第五章萬有引力與宇宙航行

【課標要求】

1.通過史實，了解萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)過程。知道萬有引力定律。認識發(fā)現(xiàn)萬有引力定律

的重要意義。認識科學定律對人類探索未知世界的作用。

2.會計算人造地球衛(wèi)星的環(huán)繞速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。

【考情分析】

萬有引力定律2024?新課標卷T16、2024?山東卷丁5、2024湖南卷H7、2023山東

及其應用卷T3、2023?新課標卷?T17

人造衛(wèi)星2024?福建卷T5、2。24?河北卷18、2023?廣東卷?T7、2023?江蘇

宇宙速度卷T4、2023?湖南卷,T4

第1講行星的運動萬有引力與相對論

中國科技網(wǎng)2024年9月26日消息顯示，天文學家發(fā)現(xiàn)地球即將迎來一個新的“迷你月

亮”。這顆新發(fā)現(xiàn)的小行星被命名為2024PT5,直徑可能在5至42米之間，它將于9月

29日至11月25日期間，在距地球約420萬千米遠的地方繞地球運行。之后它將返回

情

境口心軌道。請思考：

導

思(1)不同的小行星繞地球運動的軌道以及速度周期等有何特點？

(2)萬有引力定律的內(nèi)容、公式及適用條件是什么？

(3)地球表面不同緯度的物體所受萬有引力和重力有何關(guān)系?用什么方法可以計算出

地球質(zhì)量？

?國小題試做

1.(2025?內(nèi)蒙古高考適應性考試)紫金山一阿特拉斯彗星由紫金山天文臺首次發(fā)現(xiàn)，其繞太陽

運行周期約為6萬年。該彗星軌道的半長軸與日地平均距離的比值約為()

[A]1.5X103

[B]I.5X104

[C]1.5X106

[D]1.5^107

國知識構(gòu)建

軌道所有的行星圍繞太陽運動的軌道都是

開

普定律太陽處在橢圓的一個上

勒

三面積_對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相

定律廠等的時間內(nèi)掃過的相等

定

相

周期所有行星軌道的的三次方與它

的二次方的比都相等

行定律

星自然界中任何兩個物體都相互吸弓I,引力的

的」—「方向在它們的連線上,引力的大小與物體的

期直尸質(zhì)量:g和四的乘積成，與它們之間

運

動

萬距離r的二次方成

萬

有

引

有、F=,C是引力常量,其值為

力表達式）"

引

定N,m2/kg2

力

律

與公式適用于間的相互作用,當兩個

相|—物體間的距離遠遠大于物體本身的大小

對適用時，物體可視為質(zhì)點

論條件

質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點"是

________間的距離

愛因斯[相對性原理

相對

坦假設(shè)不變原理

時

論相對論I

觀

空

時空觀廠時間延緩效應：4=

牛

與兩種

力

頓效應JL長度收縮效應：鼻

的

學

限

局J-____運動

「牛頓力學的適用范圍比宏觀世界

性

【答案】橢圓焦點面積半長軸公轉(zhuǎn)周期正比反比

6.67x10"質(zhì)點兩球心光速—

歷

【答案】A

2.利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，不能計算出地球質(zhì)量的是（）

[A]地球的半徑及重力加速度（不考慮地球自轉(zhuǎn)）

[B]月球繞地球做圓周運動的周期及月球與地球|uj的距離

[C]地球繞太陽做圓周運動的周期及地球與太陽間的距離

[D1人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運動的速度及周期

【答案】C

/oJl-(;)2低速

考點一開普勒行星運動定律

探尋規(guī)律

(1)已知同一行星在軌道的兩個位置的速度:近日點速度大小為片,遠日點速度大小為也，近

日點與太陽距離為打，遠日點與太陽距離為廠2。

試推導丫1、也與廠I、廠2間有什么關(guān)系。

提示:由開普勒第二定律可得

1A/in=|A/2r2,

1.1.

-viAr-/*i=^V2Axrr2,

解得

V2

(2)把行星繞太陽的運動看作勻速圓周運動，試推導開普勒第三定律中的“值與中心天

體質(zhì)量的定量關(guān)系。

提示:由萬有引力提供向心力有丹篝加打苦二解得蕓3,故橢圓軌道時有券答。

對開普勒定律的三點理解

(1)開普勒定律除了適用于行星繞太陽的運動，同樣適用于月球(人造衛(wèi)星)繞地球的運動

等天體系統(tǒng)。

點速度最小。

(3)開普勒第三定律言"中水值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體攵值不同，且該

定律只適用于環(huán)繞同一中心天體的運動天體。

(7m..mGmm

【解析】設(shè)火星半徑為。則S/5成由牛頓第二定律有…季心F，得

1：2,故B正確;橢圓的半長軸為”=1.5火,由開普勒第三定律有3=琮空等，則71K=平。故

TRR4

C正確,D錯誤。

總結(jié)提升

開普勒定律的適用范圍

(1)開普勒第二定律及其引出的推論,不僅適用于繞太陽運轉(zhuǎn)的所有行星，也適用于以行星

為中心的衛(wèi)星，還適用于苴顆行星或衛(wèi)星沿橢圓軌道運行的情況。但需要注意的是,不同行

星的運行不能套用開普勒第二定律。

(2)開普勒第三定律不僅適用于太陽系，它對具有中心天體的引力系統(tǒng)(如行星-衛(wèi)星系統(tǒng))

和雙星系統(tǒng)嗎滬U為雙星中心的距離］都成立。

考點二萬有引力定律

1.萬有引力與重力的關(guān)系

地球?qū)ξ矬w的萬有引力戶表現(xiàn)為兩個效果:一是重力〃吆,二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心

力尸向，如圖所示。

1

(1)在赤道上:G",=mgimcoRo

(2)在兩極上:琮*mg?。

2.地球表面上的重力加速度

(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))，由小于智，得瞿。

AK

(2)在地球上空距離地心r=R+h處的重力加速度△由函卷，得g'=7名7,所以知智。

(n+rl)(H"rn)QK

3.萬有引力的兩個推論

m

推論i：在勻質(zhì)球殼空腔直的任意位置處，質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零，即

推論2:在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心〃處的質(zhì)點（〃?）受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為〃的同

心球體（"）對其的萬有引力，即尸=卓。

［例3］【重力與萬有引力的關(guān)系】（多選）萬有引力定律能夠很好地將天體運行規(guī)律與地

球上物體運動規(guī)律具有的內(nèi)在一致性統(tǒng)一起來。用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止

的小物體的重力,隨稱量位置的變化可能會有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M引力常量為

G,將地球視為半徑為〃、質(zhì)量分布均勻的球體。下列說法正確的是（）

［A］在北極地面稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為同=G翳

［B］在赤道地面稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為~=岑

［C］在北極上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為B=G占

［D］在赤道上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數(shù)為

（K+n）

【答案】AC

【解析】在北極地面稱量時，物體不隨地球自轉(zhuǎn)，萬有引力等于重力，則有人=年，故A正

確;在赤道地面稱量時，萬有引力等于重力加上物體隨地球一起自轉(zhuǎn)所需要的向心力，則有

嗡，故B錯誤;在北極上空高出地面h處稱量時,萬有引力等于重力，則有匕=畸4,故

C正確;在赤道上空高出地面。處稱量時，萬有引力大于重力，則彈簧測力計讀數(shù)自〈G熟y,

故D錯誤。

［例4］【“挖補法”求解萬有引力】（2025?江蘇南通開學考）如圖所示為一半徑為R、質(zhì)量為

M均勻分布的球體，從中挖去直徑為R的球體，虛線過兩球的球心，一質(zhì)點分別位于圖中的

1、2、3點時，受到的萬有引力分別為月、B、用,則有（）

[A]Fi<F?=B[B]FI<??2<773

LCJ為=b2=代[DJb1=尸2VB

【答案】D

［解析］設(shè)球體的密度為p,挖去小球體前的質(zhì)量為M=p?夕依，被挖去的小球體質(zhì)量為

GMmGM'mGMmlGMmGM'm17GMm.*..

/卬=〃?,6尸乏此根據(jù)萬有引力定律可得凡上.，尼十一(當2一】8尸/用填補

328R2(1)22R^

法,可知剩余部分在位置“2”的萬有引力大小等于挖掉的部分在位置“2”的萬有引力大小，即

尸產(chǎn)給翳，則有中尼出。

［例5］【星體上空及星體內(nèi)部重力加速度的求解】如圖是某農(nóng)家院內(nèi)打出的一口深度為

d的水井，如果質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零,地球可以看作是質(zhì)量分立均

勻的球體，地球半徑為七則水井底部和離地面高度為d處的重力加速度大小之比為()

[A]等[B]

R5

[C]『D](Rz-d2)(R+d)

R5

【答案】B

【解析】根據(jù)萬有引力定律得，地球表面上的重力加速度為g專,設(shè)離地面高度為d處的

n

重力加速度為屋由萬有引力定律有〃=；用/兩式聯(lián)立碑g'=；a，對于在地面上質(zhì)量為加

的物體，根據(jù)萬有引力定律有耳匚〃名從而得小絲/號uGpR,根據(jù)題意，球殼對其內(nèi)部物

體的引力為零，則水井底部的物體只受到其以下球體對它的引力，同理有g(shù)"=U=

(Rd)

訶〃⑹〃)年，所以產(chǎn)滬2

考點三天體的質(zhì)量和密度的估算

1.利用天體表面重力加速度

已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R.

(1)由《齊mg,得天體質(zhì)量

⑵天體密度.專鈴懸。

2.利用運行天體

已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑/?和周期兀

⑴由有小沿，得小索。

(2)若已知天體的半徑尺則天體的密度〃-：口%-黑3。

(3)若干.星繞天體表面運行，可認為軌道半徑廠等于天體半徑七則天體密度p啜,故只要測

出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T,就可估算出中心天體的密度。

［例6］【“重力加速度法”計算天體質(zhì)量和密度】航天員在月球表面將一片羽毛和一個鐵

錘從同一高度由靜止同時釋放,二者幾乎同時落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，

經(jīng)時間，落到月球表面。已知引力常量為G,月球的半徑為R(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)。求:

(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；

(2)月球的質(zhì)量

(3)月球的密度夕。

【笞案】(惜(2群(3借

【解析】(1)月球表面附近的物體做自由落體運動，有力=1月"，

月球表面的自由落體加速度大小g月專。

(2)不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，有G處6g〃，得月球的質(zhì)量%警。

2hR2

⑶月球的密唐〃

［例7］【“環(huán)繞法”計算天體質(zhì)量和密度】(2025?福建漳州一模)“嫦娥七號”探測器將于2026

年前后發(fā)射,準備在月球南極登陸，登陸月球前假設(shè)探測器繞月球做周期為Tx的勻速圓周

運動，軌道半徑可認為等于月球半徑。月球繞地球做周期為乃的勻速圓周運動，其軌道半

徑為月球半徑的〃倍。引力常量為6則()

［A］根據(jù)題中所給信息可求出地球的質(zhì)量

［B］根據(jù)題中所給信息可求出月球的質(zhì)量

［C］周期八和A滿足涉專

［D］地球質(zhì)量與月球質(zhì)量之比也安

771月72

【答案】D

23

H4n（kR..）

【解析】月球繞地球近似做圓周運動，有G,之；F?）池月，解得m迫=心】，由于不

月）?2。12

知道月球的半徑，故不能求出地球的質(zhì)量，故A錯誤；探測器繞月球表面運動時有

泮襄〃】（金）咽月,解得m廠,同樣?不能求出月球的質(zhì)量,但可知士客，故B錯誤，

月月71GTim月72

D正確;開普勒第三定律是相對于同一個中心天體的，不同的中心天體該表達式不適用，故

C錯誤。

［變式］根據(jù)［例7］中的信息能否求出地球和月球密度?

【答案】見解析

4n~（kRn戶4.o

【解析】由上知ni也=帚，'地=丁氏地，

由于?1未知,故不能求地球密度。

R池

4IX2R3a_mno_

m$R月3,則〃月故能求出月球密度。

0/13八VG/1

方法點撥

計算中心天體的質(zhì)量、密度時的兩點區(qū)別

（1）天體半徑和衛(wèi)星的軌道半徑的區(qū)別。

通常把天體看成一個球體，天體的半徑指的是球體的半徑。衛(wèi)星的軌道半徑指的是衛(wèi)星圍

繞天體做圓周運動的軌道圓的半徑.衛(wèi)星的軌道半徑大于或等于天體的半徑。

（2）自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期的區(qū)別。

自轉(zhuǎn)周期是指天體繞自身某軸線運動一周所用的時間，公轉(zhuǎn)周期是指衛(wèi)星繞中心天體運

動一周所用的時間。自轉(zhuǎn)周期與公轉(zhuǎn)周期一般不相等。

A課時作業(yè)

（滿分:60分）

―基礎(chǔ)對點練

對點1.開普勒行星運動定律

1.（4分）（2025?江蘇南通階段檢測）2024年3月20日,鵲橋二號中繼星成功發(fā)射升空,并順利

進入月球附近的橢圓形捕獲軌道,沿順時針方向運行。如圖所示,捕獲軌道的近月點為4

遠月點為C,短軸的一個端點為用設(shè)鵲橋二號由力第一次運動到4和由4第一次運動到C

的時間分別為人、，2,對應的兩個階段鵲橋二號與月球連線掃過的面積分別為S、$2,在力、

8兩點的速度大小分別為匕、加三速度大小分別為右、ano貝）

[A]l\>l2[B]

[C]VA<VB[D]a,4<aB

【答案】B

【解析】由開普勒第二定律可知，鵲橋二號在近月點才速度最大，在遠月點C速度最小，

可知門"聲憶故C錯誤油A到8再到。的過程中,速度逐漸減小，弧長力8等于弧長BC,

因此6<5又鵲橋二號與月球連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等，有SFS?,故A錯誤,B正

確；由牛頓第二定律有G：；"-〃"可得a=G條又以</氏則。4。凡故D錯誤。

2.（6分）（多選）與地球公轉(zhuǎn)軌道“外切”的小行星甲和“內(nèi)切”的小行星乙的公轉(zhuǎn)軌道如圖所

示，假設(shè)這些小行星與地球的公轉(zhuǎn)軌道都在同一平面內(nèi)、地球的公轉(zhuǎn)半徑為凡小行星甲的

遠日點到太陽的距離為小行星乙的近日點到太陽的距離為生，則（）

[A]小行星甲在遠日點佗速度小于近日點的速度

[B]小行星乙在遠FI點的加速度小于地球公轉(zhuǎn)加速度

[C]小行星甲與乙的運行周期之比方后

[D]甲、乙兩行星從遠日點到近日點的時間之比戶悟率

【答案】AD

【解析】根據(jù)開普勒第二定律，小行星甲在遠日點的速度小于近日點的速度，故A正確;

根據(jù)筆知,小行星乙在遠日點的加速度等于地球公轉(zhuǎn)加速度，故B錯誤;根據(jù)開普勒

1\

第三定律，小行星甲與乙的運行周期之比上察整、故C錯誤;甲、乙兩行星從遠

依2+"）

日點到近日點的時間之比即為周期之比J徐黑，故D正確。

3.（4分）（2024?山東卷,5）“鵲橋二號”中繼星環(huán)繞月球運行，其24小時橢圓軌道的半長軸為服

已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為人則月球與地球質(zhì)量之比可表示為（）

陽店回第[D]]

【答案】D

【解析】“鵲橋二號''中繼星在24小時橢圓軌道運行時，根據(jù)開普勒第三定律有*司理,

73GM..mn,.A?2r「3GM0

對地球的同步衛(wèi)星有/=￡',對于地球同步衛(wèi)星,有；；-,解得為譚，故可得開普勒

nMitz13

常量與中心天體的質(zhì)量成正比，所以M冷看k聯(lián)立可得了噌。

地，他

對點2.萬有引力定律

4.（4分）（2025?廣西南寧階段檢測）中國空間站軌道高度約為400km,地球半徑約為

6400kmo當航天員出艙在空間站艙外作業(yè)時，其所受地球的引力大約是他在地面所受地

球引力的（）

1199

[A]—[B]-[C]一[D]—

LJ10l」2LJ100LJ10

【答案】D

【解析】在地球表面時人窄，在空間站時區(qū)節(jié)舞嚴得色（念產(chǎn)（房磊尸吟，

故選Do

5.（4分）（2024?山東淄博期中）如圖所示，有一質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體，在距

球心2R處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點。若以球心O為中心挖去一個半徑為前勺球體，則剩下部

分對質(zhì)點的萬有引力為（）

.,GMmGMm

聞r赤[BJ

[「I13GMm2GMtn

[D]

0-54^-9R2

【答案】C

【解析】剩下部分對質(zhì)點的萬有引力等于完整球體對質(zhì)點的引力減去被挖去的小球體對

質(zhì)點的引力和T饕—被挖去的小球體的質(zhì)量為例產(chǎn)（勺一而大球體的質(zhì)量為

M=/r,代解得/卷筌。

6.（4分）中國科學院沈陽自動化研究所主持研制的“海斗一號”在無纜自主模式下刷新了中

國下潛深度紀錄,最大下潛深度超過了10000m。若把地球看成質(zhì)量分布均勻的球體，且球

殼對球內(nèi)任一質(zhì)點的萬有引力為零，忽略地球的自轉(zhuǎn)，則下列關(guān)于“海斗一號”下潛所在處

的重力加速度g和下潛深度力的關(guān)系圖像可■能正確的是（）

0h0

[A][B]

0h0

[C][D]

【答案】D

【解析】設(shè)地球的質(zhì)量為M地球的半徑為R,“海斗一號'’下潛h深度后，以地心為球心、

以/?h為#徑的地球的質(zhì)量為“，根據(jù)密度相等有4M「4M'q,由于球殼對球內(nèi)任一質(zhì)點

刎37Rh）3

的萬有引力為零，根據(jù)萬有引力定律有篙；〃悔，解得年墨（股〃）,故D正確,A、B、C錯誤。

對點3.天體的質(zhì)量和密度的估算

7.（4分）（2024?新課標卷,16）天文學家發(fā)現(xiàn)，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行,

其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為口地距離的0.07倍調(diào)期約為0.06年，

則這顆紅矮星的質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的（）

[A]0.001倍倍

[C]10倍[D]10。0倍

【答案】B

【解析】設(shè)紅矮星質(zhì)量為M,行星質(zhì)量為犯，軌道半徑為小,周期為。，太陽質(zhì)量為〃2,地

球質(zhì)量為"】2,日地距離為〃2,周期為八,根據(jù)萬有引力定律有1^7/,G,詈一〃

聯(lián)立可得等=(3)3-0)2,代入數(shù)據(jù),得強0],B正確。

M2r2Tl八12

8.(6分)(2024?廣東佛山二模)(多選)磷是構(gòu)成DNA的重要元素,2023年科學家在土衛(wèi)二的

海洋中檢測到磷。此發(fā)現(xiàn)意味著土衛(wèi)二有可能存在生命。目前探測器已經(jīng)測出了土衛(wèi)二

的密度為小現(xiàn)發(fā)射一顆貼近土衛(wèi)二表面的人造衛(wèi)星對土衛(wèi)二進一步觀測，已知引力常量為

G,則根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)不能計算出()

[A]人造衛(wèi)星的周期

[B]土衛(wèi)二的質(zhì)量

[C]人造衛(wèi)星的向心加速度大小

[D]人造衛(wèi)星與土衛(wèi)二之間的萬有引力大小

【答案】BCD

【解析】對貼近土衛(wèi)二表面的人造衛(wèi)星有冷=/〃(半尸幾年匚加生又夕牛岸嘴解得

T=J^=居"嚶，即人造衛(wèi)星的周期可以計算出，但土衛(wèi)二的質(zhì)量無法求得，人造衛(wèi)星的

向心加速度大小無法求得，人造衛(wèi)星與土衛(wèi)二之間的萬有引力大小也無法求得。

9.(8分)如圖所示，某星球水平地面上，固定放置一個直角三角形斜面48,斜面的傾角族30。,

頂點4高//=10mo將小球從4點以速度vo=lOm/s水平拋出，恰好落在8點，已知該星球

半徑R=3000km,引力常量G=6.67xl011Nn^/kg?,求：

(1)小球的飛行時間；

(2)該星球表面的重力加速度；

(3)該星球的平均密度。

【答案】(1)V3s(2)ym/s2(3)8x103kg/m3

【解析】(I)水平方向有x=v0^tan仇

解得Z=V3So

(2)豎直方向有/?=

解得g=ym/s2o

(3)根據(jù)萬有引力定律可得嚶二〃?g,

星球密度片白，

解得尸8xIO3kg/m3o