專題06三角形中的導(dǎo)角模型?平行線+拐點(diǎn)模型

近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。平行線+拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的

?塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線+拐點(diǎn)模型：豬蹄模型（M

型）、鉛筆頭模型、牛角模型、羊用模型、“5”字模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是?組平行線與?個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，

這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化，

模型1：豬蹄模型（M型）

【模型解讀】

圖1圖2圖3

如圖1,①已知：AM//BN,結(jié)論：NAP8=NA+NB；②已知：ZAPB=ZA+ZB,結(jié)論：AM//BN.

如圖2,已知：AM//BN,結(jié)論：ZPI+ZP3=ZA4-ZB+ZP2.

如圖3,已知：AM//BN,結(jié)論：NP]+NP3+...+NP%+I=NA+N8+NP2+...+NP2〃.

例1.（2025?河南?統(tǒng)考二模）如圖，AB//CD,4483=30。，ZCDM=45°,則的度數(shù)為（）

A.105°B.90°C.75°D.70°

例2.（2025春安徽蚌埠九年級(jí)校聯(lián)考期中）太陽灶、衛(wèi)星信號(hào)接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物

線有關(guān).如圖，從點(diǎn)。照射到拋物線上的光線。8,OC反射后沿著與P。平行的方向射出，已知圖中

440=46。，ZOCD=88°,則/AOC的度數(shù)為（）

A.116°B.124°C.134°D.135。

例3.（2025春?四川瀘州?七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，若AB回EF,用含。、￡、7的式子表示工，應(yīng)為（）

AB

A.a+0+yB.p+y-aC.180°-a-/+/yD.l80o+a+/7-/

例4.（2025?廣東深圳?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）北京冬奧會(huì)掀起了滑雪的熱潮，谷愛凌的勵(lì)志故事也激勵(lì)著我們

青少年，很多同學(xué)紛紛來到滑雪場(chǎng)，想親身感受?下奧運(yùn)健兒在賽場(chǎng)上風(fēng)馳電掣的感覺，但是第?次走進(jìn)

滑雪場(chǎng)的你，如果不想體驗(yàn)人仰馬翻的感覺，學(xué)會(huì)正確的滑雪姿勢(shì)是最重要的，正確的滑雪姿勢(shì)是上身挺

直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，AB//CD,當(dāng)人腳與地面的夾角

NC￡>E=60。時(shí)，求出此時(shí)上身人8與水平線的夾角N84廠的度數(shù)為（）

例5.（2025春?河南駐馬店?九年級(jí)專題練習(xí)）己知/EAF\/EAB,NECF=-ECD,若

33

Z￡=66°,則N廠為（）

A.23°B.33°C.44°D.46°

例6.（2025?浙江七年級(jí)期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過，木尺折斷后的斷

口一般是參差不齊的，那么請(qǐng)你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學(xué)問題，我們不妨取名叫"木尺斷口問

題〃.（1）如圖（2）所示,已知A3//C。，請(qǐng)問E>4,/D，NE有何關(guān)系并說明理由；

（2）如圖（3）所示，已知AB//CO,請(qǐng)問64,NE，N3又有何關(guān)系并說明理由；

（3）如圖（4）所示，已知4B//CO,請(qǐng)問NE+NG與N4+N尸+ND有何關(guān)系并說明理由.

模型2：鉛筆頭模型

圖1圖2圖3

如圖1,①己知：AM//BN,結(jié)論：N1+N2+N3=360。；②己知：Zl+Z2+Z3=360°,結(jié)論：AM//BN.

如圖2,已知：AM//BN,結(jié)論：ZJ+Z2+Z3+Z4=540°

如圖3,已知:AM//BN,結(jié)論：/l+N2+...+N〃=（〃-1）180°.

例1.（2025?廣東?統(tǒng)考二模）如圖所示，已知〃所，那么ZBAC+NACE+NCM=（）

A.180°B.270°C.3600D.540°

例2.（2025?山西呂梁?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖,這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺(tái)平

行?若Nl=32。，Z2=62°,則N3的度數(shù)為（）

工作籃

3、

支撐平臺(tái)//

I一

U

A.1180B.148°C.150°D.162°

例3.（2025?河南三門峽?校聯(lián)考一模）如圖，圖1是某小區(qū)車庫(kù)門口的“曲臂直桿道閘〃，可抽象為圖2所

示的數(shù)學(xué)圖形.已知CD垂直地面上的直線。尸于點(diǎn)力，當(dāng)車牌被自動(dòng)識(shí)別后，曲臂直桿道閘的8c段將繞

點(diǎn)C緩慢向上抬高，人笈段則一直保持水平狀態(tài)上升（即44始終平行于O尸）.在該運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)

43。=112。時(shí)，N8C。的度數(shù)是（）

圖1圖2

A.112°B.138。C.158°D.128°

例4.（2025春?新疆?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，如果A3〃CD,那么團(tuán)3+回廠+貼+團(tuán)。=_。.

4C

例5.（2025春?河北保定?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知?jiǎng)tNA+N4+N4=，則

4+N&+…+4“等于（用含〃的式子表示）.

模型3：牛角模型

<1

如圖I,已知：AB//DE,結(jié)論：a=0_y.如圖2,已知：AB//DE,結(jié)論：a=/7+y-18O°.

例1.（2025?安徽滁州?校聯(lián)考二模）如圖,若ABUCD,則()

A.Z1=Z2+Z3B./l+N3=/2C.Zl+Z2+Z3=180°D.Z1-Z2+Z3=I8O°

例2.（2025?江蘇?七年級(jí)假期作業(yè)）如圖,若AB//CD,則團(tuán)1+03G2的度數(shù)為

E

例3.（2025?湖北洪山?七年級(jí)期中）如圖，AB//CD,P為直線A8,CD外一點(diǎn)，BF平分NABP,DE平

分/COP,8F的反向延長(zhǎng)線交?！暧邳c(diǎn)￡,若NFED=a,試用。表示NP為.

例4.（2025春?廣東深圳?九年級(jí)校校考期中）已知直線A8〃C。，點(diǎn)尸為直線AB,C。所確定的平面內(nèi)

的一點(diǎn)，（1）問題提出：如圖1,ZA=120°,ZC=130°.求NAPC的度數(shù)：

（2）問題遷移：如圖2,寫出NAPC,NA,NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

/H

（3）問題應(yīng)用：如圖3,ZE4H:Z/MB=1:3,ZECH=20°,ZDC/7=60°,求）的值.

NE

E

H

圖3

例5.(2025?余干縣八年級(jí)期末)已知直線AB〃CD,(1)如圖1,直接寫出NBME、NE、/END的數(shù)量

關(guān)系為:(2)如圖2,NBME與NCNE的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P,試探究NP與NE之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3,ZABM=-ZMBE,ZCDN=-ZNDE,直線MB、ND交于點(diǎn)F,

n

模型4：羊角模型

如圖I,已知：AB//DE,結(jié)論：a=Y-p.

如圖2,已知：AB//DE,結(jié)論:a+Q+/=180。.

例1.(2025春?上海?七年級(jí)專題練習(xí))如圖所示，A的CD,0E=37°,0C=20°,則貼"的度數(shù)為

AB

D

E

例2.（2025?江蘇七年級(jí)期中）如圖所示，已知AB〃CD,ZA=50°,ZC=ZE.則NC等于（）

C.30°D.40°

例3.（2025春?浙江?七年級(jí)專題練習(xí)）已知A8〃CO,求證：35=0E+0D

例4.（2025?河南?統(tǒng)考三模）如圖，己知ZA8c=150。，ZCDE=75°,則N3CO的度數(shù)為（）

例5.（2025?河北滄州??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，ZA=58。，Z￡>=122°,N1=3N2,N2=25。，點(diǎn)尸是8。上

一點(diǎn).（1）NDEE的度數(shù)為：（2）若NMP=50°.則CE與P/（填“平行”或"不平行”）.

模型5：蛇形模型（“5”字模型）

基本模型：如圖，AB//CD,結(jié)論：Zl+Z3-Z2=180°.

羅

/一

DED）E

圖1圖2

如圖1,已知：AB//DE,結(jié)論：?=/7+180°-/.

如圖2,已知：AB//DE,結(jié)論：ar=/+180°-/?.

例1.（2025?四川廣元?統(tǒng)考三模）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過B、C:、。三點(diǎn)，拐彎后與原來方向相同,

如圖，若N43C=120°,ZBCD=80°,則NCQE等于（）

DE

8含「

120°/

A%

A.50°B.40°C.30°D.20°

例2.（2025?湖南長(zhǎng)沙?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，若48〃CO,Na=65。，々=25。，則”口勺度數(shù)是（）

飛--------------------B

;

C------------------

A.115°B.130°C.140°D.1500

例3.（2025?河南周口?校聯(lián)考三模）如圖，AB//EF,ZB=1（X）°,/CDE=25。,則/BCD的度數(shù)是（）

B/

EDF

A.125°B.75°C.95°D.105°

例4.（2025?陜西西安??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，AB//CD,CD//EF,CE平分，若N4BC=58。，貝I」NCEF

的度數(shù)為（）

A.131°B.141°C.1510D.161°

例5.（2025?江西?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖N8AC=IO。，ZACD=125°,CD工EF于點(diǎn)D,將從4繞點(diǎn)4

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a，使A4〃E/，則。的最小值為

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2025?山東臨沂?統(tǒng)考二模）如圖，a〃b,/l=45°,則N2的度數(shù)為（）

A.105°B.1250C.135°D.145°

2.（2025春?安徽?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知：AB//EF,/B=NE,求證：BC//DE.在證明該結(jié)論

時(shí)，需添加輔助線，則以卜.關(guān)于輔助線的作法不正確的是（）

A.延長(zhǎng)8C交EE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)GB.連接跳：C.分別作/BCD,NCDE的平分線CG,DH

D.過點(diǎn)C作CG〃A8（點(diǎn)G在點(diǎn)C左側(cè)），過點(diǎn)D作DH〃EF（點(diǎn)〃在點(diǎn)。左側(cè)）

3.（2025?浙江臺(tái)州?統(tǒng)考一模）如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺(tái)平行.若Nl=30。,

Z2=50°,則N3的度數(shù)為（）.

mu工作85

4.（2025?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，兩直線48、。平行，fflZl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=（）.

A.(530°B.720°C.800°D.900°

5.(2025?遼寧撫順?統(tǒng)考三模)如圖，若ZI=I5°,Z2=60°,那么ZBCE=()

A.1200B.1250C.130°D.135°

6.（2025?安徽蕪湖?七年級(jí)期中）如圖，A83C。，BF,DF分別平分0A8E和I3CDE,BF^DE,團(tuán)F與互

補(bǔ)，則回尸的度數(shù)為

A.30°B.35°C.36°D.45°

7.（2025?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?統(tǒng)考三模）如圖是一款手推車的平面示意圖，其中4=24。，N3=148。,

則/2的度數(shù)為（）

8.（2O2S春?重慶汀津?七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖.AR//CD.^ARE=^EBF,mCF=^ECF,設(shè)團(tuán)ABE

J

=%回E=p,回尸=》，則a,夕，y的數(shù)量關(guān)系是（）

A.4^-tt+y=360°B.3/?-a+y=360°C.4^-a-y=360°D.3/7-2?-y=360°

9.（2025?江蘇七年級(jí)期末）如圖，AB//CD,則/1+/3—N2的度數(shù)等于.

10.（2025?湖南長(zhǎng)沙?校聯(lián)考二模）如圖所示，AB//DE,Zl=130°,Z2=36°,則N3=—度.

11.（2025?四川成都七年級(jí)期末）己知直線47〃。石，射線。八0G分別平分/ABC,ZEDC,兩射線

反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，請(qǐng)寫出N”，NC之間的數(shù)量關(guān)系：.

12.（2025?黑龍江一匕年級(jí)月考）如圖，AB//CD,E是C7）上的點(diǎn)，過點(diǎn)、E作EFf/DF,若/PEF=々PEH,

13.（2025?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知A8〃OE,ZBCD=30°,NCZ）E=138。，求/若8C的度數(shù).

14.（2025春?重慶南岸?九年級(jí)?？计谥校┰跀?shù)學(xué)課上老師提出了如下問題：

如圖，ZB=160°,當(dāng)NA與ND滿足什么關(guān)系時(shí)，BC//DE?

小明認(rèn)為NO-44=20。時(shí)8c7/。石，他解答這個(gè)問題的思路和步驟如下，請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作

圖與填空:

解：用直尺和圓規(guī)，在OA的右側(cè)找一點(diǎn)M,使NZMM=ND（只保留作圖痕跡）.

^Z1）AM=ZD,

團(tuán)①_________________

@ZD-ZZM?=20°

0ZBAM=②°,

[34=160。，

^ZB+ZBAM=③°,

00_________

中BC//DE.

所以滿足的關(guān)系為：當(dāng)N￡>—44=20。時(shí)，BC//DE.

15.（2025春?河北廊坊?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖（1）猜想-3PD與NB、N。的關(guān)系,

說出理由.

（2）觀察圖（2）,已知AB//CD,猜想圖中的/BPD與/B、NO的關(guān)系，并說明理由.

（3）觀察圖（3）和（4）,已知AB//CD，猜想圖中的/兩刃與N8、N。的關(guān)系，不需要說明理由.

16.（2025秋?廣東江門?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖①，如果AB〃C￡）,求證：ZAPC=ZA+ZC.

（2）如圖②，AB//CD,根據(jù)上面的推理方法，直接寫出4+NP+NQ+NC=.

（3）如圖③，AB//CD,若ZABP=x,/BPQ=y,NPQC=z,NQCD=ln,貝ij〃?=（用工、

y.z表示）.

17.（2025春?山東淄博?九年級(jí)校考期中）如圖，A8〃C。，點(diǎn)E為兩宜線之間的一點(diǎn).

⑴如圖1,若N8AE=3（）°,ZZ）CE=20°,貝iJZAEC=；

如圖1,若NBAE=a,4DCE=。,則/4EC=；

⑵如圖2,試說明，NBAE+NAEC+NEa>=360。；（3）如圖3,若的平分線與/ZX石的平分線相交

于點(diǎn)F,判斷N4EC與乙4FC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

18.（2025?湖南株洲市八年級(jí)期末）已知直線?！╞,直線EF分別與直線a,b相交于點(diǎn)￡,F,點(diǎn)48分

別在直線。，b上，且在直線EF的左側(cè)，點(diǎn)P是直線EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)￡,F重合），設(shè)NP4￡=N1,Z

APB=N2,NP8F=N3.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段"上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明Z1+N3-N2；（提示：過點(diǎn)P作PM〃a）

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段EF外運(yùn)動(dòng)時(shí)有兩種情況，①如圖2寫出N1,Z2,N3之間的關(guān)系并給出證明.

②如圖3所示，猜想Nl,Z2,/3之間的關(guān)系（不要求證明）.

19.（2025?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?七年級(jí)?？计谥校﹩栴}探究：如下面四個(gè)圖形中，AB//CD.

（1）分?別?說出圖1、圖2、圖3、圖4中,團(tuán)1與?2、幽三者之間的關(guān)系.

（2）請(qǐng)你從中住期：個(gè)加以說明理由.

解決問題：（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于。點(diǎn)的燈泡發(fā)出兩束光線08、OC經(jīng)燈碗

反射后平行射出.如果0AAO=S7。，［3DCO=44°,那么13AoG'

20.（2025春?湖北黃岡?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線，AO〃8E

圖①圖②圖③

(1)求證：ZB+ZC-ZA=180°：

⑵如圖②，AQ、伙2分別為ND4C、/E8C的平分線所在直線，試探究NC與/AQ8的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖③，在（2）的前提下，且有AC〃Q4,直線A。、4c交于點(diǎn)p,QP上PB,直接寫出

ZDAC：ZACB：ZCBE=.

21.（2025春?廣東?七年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖1,AB//CD,ZABE=45°,NCDE=21。,直接寫出N8ED

的度數(shù).（2）如圖2,點(diǎn)E為直線A8.C7）間的一點(diǎn)，BF平分NABE,平分NCOE,寫出N8￡O

與//之間的關(guān)系并說明理由.（3）如圖3,A4與。。相交于點(diǎn)G,點(diǎn)E為4G。內(nèi)一點(diǎn)，BF平分NABE,

OF平分NCOE,若/BGQ=60°，/BFD=95。，直接寫出N/正。的度數(shù).

22.（2025春?福建三明?七年級(jí)?？计谥校┨剿鳎盒∶髟谘芯繑?shù)學(xué)問題：已知AB//CD,AB和CZ）都不經(jīng)

過點(diǎn)P，探索/尸與/A、/C的數(shù)量關(guān)系.

發(fā)現(xiàn)：在圖1中，ZAPC=ZA+ZC；如圖5

小明是這樣證明的：過點(diǎn)尸作A2//AA

0ZAPQ=乙4

QPQHAB，AB//CD.

gPQHCD__________

團(tuán)NCPQ=NC

團(tuán)ZAPQ+ZCPQ=Z4+ZC

即ZAPC=Z4+ZC

(1)為小明的證明填上推理的依據(jù);

(2)理解：

①在圖2中，/2與/A、/C的數(shù)量關(guān)系為：

②在圖3中，若乙4=30。，ZC=70°,則/尸的度數(shù)為：

(3)拓展:

在圖4中，探究一夕與NA、/C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

23.(2025春?山東?七年級(jí)專題練習(xí))如圖1,直線八8〃。。，點(diǎn)?在兩平行線之間，點(diǎn)石在AB上，點(diǎn)尸

在C。上，連接PE,PF.

(1)若團(tuán)PEB=60°,0PFD=5O°,請(qǐng)求出(請(qǐng)寫出必要的步驟，并說明理由)

(2)如圖2,若點(diǎn)P,。在直線八B與CO之間時(shí)，01=30°,02=40%03=700,請(qǐng)求出回4=_.(不需說明理

由，請(qǐng)直接寫出答案)

(3)如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上，作P/E平分田PE8,尸/尸平分由PPD,若設(shè)團(tuán)^PFD=y\則回P尸(用

含上，y的式子表示).若巴石平分團(tuán)P/必，巴/平分團(tuán)P/FO,可得附2；PsE平分田PzEB,P./平分朋2五。，

專題06三角形中的導(dǎo)角模型?平行線+拐點(diǎn)模型

近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。平行線+拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的

?塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線+拐點(diǎn)模型：豬蹄模型（M

型）、鉛筆頭模型、牛角模型、羊用模型、“5”字模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是?組平行線與?個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，

這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化，

模型1：豬蹄模型（M型）

【模型解讀】

圖1圖2圖3

如圖1,①已知：AM//BN,結(jié)論：NAP8=NA+NB；②已知：ZAPB=ZA+ZB,結(jié)論：AM//BN.

如圖2,已知：AM//BN,結(jié)論：ZPI+ZP3=ZA4-ZB+ZP2.

如圖3,已知：AM//BN,結(jié)論：NP]+NP3+...+NP%+I=NA+N8+NP2+...+NP2〃.

例1.（2025?河南洛陽?統(tǒng)考二模）如圖，AR//CD,=30°,ZCDM=45°,則N8MD的度數(shù)為（）

A.105°B.90°C.75°D.70°

【答案】C

【分析】過點(diǎn)M作ME〃/V?，從而可得A5〃M￡〃C4則有=NCDM=NDME,即可求NBMD

的度數(shù).

【詳解】解：過點(diǎn)〃作ME〃回，如圖，

AB//CD,：.AB//ME//CD,/.ZABM="ME=30°,匕CDM=QME=45°,

;.NBMD=/BME+/DME="o.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.

例2.（2025春?安徽蚌埠?九年級(jí)校聯(lián)考期中）太陽灶、衛(wèi)星信號(hào)接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物

線有關(guān).如圖，從點(diǎn)。照射到拋物線上的光線OB,OC反射后沿著與夕。平行的方向射出，已知圖中

440=46。，ZOCD=88°,則N80。的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】由平行線的性質(zhì)即可得出4QP=46。，NCOP=88。，再根據(jù)4OC=ZBQP+NCQP即可求解.

【詳解】由題意知4?〃PO〃CD團(tuán)/8O尸=/4BO=46。，NCOP=/0C/）=88。

[3ZBOC=Z.BOP+ZCOP=134°^^：C.

【點(diǎn)睛】題考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，牢記性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

例3.（2025春?四川瀘州?七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，若ABHEF.用含。、夕、/的式子表示工，應(yīng)為（）

A.a+0+yB.p+y-aC.180。-a-y+萬D.180。+。+4一7

【答案】C

【分析】過C作CD3AB,過M作MNI3EF,推出ABKD團(tuán)MN團(tuán)EF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出a+QBCD=180。,

0DCM=0CMN,0NMF=r,求出團(tuán)BCD=180°-a,0DCM=0CMN=/?,即可得出答案.

【詳解】過C作CD0AB,過M作MN0EF,

0AB0EF,0AB0CD0MN0EF,0^+0BCD=18O0,0DCM=0CMN,0NMF=7,

團(tuán)回BCD=1800”,0DCM=0CMN=/?-/,0x=[?]BCD+[?1DCM=180°-a-/+/7,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力.

例4.（2025?廣東深圳?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）北京冬奧會(huì)掀起了滑雪的熱潮，谷愛凌的勵(lì)忐故事也激勵(lì)著我們

青少年，很多同學(xué)紛紛來到滑雪場(chǎng)，想親身感受了奧運(yùn)健兒在賽場(chǎng)上風(fēng)馳電掣的感覺，但是第?次走進(jìn)

滑雪場(chǎng)的你，如果不想體驗(yàn)人仰馬翻的感覺，學(xué)會(huì)正確的滑雪姿勢(shì)是最重要的，正確的滑雪姿勢(shì)是上身挺

直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，AB//CD,當(dāng)人腳與地面的夾角

NC￡>E=600時(shí)，求出此時(shí)上身A8與水平線的夾角N84/的度數(shù)為（）

A.60°B.45°C.50°D.55。

【答案】A

【分析】延長(zhǎng)44交直線EO于點(diǎn)出，利用平行線的性質(zhì)得出NC￡>￡=N￡>，4=600,再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

角相等即可得出結(jié)果.

【詳解】解：延長(zhǎng)A8交直線瓦）于點(diǎn)?/AH//CD,：.ZCDE=ZDHA=60°,

???根據(jù)題意得A尸〃.?.N￡48=NOH4=60°,故選：A.

【點(diǎn)睛】題目考查平行線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

例5.（2025春?河南駐馬店?九年級(jí)專題練習(xí)）己知AB〃CO,NEAF=g/EAB,NECF=gNECD,若

33

Z￡=66°,則NF為（）

CD

A.23°B.33°C.44°D.46°

【答案】C

【分析】如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)、角的和差可得?EAB?ECD?AEC66,同樣的方法

22

可得/尸=/力3+/穴7）,再根據(jù)角的倍分可得=-ZEAB.Z.FCD=-ZECD,由此即可得出答案.

JJ

【詳解】如圖，過點(diǎn)E作EG〃48,則

回？AEG彳iEAB,CEG=?ECD,\?EAB?ECD?AEG?CEG?AEC66°，

同理可得：ZF=ZFAB+4FCD,?/ZEAF=1/.EAB.ZECF=；/ECD,

22

0NFAB-NEAB、NFCD-±NECD,

33

2227

\IF?FAB1FCD-1EABECD-（?EAB?ECD）-?66?<l44,故選：C.

3333

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角的和差倍分，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

例6.（2025?浙江七年級(jí)期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過，木尺折斷后的斷

口一般是參差不齊的，那么請(qǐng)你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學(xué)問題，我們不妨取名叫“木尺斷口問

題”.（1）如圖（2）所示，已知4B//CD,請(qǐng)問DB，NO，/上有何關(guān)系并說明理由；

（2）如圖（3）所示，已知A3//CO,請(qǐng)問BB,/E，N。又有何關(guān)系并說明理由：

（3）如圖（4）所示，己知請(qǐng)問NE+NG與N8+NF+N力有何關(guān)系并說明理由.

(I)

【答案】見解析.

【解析】解：（1）ZF=ZB+ZD,理由如下：

過點(diǎn)E作直線a〃A8,則。〃48〃C。，則N8=N1,ZD=Z2,AZBED=Z1+Z2=ZB+ZD.

(2)ZE+ZB+ZD=360°,理由如下：

過點(diǎn)E作直線b〃人8,則b〃A8〃CD.?.NB+N3=180°,Z4+ZD=180°

:.N8+N3+N4+N。=360°即ZE+Z8+ZD=360°.

(3)NB+NF+ND=NE+NG,理由如下：

過點(diǎn)匕卜,G作直線C〃A8,d//AB,e//AB,貝ijC〃A8〃d〃e〃C。，

則N8=N5,Z6=Z7,Z8=Z9,Z10=ZD

AZB+ZfFG+ZD=Z5+Z7+Z8+Z10=Z5+Z6+Z9+Z10=Zef/:4-ZFGD.

模型2：鉛筆頭模型

圖1圖2圖3

如圖1,①己知：AM//BN,結(jié)論：N1+N2+N3=360。；②已知：N1+N2+/3=360。，結(jié)論:AM//BN.

如圖2,已知：AM//BN,結(jié)論：/1+N2+N3+N4=540。

如圖3,已知:AM//BN,結(jié)論：Zl+Z2+...+Zn=（〃-1）180°.

例1.（2025?廣東?統(tǒng)考二模）如圖所示，已知〃后尸，那么N84C+NACE+NCEb=（)

EF

A.180°B.270°C.360°D.540°

【答案】C

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NWC+NACD=180。，NDCE+NCM=18O°,進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】過點(diǎn)。作C?！?，

ZBAC+ZACD=180°?,

QAB//EF,\AB//CD//EF,回

ADCE+NCEF=180。②,

由①+②得，ZBAC+ZACD+ZDCE+ZCEF=360°,

即？?ACE?CEF360?.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

例2.（2025?山西呂梁?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺(tái)平

行?若Nl=32。，Z2=62°,則N3的度數(shù)為（）

C.150°D.162°

【答案】C

【分析】過點(diǎn)B作物〃工作籃底部，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)8作B4〃工作籃底部，.?.N3+NM84=180。,

???工作籃底部與支撐平臺(tái)平行，6A〃工作籃底部「.取〃支撐平臺(tái)，??.NASN=/1=32。,

?;〃=ZABN+/MBA,Z2=62°,/.ZMBA=30°,/.Z3=I5O°,故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等"、"兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)"是解題

的關(guān)鍵.

例3.（2025?河南三門峽?校聯(lián)考一模）如圖，圖1是某小區(qū)車庫(kù)門口的〃曲臂直桿道閘〃，可抽象為圖2所

示的數(shù)學(xué)圖形.已知C7）垂直地面上的直線。尸于點(diǎn)。，當(dāng)車牌被自動(dòng)識(shí)別后，曲臂直桿道閘的/9C段將繞

點(diǎn)C緩慢向上抬高，A4段則一直保持水平狀態(tài)上升（即A4始終平行于。尸）.在該運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)

【答案】C

【分析】如圖所示，過點(diǎn)C作CM〃A4,利用平行線的性質(zhì)得到

N/14C+N8CM=180。，NMCD-NCDF=T8（F,進(jìn)而求出/比九/=68。，ZA/CD=90°,則

/BCD=NBCM+/MCD=158°.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)(：作CM〃AB,由DFUAB,^CM//AB//DF,

0ZABC+ZfiCM=18O°,ZMCD+ZCZ)F=180°,

0Z4BC=112°,CO_L。產(chǎn)即/6/=90。，aZBCM=68°,ZMCD=90°,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

例4.（2025春?新疆?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，如果那么團(tuán)8+（3/+團(tuán)七+團(tuán)。=_。.

I)

【答案】540

【分析】過點(diǎn)￡作EM〃C力，過點(diǎn)尸作FN〃C。，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可作答.

【詳解】過點(diǎn)E作項(xiàng)/〃CQ,過點(diǎn)F作FN〃CD,如圖，

回AB〃C。，EM//CD.FN//CD,QAB〃FN,EM〃FN,

00^+0￡?F/V=18Oo,I3^￡M+SEFN=180°,0D+@D￡M=18O°,

^DEF^DEM^FEM,⑦BFE=MFN+⑦EFN,

005+05FE+l3DEF+0D=0B+05F/V+0FE/W+[3EF^+{3D+（3DEM=54Oo,故答案為：540.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).構(gòu)造輔助線EM〃CO,FN//CD

是解答本題的關(guān)鍵.

例5.（2025春?河北保定?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，己知4〃〃A。，貝IJNA十/4+NA-,貝lj

幺+/4+-?+/4等于（用含〃的式子表示）.

X---------------C

【答案】360。/360度1：〃-1）」80。

【分析】過點(diǎn)外向右作4力〃A^,過點(diǎn)右向右作AE〃AB,得到A*〃4力〃…〃AB〃4C,根據(jù)兩

直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得出答案.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)%向右作人2?！?4，過點(diǎn)4向右作4后〃A8,

X--------------C

g）A8〃AC，0&E〃&力〃…〃4B〃A,c,

U

0Z41+Z4IA2/^=18O,4A3+N&4《=18U\…，

團(tuán)幺+ZA14A+…+幺1AC=（?-1）-180°,

當(dāng)〃=3時(shí)，Z^+ZA+ZA5=（3-1）-18O°=36O°故答案為：360。；（H-1）180°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

模型3：牛角模型

如圖1,已知：AB//DE,結(jié)論：a-p-y.

如圖2,已知：AB//DE,結(jié)論：［=〃+7-180°.

例1.（2025?安徽滁州?校聯(lián)考二模）如圖，若ABUCD，則（）

A.Z1=Z2+Z3B./l+N3=/2C.Z14-Z2+Z3=180°D.Zl-Z2+Z3=180°

【答案】A

【分析】如圖所示，過點(diǎn)E作防〃AB,則A8〃8〃口"由平行線的性質(zhì)得到

Z3+ZCEF=18O°,Zl+ZAEF=180°,進(jìn)一步推出N1=N2+/3.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)￡作所〃A3,

中AB"CD,^AB//CD//EF,0Z3+ZC￡F=180°,Z1+ZA￡F=180°,

0ZAEF=18O0-Z1,Z3=180°-ZCEF=180°-Z2-ZAEF,

0Z3=18O°-Z2-18O°+Z1,0ZI=Z2+Z3,故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

例2.（2025?江蘇?七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，若AB//CD,則團(tuán)1+（33-團(tuán)2的度數(shù)為

【答案】180°

【分析】延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)F,則有02+團(tuán)EFC=E）3,然后根據(jù)A8//CO可得（31WEFD,最后根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角及等量

代換可求解.

【詳解】解：延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)F,如圖所示：

/AB//CD,.,.01=0EFD,v02+[aEFC=03,N￡FC=N3-N2,

???AEFC+ZEFD=180°,Zl+Z3-Z2=180°；故答案為180°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵

例3.（2025?湖北洪山?七年級(jí)期中）如圖，已知A8〃CD,P為直線48,CD外一點(diǎn)，BF^ZABP,DE平

分NCDP,8F的反向延長(zhǎng)線交OE于點(diǎn)E,若NFED=a,試用a表示NP為.

D

【答案】ZP=360°-2o

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出N1=N2,Z3=Z4,平行線的性質(zhì)得出N1=N5,N6="DC=2/3,

進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和得出N5、/FED,再得到/P和。的關(guān)系，然后即可用。表示NP.

【詳解】解：延長(zhǎng)AB交PD于點(diǎn)G,延長(zhǎng)FE交CD于點(diǎn)H,

;即平分N48P,平分NCDP,AZ1=Z2,Z3=Z4,

*：AB//CD,AZ1=Z5,N6=NPDC=2N3,

VZPBG=180o-2Z1,，NP8G=180°?2N5,.\Z5=90°-1ZPBG,

VZ/-tL?=18U0-ZHLD,Z5=1?UO-ZtHD,NEHU+NH七。+/3=18?！?

A180°-Z5+1800-NFEO+N3=180°,,NFED=180°-Z5+Z3,

AZFED=180°-(90°-ZPBG)+^Z6=90°+^-(ZPBG+Z6)=90°+-j(180°-ZP)=180°-^-Z

P,*：ZFED=a,???a=180。?g/P??.NP=360°?2a.故答案為：ZP=360°-2a.

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和，有一定的綜合性，認(rèn)真找出處的關(guān)

系是關(guān)鍵.

例4.（2025春?廣東深圳?九年級(jí)校?？计谥校┘褐本€A8〃CO,點(diǎn)P為直線AB,C。所確定的平面內(nèi)

的一點(diǎn)，（1）問題提出；如圖1,44=120。，ZC=13O°.求的度數(shù)：

⑵問題遷移：如圖2,寫出NAPC,NA,NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

（3）問題應(yīng)用：如圖3,NEAH:NHAB=1:3,ZECH=20°,ZDCH=60°,求且的值.

Z.E

E

H

【分析】(1)過點(diǎn)尸作??！ˋB,易得A8〃PQ〃CD,由平行線的性質(zhì)可得乙42。=60。，NbQ=50°,

即可求出/APC；⑵過點(diǎn)P作PQ//AB，易得A8〃PQ〃CO,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ZAPC=ZA-ZC；

(3)過點(diǎn)七作以過點(diǎn)”作MV〃48,易得EM||CO,”N〃8,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

/H

NCEA=NBAE-NDCE,NCH4=N/M〃-NDC〃，再由己知等量代換，即可求得r的值.

Z.E

【詳解】(1)解：如圖1所示，過點(diǎn)P作PQ〃A8,ZA+N4PQ=180°,

vZ4=120°,AZAP(2=180o-ZA=180o-120o=60o,-/AB//CD,/.PQ//CD,..NC+NCPQ=180。.

?/ZC=130°,ZCP0=180°-ZC=180°-130°=50°,/.ZAPC=ZAPQ+Z.CPQ=600+50°=110°:

(2)解：ZAPC=ZA-ZC,理由如下:

如圖2,過點(diǎn)尸作PQ〃AB,AZAP(2=180°-Z4,-/AB//CD,PQ//CD,NCPQ=180?！狽C,

AAPC=/CPQ-4APQ,/.ZAPC=l80o-ZC-(180°-Z4)=ZA-ZC；

(3)解：如圖3,過點(diǎn)E作￡M〃A3,過點(diǎn)〃作印V〃48,

?/ABHCD,EM||CD,HN〃CD,

...ZCE4=NCEM-ZAEM=180°-ZDCE-(180°-NBAE)=NBAE-ZDCE,

NCHA=NCHN-乙\HN=18WDCH-(1期一/BAH)=NBAH-/DCH,

vZE47/:Z/MB=1:3,NECH=20。,NOCH=60。，

Z.CEA=ZE4E-ZDCE=4ZEW-80°,ACHA=ZBAH-ZDCH=3ZEAH-60°,

NC7M_3NE47/-60。_3(NEA"_20。)_3

ACEA~4ZEA/7-8O0-4(ZE477-20°)-4

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵.

例5.（2025?余干縣八年級(jí)期末）已知直線AB〃CD,（1）如圖1,直接寫出NBME、/E、NEND的數(shù)最

關(guān)系為;（2）如圖2,NBME與NCNE的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P,試探究NP與