2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)復(fù)合材料”中的數(shù)學(xué)知識試題（二）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x\midx^2-3x+2\leq0})，(B={x\mid\log_2(x-1)\leq1})，則(A\capB=)（）A.([1,2])B.((1,2])C.([2,3])D.((1,3])復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(1,m))，(\vec=(2,-1))，若(\vec{a}\perp\vec)，則(m=)（）A.(-2)B.(-\frac{1}{2})C.(\frac{1}{2})D.(2)函數(shù)(f(x)=\sinx\cosx+\sqrt{3}\cos^2x-\frac{\sqrt{3}}{2})的最小正周期和最大值分別為（）A.(\pi)，1B.(2\pi)，1C.(\pi)，2D.(2\pi)，2某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（注：此處省略三視圖，假設(shè)為一個(gè)底面半徑為1cm、高為3cm的圓柱與一個(gè)同底等高的圓錐的組合體）A.(4\pi,\text{cm}^3)B.(3\pi,\text{cm}^3)C.(2\pi,\text{cm}^3)D.(\pi,\text{cm}^3)已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，則公比(q=)（）A.3B.(-4)C.3或(-4)D.(-3)或4若(x)，(y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\y\leq2\end{cases})，則(z=x+2y)的最大值為（）A.4B.6C.8D.10函數(shù)(f(x)=\frac{\lnx}{x})的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.((0,e))B.((e,+\infty))C.((0,1))D.((1,+\infty))已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:(x-1)^2+(y-2)^2=4)相交于(A)，(B)兩點(diǎn)，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)（）A.(0)B.(\frac{1}{2})C.(1)D.(\frac{3}{4})已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_2x,&x>0\end{cases})，則(f(f(-1))=)（）A.(-1)B.(0)C.(1)D.(2)在(\triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所對的邊分別為(a)，(b)，(c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，則(c=)（）A.(\sqrt{7})B.(\sqrt{13})C.(4)D.(5)已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，準(zhǔn)線為(l)，過點(diǎn)(F)的直線交拋物線于(A)，(B)兩點(diǎn)，過點(diǎn)(A)作準(zhǔn)線(l)的垂線，垂足為(M)，若(\triangleAFM)為等邊三角形，則(|AB|=)（）A.(4)B.(6)C.(8)D.(12)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）二項(xiàng)式((x-\frac{1}{x})^6)的展開式中常數(shù)項(xiàng)為________。已知(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha}=)________。從3名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人參加志愿者活動(dòng)，則至少有1名女生的概率為________。已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，則(a_5=)________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且(a_3=5)，(S_5=25)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)。解析：（1）設(shè)等差數(shù)列({a_n})的公差為(d)，由題意得：[\begin{cases}a_1+2d=5\5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25\end{cases}]解得(a_1=1)，(d=2)，故(a_n=1+(n-1)\times2=2n-1)。（2）由（1）知(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\times4^n)，則({b_n})是首項(xiàng)為(b_1=2^1=2)，公比為4的等比數(shù)列，故(T_n=\frac{2(4^n-1)}{4-1}=\frac{2(4^n-1)}{3})。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，側(cè)棱(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求直線(A_1D)與平面(BCC_1B_1)所成角的正弦值。解析：（1）連接(A_1C)，交(AC_1)于點(diǎn)(O)，連接(OD)。在三棱柱中，四邊形(ACC_1A_1)為平行四邊形，故(O)為(A_1C)的中點(diǎn)。又(D)為(BC)的中點(diǎn)，所以(OD\parallelA_1B)。因?yàn)?OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，所以(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（2）以(A)為原點(diǎn)，(AB)，(AC)，(AA_1)所在直線分別為(x)軸、(y)軸、(z)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則(A_1(0,0,2))，(D(1,1,0))，(B(2,0,0))，(C(0,2,0))，(C_1(0,2,2))。平面(BCC_1B_1)的法向量(\vec{n}=(1,1,0))（由(\vec{BC}=(-2,2,0))，(\vec{CC_1}=(0,0,2))求得），(\vec{A_1D}=(1,1,-2))，設(shè)直線(A_1D)與平面(BCC_1B_1)所成角為(\theta)，則(\sin\theta=|\cos\langle\vec{A_1D},\vec{n}\rangle|=\frac{|\vec{A_1D}\cdot\vec{n}|}{|\vec{A_1D}||\vec{n}|}=\frac{2}{\sqrt{6}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3})。（本小題滿分12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造。為比較改造前后的效果，隨機(jī)抽取了改造前、后各10天的日產(chǎn)量（單位：件），數(shù)據(jù)如下：改造前：120，110，130，140，125，135，120，130，145，130改造后：130，140，150，145，135，155，140，145，150，140（1）分別計(jì)算改造前、后日產(chǎn)量的平均數(shù)和方差，并說明改造后的日產(chǎn)量是否更穩(wěn)定；（2）若以頻率估計(jì)概率，從改造后的日產(chǎn)量中隨機(jī)抽取3天，求至少有2天日產(chǎn)量不低于145件的概率。解析：（1）改造前的平均數(shù)(\bar{x}_1=\frac{1}{10}(120+110+\cdots+130)=130)，方差(s_1^2=\frac{1}{10}[(120-130)^2+\cdots+(130-130)^2]=110)；改造后的平均數(shù)(\bar{x}_2=\frac{1}{10}(130+140+\cdots+140)=145)，方差(s_2^2=\frac{1}{10}[(130-145)^2+\cdots+(140-145)^2]=50)。因?yàn)?s_2^2<s_1^2)，所以改造后的日產(chǎn)量更穩(wěn)定。（2）改造后日產(chǎn)量不低于145件的有4天（150，145，155，145，150），頻率為(\frac{4}{10}=\frac{2}{5})。設(shè)“從改造后的日產(chǎn)量中隨機(jī)抽取3天，至少有2天日產(chǎn)量不低于145件”為事件(A)，則(P(A)=C_3^2\left(\frac{2}{5}\right)^2\left(\frac{3}{5}\right)+C_3^3\left(\frac{2}{5}\right)^3=\frac{36}{125}+\frac{8}{125}=\frac{44}{125})。（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l)與橢圓(C)交于(A)，(B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(OA\perpOB)，求證：直線(l)恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，又(a^2=b^2+c^2)，故(b^2=a^2-\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}a^2)。將點(diǎn)((2,1))代入橢圓方程：(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）當(dāng)直線(l)斜率存在時(shí)，設(shè)(l:y=kx+m)，聯(lián)立橢圓方程得：((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})。由(OA\perpOB)得(x_1x_2+y_1y_2=0)，即(x_1x_2+(kx_1+m)(kx_2+m)=0)，整理得((1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0)，代入韋達(dá)定理：((1+k^2)\frac{4m^2-8}{1+4k^2}-km\cdot\frac{8km}{1+4k^2}+m^2=0)，化簡得(5m^2=8(1+k^2))，即(m=\pm\frac{2\sqrt{10(1+k^2)}}{5})（舍），當(dāng)直線(l)斜率不存在時(shí)，設(shè)(l:x=t)，代入橢圓得(y^2=2-\frac{t^2}{4})，由(OA\perpOB)得(t^2-(2-\frac{t^2}{4})=0)，解得(t=\pm\frac{2\sqrt{10}}{5})，綜上，直線(l)恒過定點(diǎn)(\left(\pm\frac{2\sqrt{10}}{5},0\right))（經(jīng)檢驗(yàn)，定點(diǎn)為(\left(\frac{2\sqrt{10}}{5},0\right))和(\left(-\frac{2\sqrt{10}}{5},0\right))，但根據(jù)對稱性，通常取(\left(\frac{2\sqrt{10}}{5},0\right))）。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在((0,+\infty))上存在極大值點(diǎn)，求(a)的取值范圍。解析：（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx+1-2x+1=\lnx-2x+2)，令(g(x)=\lnx-2x+2)，則(g'(x)=\frac{1}{x}-2)，當(dāng)(x\in(0,\frac{1}{2}))時(shí)，(g'(x)>0)，(g(x))單調(diào)遞增；當(dāng)(x\in(\frac{1}{2},+\infty))時(shí)，(g'(x)<0)，(g(x))單調(diào)遞減，(g(\frac{1}{2})=\ln\frac{1}{2}-1+2=1-\ln2>0)，(g(1)=0-2+2=0)，(g(e)=1-2e+2=3-2e<0)，故存在(x_0\in(\frac{1}{2},1))，使得(g(x_0)=0)，則(f(x))在((0,x_0))，((1,+\infty))單調(diào)遞減，在((x_0,1))單調(diào)遞增。（2）(f'(x)=\lnx+1-2ax+2a-1=\lnx-2a(x-1))，令(h(x)=\lnx-2a(x-1))，則(h'(x)=\frac{1}{x}-2a)，當(dāng)(a\leq0)時(shí)，(h'(x)>0)，(h(x))在((0,+\infty))單調(diào)遞增，(h(1)=0)，則當(dāng)(x\in(0,1))時(shí)，(h(x)<0)，(f(x))單調(diào)遞減；當(dāng)(x\in(1,+\infty))時(shí)，(h(x)>0)，(f(x))單調(diào)遞增，此時(shí)(f(x))在(x=1)處取得極小值，無極大值，不符合題意。當(dāng)(a>0)時(shí)，令(h'(x)=0)得(x=\frac{1}{2a})，若(\frac{1}{2a}=1)，即(a=\frac{1}{2})，則(h(x))在((0,1))單調(diào)遞增，在((1,+\infty))單調(diào)遞減，(h(x)\leqh(1)=0)，(f(x))在((0,+\infty))單調(diào)遞減，無極值；若(\frac{1}{2a}>1)，即(0<a<\frac{1}{2})，則(h(x))在((0,1))單調(diào)遞增，在((1,\frac{1}{2a}))單調(diào)遞減，在((\frac{1}{2a},+\infty))單調(diào)遞增，此時(shí)(h(1)=0)，(h(\frac{1}{2a})>0)，存在(x_1>\frac{1}{2a})使得(h(x_1)=0)，(f(x))在((1,x_1))單調(diào)遞增，在((x_1,+\infty))單調(diào)遞減，即(f(x))在(x=x_1)處取得極大值，符合題意。綜上，(a)的取值范圍為((0,\frac{1}{2}))。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，已知曲線(C_1:y^2=4x)，曲線(C_2:(x-2)^2+y^2=1)，過曲線(C_1)上一點(diǎn)(P)作曲線(C_2)的兩條切線，切點(diǎn)分別為(A)，(B)。（1）當(dāng)點(diǎn)(P)的橫坐標(biāo)為4時(shí)，求直線(AB)的方程；（2）設(shè)(M)為曲線(C_1)的焦點(diǎn)，求(|MA|+|MB|)的取值范圍。解析：（1）設(shè)(P(4,t))，代入(C_1)得(t^2=16)，(t=\pm4)，取(P(4,4))（(t=-4)同理）。曲線(C_2)的圓心為(C_2(2,0))，半徑(r=1)，以(PC_2)為直徑的圓的方程為((x-3)(x-2)+(y-2)y=0)，即(x^2-5x+y^2-2y+6=0)，與(C_2:(x-2)^2+y^2=1)相減得直線(AB)的方程：(2x+4y-9=0)（經(jīng)檢驗(yàn)，(t=-4)時(shí)直線方程為