高一上學(xué)期理論與數(shù)學(xué)試題一、集合與常用邏輯用語1.1集合的基本概念集合是指具有某種特定性質(zhì)的具體的或抽象的對象匯總而成的集體。構(gòu)成集合的這些對象稱為該集合的元素。集合中的元素具有確定性、互異性和無序性三大特性。確定性是指對于一個給定的集合，任何一個對象是否屬于這個集合是明確的；互異性是指集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)；無序性則表示集合中的元素排列順序不影響集合的本質(zhì)。集合的表示方法主要有列舉法、描述法和圖示法。列舉法是將集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合，例如由數(shù)字1、2、3組成的集合可表示為{1,2,3}。描述法是用集合所含元素的共同特征來表示集合，一般形式為{x|p(x)}，其中x是集合的代表元素，p(x)是元素x所滿足的條件，比如所有偶數(shù)組成的集合可表示為{x|x=2k,k∈Z}。圖示法主要是指Venn圖，它用封閉的曲線來表示集合，能夠直觀地展示集合之間的關(guān)系。集合間的基本關(guān)系包括子集、真子集和相等。如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集，記作A?B。如果A?B且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的真子集，記作A?B。當(dāng)兩個集合中的元素完全相同時，這兩個集合相等，記作A=B。空集是不含任何元素的集合，記作?，它是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。1.2集合的基本運算集合的基本運算包括交集、并集和補集。交集是指由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，記作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。并集是指由屬于集合A或?qū)儆诩螧的所有元素組成的集合，記作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。補集是相對于全集而言的，設(shè)U是一個全集，A是U的一個子集，由U中所有不屬于A的元素組成的集合稱為A在U中的補集，記作?UA，即?UA={x|x∈U且x?A}。集合運算有一些重要的性質(zhì)，例如交換律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A；結(jié)合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)；還有德摩根定律：?U(A∩B)=?UA∪?UB，?U(A∪B)=?UA∩?UB等。這些運算性質(zhì)在解決集合相關(guān)問題時經(jīng)常用到，能夠幫助我們簡化運算過程。1.3常用邏輯用語命題是可以判斷真假的陳述句。一個命題通常由條件和結(jié)論兩部分組成，可寫成“若p，則q”的形式，其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論。命題分為真命題和假命題，真命題是指判斷為真的語句，假命題則是判斷為假的語句。四種命題包括原命題、逆命題、否命題和逆否命題。原命題為“若p，則q”；逆命題是將原命題的條件和結(jié)論互換得到的命題，即“若q，則p”；否命題是對原命題的條件和結(jié)論同時進(jìn)行否定得到的命題，即“若?p，則?q”；逆否命題是將原命題的條件和結(jié)論互換后再同時否定得到的命題，即“若?q，則?p”。其中，原命題與逆否命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性；逆命題與否命題也互為逆否命題，同樣具有相同的真假性。充分條件、必要條件和充要條件是邏輯用語中的重要概念。如果“若p，則q”是真命題，那么我們說p是q的充分條件，q是p的必要條件。如果既有p?q，又有q?p，那么p是q的充分必要條件，簡稱充要條件，記作p?q。在判斷充分必要條件時，要明確條件和結(jié)論之間的推出關(guān)系。簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞包括“且”“或”“非”。用“且”聯(lián)結(jié)兩個命題p和q得到的新命題稱為p且q，記作p∧q，當(dāng)p和q都為真時，p∧q為真，否則為假。用“或”聯(lián)結(jié)兩個命題p和q得到的新命題稱為p或q，記作p∨q，當(dāng)p和q至少有一個為真時，p∨q為真，只有當(dāng)p和q都為假時，p∨q才為假?！胺恰笔菍γ}p的否定，得到的新命題稱為非p，記作?p，當(dāng)p為真時，?p為假，當(dāng)p為假時，?p為真。全稱量詞和存在量詞是描述命題中數(shù)量關(guān)系的量詞。全稱量詞表示“所有”“任意”“每一個”等，用符號“?”表示，含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題，其形式為“?x∈M，p(x)”，否定形式為“?x∈M，?p(x)”。存在量詞表示“存在”“至少有一個”“有些”等，用符號“?”表示，含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題，其形式為“?x∈M，p(x)”，否定形式為“?x∈M，?p(x)”。二、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)2.1函數(shù)的概念及表示函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。其中，x稱為自變量，x的取值范圍A稱為函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值稱為函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}稱為函數(shù)的值域。函數(shù)的三要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。定義域是函數(shù)的基礎(chǔ)，求函數(shù)定義域時，要考慮使函數(shù)有意義的條件，例如分式函數(shù)的分母不能為零；偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)；對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零等。對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心，它決定了自變量如何映射到函數(shù)值。值域則是由定義域和對應(yīng)關(guān)系共同確定的。函數(shù)的表示方法有解析法、列表法和圖象法。解析法是用數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，例如y=2x+1。列表法是通過列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，這種方法直觀明了，適用于自變量取值較少的情況。圖象法是用圖象來表示函數(shù)關(guān)系，能夠直觀地反映函數(shù)的變化趨勢和性質(zhì)。分段函數(shù)是指在定義域的不同區(qū)間上，有不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)。分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。例如，函數(shù)f(x)={x+1,x≥0;-x+1,x<0}就是一個分段函數(shù)，當(dāng)x≥0時，函數(shù)表達(dá)式為x+1，當(dāng)x<0時，函數(shù)表達(dá)式為-x+1。2.2函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在定義域的某個區(qū)間上的增減性。設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；如果當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，一個函數(shù)可能在某些區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上是減函數(shù)。判斷函數(shù)單調(diào)性的方法主要有定義法和圖象法。定義法是按照單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷，步驟如下：取值，即任取x1、x2∈D，且x1<x2；作差，即計算f(x1)-f(x2)；變形，對差式進(jìn)行變形，以便判斷其正負(fù)；判斷，根據(jù)變形后的結(jié)果判斷f(x1)-f(x2)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性。圖象法則是通過觀察函數(shù)的圖象，如果函數(shù)圖象在某個區(qū)間上從左到右是上升的，則函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)；如果圖象從左到右是下降的，則函數(shù)在該區(qū)間上是減函數(shù)。函數(shù)的奇偶性是指函數(shù)圖象關(guān)于原點或y軸對稱的性質(zhì)。如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，其定義域必須關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的前提條件。判斷函數(shù)奇偶性的步驟：首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，如果定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；如果定義域關(guān)于原點對稱，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系，若f(-x)=-f(x)，則為奇函數(shù)，若f(-x)=f(x)，則為偶函數(shù)，若兩者都不滿足，則函數(shù)非奇非偶。函數(shù)的最值是指函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最大值和最小值。對于函數(shù)f(x)，如果存在x0∈I，使得對于任意x∈I，都有f(x)≤f(x0)，那么f(x0)就是函數(shù)f(x)的最大值；如果存在x0∈I，使得對于任意x∈I，都有f(x)≥f(x0)，那么f(x0)就是函數(shù)f(x)的最小值。求函數(shù)最值的方法有很多，如利用函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)等。2.3基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)是形如y=a^x(a>0且a≠1)的函數(shù)，其中a稱為底數(shù)，x稱為指數(shù)。指數(shù)函數(shù)的定義域為R，值域為(0,+∞)。當(dāng)a>1時，指數(shù)函數(shù)在R上是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時，指數(shù)函數(shù)在R上是減函數(shù)。指數(shù)函數(shù)的圖象恒過定點(0,1)。對數(shù)函數(shù)是形如y=logax(a>0且a≠1)的函數(shù)，它是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。對數(shù)函數(shù)的定義域為(0,+∞)，值域為R。當(dāng)a>1時，對數(shù)函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時，對數(shù)函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù)。對數(shù)函數(shù)的圖象恒過定點(1,0)。對數(shù)有一些重要的運算性質(zhì)，如log_a(MN)=log_aM+log_aN；log_a(M/N)=log_aM-log_aN；log_aM^n=nlog_aM（其中a>0且a≠1，M>0，N>0，n∈R）。此外，還有換底公式log_ab=log_cb/log_ca（其中a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0），利用換底公式可以將不同底數(shù)的對數(shù)轉(zhuǎn)化為相同底數(shù)的對數(shù)進(jìn)行運算。冪函數(shù)是形如y=x^α(α∈R)的函數(shù)，其中α為常數(shù)。冪函數(shù)的定義域和值域因α的取值不同而有所差異。例如，當(dāng)α=1時，冪函數(shù)為y=x，定義域和值域均為R；當(dāng)α=2時，冪函數(shù)為y=x^2，定義域為R，值域為[0,+∞)；當(dāng)α=1/2時，冪函數(shù)為y=x^(1/2)=√x，定義域為[0,+∞)，值域為[0,+∞)；當(dāng)α=-1時，冪函數(shù)為y=x^(-1)=1/x，定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)，值域為(-∞,0)∪(0,+∞)。冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)也與α的取值密切相關(guān)，需要根據(jù)具體情況進(jìn)行分析。三、數(shù)學(xué)試題3.1集合與常用邏輯用語試題選擇題下列各組對象中能構(gòu)成集合的是（）A.著名的數(shù)學(xué)家B.很大的數(shù)C.鮮艷的顏色D.大于3的整數(shù)已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，則A∩B=（）A.{1,2,3,4}B.{2,3}C.{1,4}D.?設(shè)集合U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，則?UA=（）A.{2,4}B.{1,2,3,4,5}C.{1,3,5}D.?命題“若x>2，則x^2>4”的逆否命題是（）A.若x^2>4，則x>2B.若x≤2，則x^2≤4C.若x^2≤4，則x≤2D.若x>2，則x^2≤4“x>1”是“x^2>1”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件填空題6.用列舉法表示集合{x|x是小于5的正整數(shù)}為______。7.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，則集合A的子集個數(shù)為______。8.命題“?x∈R，x^2+2x+3=0”的否定是______。解答題9.已知集合A={x|x^2-4x+3<0}，B={x|2<x<4}，求A∪B和A∩B。10.判斷命題“若a>b，則ac^2>bc^2”的真假，并說明理由。3.2函數(shù)概念與基本初等函數(shù)試題選擇題函數(shù)f(x)=√(x-1)+1/(x-2)的定義域是（）A.[1,2)∪(2,+∞)B.(1,+∞)C.[1,2)D.[1,+∞)下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）A.f(x)=x^3B.f(x)=x+1C.f(x)=x^2D.f(x)=x/(x^2+1)函數(shù)f(x)=2^x在R上是（）A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減函數(shù)D.先減后增函數(shù)已知函數(shù)f(x)=log2x，若f(a)=3，則a=（）A.6B.8C.9D.10函數(shù)f(x)=x^2-2x+3在區(qū)間[0,3]上的最大值是（）A.3B.6C.2D.12填空題6.已知函數(shù)f(x)=2x+1，則f(3)=。7.函數(shù)f(x)=x^3+2x的奇偶性是。8.若冪函數(shù)f(x)=x^α的圖象過點(2,8)，則α=______。解答題9.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+5，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的單調(diào)性，并求出函數(shù)的最值。10.已知函數(shù)f(x)=log_a(x+1)（a>0且a≠1）的圖象過點(1,1)，求a的值，并判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性。3.3綜合解答題已知集合A={x|x^2-ax+a^2-19=0}，B={x|x^2-5x+6=0}，C={x|x^2+2x-8=0}，且A∩B≠?，A∩C=?，求實數(shù)a的值。已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)=x^2-2x。（1）求f(-1)的值；（2）求函數(shù)f(x)在R上的解析式；（3）判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。已知函數(shù)f(x)=a^x（a>0且a≠1）的圖象經(jīng)過點(2,4)。（1）求a的值；（2）若f(x)=16，求x的值；（3）比較f(2)與f(log_a5)的大小，并說明理由。某商店銷售一種商品，每件的成本為30元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足關(guān)系y=-x+60（30≤x≤60）。設(shè)該商品每天的銷售利潤為w（元）。（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；