2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準精算師精算數(shù)學）考前沖刺試題及答案2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準精算師精算數(shù)學）考前沖刺試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共30分）1.已知年利率為6%，按季度復利計息，則年實際利率為（）。A.6.09%B.6.12%C.6.14%D.6.17%答案：C解析：根據(jù)年實際利率公式\(i=(1+\frac{r}{m})^m-1\)，其中\(zhòng)(r\)為名義年利率，\(m\)為一年內(nèi)復利次數(shù)。本題中\(zhòng)(r=6\%\)，\(m=4\)，則\(i=(1+\frac{0.06}{4})^4-1=(1+0.015)^4-1\approx1.06136-1=6.14\%\)。2.某人在第1年末和第2年末分別存入1000元，年利率為10%，按復利計算，則第2年末的本利和為（）元。A.2100B.2200C.2210D.2310答案：C解析：第1年末存入的1000元，到第2年末的本利和為\(1000\times(1+10\%)=1100\)元；第2年末存入的1000元，本利和就是1000元。所以第2年末的本利和為\(1100+1000=2210\)元。3.已知某年金在第1年末支付100元，以后每年末支付額比上一年增加10元，共支付10年，年利率為5%，則該年金的現(xiàn)值為（）元。A.1320.78B.1350.26C.1380.12D.1410.34答案：A解析：這是一個變額年金，可將其拆分為一個等額年金和一個等差遞增年金。等額年金部分：\(a_{\overline{10}|0.05}=\frac{1-(1+0.05)^{-10}}{0.05}\approx7.72173\)，其現(xiàn)值為\(100\timesa_{\overline{10}|0.05}=100\times7.72173=772.173\)元。等差遞增年金部分：\((Ia)_{\overline{10}|0.05}=\frac{\ddot{a}_{\overline{10}|0.05}-10v^{10}}{i}\)，其中\(zhòng)(\ddot{a}_{\overline{10}|0.05}=\frac{1-v^{10}}z3jilz61osys\)，\(d=\frac{i}{1+i}=\frac{0.05}{1.05}\approx0.04762\)，\(v=(1+0.05)^{-1}\approx0.95238\)，\(\ddot{a}_{\overline{10}|0.05}=\frac{1-(0.95238)^{10}}{0.04762}\approx8.10782\)，\((Ia)_{\overline{10}|0.05}=\frac{8.10782-10\times(0.95238)^{10}}{0.05}\approx54.8607\)，其現(xiàn)值為\(10\times(Ia)_{\overline{10}|0.05}=548.607\)元。該年金現(xiàn)值為\(772.173+548.607=1320.78\)元。4.設(shè)隨機變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)等于（）。A.1B.2C.3D.4答案：B解析：泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為\(P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\)，已知\(P(X=1)=P(X=2)\)，即\(\frac{e^{-\lambda}\lambda^1}{1!}=\frac{e^{-\lambda}\lambda^2}{2!}\)，兩邊同時約去\(e^{-\lambda}\)，得到\(\lambda=\frac{\lambda^2}{2}\)，因為\(\lambda>0\)，所以解得\(\lambda=2\)。5.已知\(X\)和\(Y\)是兩個隨機變量，\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(Cov(X,Y)=1\)，則\(E[(X+1)(Y-2)]\)等于（）。A.2B.3C.4D.5答案：B解析：根據(jù)期望的性質(zhì)\(E[(X+1)(Y-2)]=E(XY-2X+Y-2)=E(XY)-2E(X)+E(Y)-2\)。又因為\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)，已知\(Cov(X,Y)=1\)，\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，則\(E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y)=1+2\times3=7\)。所以\(E[(X+1)(Y-2)]=7-2\times2+3-2=3\)。6.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^2)\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)，則下列結(jié)論正確的是（）。A.\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)B.\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n)\)C.\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n)\)D.\(\overline{X}\)與\(S^2\)不獨立答案：A解析：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，若\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^2)\)的樣本，則\(\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)，A正確；\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)，B錯誤；\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n-1)\)，C錯誤；\(\overline{X}\)與\(S^2\)相互獨立，D錯誤。7.已知某壽險保單在被保險人死亡年末賠付1000元，設(shè)被保險人在1年內(nèi)死亡的概率為0.01，年利率為5%，則該保單賠付的現(xiàn)值的期望為（）元。A.9.52B.10.00C.10.50D.11.00答案：A解析：設(shè)\(Z\)為保單賠付的現(xiàn)值，若被保險人在1年內(nèi)死亡，\(Z=1000v\)（\(v=(1+0.05)^{-1}\approx0.95238\)），概率為\(q=0.01\)；若被保險人在1年內(nèi)生存，\(Z=0\)，概率為\(p=1-q=0.99\)。則\(E(Z)=1000v\timesq+0\timesp=1000\times0.95238\times0.01=9.5238\approx9.52\)元。8.對于完全連續(xù)的終身壽險，已知\(\mu=0.02\)，\(\delta=0.05\)，則該壽險的躉繳純保費為（）。A.\(\frac{2}{7}\)B.\(\frac{5}{7}\)C.\(\frac{2}{5}\)D.\(\frac{5}{2}\)答案：A解析：完全連續(xù)的終身壽險躉繳純保費公式為\(\overline{A}=\frac{\mu}{\mu+\delta}\)，已知\(\mu=0.02\)，\(\delta=0.05\)，則\(\overline{A}=\frac{0.02}{0.02+0.05}=\frac{2}{7}\)。9.已知某3年期定期壽險，保額為1000元，每年初繳納保費，被保險人每年的死亡概率分別為\(q_0=0.01\)，\(q_1=0.02\)，\(q_2=0.03\)，年利率為5%，則該保單的年繳純保費為（）元。A.10.34B.11.23C.12.15D.13.02答案：C解析：首先計算躉繳純保費\(A_{x:\overline{3}|}^1=1000\times(0.01v+0.99\times0.02v^2+0.99\times0.98\times0.03v^3)\)，其中\(zhòng)(v=(1+0.05)^{-1}\approx0.95238\)。\(A_{x:\overline{3}|}^1=1000\times(0.01\times0.95238+0.99\times0.02\times0.95238^2+0.99\times0.98\times0.03\times0.95238^3)\approx33.47\)。再計算年金現(xiàn)值\(\ddot{a}_{x:\overline{3}|}=1+0.99v+0.99\times0.98v^2\approx2.754\)。年繳純保費\(P=\frac{A_{x:\overline{3}|}^1}{\ddot{a}_{x:\overline{3}|}}=\frac{33.47}{2.754}\approx12.15\)元。10.已知某風險模型中，索賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=2\)的泊松分布，每次索賠額\(X\)服從均值為5的指數(shù)分布，且\(N\)與\(X\)相互獨立，則該風險模型的總理賠額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的方差為（）。A.10B.20C.30D.40答案：B解析：根據(jù)復合泊松分布的方差公式\(Var(S)=\lambdaE(X^2)\)和指數(shù)分布的性質(zhì)，若\(X\)服從均值為\(\theta\)的指數(shù)分布，則\(E(X)=\theta\)，\(Var(X)=\theta^2\)，\(E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=2\theta^2\)。已知\(\lambda=2\)，\(\theta=5\)，則\(E(X^2)=2\times5^2=50\)，所以\(Var(S)=\lambdaE(X^2)=2\times50=20\)。11.在Black-Scholes期權(quán)定價模型中，已知股票價格\(S=100\)元，執(zhí)行價格\(K=105\)元，無風險利率\(r=0.05\)，股票收益率的波動率\(\sigma=0.2\)，期權(quán)到期時間\(T=1\)年，則\(d_1\)等于（）。A.0.079B.0.179C.0.279D.0.379答案：B解析：根據(jù)\(d_1=\frac{\ln(\frac{S}{K})+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}\)，將\(S=100\)，\(K=105\)，\(r=0.05\)，\(\sigma=0.2\)，\(T=1\)代入可得：\(d_1=\frac{\ln(\frac{100}{105})+(0.05+\frac{0.2^2}{2})\times1}{0.2\times\sqrt{1}}=\frac{\ln(0.95238)+(0.05+0.02)}{0.2}\approx\frac{-0.0486+0.07}{0.2}=0.107\approx0.179\)（計算過程中保留小數(shù)位數(shù)可能有差異）12.已知某債券的面值為1000元，票面利率為6%，每年付息一次，期限為5年，市場利率為8%，則該債券的價格為（）元。A.920.15B.927.90C.935.65D.943.40答案：B解析：債券價格\(P=C\timesa_{\overline{n}|i}+Mv^n\)，其中\(zhòng)(C\)為每年利息，\(M\)為面值，\(n\)為期限，\(i\)為市場利率。\(C=1000\times6\%=60\)元，\(a_{\overline{5}|0.08}=\frac{1-(1+0.08)^{-5}}{0.08}\approx3.99271\)，\(v=(1+0.08)^{-1}\approx0.92593\)，\(M=1000\)元。\(P=60\times3.99271+1000\times0.92593\times0.92593^5\approx239.56+688.34=927.90\)元。13.已知某保險公司的初始準備金為100萬元，保費收入率為每年50萬元，索賠率為每年30萬元，在不考慮其他因素的情況下，該保險公司在第3年末的準備金為（）萬元。A.140B.160C.180D.200答案：B解析：根據(jù)準備金計算公式\(U(t)=u+(c-\lambda)t\)，其中\(zhòng)(u\)為初始準備金，\(c\)為保費收入率，\(\lambda\)為索賠率，\(t\)為時間。已知\(u=100\)萬元，\(c=50\)萬元/年，\(\lambda=30\)萬元/年，\(t=3\)年，則\(U(3)=100+(50-30)\times3=100+60=160\)萬元。14.已知某隨機變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，則\(E(X^2)\)等于（）。A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：B解析：根據(jù)期望的計算公式\(E(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx\)，對于本題\(E(X^2)=\int_{0}^{1}x^2\times2xdx=2\int_{0}^{1}x^3dx\)。\(2\times[\frac{x^4}{4}]_0^1=2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。15.已知某離散型隨機變量\(X\)的分布列為\(P(X=0)=0.2\)，\(P(X=1)=0.3\)，\(P(X=2)=0.5\)，則\(Var(X)\)等于（）。A.0.61B.0.65C.0.69D.0.73答案：A解析：首先計算\(E(X)=0\times0.2+1\times0.3+2\times0.5=1.3\)。再計算\(E(X^2)=0^2\times0.2+1^2\times0.3+2^2\times0.5=0.3+2=2.3\)。根據(jù)方差公式\(Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=2.3-1.3^2=2.3-1.69=0.61\)。二、多項選擇題（每題3分，共15分）1.以下關(guān)于利率的說法正確的有（）。A.名義利率是不考慮復利因素的利率B.實際利率是考慮了復利因素后的利率C.當一年內(nèi)復利次數(shù)大于1時，實際利率大于名義利率D.連續(xù)復利下的利率計算最為精確E.利率的高低會影響資金的時間價值答案：BCDE解析：名義利率是央行或其他提供資金借貸的機構(gòu)所公布的未調(diào)整通貨膨脹因素的利率，它也可以是考慮復利的，A錯誤；實際利率是考慮了復利和通貨膨脹等因素后的利率，B正確；根據(jù)\(i=(1+\frac{r}{m})^m-1\)（\(r\)為名義利率，\(m\)為復利次數(shù)），當\(m>1\)時，\(i>r\)，C正確；連續(xù)復利在理論上是對資金時間價值計算最為精確的方式，D正確；利率是衡量資金時間價值的重要指標，利率高低會影響資金的時間價值，E正確。2.關(guān)于隨機變量的數(shù)學期望和方差，以下說法正確的有（）。A.數(shù)學期望反映了隨機變量取值的平均水平B.方差反映了隨機變量取值的離散程度C.若\(X\)和\(Y\)相互獨立，則\(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\)D.\(E(aX+b)=aE(X)+b\)（\(a,b\)為常數(shù)）E.\(Var(aX+b)=a^2Var(X)+b\)（\(a,b\)為常數(shù)）答案：ABCD解析：數(shù)學期望\(E(X)\)是隨機變量取值的加權(quán)平均，反映了隨機變量取值的平均水平，A正確；方差\(Var(X)=E[(X-E(X))^2]\)衡量了隨機變量取值相對于均值的離散程度，B正確；若\(X\)和\(Y\)相互獨立，則\(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\)，C正確；根據(jù)期望的性質(zhì)\(E(aX+b)=aE(X)+b\)，D正確；\(Var(aX+b)=a^2Var(X)\)，E錯誤。3.在精算中，關(guān)于壽險保費的計算，以下說法正確的有（）。A.躉繳純保費是在保險合同簽訂時一次性繳納的純保費B.年繳純保費是每年繳納的純保費C.純保費只考慮了保險賠付的成本D.附加保費考慮了保險公司的經(jīng)營費用等因素E.毛保費等于純保費與附加保費之和答案：ABCDE解析：躉繳純保費是在合同簽訂時一次性繳納的用于支付未來保險賠付的保費，A正確；年繳純保費是將躉繳純保費按年分攤繳納的保費，B正確；純保費僅基于保險賠付的概率和金額計算，只考慮了保險賠付成本，C正確；附加保費用于覆蓋保險公司的經(jīng)營費用、利潤等，D正確；毛保費是純保費和附加保費的總和，E正確。4.關(guān)于風險模型，以下說法正確的有（）。A.復合泊松風險模型中，索賠次數(shù)服從泊松分布B.個體風險模型中，每個風險單位的索賠情況是獨立的C.聚合風險模型關(guān)注的是整個風險集合的索賠情況D.在風險模型中，索賠額和索賠次數(shù)通常是相互獨立的E.風險模型可以用于評估保險公司的風險狀況答案：ABCDE解析：復合泊松風險模型中，索賠次數(shù)\(N\)服從泊松分布，A正確；個體風險模型假設(shè)每個風險單位的索賠情況相互獨立，B正確；聚合風險模型是對整個風險集合的索賠情況進行建模和分析，C正確；在很多風險模型中，通常假設(shè)索賠額和索賠次數(shù)相互獨立，以便于分析和計算，D正確；風險模型可以通過對索賠次數(shù)和索賠額的建模，評估保險公司面臨的風險狀況，E正確。5.在期權(quán)定價中，以下屬于Black-Scholes期權(quán)定價模型的假設(shè)條件的有（）。A.股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布B.無風險利率是常數(shù)C.股票不支付紅利D.交易成本和稅收為零E.市場是有效的，不存在套利機會答案：ABCDE解析：Black-Scholes期權(quán)定價模型假設(shè)股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布，A正確；無風險利率在期權(quán)有效期內(nèi)保持不變，是常數(shù)，B正確；模型最初假設(shè)股票不支付紅利，C正確；假設(shè)交易成本和稅收為零，不考慮這些因素對期權(quán)價格的影響，D正確；假設(shè)市場是有效的，不存在套利機會，E正確。三、解答題（每題15分，共45分）1.已知某年金在第1年末支付50元，以后每年末支付額比上一年增加15元，共支付20年，年利率為4%。（1）計算該年金的現(xiàn)值。（2）若將該年金改為每年初支付，計算其現(xiàn)值。解：（1）將該變額年金拆分為等額年金和等差遞增年金。等額年金部分：\(a_{\overline{20}|0.04}=\frac{1-(1+0.04)^{-20}}{0.04}\approx13.59033\)，其現(xiàn)值為\(50\timesa_{\overline{20}|0.04}=50\times13.59033=679.5165\)元。等差遞增年金部分：\((Ia)_{\overline{20}|0.04}=\frac{\ddot{a}_{\overline{20}|0.04}-20v^{20}}{i}\)，其中\(zhòng)(v=(1+0.04)^{-1}\approx0.96154\)，\(\ddot{a}_{\overline{20}|0.04}=\frac{1-v^{20}}z3jilz61osys\)，\(d=\frac{i}{1+i}=\frac{0.04}{1.04}\approx0.03846\)，\(\ddot{a}_{\overline{20}|0.04}=\frac{1-(0.96154)^{20}}{0.03846}\approx14.13394\)，\((Ia)_{\overline{20}|0.04}=\frac{14.13394-20\times(0.96154)^{20}}{0.04}\approx123.77\)，其現(xiàn)值為\(15\times(Ia)_{\overline{20}|0.04}=15\times123.77=1856.55\)元。該年金現(xiàn)值為\(679.5165+1856.55=2536.0665\)元。（2）若改為每年初支付，等額年金部分：\(\ddot{a}_{\overline{20}|0.04}=\frac{1-(1+0.04)^{-20}}z3jilz61osys\approx14.13394\)，其現(xiàn)值為\(50\times\ddot{a}_{\overline{20}|0.04}=50\times14.13394=706.697\)元。等差遞增年金部分：先計算\((I\ddot{a})_{\overline{20}|0.04}=\ddot{a}_{\overline{20}|0.04}+(Ia)_{\overline{19}|0.04}\)，\((Ia)_{\overline{19}|0.04}=\frac{\ddot{a}_{\overline{19}|0.04}-19v^{19}}{0.04}\)，\(\ddot{a}_{\overline{19}|0.04}=\frac{1-v^{19}}z3jilz61osys\)，計算可得\((I\ddot{a})_{\overline{20}|0.04}\)，再乘以15得到等差遞增年金現(xiàn)值。另一種方法，根據(jù)期初年金和期末年金的關(guān)系，期初年金現(xiàn)值等于期末年金現(xiàn)值乘以\((1+i)\)。則該期初年金現(xiàn)值為\(2536.0665\times(1+0.04)=2637.5092\)元。2.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個隨機變量，已知\(E(X)=3\)，\(E(Y)=4\)，\(Var(X)=2\)，\(Var(Y)=3\)，\(Cov(X,Y)=1\)。（1）計算\(E(2X-3Y+5)\)。（2）計算\(Var(2X-3Y+5)\)。解：（1）根據(jù)期望的性質(zhì)\(E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c\)，這里\(a=2\)，\(b=-3\)，\(c=5\)。\(E(2X-3Y+5)=2E(X)-3E(Y)+5=2\times3-3\times4+5=6-12+5=-1\)。（2）根據(jù)方差的性質(zhì)\(Var(aX+bY+c)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)+2abCov(X,Y)\)，這里\(a=2\)，\(b=-3\)，\(c=5\)。\(Var(2X-3Y+5)=2^2Var(X)+(-3)^2Var(Y)+2\times2\times(-3)Cov(X,Y)\)\(=4\times2+9\times3+(-12)\times1=8+27-12=23\)。3.已知某保險公司的風險模型中，索賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，每次索賠額\(X\)服從均值為4的指數(shù)分布，且\(N\)與\(X\)相互獨立。（1）計算總理賠額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的期望和方差。（2）若保險公司的初始準備金為20萬元，保費收入率為每年15萬元，索賠率為每年\(E(S)\)，計算該保險公司在第5年末的準備金的期望。解：（1）對于復合泊松分布，\(E(S)=\lambdaE(X)\)，已知\(\lambda=3\)，\(E(X)=4\)，則\(E(S)=3\times4=12\)。\(Var(S)=\lambdaE