2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫(kù)：統(tǒng)計(jì)與決策實(shí)驗(yàn)報(bào)告試題解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述描述性統(tǒng)計(jì)的主要目的及其與推斷性統(tǒng)計(jì)的區(qū)別。二、設(shè)總體服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，其中\(zhòng)(\sigma^2\)未知。從該總體中抽取一個(gè)樣本，樣本容量為\(n=16\)，樣本均值為\(\bar{x}=52\)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為\(s=8\)。檢驗(yàn)假設(shè)\(H_0:\mu=50\)對(duì)\(H_1:\mu\neq50\)，顯著性水平\(\alpha=0.05\)。請(qǐng)寫出檢驗(yàn)的步驟，包括計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值和做出統(tǒng)計(jì)決策。三、某公司想要了解廣告投入與銷售額之間的關(guān)系。他們收集了過(guò)去8個(gè)季度的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)廣告投入（單位：萬(wàn)元）和銷售額（單位：萬(wàn)元）的樣本相關(guān)系數(shù)為0.75。請(qǐng)解釋該相關(guān)系數(shù)的意義，并說(shuō)明它能否說(shuō)明廣告投入是銷售額變化的原因？四、在一個(gè)雙因素方差分析中，因素A有3個(gè)水平，因素B有2個(gè)水平，隨機(jī)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)為2次。請(qǐng)寫出該實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的總自由度和處理（效應(yīng)）自由度的自由度值。五、已知某城市成年男性的平均身高為\(\mu=175\)厘米，標(biāo)準(zhǔn)差\(\sigma=7\)厘米?，F(xiàn)隨機(jī)抽取100名成年男性，求這100名成年男性的平均身高大于177厘米的概率。六、從一臺(tái)包裝機(jī)中隨機(jī)抽取10包糖，稱得其重量（單位：克）分別為：99.8,100.1,99.7,100.3,99.9,100.0,100.2,99.8,100.1,100.4。假設(shè)糖包的重量服從正態(tài)分布。欲檢驗(yàn)這批糖包的重量是否符合標(biāo)準(zhǔn)（標(biāo)準(zhǔn)重量為100克），請(qǐng)選擇合適的統(tǒng)計(jì)方法，寫出檢驗(yàn)步驟（包括假設(shè)、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、做出決策）。七、某醫(yī)生想比較兩種不同治療方法對(duì)治療某種疾病的療效。他隨機(jī)選取了30名病人，將他們分為兩組，每組15人。一組使用治療方法A，另一組使用治療方法B。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間治療后，測(cè)量?jī)山M病人的康復(fù)率（康復(fù)人數(shù)/總?cè)藬?shù)）。得到治療方法A組的康復(fù)率為73.3%，治療方法B組的康復(fù)率為60.0%。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方案，判斷兩種治療方法的康復(fù)率是否存在顯著差異？說(shuō)明你需要哪些信息以及檢驗(yàn)的基本思路。八、一家超市想要分析顧客在收銀臺(tái)前的等待時(shí)間與排隊(duì)長(zhǎng)度的關(guān)系。他們記錄了20個(gè)交易場(chǎng)景，得到顧客等待時(shí)間（分鐘）和收銀臺(tái)前排隊(duì)長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)。通過(guò)回歸分析，得到回歸方程的估計(jì)式為\(\hat{y}=1.2+0.8x\)，其中\(zhòng)(y\)代表等待時(shí)間，\(x\)代表排隊(duì)長(zhǎng)。請(qǐng)解釋回歸系數(shù)0.8的意義。如果某天收銀臺(tái)前排隊(duì)長(zhǎng)為5人，根據(jù)此回歸方程預(yù)測(cè)顧客的等待時(shí)間。試卷答案一、描述性統(tǒng)計(jì)主要通過(guò)圖表和數(shù)值（如均值、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等）來(lái)概括和展示數(shù)據(jù)集的特征，幫助我們理解數(shù)據(jù)的分布情況、集中趨勢(shì)和離散程度。其目的是對(duì)數(shù)據(jù)本身進(jìn)行描述和總結(jié)。推斷性統(tǒng)計(jì)則是在樣本數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)模型和方法來(lái)推斷總體特征，或?qū)傮w的某個(gè)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，目的是用樣本信息推斷未知總體信息。兩者區(qū)別在于，描述性統(tǒng)計(jì)是對(duì)數(shù)據(jù)的總結(jié)呈現(xiàn)，而推斷性統(tǒng)計(jì)是對(duì)總體的推斷和預(yù)測(cè)。二、1.提出假設(shè)：\(H_0:\mu=50\)，\(H_1:\mu\neq50\)2.選擇檢驗(yàn)方法：由于總體方差未知且總體正態(tài)，采用t檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量\(t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\)3.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：\(\bar{x}=52\),\(\mu_0=50\),\(s=8\),\(n=16\)\(t=\frac{52-50}{8/\sqrt{16}}=\frac{2}{8/4}=\frac{2}{2}=1.0\)4.確定臨界值或p值：顯著性水平\(\alpha=0.05\)，自由度\(df=n-1=16-1=15\)。查t分布表，雙側(cè)檢驗(yàn)，臨界值\(t_{\alpha/2,df}=t_{0.025,15}\)。查表得臨界值約為\(2.131\)?；蛴?jì)算p值：p=2*P(T>|t|)=2*P(T>1.0)。查表得P(T>1.0)約為0.1587。p=2*0.1587=0.3174。5.做出決策：方法一（臨界值法）：由于\(|t|=1.0<2.131\)，未落入拒絕域，故不拒絕原假設(shè)\(H_0\)。方法二（p值法）：由于\(p=0.3174>0.05\)，未達(dá)到拒絕標(biāo)準(zhǔn)，故不拒絕原假設(shè)\(H_0\)。結(jié)論：在0.05的顯著性水平下，沒(méi)有足夠的證據(jù)表明該城市成年男性的平均身高與175厘米有顯著差異。三、樣本相關(guān)系數(shù)為0.75，表示廣告投入（x）和銷售額（y）之間存在較強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系。具體來(lái)說(shuō)，廣告投入增加時(shí)，銷售額也傾向于增加，相關(guān)程度的強(qiáng)弱由0.75的大小決定。相關(guān)系數(shù)的取值范圍在-1到1之間，絕對(duì)值越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)；越接近0，相關(guān)性越弱。0.75是一個(gè)相對(duì)較強(qiáng)的正相關(guān)值。但是，相關(guān)系數(shù)僅描述了兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系強(qiáng)度和方向，并不能說(shuō)明兩者之間存在因果關(guān)系。即，我們不能僅憑這個(gè)相關(guān)系數(shù)就斷定廣告投入是銷售額變化的原因。可能存在其他未考慮的因素同時(shí)影響著廣告投入和銷售額，或者兩者是共同受到某個(gè)潛在因素的影響，也存在可能是純粹的巧合。要確定因果關(guān)系，需要進(jìn)行更深入的研究，例如設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)或采用更高級(jí)的統(tǒng)計(jì)模型來(lái)控制其他變量。四、在雙因素方差分析中，設(shè)有\(zhòng)(a\)個(gè)因素A的水平，\(b\)個(gè)因素B的水平，每個(gè)組合有\(zhòng)(r\)次重復(fù)試驗(yàn)?？傋杂啥萛(df_T=N-1=(a\timesb\timesr)-1\)處理（效應(yīng)）自由度通常指交互作用自由度\(df_{AB}\)和主效應(yīng)自由度\(df_A\)和\(df_B\)的總和。但題目問(wèn)的是“處理（效應(yīng)）自由度的自由度值”，這通常指主效應(yīng)和交互效應(yīng)的自由度之和，即\(df_{A}+df_{B}+df_{AB}\)。主效應(yīng)A的自由度\(df_A=a-1\)主效應(yīng)B的自由度\(df_B=b-1\)交互效應(yīng)AB的自由度\(df_{AB}=(a-1)(b-1)\)所以，處理（效應(yīng)）自由度的自由度值（即總效應(yīng)自由度）為\(df_A+df_B+df_{AB}=(a-1)+(b-1)+(a-1)(b-1)\)。對(duì)于題目中的情況，\(a=3\),\(b=2\),\(r=2\)（雖然\(r\)的值不影響主效應(yīng)和交互效應(yīng)的自由度計(jì)算）：\(df_A=3-1=2\)\(df_B=2-1=1\)\(df_{AB}=(3-1)(2-1)=2\times1=2\)處理（效應(yīng)）自由度的自由度值\(df_A+df_B+df_{AB}=2+1+2=5\)。五、這個(gè)問(wèn)題是關(guān)于正態(tài)分布總體的樣本均值的概率分布。已知總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，其中\(zhòng)(\mu=175\)，\(\sigma=7\)。隨機(jī)抽取樣本容量為\(n=100\)的樣本，樣本均值\(\bar{X}\)的分布也將是正態(tài)分布，即\(\bar{X}\simN(\mu,\sigma^2/n)\)。因此，樣本均值\(\bar{X}\)的分布為：\(\bar{X}\simN(175,7^2/100)\)，即\(\bar{X}\simN(175,49/100)\)，即\(\bar{X}\simN(175,0.49)\)。計(jì)算\(\bar{X}>177\)的概率，首先標(biāo)準(zhǔn)化：\(Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{\bar{X}-175}{7/\sqrt{100}}=\frac{\bar{X}-175}{0.7}\)當(dāng)\(\bar{X}=177\)時(shí)，\(Z=\frac{177-175}{0.7}=\frac{2}{0.7}\approx2.857\)所需概率為\(P(\bar{X}>177)=P(Z>2.857)\)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或使用計(jì)算工具，得到\(P(Z>2.857)\approx1-P(Z\leq2.857)\approx1-0.9979=0.0021\)。六、首先繪制樣本數(shù)據(jù)的箱線圖或檢查是否有明顯的異常值。給定的10個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為：99.8,100.1,99.7,100.3,99.9,100.0,100.2,99.8,100.1,100.4。數(shù)據(jù)無(wú)明顯異常值。這是一個(gè)小樣本（n=10），總體方差未知，要檢驗(yàn)樣本均值是否等于某個(gè)特定值（100克）。應(yīng)采用單樣本t檢驗(yàn)。1.提出假設(shè)：\(H_0:\mu=100\)（糖包重量符合標(biāo)準(zhǔn)），\(H_1:\mu\neq100\)（糖包重量不符合標(biāo)準(zhǔn)）2.計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量：樣本均值\(\bar{x}=(99.8+100.1+99.7+100.3+99.9+100.0+100.2+99.8+100.1+100.4)/10=1001/10=100.1\)克。樣本標(biāo)準(zhǔn)差\(s\)計(jì)算如下：\(s^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}\)\(\sum(x_i-100.1)^2=(99.8-100.1)^2+(100.1-100.1)^2+...+(100.4-100.1)^2=(-0.3)^2+0^2+(-0.4)^2+0.2^2+(-0.2)^2+0^2+0.1^2+(-0.3)^2+0^2+0.3^2=0.09+0+0.16+0.04+0.04+0+0.01+0.09+0+0.09=0.52\)\(s^2=0.52/(10-1)=0.52/9\approx0.0578\)\(s\approx\sqrt{0.0578}\approx0.2404\)克。3.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：\(t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{100.1-100}{0.2404/\sqrt{10}}=\frac{0.1}{0.2404/3.162}=\frac{0.1}{0.0760}\approx1.316\)4.確定臨界值或p值：顯著性水平\(\alpha=0.05\)，自由度\(df=n-1=10-1=9\)。查t分布表，雙側(cè)檢驗(yàn)，臨界值\(t_{\alpha/2,df}=t_{0.025,9}\)。查表得臨界值約為\(2.262\)。或計(jì)算p值：p=2*P(T>|t|)=2*P(T>1.316)。查表得P(T>1.316)在\(df=9\)時(shí)介于0.10和0.20之間（更精確查表或用工具得約0.108）。p≈2*0.108=0.216。5.做出決策：方法一（臨界值法）：由于\(|t|=1.316<2.262\)，未落入拒絕域，故不拒絕原假設(shè)\(H_0\)。方法二（p值法）：由于\(p\approx0.216>0.05\)，未達(dá)到拒絕標(biāo)準(zhǔn)，故不拒絕原假設(shè)\(H_0\)。結(jié)論：在0.05的顯著性水平下，沒(méi)有足夠的證據(jù)表明這批糖包的重量不符合標(biāo)準(zhǔn)（平均重量為100克）。七、要檢驗(yàn)兩種治療方法的康復(fù)率是否存在顯著差異，可以使用兩樣本比例z檢驗(yàn)（如果樣本量足夠大，滿足np和n(1-p)均大于5的條件）或卡方檢驗(yàn)（適用于分類數(shù)據(jù)）。進(jìn)行檢驗(yàn)需要以下信息：1.治療方法A組的數(shù)據(jù)：康復(fù)人數(shù)\(x_A\)，總?cè)藬?shù)\(n_A\)。題目給出康復(fù)率為73.3%，即\(x_A=0.733\timesn_A\)。需要知道\(n_A\)的具體值。2.治療方法B組的數(shù)據(jù)：康復(fù)人數(shù)\(x_B\)，總?cè)藬?shù)\(n_B\)。題目給出康復(fù)率為60.0%，即\(x_B=0.6\timesn_B\)。需要知道\(n_B\)的具體值。3.顯著性水平\(\alpha\)（通常默認(rèn)為0.05）。檢驗(yàn)的基本思路：1.提出假設(shè)：\(H_0:p_A=p_B\)（兩種方法的康復(fù)率相同），\(H_1:p_A\neqp_B\)（兩種方法的康復(fù)率不同）。2.計(jì)算樣本比例：\(\hat{p}_A=x_A/n_A\)，