綜合訓練09空間向量與立體幾何（13種題型60題專練）一．空間中的點的坐標（共1小題）1．（2023?東城區(qū)校級模擬）在空間直角坐標系O﹣xyz中．正四面體P﹣ABC的頂點A，B分別在x軸，y軸上移動．若該正四面體的棱長是2，則|OP|的取值范圍是（）A．[﹣1，+1] B．[1，3] C．[﹣1，2] D．[1，+1]二．空間向量及其線性運算（共2小題）2．（2023?湖南模擬）如圖，M在四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，且，設，，，則下列向量與相等的向量是（）A． B． C． D．3．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）在三棱錐P﹣ABC中，點O為△ABC的重心，點D，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PA，PB，PC的中點，若，，，則＝（）A． B． C． D．三．共線向量與共面向量（共1小題）（多選）4．（2023?蕉城區(qū)校級模擬）已知空間單位向量，，兩兩夾角均為60°，，，則下列說法中正確的是（）A．P、A、B、C四點可以共面 B． C． D．四．空間向量的數(shù)量積運算（共2小題）5．（2023?海安市校級一模）設向量＝（3，5，2），＝（﹣2，1，3），當數(shù)m與n滿足下列哪種關(guān)系時，向量m+n與x軸垂直（）A．3m＝2n B．3m＝n C．m＝2n D．m＝n6．（2023?滁州模擬）已知向量，，若，則x＝（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．6五．空間向量的夾角與距離求解公式（共1小題）7．（2023?小店區(qū)校級模擬）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，動點P、Q分別在線段C1D、AC上，則線段PQ長度的最小值是（）A． B． C． D．六．空間向量基本定理、正交分解及坐標表示（共2小題）8．（2023?新鄉(xiāng)模擬）已知點O、A、B、C為空間不共面的四點，且向量＝++，向量＝+﹣，則與、不能構(gòu)成空間基底的向量是（）A． B． C． D．或9．（2023?西安模擬）空間四邊形ABCD中，AC與BD是四邊形的兩條對角線，M，N分別為線段AB，CD上的兩點，且滿足，，若點G在線段MN上，且滿足，若向量滿足，則x+y+z＝．七．向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直（共1小題）10．（2023?湖北模擬）已知向量的夾角為60°，若，則＝（）A．1 B．2 C．3 D．4八．直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù)方程（共2小題）11．（2023?瓊山區(qū)校級三模）直線x﹣3y+1＝0的一個方向向量是（）A．（1，3） B．（3，1） C．（1，﹣3） D．（3，﹣1）12．（2023?固鎮(zhèn)縣三模）直線x﹣3y+1＝0的一個方向向量是（）A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（3，1）九．平面的法向量（共4小題）13．（2023?盱眙縣校級四模）已知平面α內(nèi)有一個點A（2，﹣1，2），α的一個法向量為＝（3，1，2），則下列點P中，在平面α內(nèi)的是（）A．（1，﹣1，1） B． C． D．（多選）14．（2023?錫山區(qū)校級一模）已知平面α的一個法向量為，平面β的一個法向量為，直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則（）A．l∥α B．α⊥β C．l與m為相交直線或異面直線 D．在向量上的投影向量為（多選）15．（2023?定遠縣校級一模）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BB1的中點，F(xiàn)為A1D1的中點，如圖所示建立空間直角坐標系，則下列說法正確的有（）A． B．向量與所成角的余弦值為 C．平面AEF的一個法向量是（4，﹣1，2） D．A1D⊥BD1（多選）16．（2023?撫松縣校級模擬）下列命題是真命題的有（）A．A，B，M，N是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面 B．直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直 C．直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則l⊥α D．平面α經(jīng)過三點A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），是平面α的法向量，則u+t＝1一十．直線與平面所成的角（共11小題）17．（2023?保定二模）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，對角線B1D與平面A1BC1交于E點．則A1E與面AA1D1D所成角的余弦值為（）A． B． C． D．18．（2023?保定一模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，AB＝2，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且，則PC與平面PAD所成角的正切值為（）A．2 B． C． D．19．（2023?嵊州市模擬）在△ABC中，，，BC＝1，D為AC中點，若將△BCD沿著直線BD翻折至△BC′D，使得四面體C′﹣ABD的外接球半徑為1，則直線BC′與平面ABD所成角的正弦值是（）A． B． C． D．20．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，在圓臺OO1中，，點C是底面圓周上異于A、B的一點，AC＝2，點D是BC的中點，l為平面O1AC與平面O1OD的交線，則交線l與平面O1BC所成角的大小為（）A． B． C． D．（多選）21．（2023?定遠縣校級模擬）如圖，正方體ABCD﹣EFGH的棱長為1，點P為BF的中點，下列說法正確的是（）A．FD⊥CH B．FG∥平面ACH C．點P到平面AGC的距離為 D．PH與平面CGHD所成角的正弦值為（多選）22．（2023?思明區(qū)校級二模）已知正四棱錐P﹣ABCD的所有棱長均為，E，F(xiàn)分別是PC，AB的中點，M為棱PB上異于P，B的一動點，則以下結(jié)論正確的是（）A．異面直線EF、PD所成角的大小為 B．直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為 C．△EMF周長的最小值為 D．存在點M使得PB⊥平面MEF（多選）23．（2023?全國二模）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為，點E，F(xiàn)是棱DD1，CC1的中點，點M是側(cè)面CDD1C1內(nèi)運動（包含邊界），且AM與面CDD1C1所成角的正切值為，下列說法正確的是（）A．MC1的最小值為 B．存在點M，使得AM⊥CE C．存在點M，使得AM∥平面BDF D．所有滿足條件的動線段AM形成的曲面面積為24．（2023?河南模擬）三棱錐P﹣ABC的四個頂點都在半徑為5的球面上，已知P到平面ABC的距離為7，AB⊥AC，BC＝6．記PA與平面ABC所成的角為θ，則sinθ的取值范圍為．25．（2023?溫州模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，△ADP是等邊三角形，AB＝AP＝2，BP＝3，AD⊥BP．（Ⅰ）求BC的長度；（Ⅱ）求直線BC與平面ADP所成的角的正弦值．26．（2023?潮陽區(qū)三模）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點．（1）證明：OA⊥CD；（2）若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小為45°，求直線AC與平面BCE所成角的正弦值．27．（2023?分宜縣校級一模）在正△ABC中，E，F(xiàn)，P分別是AB，AC，BC邊上的點，滿足，將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，連接A1B，A1P．（1）求證：A1E⊥平面BEP；（2）求直線A1E與平面A1BP所成角的大?。皇唬娼堑钠矫娼羌扒蠓ǎü?5小題）28．（2023?南關(guān)區(qū)校級模擬）廡殿（圖1）是中國古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，多用于宮殿、壇廟、重要門樓等高級建筑上，廡殿的基本結(jié)構(gòu)包括四個坡面，坡面相交處形成5根屋脊，故又稱“四阿殿”或“五脊殿”．圖2是根據(jù)廡殿頂構(gòu)造的多面體模型，底面ABCD是矩形，且四個側(cè)面與底面的夾角均相等，則（）A．AB＝BC+EF B． C． D．AB＝2BC﹣EF29．（2023?湖北模擬）如圖，把一個長方形的硬紙片ABCD沿長邊AB所在直線逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到第二個平面ABEF，沿寬邊AF所在直線逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到第三個平面AFGH，則第一個平面和第三個平面所成銳二面角大小的余弦值是（）A． B． C． D．30．（2023?哈爾濱一模）在邊長為3的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，將△ABD繞直線BD旋轉(zhuǎn)到．△A'BD，使得四面體A'BCD外接球的表面積為18π，則此時二面角A'﹣BD﹣C的余弦值為（）A．﹣ B．﹣ C． D．31．（2023?包河區(qū)校級模擬）過原點的直線l與曲線交于A，B兩點，現(xiàn)以x軸為折痕將上下兩個半平面折成60°的二面角，則|AB|的最小值為（）A．2 B． C．4 D．1232．（2023?唐縣校級二模）如圖，在正三棱臺ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝2A1B1＝4，點P是側(cè)棱BB1上的動點（含端點）．記二面角P﹣AC﹣A1為α，二面角P﹣AC﹣B為β，若存在點P，使得α＝β，則側(cè)棱BB1的最小值為．33．（2023?四川模擬）已知棱錐P﹣ABCDE的底面五邊形中，ABCD為邊長為2的正方形，△ADE為等腰直角三角形，AE＝DE＝PE，又PA⊥DE．（1）在線段PB上找一點G，使得平面GAC∥平面PDE，并說明理由；（2）在（1）的條件下，二面角B﹣DE﹣P為120°，求CG與平面PAC所成角的正弦值．34．（2023?鯉城區(qū)校級模擬）如圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)面CDD1C1上有一個小孔E，E點到CD的距離為3，若該正方體水槽繞CD傾斜（CD始終在桌面上），則當水恰好流出時，側(cè)面CDD1C1與桌面所成角的正切值為（）A． B． C． D．235．（2023?鷹潭一模）如圖，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝，平面BDD1B1⊥平面ABCD，點O1，O分別為B1D1，BD的中點，O1B＝1，∠A1AB，∠O1BO均為銳角．（1）求證：AC⊥BB1；（2）若頂點A1到底面ABCD的距離為，求二面角B﹣AA1﹣C的平面角的余弦值．36．（2023?蕉城區(qū)校級模擬）圖1是由直角梯形ABCD和以CD為直徑的半圓組成的平面圖形，AD∥BC，AD⊥AB，．E是半圓上的一個動點，當△CDE周長最大時，將半圓沿著CD折起，使平面PCD⊥平面ABCD，此時的點E到達點P的位置，如圖2．（1）求證：BD⊥PD；（2）求平面PAB和平面PCD夾角的余弦值．37．（2023?盱眙縣校級四模）如圖，在平面五邊形ABCDE中△ADE是邊長為2的等邊三角形，四邊形ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥DC，BC＝1，CD＝．將△ADE沿AD折起，使得點E到達點M的位置，且使BM＝．（1）求證：平面MAD⊥平面ABCD；（2）設點P為棱CM上靠近點C的三等分點，求平面PBD與平面MAD所成的二面角的正弦值．38．（2023?浙江模擬）在三棱錐P﹣ABC中，，直線PA與平面ABC所成角為，直線PB與平面ABC所成角為．（1）求三棱錐體積的取值范圍；（2）當直線PC與平面ABC所成角最小時，求二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值．39．（2023?市中區(qū)校級模擬）在直角梯形AA1B1B中，A1B1∥AB，AA1⊥AB，AB＝AA1＝2A1B1＝6，直角梯形AA1B1B繞直角邊AA1旋轉(zhuǎn)一周得到如下圖的圓臺A1A，已知點P，Q分別在線段CC1，BC上，二面角B1﹣AA1﹣C1的大小為θ．（1）若θ＝120°，，AQ⊥AB，證明：PQ∥平面AA1B1B；（2）若θ＝90°，點P為CC1上的動點，點Q為BC的中點，求PQ與平面AA1C1C所成最大角的正切值，并求此時二面角Q﹣AP﹣C的余弦值．40．（2023?重慶模擬）如圖四棱錐S﹣ABCD，AC＝2，B，D在以AC為直徑的圓上，SA⊥平面為SC的中點．（1）若，證明：DE⊥AB；（2）當二面角D﹣SC﹣A的正切值為時，求點B到平面SCD距離的最大值．41．（2023?瀘縣校級模擬）在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，在“陽馬”P﹣ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD．（1）若PB＝4，試計算底面ABCD面積的最大值；（2）過棱PC的中點E作EF⊥PB，交PB于點F，連DE，DF，BD，若平面DEF與平面ABCD所成銳二面角的大小為，試求的值．42．（2023?九江模擬）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為A1B上一點，AD⊥平面A1BC．（1）求證：BC⊥A1B；（2）若，AB＝BC＝2，P為AC的中點，求二面角A﹣A1B﹣P的余弦值．一十二．點、線、面間的距離計算（共17小題）43．（2023?延邊州二模）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長是4，側(cè)棱長是6，M，N分別為CC1，AB的中點，若P是側(cè)面BCC1B1上一點，且PN∥平面AB1M，則線段PN的最小值為（）A． B． C． D．44．（2023?海淀區(qū)校級三模）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為線段BC，CC1，BB1上的動點（不含端點），①異面直線D1D與AF所成角可以為；②當G為中點時，存在點E，F(xiàn)使直線A1G與平面AEF平行；③當E，F(xiàn)為中點時，平面AEF截正方體所得的截面面積為；④存在點G，使點C與點G到平面AEF的距離相等，則上述結(jié)論正確的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④45．（2023?洪山區(qū)校級模擬）正方形ABB1A1的邊長為12，其內(nèi)有兩點P、Q，點P到邊AA1，A1B1的距離分別為3，2，點Q到邊BB1，AB的距離也是3和2．現(xiàn)將正方形卷成一個圓柱，使得AB和A1B1重合（如圖）．則此時P、Q兩點間的距離為（）A． B． C． D．46．（2023?安慶二模）一底面半徑為1的圓柱，被一個與底面成45°角的平面所截（如圖），O為底面圓的中心，O1為截面的中心，A為截面上距離底面最小的點，A到圓柱底面的距離為1，B為截面圖形弧上的一點，且，則點B到底面的距離是（）A． B． C． D．（多選）47．（2023?梅州二模）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為邊AD的中點，點P為線段D1B上的動點，設D1P＝λD1B，則（）A．當時，EP∥平面AB1C B．當時，|PE|取得最小值，其值為 C．|PA|+|PC|的最小值為 D．當C1∈平面CEP時，（多選）48．（2023?龍華區(qū)校級模擬）如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的動點，則下列說法正確的是（）A．不存在點Q，使得C1Q∥A1C B．存在點Q，使得C1Q⊥A1C C．對于任意點Q，Q到A1C的距離的取值范圍為[，] D．對于任意點Q，△A1CQ都是鈍角三角形（多選）49．（2023?連云港模擬）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，頂點A在平面α內(nèi)，其余頂點在α的同側(cè)，頂點A1，B，C到α的距離分別為，1，2，則（）A．BD∥平面α B．平面ACB1⊥平面α C．正方體的棱長為 D．直線C1D與α所成角比直線BB1與α所成角小50．（2023?山西模擬）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，M為棱AD的中點，點P為正方體表面及其內(nèi)部的一個動點且A1M⊥AP，則線段AP的長度的最大值為．51．（2023?大埔縣三模）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，P是AC的中點，E，F(xiàn)分別為線段AD，CD上的動點，BC⊥CD，AB⊥平面BCD，若AB＝BC＝CD＝8，則的最小值為．52．（2023?河南模擬）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，點E為A1B1中點，點F為AD中點，直線B1C與直線EF所成角的余弦值為，過E、F、C1做該正四棱柱的截面，則截面周長為．53．（2023?福建模擬）如圖，一張A4紙的長AD＝2a，寬AB＝2a，M，N分別是AD，BC的中點．現(xiàn)將△ABD沿BD折起，得到以A，B，C，D為頂點的三棱錐，則三棱錐與A﹣BCD的外接球O的半徑為；在翻折的過程中，直線MN被球O截得的線段長的取值范圍是．54．（2023?四川模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2BC＝2，E是PD的中點．（1）求證：平面EAC⊥平面PBC；（2）若PD＝2，求P到平面AEC的距離．55．（2023?海淀區(qū)模擬）如圖，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個底面半徑為1，高為2的圓錐，下部是一個底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合，點P