中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)四邊形

一.解答題(共20小題)

1.【問題情境】如圖I,小明把三角板EFG(NGFE=30°)放置到矩形ABC。中，使得頂點(diǎn)E、F、

G分別落在AD.CD.AB上，你發(fā)現(xiàn)線段ED與AG有什么數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論：

(不用證明).

【變式探究】如圖2,小明把三角板由G(NGF￡=30°)放置至lj矩形A3CO中，使得頂點(diǎn)上、尸、

G分別在AO、BC、48邊上，若GA=4,AE=6,求4G的長(zhǎng).

【拓展應(yīng)用】如圖3,小明把三角形EFG放置到平行四邊形人BCD中，使得頂點(diǎn)E、F、G分別在

AB4AE3EG

AD.BC、人8邊上，若一=—=—,NFEG=NBAD,求出一的值.

AD5AD10EF

BrBFr門口一

2.綜合與實(shí)踐一一平行四邊形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)問題

問題情境：

已知團(tuán)ABCO與回A5CD'中，AB=A'B'=(y,BC=B'C=8,ZABC=ZA'B'C=60°,同學(xué)們利用這

樣的兩張平行四邊形紙片開展操作實(shí)驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學(xué)問題，請(qǐng)你和他們一起進(jìn)行

探究.

拼圖思考：

(I)希望小組的同學(xué)將目ABCO與回入EC7)按圖1的方式擺放，其中，點(diǎn)4與點(diǎn)9重合，點(diǎn)4落

在BC邊上，點(diǎn)C落在84邊的延長(zhǎng)線上，他們提出了如下問題，請(qǐng)你解答：

①連接BE,求證：BE平分NABA、

②點(diǎn)。，。'之間的距離為：：

操作探究：

(2)創(chuàng)新小組的同學(xué)在圖1的基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下操作：保持由A3C。不動(dòng)，將由AbC。繞點(diǎn)4沿

順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接。。.

①當(dāng)線段C7T與。。交于點(diǎn)P時(shí)，連接CC；如圖2,求證：點(diǎn)P在。/T的垂直平分線上；

②在團(tuán)AbC。旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)C'恰好落在線段。C的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并

直接寫出此時(shí)點(diǎn)。，。'之間的距離.

3.【問題探究】

(I)如圖I,在正方形AACO中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,在線段AO上任取一點(diǎn)P(端點(diǎn)

除外)，連接?。，PB.

①求證：PD=PB；

②將線段。P繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在BA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)。處，當(dāng)點(diǎn)尸在線段A0上的

位置發(fā)生變化時(shí)，NQPQ的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；

③在探究AQ與OP的數(shù)量關(guān)系時(shí)，小穎作了如圖2的輔助線：作PMA.AB于點(diǎn)作PNA.AD

于點(diǎn)M作PEJ_40交于點(diǎn)E,作上尺LOB于點(diǎn)F,請(qǐng)你直接寫出AQ與OP的數(shù)量關(guān)系.

【遷移探先】

(2)如圖3,將(1)中正方形4BC。換成菱形ABC￡>,且NABC=60°,其他條件不變，試探究

AQ與CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(I)如圖1,ZDAC=90°,將△4OE沿。石翻折，使得A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸落在CQ上，若4。=3,

AC=4,求E/的長(zhǎng)；

(2)如圖2,ZADC=45°,AD=AC,點(diǎn)G是OE的中點(diǎn)，交。。于尸點(diǎn)，/是4C上

一點(diǎn)，連接/7，延長(zhǎng)燈交。E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?/.若NJ=2/OAG,AG=EJ,求證：AF+F/=2〃；

(3)如圖3,ZADC=45°,AD=AC,延長(zhǎng)。七至M點(diǎn)使4M=40,NDAM的角平分線交。上

于點(diǎn)N,交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,取C。中點(diǎn)凡連接GF,/M.當(dāng)石在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫

FM

出――的最大

5.如圖I,NACB=90°,AC=BC,過點(diǎn)C的直線心不經(jīng)過三角形的內(nèi)部，過點(diǎn)4、8作

BEIDE,垂足為。，E.

（1）請(qǐng)你在圖1中，寫出一對(duì)全等三角形：;

（2）請(qǐng)證明你所寫的結(jié)論；

（3）嘗試探究：若AD=a,BE=b

圖I中四邊形AOEB的面積為：

圖2中過點(diǎn)C的直線L經(jīng)過三角形內(nèi)部，其他條件不變，則四邊形ADBE面積為

（用含〃.〃的代數(shù)式表示〕：

（4）拓展應(yīng)用：如圖3,/U-1,0）C（0,2）則點(diǎn)B坐標(biāo)為:若點(diǎn)P（不與B

圖3

6.［問題提出］

（1）如圖①，8。為矩形HBCQ的對(duì)角線，點(diǎn)E為8。的中點(diǎn)，連接AE,若BC=10,CD=6,

則AE的長(zhǎng)為；

［問題探究］

（2）如圖②，AC為團(tuán)ABC。的對(duì)角線，且4C_LAB,點(diǎn)E、尸分別為邊A。、BC的中點(diǎn)，連接AF,

CE,試判斷四邊形AEC/的形狀，并說明理由；

［問題解決］

（3）如圖③，4BCG是王叔叔家的果園平面示意圖，王叔叔欲對(duì)該果園進(jìn)行擴(kuò)建，擴(kuò)建部分為

圖43c。，其中點(diǎn)。在GC的延長(zhǎng)線上，E、〃分別為邊AD、AC的中點(diǎn)，在四邊形4EC廠內(nèi)種植

某種新品種果樹，經(jīng)測(cè)量，AC//BG,BGLDG,CE=160米，ZAFC=120°,尸、〃為兩個(gè)臨時(shí)

倉庫，其中”為CE的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上，現(xiàn)要沿尸￡尸”修建兩條運(yùn)輸通道，問運(yùn)輸通道的

總長(zhǎng)度（PE+PH）是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出該最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

7.在菱形A8CO中，ZB=a（0°<a<90°），點(diǎn)O'在對(duì)角線4c上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)A,點(diǎn)

OfC

C重合）,F=k,以點(diǎn)為頂點(diǎn)作菱形AbCO；且菱形A5CO,與菱形ABC。的形狀、大小

完全相同，即A'B'=AB,/"=4B,在菱形A5CO繞點(diǎn)。'旋轉(zhuǎn)的過程中，OW與邊8c

交于點(diǎn)E,。'C與邊CQ交于點(diǎn)F.

【特例感知】

（I）如圖1,當(dāng)a=90°,左=2時(shí)，則。七，CF,BC之間滿足的數(shù)量關(guān)系是；

【類比探究】

（2）如圖2,菱形的邊長(zhǎng)為8,a=60°,求C￡+b的值（用含々的代數(shù)式表示）；

【拓展應(yīng)用】

7

=7,CF=-求CE的長(zhǎng)

（備用圖）

8.【材料背景】

如圖1,在△44C中，以邊A8為底邊向外作等腰RI△4BD,其中N4/%=90°,且4。=。8,那

么點(diǎn)。就被稱為邊的“外展等直點(diǎn)”.

【建構(gòu)與探究】

如圖2,正方形網(wǎng)格是由邊長(zhǎng)為“1”的正方形組成，點(diǎn)。、A、B、C都在格點(diǎn)上，ZOAB=90°,

點(diǎn)C為。8的中點(diǎn).

（I）連接。4、OB、AB,請(qǐng)分別作邊OA、A5的“外展等直點(diǎn)”P和Q,連接尸。、Q0和PQ,

則的形狀為;

（2）如圖3,點(diǎn)E、尸在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诰€段￡尸上的格點(diǎn)中任取一點(diǎn)。（不與點(diǎn)A重合），連接

OD、BD,分別作△03。的邊0。和邊8。的“外展等直點(diǎn)”G、H,連接GC、"C和GH,請(qǐng)判

斷4G〃。的形狀，并說明理由.

［應(yīng)用與拓展】

（3）如圖4,點(diǎn)“、N為平面內(nèi)某三角形兩條邊的“外展等直點(diǎn)“，己知M（-2,-l）,N（3,

1），請(qǐng)直接寫出該三角形第三條邊的中點(diǎn)K的坐標(biāo).

Iffll

圖3圖4

9.綜合與實(shí)踐

問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：如圖1,在EL48CO中，/ADC=90°,點(diǎn)

。是邊4。的中點(diǎn)，連接AC.保持12A4C。不動(dòng)，將△AOC從圖1的位置開始，繞點(diǎn)。順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)得到AEFG,點(diǎn)、A,。,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F,G.當(dāng)線段48與線段廠G相交于點(diǎn)M（點(diǎn)

M不與點(diǎn)A,B,F,G重合）時(shí)，連接OM.老師要求各個(gè)小組結(jié)合所學(xué)的圖形變換的知識(shí)展開

數(shù)學(xué)探究.

初步甩考：（1）如圖2,連接FD,“勤學(xué)”小組在旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)FD//0M,請(qǐng)你證明這一

結(jié)論;

操作探究：（2）如圖3,連接5G,“善思”小組在旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)0M垂直平分5G,請(qǐng)你證

明這一結(jié)論；

拓展延伸：（3）已知4。=2遮，8=2,在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)以點(diǎn)F,C,。為頂點(diǎn)的三角形是

等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段AM的長(zhǎng)度.

圖1

10.在數(shù)學(xué)探究課上，王宇同學(xué)通過作輔助圖形的方法，計(jì)算動(dòng)點(diǎn)條件下線段和的最小值，其過程如

下：

（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】

如圖1,在等邊△A8C中，AC=2V5,CD=^BC,E,尸分別是AB和AC上的動(dòng)點(diǎn)，且總有8七=

AR閱讀下面作輔助圖形的方法及推理過程并填空，理解確定。E+。尸最小值的方法.

??,在等邊△A/3C中，4c=275,CD=

???點(diǎn)。為8c邊上的中點(diǎn)，ZB=ZACB.

：.ADLBC.

過點(diǎn)A作AG_LA￡>,使AG=8￡>,連接GF.

C.AG//BC.：.ZGAC=ZACB=ZB.

又?：AF=BE,:.XAGF04BDE(SAS).

:,GF=DE.

連接QG,DF,當(dāng)。，F(xiàn),G三點(diǎn)共線時(shí)，GF+Q"的最小值等于線段QG的長(zhǎng).

連接GC,可證四邊形A/）CG是矩形,

DG=AC.

???OE+。產(chǎn)的最小值為

（2）【類比應(yīng)用】

如圖2,已知正方形A8CD的邊長(zhǎng)為6,。為對(duì)角線的交點(diǎn)，M,N分別是AB,AD上的動(dòng)點(diǎn)，且

總有4M=OM連接。M,CN,求。M+CN的最小值.

（3）【拓展延伸】

如圖3,矩形/WC。中，AB=V2,AD=20,E是4。的中點(diǎn)，F(xiàn),G分別是4c和OC上的動(dòng)點(diǎn),

圖1圖2

11.綜合與實(shí)踐課上,老師和同學(xué)們開展了一場(chǎng)以“最小值”為主題的探究活動(dòng).

A

B

圖1圖2圖3圖4

【提出問題】老師提出了一個(gè)問題：如圖1,在矩形A8C。中，AB=3,BC=6,P為AD邊上的

一動(dòng)點(diǎn)，以PC為邊向右作等邊連接8E,求BE￥j最小值;

【探究發(fā)現(xiàn)】小明發(fā)現(xiàn)：如圖4所示，以BC為邊向下構(gòu)造一個(gè)等邊△8CM,便可得到△PCMg

△ECB,進(jìn)而將8E的最小俏轉(zhuǎn)化為PM的最小俏.

（1）按照小明的想法，請(qǐng)求出8E的最小值:

【拓展應(yīng)用］

（2）小剛受此啟發(fā)，舉一反三，提出新問題：如圖2,若將圖1當(dāng)中構(gòu)造的等邊三角形，改為以

PC為邊向右構(gòu)造正方形PCFG,則運(yùn)動(dòng)過程中，8G的最小值是.

（3）小紅同學(xué)深入研究了小剛的問題，并又提出了新的問題：如圖3,若將圖2當(dāng)中構(gòu)造的正方

形改為以PC為邊向右構(gòu)造菱形PC"/,使.ZCP/=120°,也可求得見的最小值請(qǐng)你直接寫出

B/最小值為.

12.綜合實(shí)踐

如圖1,點(diǎn)E為正方形A8CD內(nèi)一點(diǎn)，NAEB=9（T,點(diǎn)E'為正方形ABCD外一點(diǎn)，且8￡_LCE,

BE=BE,延長(zhǎng)AE交CE于點(diǎn)F,連接DE.

（1）試判斷四邊形8ETE的形狀，并說明理由；

（2）如圖2,若DA=DE,請(qǐng)猜想線段CF與￡'尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（3）如圖I,若/W=I5,BE=9,請(qǐng)求出。如的長(zhǎng).

13.在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課匕老師帶領(lǐng)同學(xué)們探究圖形的變換問題.老師先提出這樣一個(gè)問題：

有一張矩形紙片A8CO,其中48=4,BC=2次，你能用這張矩形紙片折出一個(gè)等邊三角形嗎？

【操作】小明同學(xué)是這樣操作的：如圖①，先將矩形44CD沿MN對(duì)折；展開后，再將點(diǎn)C沿8E

折疊，使點(diǎn)C落在MN上的點(diǎn)尸處；再展開，連接8/，CF,則ABCr為等邊三角形.

【驗(yàn)證】（1）求證：ABCF為等邊三角形;

【應(yīng)用】（2）連接AF,DF,如圖②，求A尸的長(zhǎng)；

【拓展】（3）將圖②中的△8b繞著點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（00<a<90°）得到△夕CF（點(diǎn)B,

C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為二，C'），連接A",，當(dāng)△AF8為等腰三角形時(shí)，直接寫出線段。C'

14.［回顧課本］蘇教版八年級(jí)卜.冊(cè)數(shù)學(xué)教材”9.5三角形的中位線”一課中給出了“三角形的中位線

定理”的證明思路，請(qǐng)根據(jù)分析完成證明過程?.

己知：如圖1,是△ABC的中位線，求證：DE〃BC,DE=gBC.

分析：因?yàn)辄c(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，可以考慮把AAOE繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°,得到△《理,

這樣就需要證明四邊形BCFD是平行四邊形……

［探究發(fā)現(xiàn)］

如圖2,等邊△44C的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。、￡分別為AB、AC邊中點(diǎn)，點(diǎn)?為3C邊上任意一點(diǎn)（不

與從C重合），沿。E、0廠剪開分成①、②、③三塊后，將②、③分別繞點(diǎn)。順時(shí)針、點(diǎn)七逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°恰好能與①拼成目Q/”G,求目。/"G周長(zhǎng)的最小值.

［拓展作圖］

如圖3,已知四邊形4BC。，現(xiàn)要求只剪兩次將其剪成四塊，使得剪成的四塊能通過適當(dāng)?shù)臄[放拼

成一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出兩條剪痕，并對(duì)剪痕作適當(dāng)?shù)恼f明.

二AaWAHOA

BFCCD

圖1圖2圖3

15.函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型，函數(shù)和現(xiàn)實(shí)情境之間H勺轉(zhuǎn)換可以幫助我們簡(jiǎn)化問題的處理.

（1）下列情境中，可以用反比例函數(shù)刻畫的是：

A.甲、乙兩地相距200如?，行駛時(shí)間和行駛速度之間的關(guān)系；

B.單價(jià)為3元的練習(xí)本，購買數(shù)量和總價(jià)的關(guān)系；

C.面積為8的矩形，長(zhǎng)和寬的關(guān)系.

（2）求函數(shù)y=VP4:i+J（3-％）2+4的最小值時(shí),直接求解困難較大，我們可以給函數(shù)賦予

這樣的數(shù)學(xué)情境：如圖1,線段8C=3,AB=\,CD=2,ABLBC,CDLBC,則AP+PD可表示

為，（用含有x的代數(shù)式表示）請(qǐng)你結(jié)合圖形，繼續(xù)完成求解過程.

（3）如圖2,四邊形4BCQ為矩形，A8=6,BC=9,P為矩形ABC7）內(nèi)（不包含邊界）一點(diǎn)，過

。分別向4從作垂線，垂足為M,N,若四邊形歷用VP的面積為6,則稱點(diǎn)P為“美麗點(diǎn)”，

在矩形8EFG中，BE=9,BG=4,過尸點(diǎn)的直線/交直線BC于點(diǎn)Q,若直線/上存在“美麗點(diǎn)”，

求產(chǎn)。的取值范圍.

(1)如圖1,正方形ABCQ的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)。又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這

兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，邊40與邊A8相交于點(diǎn)E,邊與邊C8相交于點(diǎn)凡連接EE在

實(shí)驗(yàn)與探究中，小新發(fā)現(xiàn)無論正方形AIBICIO繞點(diǎn)。怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，AE,CF,E尸之間一直存在某種

數(shù)量關(guān)系，小新發(fā)現(xiàn)通過證明△AOE絲ABO/即可推導(dǎo)出來.

①請(qǐng)你猜想AE,CF,E尸之間的數(shù)量關(guān)系是.

②小新對(duì)圖1的進(jìn)一步研究中發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)EO與。。交于一點(diǎn)G,通過證明△AOEgZXCOG也可

推導(dǎo)出AE,CF,七產(chǎn)之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你證明△AOEgZkCOG.

【類比遷移】

(2)如圖2,矩形A8C。的中心0是矩形4力。0的一個(gè)頂點(diǎn)，AiO與邊/W相交于點(diǎn)E,C\O

與邊CB相交于點(diǎn)八連接七人矩形4山|。|?？衫@著點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，判斷4￡,CF,￡7<r之間的數(shù)量關(guān)

系并進(jìn)行證明；

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,在RtZkACB中，ZC=90°,AC=5cm,BC=\2crm點(diǎn)。是邊A8的中點(diǎn)，ZEDF

=90°,它的兩條邊。七和。尸分別與直線AC,8c相交于點(diǎn)￡,F,NE。/；可繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，當(dāng)

4石=4”?時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段C尸的長(zhǎng)度.

17.綜合與實(shí)踐

問題情境：笫二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)合徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦

圖”.如圖1,在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們繪制了“弦圖”并進(jìn)行探究，獲得了以下結(jié)論：該圖是由

四個(gè)全等的直角三角形6DAE,AABF,ABCG,△C?！?和中間一個(gè)小正方形EFG”拼成的

大正方形44CQ,且NABFAN3AF.

特殊化探究：連接4”.設(shè)AF=b.

“運(yùn)河小組”從線段長(zhǎng)度的特殊化提出問題：

(I)若/W=5,FG=1,求AAB/的面積.

“武林小組”從。與〃關(guān)系的特殊化提出問題：

(2)若b=2a,求證：NBAE=/BHE.

深入探究：老師進(jìn)一步提出問題：

(3)如圖2,連接BE,延長(zhǎng)剛到點(diǎn)/，使A/=AB,作矩形設(shè)矩形8F〃的面積為Si,正

方形A8C。的面積為S2，若8E平分NABF,求證：SI=52.

請(qǐng)你解答這三個(gè)問題.

18.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某小組將一個(gè)含45°的三角尺4"'和一個(gè)正方形紙板A8C。如圖1擺放，若AE

=1,AB=2.將三角尺4EF繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a(0°WaW90°)角，觀察圖形的變化，完

成探究活動(dòng).

【初步探究】

如圖2,連接8E,。尸并延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G,3G交4。于點(diǎn)M.

問題13E和的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是.

【深入探究】

應(yīng)用問題1的結(jié)論解決下面的問題.

問題2如圖3,連接8。，點(diǎn)。是B。的中點(diǎn)，連接。A,OG.求證OA=OO=OG.

【嘗試應(yīng)用】

問題3如圖4,請(qǐng)宜接寫出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a從0°變化到60°時(shí)，點(diǎn)。經(jīng)過路線的長(zhǎng)度.

19.【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容.

例1：求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.

4己知：如圖，在△ABC中，AD=DB,BE=EC,AF=FC.

彩4尸求證：AE.。尸互相平分.

/W1證明：連接QE.EF.

BEC

請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的解題過程.

【拓展】如圖②，設(shè)圖①中的AE與。”的交點(diǎn)為G,連接C。，分別交A￡、EF于點(diǎn)、H、K.

DH

(1)—=

CK---------------------

(2)若四邊形廠GHK的面積為3,則四邊形AOEF的面積為.

20.【模型定義】

它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成.在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三

角形.他們得知這種模型稱為“手拉手模型”.如果把小等腰二角形的腰長(zhǎng)看作是小手,大等腰

三角形的腰長(zhǎng)看作大手，兩個(gè)等腰三角形有公共頂點(diǎn)，類似大手拉著小手.

【模型探究】

(1)如圖1,若△4C/3和AOCE均為等邊三角形，點(diǎn)4、。、￡在同一條直線上，連接易證

△CDAg4CEB,則NAE8的度數(shù)為；

【模型應(yīng)用】

(2)如圖2,尸為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，?。篜B：PC=3：4：5,且出=3,以8P為邊構(gòu)造等邊

△BPQ,這樣就有兩個(gè)等邊三角形共頂點(diǎn)B,然后連接C。，NAPB的度數(shù)是；S四邊

(3)如圖3,點(diǎn)尸是等腰直角AACB中內(nèi)一點(diǎn)，NACB=90°,且CP=1,BP=遮,4尸=2,

以“為直角邊構(gòu)造等腰直角△￡＞《「，點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)，則NC尸8的度數(shù)是:AC的

長(zhǎng)為：

【深化模型】

(4)如圖4,C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、E重合)，在4石同側(cè)分別作等邊△居(?和等邊△

CDE,AD與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連接尸Q,以下五個(gè)結(jié)論：

①AO=8E；?PQ//AEx@CP=CQ；?BO=OE,⑤N4OB=60°；@C0平分NBCD,恒成立

的結(jié)論有.

【拓展提高】

(5)如圖5,在△44C中，ZACB=90°,ZBAC=3()0,AS=6,若點(diǎn)夕是△A4C內(nèi)一點(diǎn)，則

%+PB+PC的最小值為.

(6)如圖6,AO=4,CO=3,N48C=N4CB=N4OC=45c，則4。的長(zhǎng)為.

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)四邊形

參考答案與試題解析

一.解答題（共20小題）

1.【問題情境】如圖1,小明把三角板七尸6（/6左=30°）放置到矩形A8CQ中，使得頂點(diǎn)E、F、

G分別落在AD.CD.AB上，你發(fā)現(xiàn)線段ED與AG有什么數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論:DE=V3AG

（不用證明）.

【變式探究】如圖2,小明把三角板EFG（ZGFE=30°）放置到矩形ABC。中，使得頂點(diǎn)E、F、

G分別在AD、BC、邊上，若G4=4,AE=6,求的長(zhǎng).

【拓展應(yīng)用】如圖3,小明把三角形MG放置到平行四邊形ABC。中，使得頂點(diǎn)E、F、G分別在

AB4AE3EG

AD.BC、AB邊上，若一=—=—,/FEG=/BAD,求出一的值.

AD5AD10EF

BrBFr門口一

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；壓軸題：矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力.

【答案】【問題情境】。E=V54G；

【變式探究】8G=6百一4：

EG3

【拓展應(yīng)用】77■的值為1

【分析】【問題情境】由四邊形A8CO是矩形，可得NA=N8=90°,推出可

得DE=遮AG；

AGAEEG

【變式探究】過點(diǎn)尸作"714。于，，則尸=90°,可得AAEGs△，在■，得出一=—=——,

EHFHEF

46V3___

一=—=一,進(jìn)而求得:石"=4百,"/=6百，再由四邊形是矩形，可得人8=川=68，

EHFH3

即可求得答案：

【拓展應(yīng)用】延長(zhǎng)4加至M,連接向必交C。于P,使NAMF=NZM。，可得△AEGSAMFE,推

EGAEAG

出二=二乙=二乙，再根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)即可求得答案.

EFFMEM

【解答】解：【問題情境】結(jié)論：ED=V3AG,理由如下：

如圖1,

圖1

???四邊形43co是矩形，

AZA=ZB=90°,

AZAGE+Z^EG=90°,

VZreG=90°,NGFE=30°,

EGJ3

/.ZDEF+ZAEG=90°,—=tan300=與，

EF3

,ZAGE=/DEF,

???△AEGs△。小

.竺_￡￡_立

??—―,

DEEF3

：,DE=V3AG,

故答案為：DE=V3AG；

【變式探究】如圖2,過點(diǎn)/作FHJ_A。于從

VZFEG=90°,

；?NFEH+NAEG=9()c,

NAEG=NEFH,

VZA=ZEHF=90°,

,AAEGS^HFE,

,AGAEEG466

…EH~FH~EF'EH~FH~3

:,EH=4?FH=6?

VZA=Z^=Z/4Z/F=90°，

???四邊形A8FH是矩形，

:?AB=FH=6?

：.BG=AB-AG=6^3-4：

【拓展應(yīng)用】如圖3,延長(zhǎng)AQ至M,連接交8于P,使NAMr=NA4O,

?：/FEG=NBAD,

J/FEG=NBAD=NAMF,

；?/AEG^/AGF=/FF.M-^/AEG.

???ZAGE=ZFEM,

/.XkEGsXMFE,

?_E_G__A_E__A_G

**EF~FM~EM'

??AB4_A_E_3_

?4/)-5'AD~I。'

：.AB=^AD,人石=殺人。，

???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,AD//BC,ZBAD=ZC,

：.ZCDM=NBAD=ZAMF=ZC=/CFP,

:,PD=PM,PC=PF,

：.PC+PD=PF+PM,

即CD-FM-AB,

*_E_G_A_E3

EFFM8

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形的綜合題，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短距離的方法

是解題的關(guān)鍵.

2.綜合與實(shí)踐一一平行四邊形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)問題

問題情境：

己知回A3CO與@A8C。'中，AB=A'B'=6,BC=B'C=S,ZABC=ZA,B,C=60c,,同學(xué)們利用這

樣的兩張平行四邊形紙片開展操作實(shí)驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學(xué)問題，請(qǐng)你和他們一起進(jìn)行

探究.

拼圖思考：

（1）希望小組的同學(xué)將團(tuán)ABC。與團(tuán)ABC。按圖1的方式擺放，其中，點(diǎn)3與點(diǎn)在重合，點(diǎn)H落

在4C邊上，點(diǎn)C落在84邊的延長(zhǎng)線上，他們提出了如下問題，請(qǐng)你解答：

①連接求證：4E平分NAB/V；

②點(diǎn)D,D'之間的距離為：2；

操作探究：

（2）創(chuàng)新小組的同學(xué)在圖1的基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下操作：保持團(tuán)A8CQ不動(dòng)，將圈AEC。繞點(diǎn)8沿

順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接。。.

①當(dāng)線段C。'與OC交于點(diǎn)。時(shí)，連接CC：如圖2,求證：點(diǎn)夕在的垂直平分線上；

②在目/V8c7）旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)C'恰好落在線段OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專題】壓軸題；推理能力.

【答案】（1）①證明見解析；②2；

（2）①證明見解析；②20.

【分析】（1）①借助△BAE與△84E全等求證；②連接DQ,判斷△QDE'求解即可；

（2）①連接8。，BD,判斷△B。。為等腰三角形，利用三線合一求證；②畫出滿足條件的圖形,

利用等邊三角形求解.

【解答】（1）①證明：???四邊形ABC/）、48C。，是平行四邊形，

：.AD//BCtA'D'/ZB'C,

工四邊形AE4B是平行四邊形，NAEB=NEBC,

???AE=B'A',

BA=AEf

???四邊形AE44是菱形,

???BE平分NA54.

②解：連接。。，如圖,

由①知四邊形A84E是菱形，

：,AE=AE=CD=6,

：,AD-AE=AD-AE,

：.ED=ED'=S-6=2,

ZDED=ZABA=60°,

???△EDD為等邊三角形,

：.DD,=ED=2.

故答案為：2.

(2)①證明：???8C=8C,

:?/BCC=/BCC,

在團(tuán)ABC。和團(tuán)A'8CD'中，

VZ^C=ZAB'C=60°,AB=A'B',

：.ZBCD=ZB'CD'=\20°,CD=CD\

：,ZPCC=ZPCC

:?PC=PC,

:?PD=PD,

???點(diǎn)P在。。的垂直平分線上.

匹4BCO與團(tuán)ABCO中，AB=AB=6,BC=B'C=S,ZABC=ABC=()0o,

：,CD=CD=6,BC=BC=8,ZC5C=180°-60°-60°=60°,

??.△BCC是等邊三角形,

:.CC=8,

ADD'=6+6+8=20.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角的

性質(zhì)定，等邊三角形的判定與性質(zhì).關(guān)鍵是借助三角形全等和等腰三角形的三線合一進(jìn)行解題.

3.【問題探究】

（1）如圖1,在正方形A8C。中，對(duì)角線AC與B。相交于點(diǎn)O,在線段4。上任取一點(diǎn)尸（端點(diǎn)

除外），連接PD，PB.

①求證：PD=PB；

②將線段繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在84的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)。處，當(dāng)點(diǎn)。在線段4。上的

位置發(fā)生變化時(shí)，NDPQ的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；

③在探究4Q與OP的數(shù)量關(guān)系時(shí)，小穎作了如圖2的輔助線：作于點(diǎn)M,作PNL4D

于點(diǎn)M作。交AB于點(diǎn)E,作E/J_OB于點(diǎn)F,請(qǐng)你直接寫出4Q與。P的數(shù)量關(guān)系.

【遷移探究】

（2）如圖3,將（1）中正方形A8CO換成菱形ABCD且NA8C=60°,其他條件不變，試探究

AQ與CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；壓軸題；推理能力.

【答案】（1）①證明見解答；②NOPQ的大小不發(fā)生變化，NO尸Q=90°；③AQ=O。尸；

（2）AQ=CP.

【分析】（I）①根據(jù)正方形的性質(zhì)可得CO=C8,NQCA=NBC4=45°,利用SAS證明△QCP

絲△ACP即可證得結(jié)論；

②過點(diǎn)P作尸MJ_4B于M,作PN_LA。于M可證得四邊形AMPN是正方形，再利用證明Rt

△DPNmRt/\QPM,可得NDPN=NQPM,再利用角的關(guān)系即可證得結(jié)論：

③先得出ABE尸是等腰直角三角形，BE=y[2EF,再證得四邊形ER9P是矩形，得出EF=OP,即

可求得答案；

(2)過點(diǎn)P作PM_LAB于M,PE//BC交AB于E,過點(diǎn)E作EG〃AC交BC于G,結(jié)合菱形的

性質(zhì)可得：四邊形PEGC是平行四邊形，再得出△ABC、△BAE和都是等邊三隹形，即可

得出答案.

【解答】(1)①證明：???四邊形48co是正方形，

：，CD=CB,NOC4=N8CA=45°,

VCP=CP,

/.△DCP^ABCP(SAS),

:,PD=PB；

②解：/OPQ的大小不發(fā)生變化，ZDPQ=90°；

理由如下：

過點(diǎn)P作PM1AB于M,作PN1AD于M如圖I,

圖1

???四邊形AACO是正方形，

???ND4C=NB4C=45°,

PMLAB,PNIAD,

:,PM=PN,

???四邊形AMPN是正方形，

AZMPN=90°,

,:PD=PQ,PM=PN,

；?RtADPNgRi/\QPM(HL),

J/DPN=NQPM,

:NQPN+/QPM=90°,

/.ZQPN+ZDPN=90°,

即NQPQ=90°；

③解：AQ=>/20P,理由如下：如圖2,

'：PMLAIL

VZ^C=45°,

：.ZPEA=45°=ZPAE,

???PM_LAE,

：.AM=EM=PM,

：.13M-EM=QM-AM,

即BE=AQ,

?；NBFE=90°,Z4BD=45°,

???△BEF是等腰直角三角形，

???BE=y[2EF,

???/POF=ZOPE=ZOFE=90°,

???四邊形EFOP是矩形，

:?EF=OP,

：.AQ=V2OP：

(2)解：AQ=CP.理由如下：

???四邊形ABC。是菱形，

???4C垂直平分8Q,

：.PD=PB,

由旋轉(zhuǎn)知：PD=PQ,

:?PQ=PB,

過點(diǎn)P作PM_LAB于M,PE〃BC交AB于E,過點(diǎn)E作石G〃AC交BC于G,如圖3,

則四邊形PEGC是平行四邊形，

???PC=EG,

???四邊形48CO是菱形，

：.AB=BC,

VZ5AC=60°,

???△ABC是等邊三角形，

同理可得：△B4E和aBGE都是等邊三角形,

:.BE=EG=PC,

*：PMA-AB,

:.MQ=MB,MA=ME,

:,MQ-MA=MB-ME,

即AQ=BE,

：.AQ=CP.

【點(diǎn)評(píng)】本題是正方形和菱形綜合題，考杳了正方形和菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，

矩形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵.

4.在。ABC。中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn).

(I)如圖1,ZDAC=90°,將AAOE沿DE翻折，使得A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在CD上，若4。=3,

AC=4,求所的長(zhǎng);

(2)如圖2,ZADC=45°,AO=AC,點(diǎn)G是。E的中點(diǎn)，A/_LOE交。。于尸點(diǎn)，/是AC上

一點(diǎn)，連接打，延長(zhǎng)口交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)若NJ=2NDAG,AG=EJ,求證：AF+F/=2/J：

(3)如圖3,NA/)C=45°,AD=AC,延長(zhǎng)至M點(diǎn)使NDAM的角平分線交。E

于點(diǎn)M交MC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,取CO中點(diǎn)F,連接GF,FM.當(dāng)石在直線4c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫

FM

出耘的最大

圖1

值.

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專題】壓軸題；推理能力.

【答案】(1)|:

(2)證明過程詳見解析；

(3)V2+1.

【分析】(1)先由勾股定理求得CQ=5,再由折疊性質(zhì)得。尸=4。=3,EF=AE,設(shè)

在Rt△七FC中，利用勾股定理列方程求得x值即可；

(2)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到乙4。。=/4€7)=45°,N7MC=90°,再根據(jù)直隹三角形斜

邊中線性質(zhì)得到AG=DG=GE進(jìn)而得到NAOG=ND4G,設(shè)NAOG=ND4G=a,利用

三角形的外角性質(zhì)結(jié)合已知得到乙4GE=NJ=2a,GE=EJ,證明△AEGgZX/E/(ASA),AG//

E/得到OE=24G=2〃，在OE截取Z)H=AF,連接A”，證明△AD”也△C4/(SAS)得到A”=

CF,ZDAH=ZACF=45°,再證明△人”￡：絲△C77(A4S)得到HE=/7,進(jìn)而可得結(jié)論；

(3)連接4尸，DG,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AG垂直平分。M,則。G=GM,ND4C=90°,

設(shè)NCAM=20,再根據(jù)等腰三角形的等邊對(duì)等角進(jìn)行角度運(yùn)算得NCMO=45°,進(jìn)而推導(dǎo)出N

DGC=90°,設(shè)4O=AC=2〃，則利用直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到"G=OF=AF=

』CD=缶,利用三角形的三邊關(guān)系得到FM工凡4+4M=&a+2a,當(dāng)點(diǎn)尸、4、M共線時(shí)取等

號(hào)，進(jìn)而求得的最大值即可求解.

【解答】(I)解：?.?AO=3,AC=4,NO4C=90°,

：，CD=>/AD2+AC2=V32+42=5,

由折疊性質(zhì)得。"=40=3,EF=AE,

設(shè)EF=AE=x,

在RtZXEFC中，CE=AC-AE=4-A:,CF=CD-DF=2,

由勾股定理得f+2?=(4-x)2,

解得“去

3

：,EF=^.

(2)證明：VZADC=45°,AD=AC,

AZADC=ZACD=45°,則NZMC=180°-45°-45°=90°,

???點(diǎn)G是。E的中點(diǎn)，

1

：.AG=DG=GE=^DE,

：.ZADG=ZDAG,設(shè)NADG=NOAG=a,

???ZAGE=ZADG+ZDAG=2ZDAG=2a,

又???NJ=2/Q4G,AG=EJ,

/.ZAGE=ZJ=2a,GE=EJ,

又「NAEG=NIEJ,

/.AAEG^A/E/(ASA),AG//FJ,

???AG=〃，則DE=2AG=2U,

VAF±DE,ZDAC=90°,

???ZE\C+ZAED=ZADE+ZAED=90°,

???ZADE=^FAC=a,

在OE截取連接人，，

在△A。”和△CAf'中，

AD=AC

LADH=LCAF.

(DH=AF

:.△ZWgXCKF(SAS),

,AH=CF,ZDAH=ZACF=45°,

VzlHAE-z：DAC-zlDAH-90Q-450-45°,

.*.Z/7AE=ZFC/=45°,

?：AG//FJ,NGAE=900-ZDAG=90°-a,

：.ZCIF=ZGAE=90a-a,

VZA￡H=90d-ZADG=90°-a,

???ZAEH=4CIF,

在Z\AHE和ACF/中,

\LHAE=乙FCl

Z.AEH=ZC/F,

AH=CF

/.^AHE^ACFI(A4S),

：,HE=FI,

*：DH+HE=DE,

：.AF+FI=2IJ；

(3)如圖，連接A尸、DG,

\*AM=AD,ND4M的角平分線交OE于點(diǎn)N,交MC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

AAG±DM,DN=MN,

：.AG垂直平分。/，則DG=GM,

VZADC=45°,AD=AC,

???/八OC=NAC￡>=45°,則NZMC=180°-45°-45°=90°,

設(shè)NCAM=20,

,：AM=AD=AC.

1、1

：.ZAMD=^(180°-NOAM)=45°-仇々4MC=：(180。一4G4M)=90。―/?,

AZCMD=ZAMC-ZAMD=(90°?0)-(45°?B)=45°,

又，：DG=GM,

???NGQA7=NGMO=45°,

則NOGC=180°-2X45°=90°,

設(shè)AD=4C=2a,則AM=2a,

???尸為CD的中點(diǎn)，ND4C=90°,ZDGC=90°,

:,FG=DF=AF=^CD=)，4"+心=V2a,

丁月在百線AC卜運(yùn)動(dòng)時(shí).FM<FA+AM=V2a+2a,

當(dāng)點(diǎn)尸、A、M共線時(shí)取等號(hào)，即點(diǎn)M在點(diǎn)M處時(shí)，F(xiàn)M有最大值為(V2+2)。，

FMM日一什位（四+2）。r-

正的取大值為=6+1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳等腰三角形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、

全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、最短路徑問題等知識(shí)，

綜合性極強(qiáng)的壓軸題，需要學(xué)生有一定的綜合能力和分析問題、解決問題的能力，利用數(shù)形結(jié)合

思想進(jìn)行靈活運(yùn)用所學(xué)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解決問題.

5.如圖1,ZACB=90a,AC=BC,過點(diǎn)C的直線L不經(jīng)過三角形的內(nèi)部，過點(diǎn)A、8作ADLDE,

BELDE,垂足為。，E.

（I）請(qǐng)你在圖1中，寫出一對(duì)全等三角形：AADgACEB；；

（2）請(qǐng)證明你所寫的結(jié)論；

（3）嘗試探究：若BE=b

圖1中四邊形ADEB的面積為（a+b）2_；

圖2中過點(diǎn)。的直線L經(jīng)過三角形內(nèi)部,其他條件不變，則四邊形AO8E面積為-廿）_（用

含小人的代數(shù)式表示）；

（4）拓展應(yīng)用：如圖3,A（-1,0）C（0,2）則點(diǎn)B坐標(biāo)為（-2,3）；若點(diǎn)P（不與8

重合），在坐標(biāo)平面內(nèi)，ZkABC與△ACP全等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?3,1）或（2,1）或（1,

圖3

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專題】壓軸題：推理能力.

【答案】（1）△AQC絲△CE8；

（2）見解析；

（3）[（a+8）2,

（4）（-2,3）,（-3,1）或（2,1）或（I,-1）.

【分析】（1）依據(jù)圖形直接寫出即可;

(2)這是“一線三垂直”全等模型，通過同角的余角相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得證；

(3)①利用梯形面積公式可解；②同(2)可證△AOCgZXCEB,四邊形ADEB的面積為AAOE

和△3DE面積之和；