第1頁/共1頁浙江省杭州市錢塘聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題1.某學(xué)校有男生700名、女學(xué)生400名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何的空間想象能力方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是（）A抽簽法 B.隨機(jī)數(shù)法 C.系統(tǒng)抽樣法 D.分層抽樣法2.若，構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A. B.C. D.3.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)下列敘述中正確的是（）①點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是②點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是③點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是④點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是A.①② B.①③ C.②④ D.②③4.已知數(shù)據(jù)，，，滿足：，若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列說法錯誤的是（）A.中位數(shù)不變 B.平均數(shù)不變C.若，則數(shù)據(jù)，，的第80百分位數(shù)為15 D.方差變小5.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，若直線與橢圓交于點(diǎn)，滿足，則離心率是（）A. B. C. D.7.已知，，為球的球面上的三個點(diǎn)，圓為以為直徑的的外接圓，若圓的面積為，，則球的表面積為（）A. B. C. D.8.已知直線與相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值為（）A. B. C. D.9.已知橢圓，則（）A.橢圓的長軸長為 B.當(dāng)時，橢圓的焦點(diǎn)在軸上C.橢圓的焦距可能為6 D.橢圓的短軸長與長軸長的平方和為定值10.某次考試的一道多項選擇題，要求是：“在每小題給出的四個選項中，全部選對的得6分，有錯誤選項不得分.若答案是兩項，選對一項得3分，選對兩項得6分，答案是三項，選對一項得2分，選對兩項得4分，選對三項得6分.”已知某選擇題的正確答案是AB，且甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都不會做，下列表述正確的是（）A.甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個選項，能得3分的概率是B.乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個選項，能得6分的概率是C.丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個選項，但不選四項，能得分的概率是D.丙同學(xué)隨機(jī)選擇選項，但不選四項，能得分概率是11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好曲線，曲線就是其中之一，下列幾個結(jié)論正確的是（）A.曲線關(guān)于軸對稱B.曲線恰好經(jīng)過6個整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)點(diǎn)）C.曲線在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D.曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過12.已知點(diǎn)，，則直線的傾斜角為__________.13.已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，若面積為2，則值是__________.14.如圖所示，在矩形中，，E為邊上的點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折至，使得在平面上的射影在上，且直線與平面所成的角為，則線段的長為________.15.已知直線.（1）若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.16.如圖，在平行六面體中，，（1）求證：；（2）求的長.17.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動點(diǎn)軌跡為直線或圓，后世把這種圓稱之為阿波羅尼斯圓.已知平面直角坐標(biāo)系中，，且.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）過作（1）的切線，求切線方程；（3）若點(diǎn)在（1）的軌跡上運(yùn)動，另有定點(diǎn)，求的取值范圍.18.將菱形繞直線旋轉(zhuǎn)到的位置，使得二面角的大小為，連接，，得到幾何體，已知，，，分別為，上的動點(diǎn)，且.（1）求的長；（2）證明：平面；（3）當(dāng)長度最小時，求直線與平面所成角.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上的任一點(diǎn)，的周長為，且橢圓的離心率為（1）求橢圓的方程；（2）如圖，動直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)是，以為圓心作圓與軸相切，設(shè)為的中點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求的最小值.

浙江省杭州市錢塘聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題1.某學(xué)校有男生700名、女學(xué)生400名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何的空間想象能力方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是（）A.抽簽法 B.隨機(jī)數(shù)法 C.系統(tǒng)抽樣法 D.分層抽樣法【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的特征即可求解.【詳解】由于男女生兩個不同的群體在空間想象能力方面有差異，最適合采用的是分層抽樣法，故選：D2.若，構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量共面定理，即若三個向量，，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使得通過列方程組判斷是否有解，來確定向量是否共面，一一判定選項即可.【詳解】對于A，若共面，則存在，使，則，顯然無解，故不共面，故A錯誤；對于B，若共面，則存在，使，則，顯然無解，故不共面，故B錯誤；對于C，若共面，則存在，使，則，顯然無解，故不共面，故C錯誤；對于D，若共面，則存在，使，則，解得，故共面，故D正確．故答案為：D．3.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)下列敘述中正確的是（）①點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是②點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是③點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是④點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是A.①② B.①③ C.②④ D.②③【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間坐標(biāo)的對稱性進(jìn)行判斷即可．【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，故①錯誤；點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，則②正確；點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，則③錯誤；點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，故④正確，故正確的命題的序號是②④，故選：C.4.已知數(shù)據(jù)，，，滿足：，若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列說法錯誤的是（）A.中位數(shù)不變 B.平均數(shù)不變C.若，則數(shù)據(jù)，，的第80百分位數(shù)為15 D.方差變小【答案】C【解析】【分析】利用中位數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)和方差的定義分析計算即可.【詳解】由，可得是以為首項，2為公差的等差數(shù)列的前10項，原來的中位數(shù)與現(xiàn)在的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，故A正確；原來的平均數(shù)為，去掉后的平均數(shù)為，所以平均數(shù)不變，故B正確；當(dāng)時，數(shù)據(jù)按從小到大順序排列：.因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是，故C錯誤；原來的方差為，去掉后的方差為，方差變小，故D正確.故選：C.5.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點(diǎn)：平面與平面位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論．6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，若直線與橢圓交于點(diǎn)，滿足，則離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】若點(diǎn)在軸上方，可得其不符合題意，舍去，若點(diǎn)在軸下方，則有，再結(jié)合正弦定理及離心率定義計算即可得解.【詳解】由橢圓焦距為，故，故直線經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)在軸上方，有，即，又，則，此時，不符，故舍去；若點(diǎn)在軸下方，有，即，又，則，則，故.故選：C.7.已知，，為球的球面上的三個點(diǎn)，圓為以為直徑的的外接圓，若圓的面積為，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得的外接圓半徑，得出的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，是外接圓的直徑，所以，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，，球的表面積.故選：A8.已知直線與相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線，直線過定點(diǎn)，并可得出，得出的軌跡方程為，根據(jù)兩圓圓心距離與半徑的關(guān)系，求出的最大值，并且，然后即可得出的最小值．【詳解】依題意得，半徑，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，易知直線，恒過點(diǎn)，直線恒過，且，則，即，點(diǎn)軌跡為，圓心為，半徑為，但是去掉點(diǎn)，若點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，位置關(guān)系如圖：，連接,由易知，，，故B正確．故選：B．9.已知橢圓，則（）A.橢圓的長軸長為 B.當(dāng)時，橢圓的焦點(diǎn)在軸上C.橢圓的焦距可能為6 D.橢圓的短軸長與長軸長的平方和為定值【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式、性質(zhì)及焦點(diǎn)所在的位置分情況討論即可.【詳解】對于A，若，解得，即時，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，長軸長為，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，橢圓方程為表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故B正確；由A知，由可知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，此時，所以，由，解得，不符合，故舍去，若，可得，橢圓方程為表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，，所以，由，解得，不符合，故舍去，故不存在焦距為6的橢圓，故C錯誤；由，故橢圓的短軸長與長軸長的平方和為定值，故D正確.故選：BD.10.某次考試的一道多項選擇題，要求是：“在每小題給出的四個選項中，全部選對的得6分，有錯誤選項不得分.若答案是兩項，選對一項得3分，選對兩項得6分，答案是三項，選對一項得2分，選對兩項得4分，選對三項得6分.”已知某選擇題的正確答案是AB，且甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都不會做，下列表述正確的是（）A.甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個選項，能得3分的概率是B.乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個選項，能得6分的概率是C.丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個選項，但不選四項，能得分的概率是D.丙同學(xué)隨機(jī)選擇選項，但不選四項，能得分的概率是【答案】ABC【解析】【分析】對各項中的隨機(jī)事件，計算出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中含有的基本事件的個數(shù)，再計算出相應(yīng)的概率后可得正確的選項.【詳解】甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個選項，共有4個基本事件，分別為，隨機(jī)事件“若能得3分”中有基本事件，故“能得3分”的概率為，故A正確.乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個選項，共有6個基本事件，分別為：，隨機(jī)事件“能得6分”中有基本事件，故“能得6分”的概率為，故B正確.丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個選項，共有基本事件10個，分別為：選兩項有，選三項有，隨機(jī)事件“能得分”中有基本事件有，故“能得分”的概率為，故C正確；丙同學(xué)隨機(jī)選擇選項，但不選四項，由C與A可知共有14種選法，能得分的選法有共3種，故能得分的概率是，故D錯誤.故選：ABC.11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一，下列幾個結(jié)論正確的是（）A.曲線關(guān)于軸對稱B.曲線恰好經(jīng)過6個整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C.曲線在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D.曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過【答案】ABD【解析】【分析】利用題中給出的曲線的方程，將代入即可判斷選項A；通過方程，確定和的取值情況，即可判斷選項B；舉出反例，取，計算出即可判斷選項C；利用基本不等式以及兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行分析求解，即可判斷選項D．【詳解】對A：將代入，可得，即，故曲線關(guān)于軸對稱，故A正確；對B：當(dāng)時，代入方程可得，所以，即曲線經(jīng)過點(diǎn)，，當(dāng)時，方程變?yōu)?，所以，解得，則只能取整數(shù)，當(dāng)時，，解得或，即曲線經(jīng)過點(diǎn)，，根據(jù)對稱性，可得曲線還經(jīng)過，，故曲線一共經(jīng)過6個整點(diǎn)，故B正確；對C：當(dāng)時，有，即，解得，有，故曲線在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于，故C錯誤；對D：當(dāng)時，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以，故曲線上軸右邊的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過，根據(jù)對稱性可得，曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)距離都不超過，故D正確.故選：ABD.12.已知點(diǎn)，，則直線的傾斜角為__________.【答案】【解析】【分析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求得的斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系及傾斜角的范圍，求出傾斜角即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，若的傾斜角為，則，又，故.故答案為：.13.已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，若面積為2，則值是__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓心到直線的距離為，由已知可得，可得，進(jìn)而得，求解即可.【詳解】由圓，可得圓心，半徑為，設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長，由面積為2，可得，解得，圓心到直線的距離為，解得.故答案為：.14.如圖所示，在矩形中，，E為邊上的點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折至，使得在平面上的射影在上，且直線與平面所成的角為，則線段的長為________.【答案】【解析】【分析】過作于H，連接，根據(jù)題意，得.因?yàn)橹本€與平面所成的角為，所以.設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)求出相應(yīng)邊，再根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程求解.【詳解】過作于H，連接，根據(jù)題意，得平面.因?yàn)橹本€與平面所成的角為，所以.又因?yàn)?，所以，，設(shè)，則.在四邊形中，可得，所以，故.故答案為：.15.已知直線.（1）若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用垂直關(guān)系求直線的斜率，再代入點(diǎn)斜式直線方程，即可求解；（2）利用平行關(guān)系設(shè)直線方程，利用平行線間距離公式，求直線的方程.【小問1詳解】直線的斜率，因?yàn)?，所以直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程是，即；【小問2詳解】設(shè)直線，則直線與直線之間的距離，解得或，所以直線的方程是或.16.如圖，在平行六面體中，，（1）求證：；（2）求的長.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩個非零空間向量的數(shù)量積為，證明這兩個空間向量垂直.（2）根據(jù)，求得的長.【小問1詳解】證明：以為基底向量，則，.所以所以，所以，所以．【小問2詳解】由（1）可得，.所以，，所以，即的長為．17.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動點(diǎn)軌跡為直線或圓，后世把這種圓稱之為阿波羅尼斯圓.已知平面直角坐標(biāo)系中，，且.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）過作（1）的切線，求切線方程；（3）若點(diǎn)在（1）的軌跡上運(yùn)動，另有定點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）設(shè)，結(jié)合列出方程即可求解；（2）分切線斜率不存在和切線斜率存在兩種情況討論求解即可；（3）先求出到圓心的距離，進(jìn)而結(jié)合圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問題求解即可.【小問1詳解】設(shè)，由，得，整理得，，即，則點(diǎn)的軌跡方程為.【小問2詳解】由（1）知，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，當(dāng)切線斜率不存在時，切線方程為，符合題意；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，則，解得，所以切線方程為，即.綜上所述，切線方程為或.【小問3詳解】點(diǎn)到圓心的距離為，所以，即，即的取值范圍為.18.將菱形繞直線旋轉(zhuǎn)到的位置，使得二面角的大小為，連接，，得到幾何體，已知，，，分別為，上的動點(diǎn)，且.（1）求的長；（2）證明：平面；（3）當(dāng)?shù)拈L度最小時，求直線與平面所成角.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）取AD的中點(diǎn)?O，連接OE,OB,ED，利用二面角定義得到為二面角的平面角，并求出各邊長，即可得到答案；（2）利用比例相等得到線線平行，進(jìn)而由線面平行判定定理線面平行，求出平面平面，得到線面平行；（3）作出輔助線，根據(jù)線面垂直的判定定理證明線面垂直，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并表達(dá)出，即可得最小