/2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷01（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章~第三章第一節(jié)。第一部分（選擇題共45分）一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，且與互相垂直，則（

）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)，，則以線段為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．3．圓與圓的公共弦長(zhǎng)為，則的值為（

）A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-44．已知曲線，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．5．若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．[4，5] B． C． D．6．已知空間中三點(diǎn)，，，則（

）A．與是共線向量 B．的單位向量是C．平面ABC的一個(gè)法向量是 D．與夾角的余弦值是7．已知直線過(guò)點(diǎn)，且與直線及軸圍成等腰三角形，則的方程為（

）A．或 B．或C． D．8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），的周長(zhǎng)為，且直線與的斜率之積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．9．用平面截圓柱面，圓柱的軸與平面所成的角記為，當(dāng)為銳角時(shí)，圓柱面的截線是一個(gè)橢圓，數(shù)學(xué)家Dandelin創(chuàng)立的雙球模型證明了上述結(jié)論．如圖所示，將兩個(gè)大小相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切，切點(diǎn)分別為．下列關(guān)于截口曲線的橢圓的結(jié)論中不正確的有（

）

A．橢圓的短軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的球的直徑相等B．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的兩球的球心距相等C．所得橢圓的離心率D．其中為橢圓長(zhǎng)軸，為球的半徑，有第二部分（非選擇題共105分）二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10．已知在直線上，則的最小值為．11．直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為．12．已知，，則向量在向量上的投影向量是．13．若過(guò)點(diǎn)作直線與圓：相切，則切線長(zhǎng)為，直線的方程為．14．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P，E分別為線段，AB上的動(dòng)點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①三棱錐的體積為定值；②的最小值為；③不存在點(diǎn)E，使得與所成的角為45°；④面積的取值范圍為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．15．已知點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則周長(zhǎng)的最小值為．三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16．（14分）已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，．（1）求邊上的高的長(zhǎng)；（2）求的面積．17．（15分）已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．18．（15分）如圖，在四棱錐中，底面四面體的體積為的面積為．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）若，平面平面，證明：BC⊥平面；（3）在（2）的條件下，在棱上是否存在一點(diǎn)N，使平面與平面夾角為，若存在，求的長(zhǎng)．若不存在，說(shuō)明理由19．（15分）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，軸上方的兩動(dòng)點(diǎn)在上，且，當(dāng)時(shí)，．（1）求橢圓的方程；（2）若，求的坐標(biāo)；（3）求四邊形的面積的取值范圍．20．（16分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，左?右頂點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于軸上方），記直線的斜率分別為，試判斷是否為定值，如果是定值，求出定值，若果不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2025-2026學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷01全解全析（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章~第三章第一節(jié)。第一部分（選擇題共45分）一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，且與互相垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算及垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，，又與互相垂直，則，解得.故選：C2．已知點(diǎn)，，則以線段為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直徑求出圓心、半徑即可得解.【詳解】因?yàn)闉橹睆?，所以圓心為，半徑，所以圓的方程為.故選：C.3．圓與圓的公共弦長(zhǎng)為，則的值為（

）A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4【答案】B【分析】利用圓的方程求得公共弦所在直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式，求得弦心距，根據(jù)弦長(zhǎng)公式建立方程，求得參數(shù)，結(jié)合圓的方程成立條件檢驗(yàn)，可得答案.【詳解】?jī)蓤A方程作差可得，即公共弦所在直線方程為，由圓，則圓心，半徑，點(diǎn)到公共弦所在直線的距離，公共弦長(zhǎng)為，則，解得或，由圓，整理可得，則，所以或.故選：B.4．已知曲線，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A5．若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．[4，5] B． C． D．【答案】D【分析】將方程變形為，根據(jù)題意可得，計(jì)算即可得答案.【詳解】方程變形可得，因?yàn)楸硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，所以，解得.故選：D6．已知空間中三點(diǎn)，，，則（

）A．與是共線向量 B．的單位向量是C．平面ABC的一個(gè)法向量是 D．與夾角的余弦值是【答案】C【分析】A選項(xiàng)，求出，設(shè)，無(wú)解，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，利用進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，計(jì)算出，得到垂直關(guān)系，進(jìn)而得到C正確；D選項(xiàng)，求出，利用夾角余弦公式得到D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，，設(shè)，則，無(wú)解，故與不是共線向量，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，的單位向量為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由于，，與均垂直，又由A知，與不共線，故平面ABC的一個(gè)法向量是，C正確；D選項(xiàng)，，設(shè)與夾角為，則，D錯(cuò)誤.故選：C7．已知直線過(guò)點(diǎn)，且與直線及軸圍成等腰三角形，則的方程為（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線所過(guò)點(diǎn)、傾斜角以及等腰三角形等知識(shí)求得正確答案.【詳解】如圖，設(shè)，直線過(guò)和.

①當(dāng)直線為時(shí)，直線、直線與軸圍成的三角形是，不是等腰三角形，所以直線的斜率存在．②當(dāng)直線的斜率為負(fù)時(shí)，設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)直線過(guò)兩點(diǎn)時(shí)，是等腰三角形，又，所以為等邊三角形，滿足題意，因?yàn)椋源藭r(shí)直線的方程為．③當(dāng)直線的斜率為正時(shí)，設(shè)直線與軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)，則，由直線AB的斜率為，傾斜角為，可得，所以直線，也即直線的斜率為，對(duì)應(yīng)方程為．綜上，直線的方程為或．故選：A.8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），的周長(zhǎng)為，且直線與的斜率之積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求得，設(shè)，由求得，進(jìn)而求解.【詳解】由的周長(zhǎng)為，由橢圓的定義得，解得，所以，，設(shè)，則，可得，則，解得，所以橢圓C的方程，故選：A.9．用平面截圓柱面，圓柱的軸與平面所成的角記為，當(dāng)為銳角時(shí)，圓柱面的截線是一個(gè)橢圓，數(shù)學(xué)家Dandelin創(chuàng)立的雙球模型證明了上述結(jié)論．如圖所示，將兩個(gè)大小相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切，切點(diǎn)分別為．下列關(guān)于截口曲線的橢圓的結(jié)論中不正確的有（

）

A．橢圓的短軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的球的直徑相等B．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的兩球的球心距相等C．所得橢圓的離心率D．其中為橢圓長(zhǎng)軸，為球的半徑，有【答案】D【分析】根據(jù)題意利用橢圓定義可判斷AB；結(jié)合圖形的幾何特征利用橢圓的離心率定義可判斷C；結(jié)合圖形的幾何特征利用解三角形可判斷D.【詳解】設(shè)P為截口曲線的橢圓的一點(diǎn)，如圖，過(guò)點(diǎn)作線段分別與球切于點(diǎn)，故有，由橢圓定義可知，該橢圓以，為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，故B正確．

設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，半焦距為，設(shè)O為的中點(diǎn)，與球切于點(diǎn)，，，故，有，則即橢圓的短軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的球的直徑相等，故A正確．由題意可得，則，故C正確．由題意知（這是因?yàn)椋?，則，故，即，故D錯(cuò)誤．故選：D．第二部分（非選擇題共105分）二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10．已知在直線上，則的最小值為．【答案】3【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式，將最值轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線距離即可.【詳解】因?yàn)楸硎军c(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而點(diǎn)在直線上，所以的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，.所以的最小值為3.故答案為：.11．直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為．【答案】【分析】首先確定圓心和半徑，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求圓心到直線的距離，再利用幾何法求相交弦長(zhǎng)即可.【詳解】由，即，所以圓心為，半徑為，所以到的距離，綜上，直線與圓的相交弦長(zhǎng)為.故答案為：12．已知，，則向量在向量上的投影向量是．【答案】【分析】利用投影向量定義直接代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由，可得，易知向量在向量上的投影向量為.故答案為：13．若過(guò)點(diǎn)作直線與圓：相切，則切線長(zhǎng)為，直線的方程為.【答案】3或【分析】過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，利用切線長(zhǎng)定理求解；根據(jù)題意設(shè)直線：，利用圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，連接，，則三角形為直角三角形，且，而，，所以，則.依題意斜率存在，可設(shè)直線：，即，圓心到直線的距離為，整理得，解得或，故直線的方程為或.故答案為：3，或14．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P，E分別為線段，AB上的動(dòng)點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①三棱錐的體積為定值；②的最小值為；③不存在點(diǎn)E，使得與所成的角為45°；④面積的取值范圍為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④【分析】對(duì)①，根據(jù)高和底面均為定值可判斷；對(duì)②，轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平面，利用余弦定理計(jì)算；對(duì)③，建系，利用夾角公式進(jìn)行判斷；對(duì)④，表示出點(diǎn)到直線的距離，然后用面積公式計(jì)算判斷.【詳解】對(duì)①，點(diǎn)到平面的距離是定值，為定值，所以三棱錐的體積為定值，正確；對(duì)②，將平面沿著旋轉(zhuǎn)到平面，如圖：，，則，所以，，所以，，正確；對(duì)③，建立空間直角坐標(biāo)系：，設(shè)，所以，若與所成的角為45°，則（舍），所以存在點(diǎn)E，使得與所成的角為45°，錯(cuò)誤；對(duì)④，設(shè)，，所以，點(diǎn)到直線的距離為，由，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有.所以面積，正確.故答案為：①②④15．已知點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則周長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】先求出圓心到直線的距離，確定動(dòng)點(diǎn)到圓心的最短距離，從而得出切線長(zhǎng)進(jìn)而求出的周長(zhǎng)表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出最小值.【詳解】設(shè)圓心到直線的動(dòng)點(diǎn)的距離為，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，.因?yàn)椋菆A的切線，所以（其中）.又因?yàn)槭侵苯侨切危晒垂啥ɡ砜傻?，?的周長(zhǎng)為.因?yàn)槭菆A的弦，且和全等，所以.根據(jù)三角形面積公式，（其中是圓的半徑），可得，所以，則的周長(zhǎng).因?yàn)榕c均在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)取得最小值.最小值為.故答案為：.三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16．（14分）已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，.(1)求邊上的高的長(zhǎng).(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離即可求解；（2）求出的長(zhǎng)，用面積公式即可求解.【詳解】（1）由題意，直線的方程為：，即.故點(diǎn)到直線的距離即為邊上的高的長(zhǎng)，

所以.（2）因?yàn)椋缘拿娣e為：.17．（15分）已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．【答案】(1)最大值為，最小值為(2)最大值為，最小值為．【分析】（1）先求圓心到直線的距離，進(jìn)而求點(diǎn)到直線距離的最大值和最小值；（2）方法一：設(shè)，轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)；方法二：利用三角換元求最值．【詳解】（1）由題意，圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為．點(diǎn)到直線的距離的最大值為，最小值為．（2）方法一：設(shè)，則直線與圓有公共點(diǎn)，，解得，則，即的最大值為，最小值為．方法二：設(shè)，則，其中，則，即的最大值為，最小值為．18．（15分）如圖，在四棱錐中，底面四面體的體積為的面積為.(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)若，平面平面，證明：BC⊥平面(3)在（2）的條件下，在棱上是否存在一點(diǎn)N，使平面與平面夾角為，若存在，求的長(zhǎng).若不存在，說(shuō)明理由【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)存在，【分析】（1）應(yīng)用等體積法計(jì)算，結(jié)合線面平行得出點(diǎn)到平面距離；（2）由平面平面性質(zhì)定理得出平面，再應(yīng)用線面垂直判定定理證明；（3）應(yīng)用空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，再應(yīng)用面面角余弦公式計(jì)算求參.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由四面體的體積為的面積為，得，解得，而平面平面，則平面，所以點(diǎn)到平面的距離為.（2）取的中點(diǎn)，連接，由，得，由平面平面，平面平面平面，得平面，即，則，由平面平面，得，又平面平面，則，而平面，因此平面，（3）存在：由（2）知，又平面，則，而的面積為，，則，，由，得，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，由平面與平面的夾角為，得，解得，即為的中點(diǎn)，所以.19．（15分）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，軸上方的兩動(dòng)點(diǎn)在上，且，當(dāng)時(shí)，.(1)求橢圓的方程；(2)若，求的坐標(biāo)；(3)求四邊形的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，再結(jié)合及軸可得，解方程組即可求解橢圓方程；（2）設(shè)，，由題可知，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算得，又，解方程