高一上學期類型與數(shù)學試題一、集合與常用邏輯用語（一）集合的概念與運算典型題型1：集合的表示方法例1：用列舉法表示集合A={x|x2-3x+2=0}，用描述法表示集合B={大于2且小于10的偶數(shù)}。解析：解方程x2-3x+2=0得x=1或x=2，故A={1,2}；B={x|2<x<10且x=2k,k∈Z}={4,6,8}。典型題型2：集合間的基本關(guān)系例2：已知集合A={x|x2-4x+3=0}，B={x|mx-3=0}，且B?A，求實數(shù)m的值。解析：A={1,3}，當B=?時，m=0；當B={1}時，m=3；當B={3}時，m=1。綜上，m=0或1或3。典型題型3：集合的運算例3：設全集U=R，集合A={x|x2-5x+6<0}，B={x|x≥3}，求A∩B、(?UA)∪B。解析：解不等式x2-5x+6<0得2<x<3，故A=(2,3)，?UA=(-∞,2]∪[3,+∞)，因此A∩B=?，(?UA)∪B=(-∞,2]∪[3,+∞)。（二）常用邏輯用語典型題型4：充分條件與必要條件例4：“x>2”是“x2-3x+2>0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：解不等式x2-3x+2>0得x<1或x>2，故“x>2”能推出“x2-3x+2>0”，反之不成立，選A。二、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ（一）函數(shù)的概念與性質(zhì)典型題型5：函數(shù)定義域與值域例5：求函數(shù)f(x)=√(x-1)+1/(x-2)的定義域，及函數(shù)g(x)=x2-2x+3，x∈[0,3]的值域。解析：f(x)需滿足x-1≥0且x-2≠0，定義域為[1,2)∪(2,+∞)；g(x)=(x-1)2+2，x=1時取最小值2，x=3時取最大值6，值域為[2,6]。典型題型6：函數(shù)單調(diào)性與奇偶性例6：判斷函數(shù)f(x)=x3+2x的奇偶性，并證明其在R上單調(diào)遞增。解析：f(-x)=-x3-2x=-f(x)，為奇函數(shù)；任取x?<x?，f(x?)-f(x?)=(x?-x?)(x?2+x?x?+x?2+2)>0，故單調(diào)遞增。（二）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)典型題型7：指數(shù)冪與對數(shù)運算例7：計算：(1)8^(2/3)+log?(1/8)+lg25+2lg2；(2)已知log?5=a，5?=7，用a,b表示log??105。解析：(1)原式=4-3+lg(25×4)=1+2=3；(2)log?7=ab，log??105=(log?3+log?5+log?7)/(log?7+2log?3)=(1+a+ab)/(ab+2)。典型題型8：函數(shù)圖像與性質(zhì)綜合例8：已知函數(shù)f(x)=a?(a>0且a≠1)在[-1,2]上的最大值為4，最小值為m，求m的值。解析：若a>1，f(2)=a2=4得a=2，m=f(-1)=1/2；若0<a<1，f(-1)=a?1=4得a=1/4，m=f(2)=1/16。（三）冪函數(shù)與函數(shù)的應用典型題型9：冪函數(shù)圖像與性質(zhì)例9：已知冪函數(shù)f(x)=x?的圖像過點(2,√2)，求k的值，并比較f(1.5)與f(π)的大小。解析：2?=√2=2^(1/2)得k=1/2，f(x)=√x在[0,+∞)遞增，故f(1.5)<f(π)。典型題型10：函數(shù)零點與方程解例10：用二分法求函數(shù)f(x)=x3-3x+1在區(qū)間(0,1)內(nèi)的近似零點（精確到0.1）。解析：f(0)=1>0，f(1)=-1<0，f(0.5)=-0.375<0，f(0.25)=0.2656>0，f(0.375)=-0.072<0，f(0.3125)=0.093>0，故零點約為0.3。三、三角函數(shù)（一）三角函數(shù)的概念與誘導公式典型題型11：任意角的三角函數(shù)例11：已知角α的終邊過點P(-3,4)，求sinα、cosα、tanα的值。解析：r=√[(-3)2+42]=5，sinα=4/5，cosα=-3/5，tanα=-4/3。典型題型12：誘導公式的應用例12：化簡：sin(π+α)cos(α-π)/tan(π-α)sin(3π/2-α)。解析：原式=(-sinα)(-cosα)/(-tanα)(-cosα)=sinαcosα/(sinα/cosα·cosα)=cosα。（二）三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)典型題型13：三角函數(shù)的周期性與單調(diào)性例13：求函數(shù)f(x)=2sin(2x-π/3)+1的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間及最大值。解析：周期T=2π/2=π；由-π/2+2kπ≤2x-π/3≤π/2+2kπ得遞增區(qū)間-π/12+kπ,5π/12+kπ；最大值為3。典型題型14：三角函數(shù)圖像變換例14：如何將函數(shù)y=sinx的圖像變換為y=2sin(2x+π/4)-1的圖像？解析：先向左平移π/4個單位，再橫坐標縮短為原來1/2，縱坐標伸長為原來2倍，最后向下平移1個單位。（三）三角恒等變換典型題型15：兩角和與差的三角函數(shù)例15：已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，cosβ=-5/13，β∈(π,3π/2)，求cos(α+β)的值。解析：cosα=-4/5，sinβ=-12/13，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(-4/5)(-5/13)-(3/5)(-12/13)=56/65。典型題型16：二倍角公式與三角化簡例16：化簡：(sin2α)/(1+cos2α)·cosα/(1+cosα)。解析：原式=(2sinαcosα)/(2cos2α)·cosα/(1+cosα)=sinα/(1+cosα)=tan(α/2)。四、數(shù)列（一）等差數(shù)列與等比數(shù)列典型題型17：等差、等比數(shù)列基本量運算例17：等差數(shù)列{an}中，a3=5，a7=13，求通項公式及前n項和Sn；等比數(shù)列{bn}中，b2=4，b5=32，求公比q及b6。解析：等差數(shù)列d=(13-5)/(7-3)=2，a1=1，an=2n-1，Sn=n2；等比數(shù)列q3=32/4=8，q=2，b6=64。典型題型18：數(shù)列求和例18：求數(shù)列{an}的前n項和，其中an=2n-1+3?。解析：分組求和，Sn=(1+3+...+2n-1)+(3+9+...+3?)=n2+3(3?-1)/2。（二）數(shù)列的綜合應用典型題型19：遞推數(shù)列求通項例19：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，求通項公式an。解析：構(gòu)造等比數(shù)列，an+1+1=2(an+1)，則an+1=2?，an=2?-1。典型題型20：數(shù)列與不等式例20：證明：對任意n∈N*，1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1)。解析：令f(x)=ln(1+x)-x，f'(x)=-x/(1+x)<0，f(x)遞減，ln(1+x)<x，令x=1/k，累加得證。五、不等式（一）不等式的性質(zhì)與解法典型題型21：一元二次不等式解法例21：解不等式x2-2x-3≤0，并求函數(shù)y=√(x2-2x-3)的定義域。解析：不等式解集[-1,3]，函數(shù)定義域(-∞,-1]∪[3,+∞)。典型題型22：基本不等式應用例22：已知x>0，y>0，x+2y=1，求1/x+1/y的最小值。解析：1/x+1/y=(x+2y)(1/x+1/y)=3+2y/x+x/y≥3+2√2，當x=√2-1，y=(2-√2)/2時取等號。（二）線性規(guī)劃典型題型23：簡單線性規(guī)劃問題例23：設變量x,y滿足約束條件x≥0,y≥0,x+y≤1，求z=2x+y的最大值。解析：可行域為三角形區(qū)域，頂點(0,0),(1,0),(0,1)，z在(1,0)處取最大值2。六、空間幾何體（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)與三視圖典型題型24：三視圖與直觀圖例24：某幾何體三視圖如圖（單位：cm），求其體積。（俯視圖為邊長2的正方形，正視圖、側(cè)視圖為等腰直角三角形，直角邊長2）解析：該幾何體為四棱錐，底面積4，高2，體積V=1/3×4×2=8/3cm3。（二）空間幾何體的表面積與體積典型題型25：球的表面積與體積例25：正方體棱長為2，求其外接球的表面積和內(nèi)切球的體積。解析：外接球直徑=體對角線=2√3，表面積=4π(√3)2=12π；內(nèi)切球半徑=1，體積=4/3π×13=4π/3。七、概率與統(tǒng)計初步（一）隨機事件與概率典型題型26：古典概型例26：從1,2,3,4,5中任取2個數(shù)，求兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率。解析：基本事件總數(shù)10，兩數(shù)奇偶性相同的事件數(shù)4（奇+奇）+1（偶+偶）=5，概率5/10=1/2。（二）統(tǒng)計圖表與數(shù)據(jù)分析典型題型27：頻率分布直方圖例27：某校100名學生數(shù)學成績頻率分布直方圖中，[80,90)組距頻率為0.3，求該組人數(shù)及中位數(shù)。解析：人數(shù)=100×0.3=30；前兩組頻率和0.4，中位數(shù)=80+(0.5-0.4)/0.03≈83.33。八、綜合題型（一）函數(shù)與導數(shù)綜合典型題型28：導數(shù)的幾何意義與應用例28：已知函數(shù)f(x)=x3-3x，求曲線在點(2,2)處的切線方程，并求函數(shù)單調(diào)區(qū)間。解析：f'(x)=3x2-3，切線斜率f'(2)=9，方程y-2=9(x-2)即9x-y-16=0；f'(x)=0得x=±1，增區(qū)間(-∞,-1),(1,+∞)，減區(qū)間(-1,1)。（二）三角函數(shù)與解三角形綜合典型題型29：正弦定理與余弦定理應用例29：△ABC中，a=3，b=4，c=5，求角C及面積S。解析：cosC=(9+16-25)/(2×3×4)=0，C=90°，S=1/2×3×4=6。（三）實際應用問題典型題型30：函數(shù)