2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)電池”中的數(shù)學(xué)知識試題（二）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）電池容量衰減模型：某品牌手機(jī)電池初始容量為4000mAh，使用過程中容量衰減符合指數(shù)函數(shù)模型(C(t)=C_0e^{-kt})，其中(t)為使用月數(shù)，(C_0)為初始容量。若使用6個(gè)月后容量剩余3200mAh，則(k)的值為（）A.(\frac{\ln5-\ln4}{6})B.(\frac{\ln4-\ln5}{6})C.(\frac{\ln5}{6})D.(\frac{\ln4}{6})解析：由題意得(3200=4000e^{-6k})，化簡得(e^{-6k}=\frac{4}{5})，兩邊取自然對數(shù)得(-6k=\ln\frac{4}{5})，即(k=\frac{\ln5-\ln4}{6})，故選A。充電效率優(yōu)化：快充技術(shù)中，充電功率(P(t))（單位：W）與時(shí)間(t)（單位：分鐘）的關(guān)系為(P(t)=-0.1t^2+6t+10)（(0\leqt\leq30)）。則充電功率最大時(shí)的時(shí)間及最大功率分別為（）A.15分鐘，55WB.20分鐘，70WC.30分鐘，40WD.15分鐘，55W解析：二次函數(shù)(P(t))開口向下，對稱軸(t=-\frac{6}{2\times(-0.1)}=30)，但定義域?yàn)?t\leq30)，故當(dāng)(t=30)時(shí)，(P(30)=-0.1\times900+6\times30+10=40)W，選C。電池串聯(lián)與并聯(lián)：現(xiàn)有4節(jié)電池，每節(jié)電動(dòng)勢(E=1.5V)，內(nèi)阻(r=0.2\Omega)。若2節(jié)串聯(lián)后與另外2節(jié)并聯(lián)，則總電動(dòng)勢和總內(nèi)阻分別為（）A.3V，0.2ΩB.1.5V，0.1ΩC.3V，0.1ΩD.1.5V，0.2Ω解析：2節(jié)串聯(lián)電動(dòng)勢(E_串=3V)，內(nèi)阻(r_串=0.4\Omega)；兩組串聯(lián)電池并聯(lián)后，總電動(dòng)勢等于單組電動(dòng)勢3V，總內(nèi)阻(r_并=\frac{0.4\times0.4}{0.4+0.4}=0.2\Omega)，選A。剩余電量估算：某智能手表電池剩余電量(Q)（單位：%）與使用時(shí)間(t)（單位：小時(shí)）滿足線性關(guān)系，當(dāng)(t=0)時(shí)(Q=100)，(t=24)時(shí)(Q=20)。則當(dāng)(Q=50)時(shí)，(t)的值為（）A.9B.12C.15D.18解析：設(shè)(Q=kt+b)，代入得(b=100)，(24k+100=20\Rightarrowk=-\frac{10}{3})。當(dāng)(Q=50)時(shí)，(50=-\frac{10}{3}t+100\Rightarrowt=15)，選C。電池壽命概率：某批次電池壽命服從正態(tài)分布(N(500,100^2))（單位：次循環(huán)），則壽命在400~600次循環(huán)的概率約為（）A.68.3%B.95.4%C.99.7%D.50%解析：正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))中，(\mu=500)，(\sigma=100)，區(qū)間((\mu-\sigma,\mu+\sigma))概率為68.3%，選A。充電時(shí)間比較：快充與慢充的電量(Q)與時(shí)間(t)的關(guān)系分別為(Q_快=0.2t+20)和(Q_慢=0.1t+30)（(t\geq0)）。則快充超過慢充的時(shí)間點(diǎn)為（）A.50分鐘B.100分鐘C.150分鐘D.200分鐘解析：令(0.2t+20>0.1t+30\Rightarrow0.1t>10\Rightarrowt>100)，選B。電池成本函數(shù)：生產(chǎn)(x)節(jié)電池的成本(C(x)=0.01x^2+2x+500)（單位：元），則邊際成本（總成本的導(dǎo)數(shù)）為（）A.(0.02x+2)B.(0.01x+2)C.(0.02x+2x)D.(0.01x^2+2)解析：邊際成本(C'(x)=0.02x+2)，選A。無線充電區(qū)域：某無線充電板的有效區(qū)域?yàn)閳A心在原點(diǎn)，半徑為10cm的圓。若手機(jī)充電線圈中心坐標(biāo)為((6,8))，則該手機(jī)（）A.在有效區(qū)域內(nèi)B.在有效區(qū)域外C.恰好在邊界上D.無法確定解析：圓心距(d=\sqrt{6^2+8^2}=10)cm，等于半徑，故選C。電池溫度預(yù)警：電池溫度(T(t)=0.05t^2+2t+25)（(t)為充電分鐘數(shù)），當(dāng)(T(t)\geq45)℃時(shí)觸發(fā)預(yù)警。則預(yù)警時(shí)間為（）A.(t\geq10)B.(t\geq20)C.(t\geq30)D.(t\geq40)解析：(0.05t^2+2t+25\geq45\Rightarrowt^2+40t-400\geq0)，解得(t\geq-20+20\sqrt{2}\approx8.28)，取整數(shù)(t\geq10)，選A。電池容量分布：某型號電池容量（單位：mAh）服從均勻分布(U[3900,4100])，則容量在3950~4050mAh的概率為（）A.0.25B.0.5C.0.75D.1解析：均勻分布概率(P=\frac{4050-3950}{4100-3900}=0.5)，選B。充電曲線積分：若充電電量(Q=\int_0^tP(s)ds)，其中(P(s)=10+2s)（單位：W），則(t=10)分鐘時(shí)的總電量為（）A.200mAhB.300mAhC.400mAhD.500mAh解析：(Q=\int_0^{10}(10+2s)ds=[10s+s^2]_0^{10}=200)，選A（注：此處簡化單位換算，實(shí)際需考慮功率與電量單位轉(zhuǎn)換）。電池組優(yōu)化組合：從5節(jié)電池中任選2節(jié)串聯(lián)，其中2節(jié)為次品（容量不足），則至少有1節(jié)次品的概率為（）A.(\frac{7}{10})B.(\frac{3}{5})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{2}{5})解析：總組合數(shù)(C_5^2=10)，無次品組合數(shù)(C_3^2=3)，故至少1件次品概率(1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10})，選A。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）電池循環(huán)壽命：某電池循環(huán)壽命(L)與充電深度(d)（(0<d\leq1)）的關(guān)系為(L(d)=\frac{1000}z3jilz61osys)。當(dāng)充電深度從0.5提升至0.8時(shí)，循環(huán)壽命減少了________次。答案：750解析：(L(0.5)=2000)，(L(0.8)=1250)，減少(2000-1250=750)。充電功率積分：已知充電功率(P(t)=10\sin(\frac{\pi}{30}t)+50)（(0\leqt\leq30)），則0~30分鐘內(nèi)總充電能量為________焦耳（(1W=1J/s)，1分鐘=60秒）。答案：90000解析：積分(Q=\int_0^{30}P(t)dt\times60)，(\int_0^{30}[10\sin(\frac{\pi}{30}t)+50]dt=[-\frac{300}{\pi}\cos(\frac{\pi}{30}t)+50t]_0^{30}=1500)，總能量(1500\times60=90000)J。電池內(nèi)阻測量：用伏安法測電池內(nèi)阻，得到數(shù)據(jù)如下表：|電壓U（V）|1.4|1.3|1.2|1.1||------------|-----|-----|-----|-----||電流I（A）|0.1|0.2|0.3|0.4|則內(nèi)阻(r=)________Ω（提示：(U=E-Ir)）。答案：1解析：由(U=E-Ir)，取兩組數(shù)據(jù)(1.4=E-0.1r)和(1.3=E-0.2r)，解得(r=1)。電池容量預(yù)測：基于機(jī)器學(xué)習(xí)模型，電池容量(C(n))與循環(huán)次數(shù)(n)的關(guān)系為(C(n)=4000-0.02n^2)。當(dāng)容量衰減至初始值的80%時(shí)，循環(huán)次數(shù)(n=)________。答案：200解析：(0.8\times4000=4000-0.02n^2\Rightarrow0.02n^2=800\Rightarrown^2=40000\Rightarrown=200)。三、解答題（本大題共6小題，共70分）電池放電模型（10分）某設(shè)備放電時(shí)，電流(I(t)=2e^{-0.1t})（A），電壓(U(t)=3e^{-0.05t})（V），時(shí)間(t\geq0)（小時(shí)）。（1）求功率(P(t)=U(t)I(t))的表達(dá)式；（2）求0~10小時(shí)內(nèi)的總電能消耗（(W=\int_0^{10}P(t)dt)，單位：Wh）。解析：（1）(P(t)=3e^{-0.05t}\times2e^{-0.1t}=6e^{-0.15t})；（2）(W=\int_0^{10}6e^{-0.15t}dt=[-\frac{6}{0.15}e^{-0.15t}]_0^{10}=-40(e^{-1.5}-1)\approx-40(0.223-1)=31.08)Wh。充電策略優(yōu)化（12分）某手機(jī)電池容量4000mAh，初始電量20%，支持兩種充電模式：模式A：前30分鐘功率40W，后30分鐘功率20W；模式B：功率恒為30W，持續(xù)60分鐘。（1）分別計(jì)算兩種模式的總充電量（(Q=Pt)，1Wh=2.777mAh）；（2）若充電效率為80%，哪種模式能將電量充至90%？解析：（1）模式A：總能量(40W\times0.5h+20W\times0.5h=30Wh)，充電量(30\times2.777\approx83.31)mAh；模式B：能量(30W\times1h=30Wh)，充電量同樣83.31mAh；（2）目標(biāo)充電量(4000\times(90%-20%)=2800)mAh，實(shí)際需能量(2800/2.777\approx1008)Wh，兩種模式僅提供30Wh，均無法充至90%（題目數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)為示例，實(shí)際需調(diào)整參數(shù)）。電池壽命回歸分析（12分）為研究充電次數(shù)(x)對電池容量(y)的影響，收集數(shù)據(jù)如下：|(x)|100|200|300|400|500||--------|-----|-----|-----|-----|-----||(y)|3800|3600|3400|3200|3000|（1）求線性回歸方程(\hat{y}=\hat{a}x+\hat)；（2）預(yù)測充電600次后的容量。解析：（1）計(jì)算得(\bar{x}=300)，(\bar{y}=3400)，(\hat{a}=\frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}=-2)，(\hat=3400-(-2)\times300=4000)，故(\hat{y}=-2x+4000)；（2）當(dāng)(x=600)時(shí)，(\hat{y}=-2\times600+4000=2800)mAh。電池組概率問題（12分）一批電池的合格率為90%，現(xiàn)隨機(jī)抽取10節(jié)，用(X)表示合格電池?cái)?shù)。（1）求(X)的分布列（二項(xiàng)分布）；（2）計(jì)算(P(X\geq8))。解析：（1）(X\simB(10,0.9))，分布列為(P(X=k)=C_{10}^k0.9^k0.1^{10-k})；（2）(P(X\geq8)=P(8)+P(9)+P(10)=C_{10}^80.9^80.1^2+C_{10}^90.9^90.1+C_{10}^{10}0.9^{10}\approx0.9298)。電池溫度微分方程（12分）電池充電時(shí)溫度變化滿足微分方程(\frac{dT}{dt}=0.1(T_0-T)+2)，其中(T_0=25)℃為環(huán)境溫度，初始溫度(T(0)=25)℃。（1）求解該微