2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)服裝”中的數(shù)學(xué)知識(shí)試題（一）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.集合與服裝尺碼分類某服裝品牌將旗下T恤的尺碼分為S（160-165cm）、M（165-170cm）、L（170-175cm）三個(gè)區(qū)間，設(shè)身高在160-175cm的顧客構(gòu)成全集U，身高165cm的顧客可表示為（）A.S∩MB.S∪MC.?U(L)D.S∩M∩L解析：165cm為S碼上限（不含）和M碼下限（含），根據(jù)集合交集定義，選A。2.函數(shù)與服裝成本核算某服裝廠生產(chǎn)一款衛(wèi)衣的成本函數(shù)為C(x)=20x+5000（x為日產(chǎn)量，單位：件），銷售單價(jià)為50元。為實(shí)現(xiàn)日利潤(rùn)≥8000元，日產(chǎn)量x應(yīng)滿足（）A.x≥400B.x≥430C.x≥450D.x≥500解析：利潤(rùn)函數(shù)L(x)=50x-(20x+5000)=30x-5000，令30x-5000≥8000，解得x≥433.3，取整得x≥434，選項(xiàng)中最接近的為B。3.三角函數(shù)與服裝裁剪設(shè)計(jì)師將扇形布料（半徑R=60cm，圓心角θ=60°）裁剪為圓錐形帽頂，圓錐底面半徑r為（）A.10cmB.15cmC.20cmD.30cm解析：扇形弧長(zhǎng)=圓錐底面周長(zhǎng)，即(60°/360°)×2π×60=2πr，解得r=10cm，選A。4.數(shù)列與服裝銷量預(yù)測(cè)某品牌羽絨服11月銷量為1000件，12月起每月銷量遞增200件，若持續(xù)至次年3月，這5個(gè)月總銷量為（）A.7000件B.8000件C.9000件D.10000件解析：構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)a?=1000，公差d=200，前5項(xiàng)和S?=5×1000+(5×4/2)×200=8000，選B。5.平面向量與服裝圖案設(shè)計(jì)在坐標(biāo)平面中，將圖案上一點(diǎn)P(2,3)按向量a=(1,-2)平移后，再繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°（逆時(shí)針），得到點(diǎn)P''的坐標(biāo)為（）A.(5,2)B.(5,-2)C.(-5,2)D.(-5,-2)解析：平移后P'(3,1)，旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)公式(x',y')=(-y,x)，得P''(-1,3)，無正確選項(xiàng)（注：題目可能存在設(shè)計(jì)誤差，正確答案應(yīng)為(1,3)經(jīng)旋轉(zhuǎn)后為(-3,1)，需核對(duì)題干）。6.不等式與服裝材料優(yōu)化制作一件風(fēng)衣需用A、B兩種面料，A面料成本30元/m2，B面料50元/m2，要求A面料用量不超過B面料的2倍，且總成本不超過200元。設(shè)A、B面料用量分別為x、y（單位：m2），則x,y滿足的約束條件為（）A.{x≤2y,30x+50y≤200}B.{x≥2y,30x+50y≤200}C.{x≤2y,30x+50y≥200}D.{x≥2y,30x+50y≥200}解析：根據(jù)“不超過”關(guān)鍵詞，選A。7.函數(shù)單調(diào)性與服裝定價(jià)策略某款襯衫的需求函數(shù)為Q(p)=1000-20p（p為單價(jià)，單位：元），當(dāng)單價(jià)在[20,40]元范圍內(nèi)，銷售額S(p)=p·Q(p)的最大值為（）A.12000元B.12500元C.13000元D.13500元解析：S(p)=-20p2+1000p，對(duì)稱軸p=25，代入得S(25)=12500，選B。8.數(shù)列遞推與服裝庫(kù)存管理某店鋪月初庫(kù)存衛(wèi)衣500件，每月銷量為上月庫(kù)存的30%，月底補(bǔ)貨200件，則3月底庫(kù)存為（）A.343件B.359件C.371件D.385件解析：1月底：500×0.7+200=550；2月底：550×0.7+200=585；3月底：585×0.7+200=609.5，無正確選項(xiàng)（注：題目可能應(yīng)為“銷量為上月庫(kù)存的70%”，則結(jié)果為343，選A）。9.三角函數(shù)周期性與服裝紋樣設(shè)計(jì)某印花圖案為正弦曲線y=2sin(πx/3)，相鄰兩個(gè)波峰之間的距離為（）A.2cmB.3cmC.6cmD.12cm解析：周期T=2π/(π/3)=6，波峰間距為周期，選C。10.平面向量數(shù)量積與服裝懸掛受力衣架掛鉤處受到兩個(gè)拉力F?、F?，|F?|=|F?|=5N，夾角θ=60°，合力大小為（）A.5√3NB.5√2NC.10ND.15N解析：根據(jù)向量加法，合力|F|2=52+52+2×5×5×cos60°=75，|F|=5√3，選A。11.不等式組與服裝尺寸優(yōu)化兒童校服的腰圍y（cm）與身高x（cm）滿足{y≥0.4x+10,y≤0.5x-5}，身高150cm的兒童，腰圍范圍是（）A.[60,70]B.[70,75]C.[65,70]D.[60,75]解析：代入x=150，得y≥70，y≤70，故y=70，選C（注：不等式組可能存在矛盾，應(yīng)為y≤0.5x-5=70，y≥0.4x+10=70，唯一解）。12.集合運(yùn)算與服裝風(fēng)格分類某店服裝分為“休閑”（A）、“運(yùn)動(dòng)”（B）、“復(fù)古”（C）三類，購(gòu)買A類的顧客有120人，購(gòu)買B類的有80人，購(gòu)買C類的有60人，同時(shí)購(gòu)買A和B的有30人，同時(shí)購(gòu)買B和C的有20人，同時(shí)購(gòu)買A和C的有15人，三類都購(gòu)買的有5人，總顧客數(shù)為（）A.200人B.210人C.220人D.230人解析：根據(jù)容斥原理，總?cè)藬?shù)=120+80+60-30-20-15+5=200，選A。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)定義域與服裝參數(shù)范圍某服裝的袖長(zhǎng)f(x)=0.3x+5（x為身高，cm），定義域?yàn)閤∈[150,180]，則袖長(zhǎng)范圍是________cm。答案：[50,59]14.數(shù)列通項(xiàng)與服裝折扣策略某品牌每周折扣率構(gòu)成等比數(shù)列，首項(xiàng)a?=0.9（9折），公比q=0.95，第3周折扣率為________（精確到0.01）。答案：0.8115.三角函數(shù)最值與服裝面料節(jié)省褲裝側(cè)縫曲線y=sinx（x∈[0,π]）與x軸圍成的面積為________cm2（面料寬1cm）。答案：216.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算服裝圖案中，向量AB=(3,4)，AC=(-1,2)，則向量BC=________。答案：(-4,-2)三、解答題（本大題共5小題，共70分）17.（12分）函數(shù)與服裝銷售利潤(rùn)某品牌牛仔褲的成本為每條80元，售價(jià)p（元）與銷量q（條）滿足q=2000-10p。（1）求利潤(rùn)L(p)的函數(shù)解析式；（2）售價(jià)定為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？解析：（1）L(p)=q(p-80)=(2000-10p)(p-80)=-10p2+2800p-160000；（2）對(duì)稱軸p=140，L(140)=-10×1402+2800×140-160000=36000元。18.（14分）數(shù)列與服裝生產(chǎn)計(jì)劃某工廠1月生產(chǎn)羽絨服1000件，計(jì)劃每月增長(zhǎng)率為r，3月產(chǎn)量達(dá)到1210件。（1）求增長(zhǎng)率r；（2）若保持此增長(zhǎng)率，上半年（6個(gè)月）總產(chǎn)量為多少？解析：（1）1000(1+r)2=1210，解得r=0.1=10%；（2）S?=1000[(1.1?-1)/0.1]≈7715.6件。19.（14分）三角函數(shù)與服裝裁剪優(yōu)化設(shè)計(jì)師用半徑R=50cm的圓形面料裁剪一個(gè)圓心角θ=120°的扇形，剩余部分裁剪為矩形（如圖）。（1）求扇形面積；（2）若矩形一邊長(zhǎng)為20cm，求另一邊長(zhǎng)。解析：（1）S扇形=(120°/360°)π×502=2500π/3cm2；（2）剩余部分為圓環(huán)的一部分，矩形對(duì)角線為圓半徑50cm，另一邊長(zhǎng)=√(502-202)=10√21≈45.8cm。20.（15分）平面向量與服裝圖案變換在平面直角坐標(biāo)系中，服裝圖案的關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,2)、B(3,4)、C(5,0)。（1）將圖案按向量a=(2,1)平移，求平移后A'、B'、C'的坐標(biāo)；（2）將平移后的圖案繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，求旋轉(zhuǎn)后A''的坐標(biāo)。解析：（1）A'(3,3)、B'(5,5)、C'(7,1)；（2）旋轉(zhuǎn)公式(x'',y'')=(y',-x')，A''(3,-3)。21.（15分）不等式與服裝材料采購(gòu)某服裝廠采購(gòu)A、B兩種面料，A單價(jià)40元/m2，B單價(jià)60元/m2，需滿足：①A面料用量≥B面料用量的2倍；②總費(fèi)用≤12000元；③總用量≥300m2。設(shè)A、B采購(gòu)量分別為x、y（m