功能關(guān)系在復(fù)雜運(yùn)動(dòng)中應(yīng)用試題一、功能關(guān)系的核心原理與常見模型功能關(guān)系是解決復(fù)雜運(yùn)動(dòng)問題的重要工具，其核心在于“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”。在高中物理中，常見的功能關(guān)系包括：重力做功等于重力勢(shì)能的變化量（(W_G=-\DeltaE_p)），合外力做功等于動(dòng)能的變化量（(W_{合}=\DeltaE_k)），除重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力外的其他力做功等于機(jī)械能的變化量（(W_{其他}=\DeltaE_{機(jī)})）。這些關(guān)系在斜面運(yùn)動(dòng)、傳送帶模型、板塊模型等復(fù)雜場(chǎng)景中具有廣泛應(yīng)用。（一）斜面運(yùn)動(dòng)中的功能關(guān)系應(yīng)用例題1：質(zhì)量為(m)的物體從傾角為(30^\circ)的固定斜面頂端由靜止下滑，已知斜面長(zhǎng)度為(L)，動(dòng)摩擦因數(shù)為(\mu)，重力加速度為(g)。求物體滑至底端時(shí)的速度大小及過程中產(chǎn)生的熱量。解析：受力分析：物體受重力(mg)、支持力(N)和滑動(dòng)摩擦力(f=\mumg\cos30^\circ)。做功分析：重力做功：(W_G=mgL\sin30^\circ=\frac{1}{2}mgL)摩擦力做功：(W_f=-fL=-\mumgL\cos30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}\mumgL)動(dòng)能定理：(W_G+W_f=\DeltaE_k)，即(\frac{1}{2}mgL-\frac{\sqrt{3}}{2}\mumgL=\frac{1}{2}mv^2)，解得(v=\sqrt{gL(\sin30^\circ-\mu\cos30^\circ)}=\sqrt{gL\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mu\right)})。摩擦生熱：系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量等于摩擦力與相對(duì)位移的乘積，即(Q=fL=\frac{\sqrt{3}}{2}\mumgL)。變式訓(xùn)練：若物體以初速度(v_0)沿斜面向上滑行，求上滑的最大距離及返回出發(fā)點(diǎn)時(shí)的速度。上滑階段：重力和摩擦力均做負(fù)功，由動(dòng)能定理(-mgx\sin30^\circ-\mumgx\cos30^\circ=0-\frac{1}{2}mv_0^2)，解得(x=\frac{v_0^2}{2g(\sin30^\circ+\mu\cos30^\circ)})。下滑階段：重力做正功，摩擦力做負(fù)功，由動(dòng)能定理(mgx\sin30^\circ-\mumgx\cos30^\circ=\frac{1}{2}mv^2-0)，聯(lián)立解得返回速度(v=v_0\sqrt{\frac{\sin30^\circ-\mu\cos30^\circ}{\sin30^\circ+\mu\cos30^\circ}})。（二）傳送帶模型中的能量轉(zhuǎn)化傳送帶問題涉及滑動(dòng)摩擦力做功與機(jī)械能、內(nèi)能的轉(zhuǎn)化，需注意物體相對(duì)傳送帶的位移。例題2：水平傳送帶以速度(v)順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，將質(zhì)量為(m)的物塊無(wú)初速度放在傳送帶左端，已知物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為(\mu)，傳送帶長(zhǎng)度為(L)。（1）若物塊能到達(dá)右端，求物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間及摩擦生熱；（2）若傳送帶長(zhǎng)度較短，物塊未到達(dá)右端即與傳送帶共速，求電動(dòng)機(jī)多做的功。解析：（1）運(yùn)動(dòng)分析：物塊先勻加速至速度(v)，加速度(a=\mug)，加速時(shí)間(t_1=\frac{v}{\mug})，加速位移(x_1=\frac{v^2}{2\mug})。若(x_1\leqL)，物塊勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間(t_2=\frac{L-x_1}{v})，總時(shí)間(t=t_1+t_2=\frac{v}{\mug}+\frac{L}{v}-\frac{v}{2\mug}=\frac{v}{2\mug}+\frac{L}{v})。摩擦生熱(Q=f\cdot\Deltax=\mumg(vt_1-x_1)=\mumg\left(v\cdot\frac{v}{\mug}-\frac{v^2}{2\mug}\right)=\frac{1}{2}mv^2)。（2）電動(dòng)機(jī)多做的功：等于物塊增加的動(dòng)能與系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能之和，即(W=\DeltaE_k+Q=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}mv^2=mv^2)。二、板塊模型與多體系統(tǒng)的功能關(guān)系板塊模型中，滑塊與木板間的相對(duì)滑動(dòng)會(huì)導(dǎo)致機(jī)械能損失，需結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律與功能關(guān)系求解。例題3：質(zhì)量為(M)的木板靜止在光滑水平面上，質(zhì)量為(m)的滑塊以初速度(v_0)滑上木板左端，滑塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為(\mu)，木板長(zhǎng)度為(L)。（1）若滑塊未滑離木板，求二者共速時(shí)的速度及木板的位移；（2）若滑塊恰好滑至木板右端時(shí)共速，求木板的長(zhǎng)度(L)。解析：（1）動(dòng)量守恒：系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，(mv_0=(M+m)v)，解得共速(v=\frac{mv_0}{M+m})。動(dòng)能定理（對(duì)木板）：(\mumgx_M=\frac{1}{2}Mv^2)，解得木板位移(x_M=\frac{Mm^2v_0^2}{2\mug(M+m)^2})。動(dòng)能定理（對(duì)滑塊）：(-\mumgx_m=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2)，滑塊位移(x_m=\frac{v_0^2-v^2}{2\mug}=\frac{(M^2+2Mm)v_0^2}{2\mug(M+m)^2})。（2）相對(duì)位移與能量損失：滑塊相對(duì)木板的位移(\Deltax=x_m-x_M=L)，系統(tǒng)機(jī)械能損失(\DeltaE=Q=\mumgL=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}(M+m)v^2)，代入(v)解得(L=\frac{Mv_0^2}{2\mug(M+m)})。三、復(fù)合場(chǎng)中的功能關(guān)系綜合應(yīng)用在電場(chǎng)、重力場(chǎng)復(fù)合場(chǎng)中，除機(jī)械能外需考慮電勢(shì)能的變化，功能關(guān)系擴(kuò)展為：除重力、彈力外的其他力（如電場(chǎng)力）做功等于機(jī)械能與電勢(shì)能之和的變化量。例題4：帶電荷量為(q)、質(zhì)量為(m)的小球在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，從高度(h)處由靜止釋放，已知電場(chǎng)強(qiáng)度為(E)，小球與地面碰撞后機(jī)械能無(wú)損失，求小球第一次反彈的高度。解析：下落過程：重力與電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理((mg+qE)h=\frac{1}{2}mv^2)。反彈過程：設(shè)反彈高度為(H)，重力做負(fù)功，電場(chǎng)力做負(fù)功（假設(shè)電場(chǎng)方向不變），由動(dòng)能定理(-(mg+qE)H=0-\frac{1}{2}mv^2)，解得(H=h)。若電場(chǎng)方向向上：下落時(shí)((mg-qE)h=\frac{1}{2}mv^2)，反彈時(shí)(-(mg+qE)H=-\frac{1}{2}mv^2)，解得(H=h\cdot\frac{mg-qE}{mg+qE})（需滿足(mg>qE)）。四、功能關(guān)系與曲線運(yùn)動(dòng)的結(jié)合曲線運(yùn)動(dòng)中，重力做功僅與高度差有關(guān)，摩擦力做功需考慮路徑長(zhǎng)度，洛倫茲力不做功是重要隱含條件。例題5：質(zhì)量為(m)的小球在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為(R)，小球在最低點(diǎn)時(shí)速度為(v_0)，求小球能到達(dá)的最大高度及此時(shí)對(duì)軌道的壓力。解析：機(jī)械能守恒：最高點(diǎn)速度(v\geq\sqrt{gR})（不脫離條件），由機(jī)械能守恒(\frac{1}{2}mv_0^2=mgh+\frac{1}{2}mv^2)。若(v_0\geq\sqrt{5gR})，小球能通過最高點(diǎn)，最大高度(h=2R)，此時(shí)向心力(N+mg=m\frac{v^2}{R})，解得(N=m\frac{v_0^2}{R}-5mg)。若(v_0<\sqrt{5gR})，小球在到達(dá)最高點(diǎn)前脫離軌道，設(shè)脫離時(shí)半徑與豎直方向夾角為(\theta)，由牛頓第二定律(mg\cos\theta=m\frac{v^2}{R})，機(jī)械能守恒(\frac{1}{2}mv_0^2=mgR(1+\cos\theta)+\frac{1}{2}mv^2)，聯(lián)立解得(\cos\theta=\frac{v_0^2}{3gR}-\frac{2}{3})，最大高度(h=R(1+\cos\theta)=\frac{v_0^2}{3g})。五、多過程問題的功能關(guān)系串聯(lián)應(yīng)用復(fù)雜運(yùn)動(dòng)常由多個(gè)子過程組成，需分段分析做功與能量轉(zhuǎn)化，注意過程銜接時(shí)的速度、能量狀態(tài)。例題6：質(zhì)量為(m=2kg)的物體在水平拉力(F=10N)作用下，從靜止開始在粗糙水平面上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)摩擦因數(shù)(\mu=0.2)，運(yùn)動(dòng)(5m)后撤去拉力，物體繼續(xù)滑行至停止。求全過程摩擦力做的功及物體運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間。解析：第一段（有拉力）：加速度(a_1=\frac{F-\mumg}{m}=\frac{10-0.2\times2\times10}{2}=3m/s^2)，位移(x_1=5m)，由(x_1=\frac{1}{2}a_1t_1^2)得(t_1=\sqrt{\frac{2x_1}{a_1}}=\sqrt{\frac{10}{3}}\approx1.83s)，末速度(v=a_1t_1=3\sqrt{\frac{10}{3}}=\sqrt{30}\approx5.48m/s)。第二段（撤去拉力）：加速度(a_2=-\mug=-2m/s^2)，滑行時(shí)間(t_2=\frac{0-v}{a_2}=\frac{\sqrt{30}}{2}\approx2.74s)，滑行位移(x_2=\frac{v^2}{2\mug}=\frac{30}{4}=7.5m)。全過程摩擦力做功：(W_f=-\mumg(x_1+x_2)=-0.2\times2\times10\times12.5=-50J)，總時(shí)間(t=t_1+t_2\approx4.57s)。六、功能關(guān)系的臨界問題與極值分析在復(fù)雜運(yùn)動(dòng)中，常需通過功能關(guān)系確定臨界狀態(tài)，如“恰好不脫離”“速度最大”等條件，此時(shí)往往伴隨某力做功為零或能量轉(zhuǎn)化達(dá)到極值。例題7：勁度系數(shù)為(k)的輕質(zhì)彈簧豎直放置，下端固定在地面上，上端與質(zhì)量為(m)的物體相連?，F(xiàn)用豎直向上的力緩慢拉動(dòng)物體，直至彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)，求此過程中拉力做的功。解析：初始狀態(tài)：彈簧壓縮量(x_0=\frac{mg}{k})，彈性勢(shì)能(E_p=\frac{1}{2}kx_0^2=\frac{m^2g^2}{2k})。末狀態(tài)：彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)，物體上升高度(x_0)，重力勢(shì)能增加(mgx_0=\frac{m^2g^2}{k})。功能關(guān)系：拉力做功等于重力勢(shì)能增加量與彈性勢(shì)能減少量之和（因緩慢拉動(dòng)，動(dòng)能變化為零），即(W_F=mgx_0