2025年上學期高三數學“數學編程思維”啟蒙試題（二）一、單項選擇題（每題3分，共10題，共30分）算法邏輯與數學推理執(zhí)行如下偽代碼后，輸出結果為（）a←1b←2ForiFrom1To3c←a+ba←bb←cEndForPrint(b)A.5B.8C.13D.21遞歸思想與數列某遞歸函數定義為：$f(n)=\begin{cases}1&n=1\2f(n-1)+1&n>1\end{cases}$，則$f(5)$的值為（）A.15B.31C.63D.127數據結構與集合運算已知集合$A={x|x^2-5x+6\leq0}$，$B={x|\text{隨機數生成函數}\text{randint}(1,10)\text{的輸出值}}$，則$A\capB$的元素個數的數學期望為（）A.2.8B.3.2C.3.6D.4.0復雜度分析與函數增長下列四個函數中，增長速度最快的是（）A.$f(n)=n\logn$B.$f(n)=n^2$C.$f(n)=2^n$D.$f(n)=n!$二分法與方程求解用二分法求方程$x^3-2x-5=0$在區(qū)間$[2,3]$內的近似解，若精確度為0.1，則至少需要迭代的次數為（）A.3B.4C.5D.6邏輯判斷與命題某程序的條件判斷語句為：If(a>0Andb<=5)OrNot(c==0)Then...，若$a=3$，$b=6$，$c=0$，則該條件的執(zhí)行結果為（）A.TrueB.FalseC.無法確定D.語法錯誤算法優(yōu)化與不等式用冒泡排序對數組$[5,3,8,1,2]$進行升序排序，需要交換元素的次數為（）A.6B.7C.8D.9動態(tài)規(guī)劃與最優(yōu)化某機器人從原點$(0,0)$移動到$(m,n)$，每次只能向右或向上移動1個單位，且不能經過點$(2,3)$，則不同路徑的條數為（）A.$\binom{m+n}{m}-\binom{5}{2}\binom{(m-2)+(n-3)}{m-2}$B.$\binom{m+n}{m}-\binom{m+n}{2}$C.$\binom{m+n}{m}-1$D.$\binom{m+n-1}{m-1}$概率模擬與統(tǒng)計用隨機模擬方法估計圓周率$\pi$：向邊長為2的正方形內隨機投點，記錄落在該正方形內切圓內的點數。若投點10000次，落在圓內的次數為7850，則$\pi$的估計值為（）A.3.12B.3.14C.3.16D.3.18位運算與二進制二進制數$101101_2$與$11011_2$進行按位異或運算的結果為（）A.$110110_2$B.$011010_2$C.$100110_2$D.$010010_2$二、填空題（每題4分，共5題，共20分）迭代法與極限迭代公式$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{2}{x_n})$，若$x_1=1$，則$\lim_{n\to\infty}x_n=$________。哈希函數與同余某哈希表采用除留余數法構造哈希函數：$H(key)=key\mod7$，若插入關鍵字序列$[14,23,32,41,50]$，則發(fā)生沖突的關鍵字是________（填寫具體數值）。貪心算法與區(qū)間覆蓋用區(qū)間$[1,4]$、$[2,5]$、$[3,6]$、$[7,9]$覆蓋數軸上的$[1,9]$，最少需要選擇的區(qū)間個數為________。矩陣運算與圖像旋轉平面直角坐標系中，點$(x,y)$繞原點逆時針旋轉$90^\circ$的變換矩陣為$\begin{pmatrix}0&-1\1&0\end{pmatrix}$，則點$(3,4)$旋轉后的坐標為________。分治思想與排列組合用分治法求$n$個元素的全排列數，其時間復雜度的遞推關系式為$T(n)=nT(n-1)+O(n)$，則$T(n)$的漸進表達式為________。三、解答題（共5題，共50分）1.算法設計與數列求和（8分）問題：設計一個時間復雜度為$O(n)$的算法，計算數列${a_n}$的前$n$項和，其中$a_n=1+3+5+\dots+(2n-1)$。（1）寫出算法的偽代碼；（2）用數學歸納法證明算法的正確性；（3）若$n=100$，求算法輸出的結果。2.遞歸與函數圖像（10分）問題：定義分形曲線如下：第0階：線段$y=0$，$x\in[0,1]$；第1階：將線段三等分，中間段替換為“V”形，頂點坐標為$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$；第$k$階：對第$k-1$階的每條線段重復上述操作。（1）寫出第$k$階曲線的總長度$L(k)$的遞推公式；（2）計算$\lim_{k\to\infty}L(k)$；（3）用Python語言繪制第3階曲線的圖像（寫出核心代碼）。3.動態(tài)規(guī)劃與資源分配（12分）問題：某工廠生產A、B兩種產品，生產1件A需消耗2噸原料和3小時工時，利潤500元；生產1件B需消耗3噸原料和2小時工時，利潤400元?，F(xiàn)有原料100噸，工時80小時，且A、B的產量均為非負整數。（1）建立利潤最大化的數學模型；（2）用動態(tài)規(guī)劃法求解最優(yōu)生產方案；（3）若原料增加1噸，利潤最多增加多少元？4.圖論與最短路（10分）問題：城市交通網絡如圖所示，頂點表示路口，邊表示道路，邊上的數字為道路長度（單位：公里）。①———2———②———3———③/|/|\|\1|/|\|4/|/|\|④5⑥2⑦⑧\|\|/|3|\|/|1\|\|/|/⑤———4———⑨———2———⑩（1）用Dijkstra算法求從路口①到路口⑩的最短路程；（2）若道路⑥-⑨因施工封閉，重新計算最短路程；（3）分析該網絡的平均路徑長度（保留2位小數）。5.概率模擬與統(tǒng)計推斷（10分）問題：某游戲規(guī)則如下：玩家擲兩個骰子，若點數之和為7或11則獲勝，為2、3或12則失敗，其他情況繼續(xù)擲骰子，直到點數之和等于首次結果（獲勝）或等于7（失?。＃?）用隨機模擬法估計獲勝概率（要求：寫出算法步驟，模擬10000次）；（2）用全概率公式計算獲勝概率的理論值；（3）比較模擬結果與理論值的差異，并分析誤差來源。四、編程實踐題（共2題，共20分）1.數據處理與函數擬合（10分）問題：給定某城市2015-2024年的年度GDP數據（單位：億元）：[5200,5800,6500,7300,8200,9200,10300,11500,12800,14200]（1）用Python讀取數據并繪制折線圖；（2）分別用線性函數$y=ax+b$和指數函數$y=ce^{dx}$擬合數據；（3）預測2025年的GDP，并比較兩種模型的擬合優(yōu)度（$R^2$）。2.算法優(yōu)化與復雜度分析（10分）問題：比較以下兩種排序算法的性能：算法A：冒泡排