2025年上學期高三數(shù)學“數(shù)學肥料”中的數(shù)學知識試題（一）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x-10\leq0})，(B={x|m+1\leqx\leq2m-1})，若(A\cupB=A)，則實數(shù)(m)的取值范圍是（）A.([-3,3])B.([-3,2])C.((-\infty,3])D.((-\infty,2])設(shè)復(fù)數(shù)(z)滿足((1+i)z=|\sqrt{3}-i|)，則(z)的虛部為（）A.(-1)B.(1)C.(-i)D.(i)已知向量(\vec{a}=(2,-1))，(\vec=(1,m))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec))，則(m=)（）A.(-1)B.(1)C.(-7)D.(7)函數(shù)(f(x)=\frac{\ln|x|}{x^2})的大致圖像是（）A.B.C.D.已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，則(\tan(\alpha-\frac{\pi}{4})=)（）A.(7)B.(-7)C.(\frac{1}{7})D.(-\frac{1}{7})某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7+a_8+a_9=)（）A.(512)B.(384)C.(256)D.(128)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的(x=1)，則輸出的(y=)（）A.(2)B.(4)C.(6)D.(8)已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點為(F)，準線為(l)，過點(F)的直線交拋物線于(A,B)兩點，過點(A)作準線(l)的垂線，垂足為(M)，若(\angleMAF=60^\circ)，則(|AB|=)（）A.(\frac{4}{3})B.(\frac{8}{3})C.(4)D.(8)已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖像如圖所示，則(f(x))的解析式為（）A.(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))B.(f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3}))C.(f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{3}))D.(f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{3}))在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=2)，則三棱錐(P-ABC)的外接球的表面積為（）A.(8\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(20\pi)已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)，若對任意(x_1,x_2\in[-1,2])，都有(|f(x_1)-f(x_2)|\leq2)，則實數(shù)(a)的取值范圍是（）A.([0,3])B.([1,3])C.([2,3])D.([3,4])二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\y\leq2\end{cases})，則(z=x+2y)的最大值為________。已知((1+x)^n)的展開式中第(3)項與第(7)項的二項式系數(shù)相等，則(n=)，展開式中(x^2)的系數(shù)為。（本題第一空2分，第二空3分）已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，右焦點為(F)，點(A)在雙曲線的漸近線上，且(\triangleOAF)為等邊三角形（(O)為坐標原點），則雙曲線的方程為________。已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\lnx,&x>0\end{cases})，若關(guān)于(x)的方程(f(x)=kx+1)有且只有兩個不同的實根，則實數(shù)(k)的取值范圍是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分12分）已知數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，且滿足(S_n=2a_n-2)（(n\in\mathbf{N}^*)）。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）設(shè)(b_n=\log_2a_n)，求數(shù)列({\frac{1}{b_nb_{n+1}}})的前(n)項和(T_n)。（本小題滿分12分）某學校為了解學生的數(shù)學學習情況，隨機抽取了100名學生進行數(shù)學成績調(diào)查，將成績分為5組：([50,60))，([60,70))，([70,80))，([80,90))，([90,100])，得到如圖所示的頻率分布直方圖。（1）求圖中(a)的值，并估計這100名學生數(shù)學成績的平均數(shù)；（2）若從成績在([50,60))和([90,100])的學生中按分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，求至少有1人成績在([90,100])的概率。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(D)為(BC)的中點。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(C_1-AD-C)的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點((\sqrt{2},1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，(O)為坐標原點，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{2})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbf{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對任意(x\in\mathbf{R})恒成立，求實數(shù)(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1))（(n\in\mathbf{N}^*)）。（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系(xOy)中，曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），以坐標原點(O)為極點，(x)軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線(C_2)的極坐標方程為(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲線(C_1)的極坐標方程和曲線(C_2)的直角坐標方程；（2）設(shè)射線(\theta=\frac{\pi}{3})（(\rho\geq0)）與曲線(C_1)交于(O,A)兩點，與曲線(C_2)交于(O,B)兩點，求(|AB|)。（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)(f(x)=|x-1|+|x+2|)。（1）求不等式(f(x)\geq5)的解集；（2）若關(guān)于(x)的不等式(f(x)\geqa^2-2a)對任意(x\in\mathbf{R})恒成立，求實數(shù)(a)的取值范圍。參考答案及解析（部分）一、選擇題C解析：由(A\cupB=A)得(B\subseteqA)。解集合(A)：(x^2-3x-10\leq0\Rightarrow(x-5)(x+2)\leq0\RightarrowA=[-2,5])。當(B=\varnothing)時，(m+1>2m-1\Rightarrowm<2)；當(B\neq\varnothing)時，(\begin{cases}m+1\leq2m-1\m+1\geq-2\2m-1\leq5\end{cases}\Rightarrow2\leqm\leq3)。綜上，(m\leq3)，選C。A解析：(|\sqrt{3}-i|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=2)，則(z=\frac{2}{1+i}=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=1-i)，虛部為(-1)，選A。C解析：(\vec{a}+\vec=(3,m-1))，由(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec))得(2\times3+(-1)\times(m-1)=0\Rightarrow6-m+1=0\Rightarrowm=7)，選C。二、填空題8解析：作出可行域，當直線(z=x+2y)過點((2,3))時，(z)取得最大值(2+2\times3=8)。8；28解析：由二項式系數(shù)性質(zhì)得(C_n^2=C_n^6\Rightarrown=8)；展開式中(x^2)的系數(shù)為(C_8^2=28)。三、解答題（1）解：當(n=1)時，(S_1=2a_1-2\Rightarrowa_1=2)。當(n\geq2)時，(S_n-S_{n-1}=2a_n-2-(2a_{n-1}-2)\Rightarrowa_n=2a_{n-1})，故({a_n})是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，(a_n=2^n)。（2）(b_n=\log_22^n=n)