1.（沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，AABC中，。在上，E在4c上，ZAED=ZABC.r在上,

七卜=DE.

（1）如圖1,若CE=BD,求證：BE=CF\

(2)如圖2,若CE=AD,G在DE上，ZEFG=ZEFC,求證：CF=2GF;

（3）如圖3,若CE=AD,EF=2,ZABC=30°,當(dāng)△。打'盾長最小時，請直接寫出MW的面積.

【解答】(1)證明：vZDEC=ZAED+ZFEC,ZDEC=ZABC+ZEDB,ZAED=ZABC,

:.ZFEC=ZEDB,

EF=DE,CE=BD,

;.&FEC三AEDBISAS),

:.BE=CF;

(2)證明：延長AB至，使￡>〃=AD,由(1)彳導(dǎo)AFEC合AEDH,

:.FC=HE,ZCFE=ZHEDf

延長少至/使W=連接4，則瓦

2

DH=AD,ZAD]=ZHDE,

;.AADI=AHDE(SAS),

:.AI=HE,ZHED=ZAIDf

:.AI=FCfZAID=/CFE,

,;/EFG=4EFC,

..ZEFG=ZA1D,

,:/FEG=4EA、

/.AFEG^zVEA,

?'?-G-F=-E-F-，

AlIE

?,GF二—1，

CF2

:.CF=2GF;

(3)解：延長在'至J使￡7=￡F,

?EF=DE

EJ=DE

、：AFEC=/EDB,

：.4CEJ=ZADE,

?.CE=ADf

：.ACEJ=AAO￡(5AS),

；.NCJE=ZAED,

\'ZAED=ZABC,ZABC=30°,

.-.ZG/E=30°,

過E作JC的對稱點￡,連接C￡、FE\CE\JE,

GCEF=EF+CF+CE=2+CF+CE..2+FE'

當(dāng)/、C、E三點共線時周長最小，

E

當(dāng)周長最小時如圖所示:

A

D

.-ZC/E=30°，

.\ZE/E,=60°,

?：JE=JE,

.?.A￡厲是正三角形,

/.Z/￡T=60。，EE'=EJ=EF,

4EFE=NEEF=30°,

??CE-CC，

.?.NCEE'=ZEE戶=30°,

.-.ZCE/=90°,

.?.N莊。=90°,

.EC=FE2243

G83

?.?乙4印=30°,

/.ZfiED=60°，

；./BDE=90°,

；.BE=2DE=4,

..S..=-xBCxEF=BC=BE+EC=4+—.

皿xliei23

2.（2025春?榮昌區(qū)期末）菱形ABC。中，ZABC=120°,連接AC,點E是8邊上一點，連接8E交AC

于點M.

（1）如圖1,若A4=3,當(dāng)4E_LC。時，求CM的長；

（2）以班:為邊向右側(cè)作等邊助所，連接4廠，CF.

①如圖2,點G是AF中點，連接BG.求證：CE=2BG;

②如圖3,當(dāng)DE=2CE時，直接寫出曳”的值.

是等邊三角形,

BE=BF,4七Bk=6UU,

..AH=BE,

ZABC=120°,

,\ZABC+ZEBF=180°,

/.ZEBC+ZABF=180°,

/.ZHAB=NEBC,

在MBH和MCE中，

AH=BE

?NHAB=NEBC,

AB=BC

:.MBH^ABCEgAS),

:.BH=CE,

BH=2BG,

:.CE=2BG\

(3)解：如圖，連接8。交4)于點G,過點E作￡77_LAC于點〃,

設(shè)CE=a,則OE=2a,

AB=BC=CD=3a,

?/四邊形ABCD為菱形，ZABC=120°,

/.AB/'CDy4G_LAC,AG=CG,ZABD=ZCBD=60°,NBCG=NDCG=二/BCD=30。,

2

AfiCD為等邊三角形，

;.BD=BC,

在RtABCG中，BG=-BC=-a,CG=y/3BG=—a,

222

/.AC=38a>

CE//AB,

.CE-CMgpCMa1

"'~AM~3CI~T

：.CM=-AC=—a

44f

在RtACEH中，HE=-CE=-,

22

.cJr,36a_302

g224216

AfiEF為等邊三角形，

；.BE=BF,Z￡BF=60°,

/DBE+NEBC=NCBF+NCBE,

:./DBE=NCBF,

在她?！旰虯fiC尸中，

BD=BC

<ZDBE=ZCBF,

BE=BF

:"DBE"CBF（SAS）,

:.DE=CF=2a,ZBDE=NBCF=9。,

...ZACF=NBCF+/BCG=90°,

i

5必丁=-CF,AC=—x2?x36a=3no?

22

362

.&CEA_16_]

3>/3a2-16,

3.（2025?撫州三模）課本再現(xiàn):

（1）我們研究平行四邊形時，常常把它分成幾個三角形，利用三角形全等的性質(zhì)研究平行四邊形的

有關(guān)問題，同時也可以利用平行I川邊形研究三角形的有關(guān)問題，如探究三角形中位線的性質(zhì).

如圖（1）,在A/WC中，點。，E分別是AA,AC的中點，連接DE.則DE與4c的關(guān)系是DE=LBC,

一2—

DE/（BC_.

定理證明

（2）請根據(jù)（1）中內(nèi)容結(jié)合圖（1）,寫出（1）中結(jié)論的證明過程.

定理應(yīng)用

（3）如圖（2）,在四邊形48CD中，點M,N,尸分別為AD,BC,的中點，BA,8的延長線

交于點￡.若NE=45。，貝的度數(shù)是.

（4）如圖（3）,在矩形A8CZ）中，AB=4,A￡>=3,點E在邊AB上，且A￡=38E.將線段AE繞點4

旋轉(zhuǎn)一定的角度。（0。<。<360。），得到線段Ab,點M是線段b的中點，求旋轉(zhuǎn)過程中線段8M長的

最大值和最小值.

ra（i）圖（2）圖⑶

【解答】解：（1）如圖，延長DE至點/，使EF=DE,

連接CN,

<ZAED=/CEF,AE=CE,

：.^AED^^CEF(SAS},

?/AD=CF,ZA=ZECF,

/.ABHCF,

?.AD=BD,AD=CF,

:.BD=CF,

.??四邊形/MCF為平行四邊形，

S.DF//BC,DF=BC,

DEIIBC,DE=-BC.

2

故答案為：OE7/AC且DE=-BC\

2

(2)證明：如圖，延長DE至點尸，使EF=DE,

連接C/7,

圖⑴

?;ZAED=/CEF,AE=CE,

:.SAED^ACEF(SAS),

AD=CFfZA=/ECF,

:.ABHCF,

,.4)=9，Al)=Cb,

:.BD=CF,

四邊形08b為平行四邊形，

:.DFHBC,DF=BC,

:.DE//BC,DE=-BC.

2

(3);點加，尸分別為AD,3Q的中點，

:.MP//AB,

:?ZMPD=ZABD,

?.,點N,P分別為BC、應(yīng)＞的中點,

:.PNHCD,

:4NP=4C,

NMPN=ZMPD+ZDPN=ZABD+ZDBC+NPNB=ZABD+ZDBC+ZC=ZEBC+NC=18(T-NE=135。.

故答案為：135。.

(4)如圖，延長C4至點H,使BH=CB,連接

、；CM=ME,CB=BH,

：.BM=>FH,

2

由勾股定理得，A〃="行=5,

?;AE=3BE,AB=4,

：.AE=3，

二.點尸在以點A為圓心，3為半徑的圓上（不與點E重合），

當(dāng)點尸在線段A“上時，"7最小，最小值為5-3=2;

當(dāng)點尸在線段"4的延長線上時，F(xiàn)H最大,最大值為5+3=8.

故：助V/長的最大值為4,最小值為1.

4.（2025春?巴南區(qū)期中）在矩形A8CD中，七是4）邊上一點.

(1)若ZA跳：=60。，EC平分ZBED,且"=1,求AEDC的面積；

(2)若”是AE中點且AE=4〃，EFLBH于F點,求證：BF=AH+退EF；

(3)若ZABE=60°,EFLAD于E點、,連接AF并反向延長至G點使得46=人尸=3M.點〃在直線4)

上方，連接BH、HF,GB=BH、NGBH+ZABE=180。，請?zhí)骄坎⒄堉苯訉懗鯝F與FH的數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：(1)在矩形A8CD中CD=AB,AD=BC,NA=NABC=NO=90°.

過C作C〃_L4E于尸，如圖1.

:.ABEC=M)EC(AAS).

.\CF=CD=AB=\.

vZ￡：BC=ZABC-ZABE=90o-60o=30o,ZBFC=90°,

/.FC^-HC.BPBC=2CF=2.

2

?.ZA=90°,ZABE=60°,

/.ZA￡S=30°,

:.BE=2AB=2.

AE=NBE。-AB。=V22-l2=G.

:.ED=AD-AE=BC-AE=2-yf3.

二?SAEDC=；ED.DC=；一與.

(2)過A作AG_L5/于G,過A作4_L￡F延長線于/,如圖2.

圖2

ZA/E=90°=zaw,

ZABH+ZAHB=90°，ZFEH+4FHE=90°，

ZABH=ZFEH.

又：AE=BH,

.\AALiH^AAIE{AAS).

：.AI=AHAB=EI.

?;A1工EI,EF工BH,AG1BF,

四邊形AG"是矩形.

：.AG=FI,GF=AI.

ZAGH=NEFH,ZAHG=NEHF,AH=HE,

:2GH=?FH.

:.EF=AG.

.\AB=IE=2AG.

在RtAABG中，BG=\lAB2-AG2=yj(2AG)2-AG2=CAG=gEF.

...BF=GF+BG=AH+^EF.

(3)作MAA關(guān)于A5的對稱A/aA,連接KG,EH,如圖3.

F

圖3

AKAB^AEAB(對稱)，

：.KA=EA,/KBA=ZABE=?T.

NKBE=NKBA+NEBA=&F+&甲=120。.

?.?ZGBA/+ZABE=180°,

.?.NGBH=180°-ZABE=180°-60°=120°.

:"KBE=/GBH,

/KBE-ZKBH=ZGBH-/KBH.

ZGBK=ZHBE.

又?.GB=BH,KB=BE,

..AKGB^AHBE(SAS).

:.KG=HE,NGKB=/HEB.

\KA=EAfZ1KAG=Z1FAF,AG=A尸，

：,AAKG=/!^AEF(SAS).

:.KG=EFfZAKG=ZAEF=9(r.

:.KGHAB.

:.GKB=ZKBA=60P.

-.?ZfiAE=90°,ZABE=60°,

/.ZB￡A=30°.

Z//EF=4所一ZH必=N3E4+Z4EF-=30°+90。-60°=60°.

.?.AHEF為等邊三角形,

:.FH=EF,

；.AF=3EF=3FH.

5.(2025春?碑林區(qū)校級期中)為了進一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時，小麗

在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1,在AA8C中，AD是8C邊上的中線，延長AD到M,使。0=AD,連

接BM.

圖1IS2

【探究發(fā)現(xiàn)］（1）圖1中AC與8M的數(shù)量關(guān)系是_AC=BM，位置關(guān)系是

【初步應(yīng)用】：（2）如圖2,在A43C中，若AB=12,AC=8,求8c邊上的中線AD的取值范圍.（提

示：不等式的兩邊都乘或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變.例如：若3x<6,則x<2.）

【探究提升工（3）如圖3,4）是M8C的中線，過點A分別向外作A〃_LAC,使得他,

AF=ACf延長ZM交E尸于點夕，判斷線段所與4）的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請說明理由.

【解答】解：（1）4）是A44c的中線，

:.BD=CD,

在&WC和AWZM中，

CD=BD

<ZCDA=4BDM,

AD=MD

:.^ADC=AMDB(SAS),

;.AC=BM,NC4O=4f,

/.AC//BM,

故答案為：AC=BM,AC!IBM;

(2)如圖2,延長4)到M,使=連接8M,

M’

圖2

由(1)可知，■DB=MDC(SAS),

:.BM=AC=St

在AA8W中，AB-BM<AM<AB-vBM?

.-.12-8</Wf<12+8,

即4<2AOv20,

即BC邊上的中線4J的取值范圍為2<4J<1U;

(3)EF=2AD,EFA.AD.理由如下：

如圖3,延長4)到M,使得DW=4),連接8W,

M

圖3

由(1)可矢口，ABDM主ACDA(SAS),

/.DM-ACf

?：AC=AF,

:.BM=AF,

由(2)可知，AC//BM,

ZBAC+ZABM=180°,

?.AE1AI3.AFLAC

：.Z1BAE=Z1FAC=90°,

.-.Zfi4C+ZE4F=180o,

」.ZA^W:ZE4F,

在A4BM和AE4/中，

AB=EA

、AABM=ZEAF,

BM=AF

...\ABM\AEAF(SAS),

:.AM=EF,Z￡MM=ZE,

?.AD=DM,

:.AM=2AD,

:.EF=2AD,

'：ZEAM=ZBAM+ZBAE=ZE+ZAPE,

NAPE=NAME=90°,

:.EF1AD.

6.（2025秋?南沙區(qū)校級期末）如圖，在A/SC中，點”是AC的中點，分別以/W,為腰向43C外

作等腰三角形A8W和等腰三角形8CN,其中，AB=BM,BC=BN,ZABM=\2O,，ZA?C=60°,連

接MN.

（1）請寫出80與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）延長交例N于點尸，求功;話的度數(shù).

【解答】解：(1)MN=2BD,理由如下：

如圖，延長8。至E使/汨=&),連接AE,

「點。是AC的中點，

CD=AD，

在△◎?￡>和AAED中，

CD=AD

<NCDB=乙ADE,

BD=ED

:.ACBD^AAED(SAS),

；.BC=AE,ZDAE=ZDCBf

???BC=BN,

AE=BN,

?.?NA4M=120°,ZA^C=60°,

ZMBN+ZABC=180°,

在A4BC中，ZEAC+ZABC+ZACB=180°,

ZMBN=ZBAC+ZACB=ZBAC+￡DAE=/BAE,

?.AB=BM,

.?.△ABE^ABMN(SAS),

:.BE=MN,

(2)延長交MN于點產(chǎn)，

MBE陞鄴MN，

ZABE=/BMN,

,.?NABM=120°,

「.ZABE+ZMS/=180°-120。=60°,

:./BMF+ZMBF=60P,

ZMFB=180°-60°=120°.

7.(2025?蜀山區(qū)校級一模)如圖，在AA3C中，ZACB=90°,BC>AC>CD_LA4于點。，點E是AB

的中點，連接CE.

(1)若AC=3,AC=4,求C/)的長；

(2)求證：BD2-AD2=2DEAB-,

(3)求證：CE=-AB.

【解答】(1)解：在AA8C中，Z4CB=90°,AC=3,BC=4,

由勾股定理得：AB=yjAC2+BC2=X/32+42=5,

〃CB=90。，CD±AB,

'.S^c=-ACBC=-ABDE,Eplx3x4=-x5xCD,

2222

解得：CD=—;

5

(2)證明：?.?點E1是A8的中點，

/.AE=BE,

:.BD-AD=(BE+DE)-(AE-DE)=BE-AE+2DE=2DE，

\CD工AB,

BC2=BD2+CD1，AC2=AD~+CD2，

BC2-AC2=(BD-+CD2)-(AD2+CD2)=BD2-AD2=(BD+AD)(BD-AD)=ABIDE=IDE-AB;

(3)證明：延長CE至點尸，使EF=CE,連結(jié)AF,

在廠和ABEC中,

AE=BE

<NAEF=/BEC,

EF=EC

..^AEF^ABEC(SAS),

：.ZB=ZEAF,AF=BC

??NACB=90。，

..ZB+NC4B=NE4F+NC4B=90°,

/.ZC4F=Z4Cfi=90°,

\AC=CA,

「.AAC/三△CAB(SAS),

:.CF=AB,

?.CF=2CE,

：.CE=-AB.

2

8.（2025秋?東城區(qū)期末）如圖，在等邊三角形/WC中，點。為AAAC內(nèi)一點，連接人P,BP,CP,

將線段的繞點4順時針旋轉(zhuǎn)60。得到連接PP，BP.

(1)用等式表示〃尸與C?〃的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)當(dāng)N8PC=120°時，

①直接寫出小8〃的度數(shù)為_3。_;

②若M為8C的中點，連接PM,用等式表示與AP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【解答】解：⑴BP=CP，

證明：AWC是等邊三角形，

/.AB=ACfZE4C=60°,

/.Z2IZ3-6O°

;將線段轉(zhuǎn)繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AP\

,

：.AP=APfNR4戶=60°,

/.Zl+Z2=60°，

Z1=Z3,

.?.AAB產(chǎn)=AACP(SAS),

:.BP=CP;

(2)①當(dāng)N4PC=I2O。時，

則Z8+Z6=180°-Z/?PC=60°,

?MBPsMCP,

"4=N5,

:.NPBP=N4+N7

=Z5+6O°-Z8

=60°-Z6+60°-Z8

=120°-(Z6+Z8)

=120°-60°

=60°，

故答案為：60°;

②A尸=20M,理由如下：

延長尸M到N,使=連接?V,CN,

?.M為8c的中點，

:.BM=CM,

.??四邊形P/WC為平行四邊形，

;.BN/心且BN=CP,

:.BN=BP,,N9=N6,

又Z8+N6=60°，

.-.Z8+Z9=60°,

:"PBN=3=/PBP,

又?.BP=BP,PB=BN,

:./\PBP三處IBPISAS),

:.PP=PN=2PM,

又?.ALPP為正三角形，

:.PP=AP,

：.AP=2PM.

9.(2025春?南崗區(qū)校級月考)在AABC中，AB=AC,點。為BC的中點，點石、尸分別在邊AB、AC

上，且滿足。石。尸.

(1)如圖1,當(dāng)/耐C=120。時，若DF//AB,DE=m,則=—m;

一3一

(2)如圖2,當(dāng)N"C=9O。時，求證：BE2+CF=2DE。

(3)如圖3,當(dāng)N8AC=60。時將NC?！秆胤?，CD邊與EF交于點G,若BE=12,6=20,求EF

的長.

【解答】（1）解：如圖1,連接加＞,

???AB=ACfNK4C=121T,

二.ZB=ZC=-(l80o-ZBAC)=-x(180o-120o)=30°,

22

-;DF//AB,

.?.NCDF=/B=30°,

?.ZAFD=/CDF+ZC=60°,

?.,點。為3C的中點，

ZDAF=-ABAC=60°,ADLBC,

2

.?.ZADF=90o-ZCDF=60°,

ZAFD=ZDAF=ZADF=O)°f

.,.AAZJ”是等邊三角形，

:.AJ)=DFf

DE工DF,DF//AD,

：.DE1AB,/EDF=90°,

.-.ZAED=90°,ZADE=ZEDF-ZADF=90°-60°=3(T,

:.AD=2AEf

：.DE=>JAD2-AE2=yj(2AE)2-AE2=yf3AE=m,

AE=——m,

3

DF=AD=2AE=^-m,

3

故答案為：名巨機；

3

(2)證明：如圖2,連接AD、EF,

?.AB=AC.Zfi4C=90°,點。是8c邊的中點，

AD=-BC=BD,AO_L8C,NB=45。，ZD4F=-ZBAC=45°,

22

：.ZADB=90P,

?.DEIDF,

:.ZADF+ZADE=90°,

又二NBDE+ZADE=ZADB=90°,

:.ZBDE=ZADF,

在和AAD尸中，

NBDE=NADF

■RD=ADr

NB=/DAF=45。

..ABDE=AADF(ASA),

:.BE=AF,DE=DF,

AB=ACf

AB-BE=AC-AF,

K|JAE=CF,

222

在RtAAEF中，根據(jù)勾股定理得：AF+AE=EFt

:.BE2+CF2=EF'2,

=90°,

「.AD哥'是等腰直角三角形，

/.EF~=DE2+DF~=2DE2,

:.BE?+CF2=2DE?;

(3)解：如圖3,延長7D至使連接8M、EM，過E作硒_LM3交MB的延長線于點N,

???A8=AC,Zfi4C=60°,

.?.AA坎?是等邊三角形，

ZABC=ZC=60°,

在ATOC和&WZ用中，

CD=BD

?ZCDF=NBDM,

FD=MD

:.^FDC^AMDB(SAS),

，CF=BM=20,NC=ZMBD=60c,

/.ZABM=ZABC+ZMBD=6(F+60°=120°,

...NEBN=180。-ZABM=60°,

?.EN[MB,

:"ENB=90°,

ZBEV=90°-N￡BN=30°,

:.BN=LBE==X12=6,

22

:.MN=BN+BM=6+W=26,EN=JBE?-BN)="|2?-6?=66,

EM='EN?+MN，=7（6X/3）2+262=28,

DEIDF,MD=FD,

:.EF=EM=28.

即EF的長為28.

圖3

圖2

10.（2025?淮安二模）【問題情境】

學(xué)完《探索全等三角形的條件》后，老師提出如下問題：如圖①，中，若AB=12,AC=8,求水;

邊上中線4）的取值范圍.通過分析、思考，小麗同學(xué)形成兩種解題思路.

思路1:將AWC繞著點。旋轉(zhuǎn)180。，使得CZ）和重合，得到AE￡B..

思路2：延長4）到￡,使得。石=AD,連接8E,根據(jù)SAS可證得AADC三AED8..

根據(jù)上面任意一種解題思路，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系，我們都可以得到4）的取值范圍為

2<AD<10

【類比探究】

如圖②，DB=DE,DC=DA,N/JDC+ZAZ）K=180。，是AADE的邊AE上的中線，試探索￡）尸與NC的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【遷移應(yīng)用】

【應(yīng)用1】如圖③，己知匚。的半徑為6,四邊形"C。是OO的圓內(nèi)接四邊形.4)=8,

NAOD+N8OC=180°,求8C的長.

【應(yīng)用2】如圖④，DB=DE,DC=DA,/BDC+NADE=180。，BDtDE,AE=a,BC=b(a>b),AB.

CE相交于點G,連接。G,若4DC的度數(shù)發(fā)生改變,請問DG是否存在最小值？如果存在，則直接

寫出其最小值(用含〃和〃的式子表示)，如果不存在,請說明理由.

【解答】解:【問題情境】延長4)到石，使得小=4),連接無，如圖①,

在AADC和AED8中,

AD=ED

-ZADC=NEDB,

CD=BD

:自DCWAEDB(SAS),

BE=AC=8.

AB-BE<AE<AB+BE,

/.12-8<2AD<12+8,

.\2<AD<10.

故答案為：2<AO<10;

【類比探究】與BC的數(shù)量關(guān)系為：BC=2DF.理由:

延長。戶至點G,使尸G=￡>產(chǎn)，連接AG,如圖，

則DG=2DF.

。廠是AAZ犯的邊上:上的中線,

:.EF=AF,

在XDEF和AG八廠中,

EF=AF

?ZEFD=NAFG,

DF=GF

:.△DEF"GAF(SAS),

:.DE=AGtNE=NG4/L

:.DE//AGt

.?.NED4+NZ14G=I8O0.

.?ZBDC+ZA￡>E=I8O°,

:.ZBDC=^GAD.

?.DB=DE,

；.DB=AG.

在ABDC和AGAO中，

DB=AG

<NBDC=ZGAD,

DC=AD

:.ABDC=/^GAD(SAS)f

：.BC=DG.

:.BC=2DF.

【應(yīng)用1】過點O作OE_L3c于點E,OP_LA。于點尸，如圖,

貝I」BE=EC=-BC,AF=DF=-AD=4.

22

\OB=OC,OELBC.

;./BOE=L/BOC,

2

OA=OD,OFA.AD.

ZAOF=-ZAOD.

2

、ZAOD+ZBOC=I80°,

：.ZAOF+ZBOE=900.

.NOBE+NOBE=好

：.NOBE=ZAOF.

在A/WK和ZXCM〃中，

NOBE=NAOF

?/OE8=NAFO=90。,

OB=OA

:.ABOE^^OAF(AAS)t

.",O￡=AF=4,

BE=>JOB2-OE2=>/62-42=2后.

BC=25E=4x/5;

【應(yīng)用2】0G存在最小值，其最小值為—Lb,理由：

22

取AE的中點尸，連接尸G,延長D尸至點H,使FH=DF,連接，AH,如圖,

?.BD1DE,

:./BDE5)。.

NBDC+NAZ?K=180°,

.?./4DC+8OE=180°,

/.ZBDE=ZADC=90°,

/.ZBDE+ABDC=ZADC+ZBDC,

即ZEDC=ZBDA.

在AEDC和ABDA中，

ED=BD

<Z.EDC=ABDA,

DC=DA

:.AEDC=ABDA(SAS),

；.ZDEC=ZDBA,

.?.點E,D,G3四點共圓,

:.NEGB=NEDB=W,

4GE=90。，

“為/1￡的中點,

:.GF=-AE=-a.

22

AF=FE,DF=FH,

，四邊形4汨7為平行四邊形,

：.AD=EHfAD//EHf

：.ZHED+ZADE=\80P.

?.?ZBDC+ZADE=\80°,

:.ZHED=ZBDC.

?.ZM=DC，

EH=DC.

在A￡7/Z）和ADCB中，

ED=DB

<ZHED=NCDB,

EH=DC

:ZHgM）CB（SAS）,

：.DH=BC=b,

：.DF=-DH=-b.

22

若N4DC的度數(shù)發(fā)生改變，當(dāng)點G,。，“三點在一條直線上時，OG的值最小為：FG-FD=-a--b.

22

11.（2025?揚州模擬）我們定義:如圖1,在ASC中,把AC點繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到ar,把友?

繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到8,連接川方.我們稱△A斤C是A/WC的“旋補交差三角形"，連接A9、

48，我們將A夕、A4所在直線的相交而成的角稱之為AABC”旋補交差角”，C點到AV中點后間

的距離成為“旋轉(zhuǎn)中距”.如圖L408即為A4BC“旋補交差角”，CE即為“旋補中距”.

（1）若己知圖1中的長度等于4,當(dāng)ZACB=90°,貝IJAABC“旋補交差角""。8=_90。_,“旋

補中距"CE長度=—;

（2）若圖1中ZAC5的度數(shù)發(fā)生改變，則AA8C“旋補交差角”度數(shù)是否發(fā)生改變？請證明你的結(jié)

論，并直接判斷AA4C“旋補中距”是否也發(fā)生改變；

（3）已知圖2中△A7TC是A48C“旋補交差三角形”，A△的長度等于4,A8長度等于6,問”是

否存在最小值？如果存在，請求出具體的值，如果不存在，請說明理由.

A'A'

圖1圖2

【解答】解：⑴如圖1,

把AC點繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CX,把繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得至IjCR，

..NAC4'=90。=N8C*,AC=A'C,BC=B'C,

\ZACB=90°,

.?.NA'CQ=ZACB=90°,ZACB+NAC4'=180。，ZACB+N8C3'=180°,

.??點A,點C,點"共線，點3,點C,點A共線，

..A萬、A3的交點O與點C重合，

/.AABC“旋補交差角"々04=90。，

vAC=ACfNA'C&=44C8=90。，BC=B'C,

.?.△4C8=Z\ACA'(SAS),

.?.AB=AA'=4?

?.?點七是Ab的中點，ZA，CE=90。，

:.CE=2，

故答案為：90°,2；

(2)AABC”旋補交差角”度數(shù)不變，A43C“旋補中距”長度不變，理由如下:

把AC點繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到GV,把BC繞點、C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得至UC8,

/.ZACA!=90°=ABCB1,AC=A'C.BC=B'C,

NACB'=ZBC4*,

在A4C9和△4CA中,

AC=AfC

-/ACB'=NACB,

BfC=BC

..MCB,^/\A,CB(SAS),

/.NC4^=NC4'3,

.?.點A,點A,點。，點O四點共圓，

...ZACAf=ZAOAf=90。=NBOH,

如圖2,延長CE至尸，使莊=歷，連接AF,B'F,

?:CE=EF,ME=RE,

.??四邊形Aa/是平行四邊形，

/.NAS+ZFAC=180°,AfF=夕C,

ZA'C//+ZACB=360°-ZACA-NB'CB=180°,

/.ZACB=ZCArF.

又?:AC=AC,A尸=BC=BC,

：.^ACB^/\CA'F(SAS)f

..AB=CF=4.

/.CE=2;

(3)X存在最小值，最小值為1,理由如下:

如圖3,取A9中點E,連接C￡,CO,EO,

v△A!B'C是A4BC“旋補交差三角形”，

.?./8。￡=90。，CE=-AB=2

2f

?.?點E是A6中點，Z/TQ￡=90。，

:.OE=-A,B,=3,

2

在AOCE中，OC>OE-CE,

二.當(dāng)點。在線段OE上時，OC有最小值為OE-CE=1.

12.（2025春?龍口市月考）如圖，將AA8C置于直角坐標(biāo)系中，ZACB=90°,AC=BC,點、B、。分

別在*?軸、），軸上，且04=6,OC=2.

（1）如圖1,求點A的坐標(biāo)；

（2）如圖2,AC>4A分別交x軸、y軸于。、E,請直接寫出5八0%.的值.

7

（3）如圖3,M為OB上一點,MCLCF,S.MC=CFfN為師的中點，連接CN,AF,判斷線段A/

與CN的關(guān)系，并寫出證明過程.

【解答】解：（1）如圖1,過點A作A例_!.），軸于點

?.ZACW+ZBCO=90°,NBCO+NC8O=90°,

ZACM=ZC5O,

在A4CW和△C8O中,

ZACM=ZCBO

ZAMC=ZCOR=90°,

AC=CB

.?.AAGW=△C8O(A4S),

：.CM=OB=6,AM=OC=2,

/.OA/=6-2=4,

.?.點A(-2,4)；

(2)設(shè)直線他的解析式為y=/+b,

將A(-2,4),8(6,0)代入,

ZQ—2k+〃=4

得，

6〃+〃=0

,1

解得：f=-i,

b=3

???直線AJ3的解析式為)，=-?+3,

當(dāng)x=0時，y=3.

..OE=3，

設(shè)直線AC的解析式為y=nix+nf

將A(-2,4),CQ-2)代入,

-2m+〃=4

得

n=-2

解得：

.??直線AC的解析式為）,=-3入」2

7

當(dāng)),=0時，x=--

：.OD=-

3t

i2S

則SACDE=5x5X(3+2)=§；

(3)AF=2CN,AF1CN,

理由如下：如圖3,過點8作4G//CW,交CN的延長線于G,

則ZG=ZA/GV,ZCfiG+ZMa?=180°.

在NVINC和M3NG中,

/MCN=ZG

</MNC=/BNG,

MN=BN

:.&MNC=ABNG(AAS),

:.BG=CM,NG=CN.

?.ZACB=ZMCF=90°,

:.ZACF+ZMCB=\^r,

:.ZACF=NCBG,

在MCF和&CBG中，

AC=CB

-4ACF=NCBG,

CF=BG

AACF=AC8G(SAS),

.\AF=CGtNCAF=4BCG,

:.AF=2CN,

-.?ZBCV+ZACV=90°,

/.ZG4F+ZAC7V=9O°.

:.AF1CN.

圖1

13.（2025秋?微山縣期中）【發(fā)現(xiàn)問題】

小強在一次學(xué)習(xí)過程中遇到了下面的問題：

如圖1,4J是A4BC?的中線，若AB=8,AC=6,求4）的取值范圍.

【探究方法】

小強所在學(xué)習(xí)小組探究發(fā)現(xiàn)：延長兌>至點石，使ED=AD,連接BE.可證出AA0CNAED3,利用全

等三角形的性質(zhì)可將已知的邊長與AD轉(zhuǎn)化到同一個4吃中，進而求出AD的取值范圍.

方法小結(jié)：從上面思路可以看出，解決問題的關(guān)鍵是將中線4）延長一倍，構(gòu)造出全等三角形，我們

把這種方法叫做倍長中線法.

【應(yīng)用方法】

（1）請你利用上面解答問題的方法思路，寫出求4）的取值范圍的過程；

【拓展應(yīng)用】

（2）已知：如圖2,4）是AABC的中線，BA=BC,點石在8C的延長線上，EC=BC.寫出4）與AE

之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

【解答】解：（1）如圖1中，延長4）至點E,使￡D=">,連接8E.

在SADC和AEDB中,

DA=DE

ZADC=NEDB,

DC=DB

:.AADC^^EDB(SAS),

BE=AC=6，

AB-BE<AE<AB+BE,

/.8-6<AE<8+6,

/.2<2AD<14,

/.I<AD<7；

(2)結(jié)論：AE=2AD.

理由：延長AC到尸，使得B=4C,連接即，取EV的中點"，連接C”.

:AC=CF.FH=EH,

:.CH=-AE

2f

在AACB和AFCE中，

CB=CE

<NAC8="CE,

CA=CF

.?.AACB空AFCE（SAS）,

：.AB=EF,

?.AB=BC,

:.EC=EF=BA=BCf

BA=EC,/B=NCEH,BD=EH,

;4BD"CEH（SAS）,

AD=CH,

/.AD=-AE.

2

14.（2025春?歷下區(qū)期中）（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1,

在A4BC中，人A=8,AC=6,求邊上的中線4）的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2）,

①延長AP到M,使得￡>M=4）;

②連接8W,通過二角形全等把AB、AC.2Ao轉(zhuǎn)化在AARM中：

③利用三角形的三邊關(guān)系可得/U7的取值范圍為,從而得到4）的取值范圍是

1<AD<7_；

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”.“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的

關(guān)系.

（2）請你寫出圖2中AC與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

（3）深入思考：如圖3,4）是的中線，AB=AE,AC=AF,NBAS=NG4尸=90°,請直接利用

（2）的結(jié)論，試判斷線段4）與防的數(shù)量關(guān)系，并加以證

E

【解答】解：（1）如圖2,延長到M,使得DW=A。，連接

?AD是A4HC的中線，

BD=CD,

在AA〃出和AADC中，

BD=CD

<NBDM=ZCDA,

DM二AD

...△AW4=A4L>C(S45),

：.BM=AC=6,

在MW中，AB-BM<AMvAB+BM,

,-.8-6</W<8+6,2</W<14,

：A<AD<7,

故答案為：lvAOv7；

(2)AC/IBM,且AC=/M7,

理由是：由(1)知，AA〃用二AWC,

/.ZA/=ZC4P,AC=BM,

:.ACHBM；

(3)EF=2AD,

理由：如圖2,延長AD到M,使得ZW=4),連接BM,

圖2

由(1)知1,^BDM^^CDA(SAS),

:.BM=AC,

-AC=AFf

：.BM=AF，

由(2)知：AC/IBM,

.?.Z^4C+ZABM=180°,

，.Za4E=ZMC=90°,

ZZfc4C+ZE4F=180°,

/.ZAW=Z￡XF,

在MW和AE4F中，

AB=EA

NA4M=NEAF,

BM=AF

/.AA8M=^EAF(SAS),

：.AM=EF，

AD=DM,

:.AM=2AL),

AM=EF，

:.EF=2ADf

即：EF=2AD.

15.(2025?徐州模擬)(1)閱讀理解：

如圖①，在AA3C中，若A4=8,AC=5,求4c邊上的中線4)的取值范圍.

可以用如下方法：將AACQ繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180。得到4丑Q,在A43E中，利用三角形三邊的關(guān)系

即可判斷中線4)的取值范圍是_L5v4)<6.5_；

(2)問題解決：

如圖②，在MB。中，。是8C邊上的中點，DE工DF于點、D,DE交AB于點E,。尸交AC于點尸，

連接EF,求證：BE+CF>EFx

(3)問題拓展：

如圖③，在四邊形44CD中，ZB+Z￡>=180°,CB=CD,N5c￡>=100。，以C為頂點作一個50°的角，角

的兩邊分別交A4、A。于E、尸兩點，連接砂，探索線段班:，DF，所之間的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由.

c

圖①圖②圖③

【解答】（1）解：如圖①，將AA8繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)180。得到AE8D,則AACD=

：.AD=DE,BE=AC=5,

在AABE中，AB-BE<AE<AB+BE,即3vA￡vl3,

故答案為：1.5<AE<6.5；

（2）證明：如圖②，延長至N,使DN=DF,連接&V、EN,

在AFDC和WDB中，

FD=ND

<NFDC=NNDB,

CD=BD

:.AFDC=^NDB(SAS)

:.BN=FC,

、：DF=DN,DEIDF,

:.EF=EN,

在中，BE+BN>EN,

;.BE+CF>EF；

(3)解：BE+DF=EF,

理由如下：如圖③，延長/W至點”，使BH=DF,連接C”，

?.Z4BC+ZD=18O°,N加C+ZABC=I80°,

:./HBC=/D,

在SHBC和SFDC中,

DF=BH

?ND=/CBH,

CD=CB

:.^HBCMAFDC(SAS)

：.CH=CF,ZHCB=NFCD,

vZBCD=100°,ZECF=50°,

:.ZBCE+NFCD=50。，

/.ZECH=5O0=ZECF,

在AHCE和AFCE中,

CF=CH

ZECF=ZECH,

CE=CE

:.AHCE^^FCE(SAS)

：.EH=EF,

:.BE+DF=EF.

圖②

16.(2025?建昌縣模擬)如圖，在氐兇80和1^^2歸中，AB=ACfAD=AE,ABAC=ZDAE=90°(AB<AD),

AAD石繞點A旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1,若連接瓦)，CE,貝與CE的關(guān)系為―他二8一班〃。？—；

(2)如圖2,若連接a),BE,取跖中點”，連接4〃，探究A廠與C。的關(guān)系