§2.13實(shí)際問題中的函數(shù)模型課標(biāo)要求1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”等術(shù)語的含義.3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用．知識(shí)梳理1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xα(α>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與______平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與________平行隨α值的變化而各有不同2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．()(2)A公司員工甲購(gòu)買了某公司的股票，第一天漲了10%，第二天跌了10%，則員工甲不賺不賠．()(3)已知a>1，在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax的增長(zhǎng)速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa和y＝logax的增長(zhǎng)速度．()(4)在選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型．()2．當(dāng)x越來越大時(shí)，下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的應(yīng)該是()A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100 D．y＝100x3．(2024·南寧聯(lián)考)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表：x23456y1.402.565.311121.30則體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是()A．y＝ B．y＝log2xC．y＝eq\f(1,3)·2x D．y＝eq\f(1,2)x24．(2023·福州模擬)我國(guó)的煙花名目繁多，其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一．制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂．如果煙花距地面的高度h(單位：米)與時(shí)間t(單位：秒)之間的關(guān)系為h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么煙花沖出后在爆裂的最佳時(shí)刻距地面高度約為()A．26米 B．28米C．31米 D．33米題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程例1(1)(多選)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度．藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí)，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人服用該藥物的說法中，正確的是()A．首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用B．每次服用1單位該藥物，兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒C．首次服用1單位該藥物，約5.5小時(shí)后第二次服用1單位該藥物，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D．首次服用1單位該藥物，3小時(shí)后再次服用1單位該藥物，不會(huì)發(fā)生藥物中毒(2)在一次實(shí)驗(yàn)中，某小組測(cè)得一組數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到散點(diǎn)圖．由此散點(diǎn)圖，在區(qū)間[－2,3]上，下列四個(gè)函數(shù)模型(a，b為待定系數(shù))中，最能反映x，y函數(shù)關(guān)系的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bxC．y＝a＋logbx D．y＝a＋eq\f(b,x)跟蹤訓(xùn)練1如圖，點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，M是CD的中點(diǎn)，則當(dāng)P沿A－B－C－M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y的函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()題型二已知函數(shù)模型的實(shí)際問題例2(1)(2023·南京模擬)目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究，發(fā)現(xiàn)地震時(shí)釋放的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE＝4.8＋1.5M.則里氏8.0級(jí)地震所釋放出來的能量是里氏6.0級(jí)地震所釋放出來的能量的()A．6倍 B．102倍C．103倍 D．106倍(2)(2023·無錫模擬)根據(jù)《民用建筑工程室內(nèi)環(huán)境污染控制標(biāo)準(zhǔn)》，文化娛樂場(chǎng)所室內(nèi)甲醛濃度≤0.1mg/m3為安全范圍．已知某新建文化娛樂場(chǎng)所竣工時(shí)室內(nèi)甲醛濃度為6.05mg/m3，使用了甲醛噴劑并處于良好通風(fēng)環(huán)境下時(shí)，室內(nèi)甲醛濃度μ(t)(單位：mg/m3)與竣工后保持良好通風(fēng)的時(shí)間t(t∈N)(單位：天)近似滿足函數(shù)關(guān)系式μ(t)＝＋0.05(λ∈R)，則該文化娛樂場(chǎng)所竣工后的甲醛濃度要達(dá)到安全開放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要放置的時(shí)間為(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)()A．32天B．33天C．34天D．35天跟蹤訓(xùn)練2(2023·西安模擬)某化工企業(yè)為了響應(yīng)并落實(shí)國(guó)家污水減排政策，加裝了污水過濾排放設(shè)備，在過濾過程中，污染物含量M(單位：mg/L)與時(shí)間t(單位：h)之間的關(guān)系為M＝M0e－kt(其中M0，k是正常數(shù))．已知經(jīng)過1h，設(shè)備可以過濾掉20%的污染物，則過濾掉60%的污染物所需的時(shí)間約為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301)()A．3hB．4hC．5hD．6h題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題例3(2024·文山模擬)汽車智能輔助駕駛已開始得到應(yīng)用，其自動(dòng)剎車的工作原理是用雷達(dá)測(cè)出車輛與前方障礙物之間的距離，當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開啟報(bào)警提醒，等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動(dòng)剎車．某種算法將報(bào)警時(shí)間分為4段(如圖所示)，分別為準(zhǔn)備時(shí)間t0、人的反應(yīng)時(shí)間t1、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間t2、制動(dòng)時(shí)間t3，相應(yīng)的距離分別為d0，d1，d2，d3，當(dāng)車速為v(單位：m/s)，且0≤v≤33.3時(shí)，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，且0.5≤k≤0.9)．階段準(zhǔn)備人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動(dòng)時(shí)間t0t1＝0.8st2＝0.2st3距離d0＝30md1d2d3＝eq\f(v2,20k)m(1)請(qǐng)寫出報(bào)警距離d(單位：m)與車速v(單位：m/s)之間的表達(dá)式；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報(bào)警距離均小于90m，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少以下？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟(1)建模：抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型．(2)推理、演算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解．(3)評(píng)價(jià)、解釋：對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)、解釋，然后返回到原來的實(shí)際問題中去，得到實(shí)際問題的解．跟蹤訓(xùn)練3“打水漂”是一種游戲，通過一定方式投擲石片，使石片在水面上實(shí)現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好．小趙同學(xué)在玩“打水漂”游戲時(shí)，將一石片