(理解空間向量的概念/掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算/掌握空間向量的數(shù)量積，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線(xiàn)與垂直)7.6空間向量及其運(yùn)算1．空間向量的概念：在空間，我們把含有大小和方向的量叫做向量．(1)空間的一種就是一種向量． (2)向量普通用有向線(xiàn)段表達(dá)．同向等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表達(dá)的向量． (3)空間的兩個(gè)向量可用的兩條有向線(xiàn)段來(lái)表達(dá)．2．空間向量的運(yùn)算定義：與平面對(duì)量運(yùn)算同樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算，如下：＝a＋b；．同一或相等同一平面內(nèi)平移3．運(yùn)算律：(1)加法交換律：a＋b＝.(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝．(3)數(shù)乘分派律：λ(a＋b)＝.4．共線(xiàn)向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使.5．共面對(duì)量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線(xiàn)，p與向量a，b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y使.b＋aa＋(b＋c)λa＋λba＝λbp＝xa＋yb6．空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一種唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使.7．空間向量的夾角及其表達(dá)：已知兩非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉；且規(guī)定0≤〈a，b〉≤π，顯然有〈a，b〉＝〈b，a〉；若〈a，b〉＝，則稱(chēng)a與b，記作：a⊥b.8．向量的模：設(shè)＝a，則有向線(xiàn)段的叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：|a|.p＝xa＋yb＋zc互相垂直長(zhǎng)度9．向量的數(shù)量積：已知向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的， 記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．10．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)a·e＝|a|cos〈a，e〉；(2)a⊥b?a·b＝0；(3)|a|2＝a·a.11．空間向量數(shù)量積運(yùn)算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)＝；(2)a·b＝(交換律)；(3)a·(b＋c)＝(分派律)．?dāng)?shù)量積a·(λb)b·aa·b＋a·c1．已知向量a∥平面β，向量a所在直線(xiàn)為a，則()A．a(chǎn)∥βB．a(chǎn)?βC．a(chǎn)交β于一點(diǎn)D．a(chǎn)∥β或a?β答案：D2．如圖，在四周體P－ABC中，G為△ABC的重心，且，則＝________.(用a，b，c表達(dá))答案：(a＋b＋c)3．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)．若(a＋b)⊥c， 則x＝________. 解析：a＋b＝(－2,1,3＋x)，(a＋b)·c＝0， ∴－2－x＋2(3＋x)＝0，從而x＝－4. 答案：－44．如圖，在四周體O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝________.(用a，b，c表達(dá))解析：答案：計(jì)算平行六面體體對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度與求異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離實(shí)質(zhì)上是同一問(wèn)題．運(yùn)用向量法求平行六面體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)與幾何法相比有著非常明顯的優(yōu)勢(shì)．【例1】已知在一種60°的二面角的棱上，如右圖，有兩 個(gè)點(diǎn)A、B，AC、BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè) 面內(nèi)垂直于AB的線(xiàn)段，且AB＝4cm，AC＝6cm， BD＝8cm則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．解析：

，則＝62＋42＋82＋2×6×8cos120°＝68.∴|

|＝2(cm)．答案：2cm變式1.平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量

兩兩的夾角均為60°，且|

|＝1， 則等于()A．5 B．6 C．4D．8解析：

，∴12＋22＋32＋1×2＋2×3＋3×1＝25. 則＝5.答案：A運(yùn)用共面對(duì)量定理可解決四點(diǎn)共面和直線(xiàn)與平面平行等問(wèn)題．【例2】如右圖，已知平行六面體ABCD－ A′B′C′D′，E、F、G、H 分別是棱A′D′、D′C′、C′C 和AB的中點(diǎn)，求證E、F、G、H四點(diǎn)共面．證明:取則

與b、c共面.即E、F、G、H四點(diǎn)共面.變式2.如右圖，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，求證：MN∥平面PAD. 證明:設(shè)

,則∴

與b、c向量共面，即MN∥平面PAD.運(yùn)用平行向量的充要條件可解決三點(diǎn)共線(xiàn)和直線(xiàn)與直線(xiàn)平行等問(wèn)題．【例3】如右圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，G為△BC1D的重心，(1)試證A1、G、C三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)試證A1C⊥平面BC1D；(3)求點(diǎn)C到平面BC1D的距離．解答：(1)證明：能夠證明：∴即A1、G、C三點(diǎn)共線(xiàn)．(2)證明：設(shè)則|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∵＝a＋b＋c，＝c－a，∴＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，∴⊥，同理可證：⊥，因此A1C⊥平面BC1D.(3)∵

＝a＋b＋c，∴

＝a2＋b2＋c2＝3a2，即|

|＝a，因此.即C到平面BC1D的距離為a.1．運(yùn)用共線(xiàn)向量定理，可解決立體幾何中三點(diǎn)共線(xiàn)和兩直線(xiàn)平行等問(wèn)題．2．運(yùn)用共面對(duì)量定理，可解決立體幾何中，直線(xiàn)在平面內(nèi)，直線(xiàn)與平面平行以及四點(diǎn)共面等問(wèn)題．3．要注意空間向量基底的選用，同時(shí)要重視空間向量基本定理的使用，用基底表達(dá)已知條件和所需解決問(wèn)題的過(guò)程就是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題的過(guò)程．4．通過(guò)向量的內(nèi)積運(yùn)算，可證明垂直問(wèn)題，可計(jì)算直線(xiàn)與平面所成角，異面直線(xiàn)所成角以及距離等問(wèn)題.【辦法規(guī)律】(本題滿(mǎn)分12分)已知如圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°(1)求證：C1C⊥BD；(2)當(dāng)

的值是多少時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD？請(qǐng)給出證明.解答：(1)證明：連結(jié)A1C1、AC；AC交BD于O，連C1O，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，DO＝BO，又∵∠BCC1＝∠DCC1，CC1＝CC1，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D，∵DO＝BO，∴C1O⊥BD，又AC⊥BD，因此BD⊥平面AC1，又CC1?平面AC1.∴CC1⊥BD.(2)由(1)知：BD⊥平面AC1，由于A1C?平面AC1，因此BD⊥A1C，當(dāng)＝1時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形，同理：BC1⊥A1C.又BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD.【答題模板】

解法二：(1)證明：取由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，BD＝CD－CB＝a－b，C1C·B＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c||a|－|c||b|＝0， ，∴C1C⊥BD.(2)若A1C⊥平面C1BD，則A1C⊥C1D，CA1＝a＋b＋c，C1D＝a－c.