab

S2\BC9ab(b2a-)%b2a2)99

a1+b~”與4

故答案為：型.

9

C

圖2

M.

H

BNDK

圖1

7.（2025?咸寧模擬）如圖，在正方形ABC/）中，點M是m上一動點，點E是CM的中點，回繞點E

順時針旋轉90。得到石尸，連接￡）￡,DF.給出結論：①DE=EF；@ZCDF=45°；③些=工；④若

DF5

正方形A3CZ?的邊長為2,則點M在射線AA上運動時，CF有最小值夜.其中結論正確的是①②④

（把你認為正確結論的序號都填上）.

【解答】解：如圖，延長AE交DC的延長線于點〃，

:.ME=EC,

?:ABNCD,

.?.ZM4E=ZH,ZAME=/HCE,

.?.AAME^AHCE(AAS),

：.AE=EH,

又ZA7)H=90。，

：.DE=AE=EHt

?.AE繞點石順時針旋轉90。得到M,

:.AE=EFfZAET=90°,

.\AE=DE=EFf故①正確;

AE=DE=EFf

:."AE=ZADE,AEDk=終卜D,

'：ZAEF+ZDAE+ZADE+NED尸+ZETO=360°,

.?.2ZADE+2ZEDF=270°,

：.ZADF=\35°f

ZCDF=ZADF-ZADC=135°-90°=45°,故②正確：

如圖，連接AC,過點E作樣_1_4。于點尸，過點尸作尸N_LE『于N,交8于G,連接C77,

EP1AD,FNA.EP,NAZ)C=9(F,

二四邊形PDGN是矩形，

:.PN=DG,NDGN=90。，

vZC￡)F=45°,

.??點/在QP上運動，

.?.當b_L。尸時，C尸有最小值,

?.CD=2,ZCDF=45°,

的最小值

:.CF=~^==\[2,故④正確;

EP1AD,AMLAD,CDLAD,

：.AM//PE//CDf

APME,

——=-----=1,

PDEC

：.AP=PD,

：.PE是梯形AMCD的中位線,

:.PE=^(AM+CD)t

-.ZFDC=45°tFN【CD,

;.NDFG=NFDC=45°,

:.DG=GF,DF=y/2DG,

ZAEP+NFEN=90°,ZAEP+^EAP=90°,

:./FEN=/EAP,

大：AE=EF,NAPE=ZENF=辨,

:.SAPE^AENF(AAS),

..AP=NE=-AD

2f

PE=-(AM+CD)=NE+NP=-AD+NP

22t

-AM=NP=DG

2t

/.AM=2DG=2義皆=&)F,

…故③錯誤;

故答案為：①?④.

三.解答題（共13小題）

8.（2025?大連模擬）綜合與實踐

問題情境：數學活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1,在A43C中，點。在4C邊上，AE_L3￡>于

F爻BC于E,ZABD=2NCAE.求證■=4/）.

獨立思考：（1）請解答王師提出的問題.

實踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面條件，并提出新問題，請你解答.“如

圖2,作EG_LAC于點G,若AE=%>,探究線段AD與CE之間的數量關系，并證明.”

問題解析：（3）數學活動小組同學對上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現，當點G與點。重合時，連接

CF,若給出止的值，則可求出3的值.該小組提出下面的問題，請你解答

如圖3,在（2）的條件下，當點。與點G重合時，連接。尸，若。E=6,求b的長”.

圖2

【解答】（1）證明：如圖1,

BEC

圖I

AEA.BD,

7.ZA??=ZA/Z9=9(r,

.?.NA8D+N84/=90°,ZC4E+ZADB=90°,

ZABD=2ZCAEf

：.ZBAF=90°-2ZCAE,ZADB=90°-Z.CAE,

ABAD=ZZMF+ZCAE,

/.ZfiiAD=90°-ZC4E,

；.ZADB=ZBAD,

:.AB=BD.

(2)解：AD=OCE,理由如下：

過點B作J.AC于〃，如圖2,

則々H4=ZBM)=90°,

由(1)得：AB=BD,

：.AD=2DHfZABD=2ZDBH,

?.?NA4D=2NC4￡,

/.NCAE=NDBH,

???EG14C,

/.ZAGE=ZCGE=90°,

:.ZAGE=/BHD,

;AE=BD,

:.MEG=ABDH(AAS),

:.EG=DH,

:.AD=2EGf

t殳NC4E=A，則ZA8Q=2#,

AB=BD,

/.//BnAeD=/BDA=-I-X--U--v----N--A--4--J-=--------—,

22

AE=BD,AB=BD,

:.AE=AB,

]80。_/孫石

/ABE=ZAEB=~T~

NBAE=900-ZABD=90°-2p,

“昨幽*m=45。+

2

?.ZAES=ZC+ZC4E,

/.45°+y7=ZC+/7,

ZC=45°,

?.ZCGE=90°,

EG._.八。夜

/.=sinC=sin45=——,

CE2

:.EG=—CE

2f

V2廠

/.AD=2x—CE=yj2CE.

2

(3)解：如圖3,過點8作3"_LAC于"，過點/作五K_LAC于K,

由(2)知：AD=2EG,

?.?點。與點G重合，EGA.AC,

：.AD=2DE=2CDfZADE=90°,

:.CD=45,AD=2y/5,

AE=yjAD2+DE2=J(2石＞+(石y=5,

?.AE工BD,

:.AEDF=ADDE,Rf35。尸=26x逐，

；.DF=2,

AF=JAD2-OF2=7(275)2-22=4,

FK1AC,

:.NDKF=900=ZAFD,

4DK=ZAD卜,

:.NDFKs也AF,

FKDKDF口日FKDK2

AFDFAD42275

“4石八”2石

55

:.CK=CD+DK=45+—=—,

55

在RtACFK中，CF=yJCK'+FK。=J（苧f+（半產=屈.

9.(2025秋?牡丹江期末)已知/M8N=60。，等邊MEF與/A4BN頂點、B重合,將等邊MEF繞頂點8順

時針旋轉，邊印所在直線與NM8N的8N邊相交于點C,并在邊上截取49=8C,連接AE.

(1)將等邊反5耳1旋轉至如圖①所示位置時，求證：CE=BE+AE\

(2)將等邊M￡F順時針旋轉至如圖②、圖③位置時，請分別直接寫出AE,BE,CE之間的數量關

系，不需要證明：

(3)在(1)和(2)的條件下，若M=4,AE=\,則CE=3或5.

【解答】(1)證明：MEF為等邊三角形,

：.BE=EF=BF,NEM=60°,

:.ZEBA+ZABF=Of,

ZA/Z?/V=60°,

:./CBF+ZABF=0）°,

:"EBA=NCBF,

在AABE與bCBF中，

BE=BF

<ZEBA=4CBF,

AB=BC

:.AABE^SCBF(SAS),

AE=CF,

<CE=EF+CF,

CE=BE+AE；

(2)解：圖②結論為Cf=8E-AE,圖③結論為Cf=AE_5E,

圖②的理由如下：

MEF為等邊三角形,

：.BE=EF=BF,Z￡BF=60°,

:.NEBA+NABF=&甲,

/MBN=0)。,

:"CBF+ZABF=GT,

；./EBA=/CBF,

在^ABE與ACBF中,

BE=BF

、ZEBA=/CBF,

AB=BC

.?.AABEuACBF(SAS),

:.AE=CFf

?：CE=EF-CFf

：.CE=BE-AE,

圖③的利用如下：

MEF為等邊三角形，

BE=EF=BF,NEBF=60°,

:.ZEBA+ZABF=(/Tt

NMBN=。。,

.?.NCM+ZABb=60。，

:.ZEBA=NCBF,

在MBE與&2BF中，

BE=BF

<NEBA=NCBF,

AB=BC

:.AABE=^CRF(SAS),

/.AE=CF,

C七=C卜一七卜,

CE=AE—BE；

(3)解：在(1)條件下，CE=BE+AE=BF+AE=4+\=5；

在(2)條件下，CE=BE-AE=BF-AE=4-\=3f

綜上胡述，C￡=3或5,

故答案為：3或5.

10.(2025秋?樺甸市期末)如圖，MAC是等邊三角形，。是邊8c上一點(點。不與點2,C重合),

作/ED尸=60°,使角的兩邊分別交邊AB,AC于點E,F,且BD=CF.

(1)如圖①，若OEJ.8C,則NDEC=9()度;

(2)如圖②，。是邊8C上一點(點。不與點8,C重合)，求證：BE=CD;

(3)如圖③，若。是邊8c的中點，且AB=2,則四邊形血＞尸的周長為.

【解答】解：(1),.44C是等邊三角形，

.?.N4=/C=60。，

\DEA.BC,PpZBDE=90°,NE。尸=600,

/.ZBED=ZCDF=30°,

/.ZDFC=90°,

故答案為：90:

(2)AA3C是等邊三角形，

/.ZB=ZC=60°,

/EDF+/CDF=/B+/BED,XZE?F=60°,

:.NCDF=/BED,

在岫DE和&CFD中,

NB=NC

</BED=NCDF,

BD=CF

ABDE=/^CFD(AAS),

:.BE=CD\

(3)，.AAHC是等邊三角形，AB=2f

V

：.Z^=ZC=6U,AB=HC=AC=2f

.?。為BC中點，且8Z）=CF,

：.BD=CD=CF=AF=},

由（2）知gDEwbCFD,

:.BE=CD=\,DE=DF,

???N3=60。，

二?MOE是等邊三角形，

；.DE=DF=\,

則四邊形AE￡)廠的周長為AE+DE+DF+AF=4f

故答案為：4.

11.(2025春?嘉定區(qū)期末)在等邊三角形ABC的兩邊反、AC所在直線上分別有兩點M、N,P為MBC

外一點，且ZMPN=60。，ZBPC=120°,BP=CP.探究：當點M、N分別在直線A3、AC上移動時,

BM,NC,之間的數量關系.

(1)如圖①，當點M、N在邊A3、AC上，且=時，試說明MN=BM+CN.

(2)如圖②，當點M、N在邊AB、4c上，且PWHPN時，MN=BM+CN還成立嗎？

答：一定成立.(請在空格內填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”).

(3)如國③，當點M、N分別在邊/W、C4的延長線上時，請直接寫出8M,NC,WN之間的數量

關系.

【解答】（1）證明：??AAB。為等邊三角形,

.\ZABC=ZACB=60°,

?.ZBPC=120°,BP=CP,

：.NPBC=Z1PCB=gx（180°—120°）=30°,

/PBM=4PCN=90°,

在RtAPBM和RtAPCN中，

PB=PC

PM=PN'

：.RtAPBM三RtAPCN(HL),

:"BPM=4CPN=3V,

\ZM/W=60°,PM=PN,

"MN為等邊三角形，

:.PM=PN=MN,

在RtAPBM中，NBPM=30°,

：.BM=-PM,

2

同理可得，CN=-PN,

2

:.BM+CN=MN；

(2)解：一定成立，

理由如下：如圖②，延長AC至“，使CH=BM,連接夕”，

由(1)可知：/PBM=/PCN=哪，

/.ZPCH=90°,

/.ZPBM=ZPCH,

在ATOM和APCH中，

ZBM=CH

<NPBM=ZPCH,

PB=PC

:.APBMw^PCHGAS),

：.PM=PH,/BPM=NCPH,

???N8PW+NCPN=60°,

NOW+NCP〃=60。，

:.5PN=4HPN、

在AM/W和AWW中，

PM=PH

-NMPN=ZHPN,

PN=PN

：.X4PNw\HPN(SAS),

：.MN=HN=BM+CN,

故答案為：一定成立；

（3）解：如圖③，在AC上微取=,連接尸K,

在AP8W和APCK中，

PB=PC

<NPBA1=NPCK=900,

BM=CK

bPBM=APCK(SAS),

:.PM=PK,NBPM=NCPK,

/BPM+4BPN=,

:.NCPK+/BPN=3,

：.Z/CP.V=60°,

:./MPN=4KPN,

在AM/W和AA7W中，

PM=PK

<NMPN=4KPN,

PN=PN

:.△MPNwbKPNgAS),

:.MN=KN,

KN=NC-CK=NC-BM,

:.MN=NC-BM.

圖③

N

M,

B

P

圖②

12.（2025秋?連山區(qū)期中）如圖，AA4C中，AB=AC,NE4C=120。，點O在AC邊上運動（O不與A、

C重合），點。在線段A8上，連結AO,O￡>.點O運動時，始終滿足乙

（1）當40的最小值為4時，此時雙>=6;

（2）當OD//AC時，判斷AAQ8的形狀并說明理由；

【解答】解：（1）當AO_L3c時，Q4的值最小，如圖1中,

圖1

在RtAABO中，?.ZAOB=90°,40=4,AB=ACf/胡。=120°,

.\Z￡?=30°,

/.A4=2Q4=8,

?,-AB=ACfAOlBCt

=90。-30°=60。，

?.?ZAOD=NB=30°,

.\ZAZX?=180o-60°-30o=90°,

/.AD=-OA=2,

2

：.BD=AB-AD=8-2=6.

故答案為：6;

(2)結論：AACM為直角三角形.

理由：?：AB=AC,ZB2\C=120°,

ZC=Z^=30°,

=18(r--3(r=12(r,

vOD/MC,ZS4OD=Z^=30°,

：.ZOAC=ZAOD=30°f

.-.ZR40=1200-30°=900,

/.AAOB是直角三角形；

(3)MQQ的形狀可以是等腰三角形，理由如下：

分