2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“食品科學(xué)與數(shù)學(xué)”科普試題（一）一、選擇題（每題5分，共30分）面包配方的等比縮放某法式面包配方中面粉與水的比例為10:6，制作6個(gè)面包需500克面粉。若要制作9個(gè)相同大小的面包，需水量為（）A.300克B.450克C.540克D.600克答案：B解析：由題意知面粉與水的比例為10:6，即每10克面粉需6克水。制作6個(gè)面包需500克面粉，則制作9個(gè)面包需面粉量為(\frac{500}{6}\times9=750)克。設(shè)需水量為(x)克，根據(jù)比例(\frac{10}{6}=\frac{750}{x})，解得(x=450)克。食品保質(zhì)期的對數(shù)模型某食品的腐敗速率滿足(N(t)=N_0e^{-kt})，其中(N(t))為(t)天后的活菌數(shù)，(k=0.2)。若活菌數(shù)降至初始值的(\frac{1}{e})時(shí)需下架，則保質(zhì)期為（）A.3天B.5天C.7天D.10天答案：B解析：令(N(t)=\frac{1}{e}N_0)，代入公式得(\frac{1}{e}N_0=N_0e^{-0.2t})，兩邊取自然對數(shù)得(-1=-0.2t)，解得(t=5)天。飲料灌裝的正態(tài)分布某飲料灌裝量服從(N(500,4^2))（單位：mL），質(zhì)檢標(biāo)準(zhǔn)為492~508mL。則灌裝合格的概率約為（）A.68.3%B.95.4%C.99.7%D.99.9%答案：C解析：正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))中，(\mu=500)，(\sigma=4)。492~508mL對應(yīng)(\mu-2\sigma)至(\mu+2\sigma)，根據(jù)3σ原則，該區(qū)間概率為95.4%。修正：492=500-2×4，508=500+2×4，應(yīng)為2σ范圍，概率95.4%，答案B。蛋糕烘焙的二次函數(shù)優(yōu)化烤箱溫度(x(℃))與蛋糕膨脹體積(y(cm^3))滿足(y=-0.1x^2+30x-1000)，則最佳烘焙溫度為（）A.150℃B.200℃C.250℃D.300℃答案：A解析：二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x=-\frac{2a})。代入(a=-0.1)，(b=30)，得(x=-\frac{30}{2\times(-0.1)}=150)℃。食品運(yùn)輸?shù)木€性規(guī)劃某企業(yè)運(yùn)輸A、B兩種食品，A每箱利潤30元，B每箱利潤50元。車輛限載A不超過10箱，B不超過8箱，總重量不超過120kg（A每箱8kg，B每箱10kg）。最大利潤為（）A.400元B.460元C.500元D.580元答案：B解析：設(shè)運(yùn)輸A(x)箱，B(y)箱，約束條件：(x\leq10)，(y\leq8)，(8x+10y\leq120)，目標(biāo)函數(shù)(z=30x+50y)。可行域頂點(diǎn)為(0,8)、(5,8)、(10,4)、(10,0)，代入得(z)最大值為(30×5+50×8=460)元。罐頭殺菌的熱傳導(dǎo)方程圓柱形罐頭中心溫度(T(t))滿足(\frac{dT}{dt}=-k(T-T_0))，(T_0=121℃)（殺菌溫度），初始溫度25℃，10分鐘后溫度升至85℃，則(k=)（）A.0.05B.0.1C.0.15D.0.2答案：B解析：方程通解為(T(t)=T_0+(T_1-T_0)e^{-kt})，代入(T(0)=25)，(T(10)=85)，得(85=121+(25-121)e^{-10k})，化簡得(e^{-10k}=0.375)，取對數(shù)得(k=-\frac{\ln0.375}{10}\approx0.1)。二、填空題（每題6分，共24分）果醬濃縮的濃度計(jì)算100kg含果肉20%的果汁，濃縮后果肉含量升至40%，需蒸發(fā)水分______kg。答案：50解析：果肉質(zhì)量守恒，初始果肉為(100\times20%=20)kg。設(shè)濃縮后總質(zhì)量為(m)，則(40%m=20)，解得(m=50)kg，蒸發(fā)水分(100-50=50)kg。巧克力調(diào)溫的三角函數(shù)模型可可脂結(jié)晶速率(v(℃/min)=2\sin(\frac{\pi}{6}t)+1)，則在(t=3)min時(shí)的速率為______℃/min。答案：3解析：代入(t=3)，得(v=2\sin(\frac{\pi}{6}\times3)+1=2\sin(\frac{\pi}{2})+1=2×1+1=3)。食品包裝的幾何優(yōu)化正方體餅干盒容積為1000cm3，若材料成本與表面積成正比，則表面積最小值為______cm2。答案：600解析：設(shè)棱長為(a)，則(a^3=1000)，(a=10)cm。表面積(S=6a^2=6×100=600)cm2（正方體為同體積下表面積最小的長方體）。感官評價(jià)的矩陣運(yùn)算3位評委對2種食品的評分矩陣為(A=\begin{pmatrix}8&9\7&6\9&8\end{pmatrix})，權(quán)重向量(w=\begin{pmatrix}0.4\0.3\0.3\end{pmatrix})，則加權(quán)平均分向量為______。答案：(\begin{pmatrix}8\7.5\end{pmatrix})解析：計(jì)算(A^Tw=\begin{pmatrix}8×0.4+7×0.3+9×0.3\9×0.4+6×0.3+8×0.3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\7.5\end{pmatrix})。三、解答題（共46分）食品保質(zhì)期的微分方程模型（12分）某酸奶在25℃下的活菌數(shù)(N(t))滿足(\frac{dN}{dt}=-0.05N)，初始活菌數(shù)(N_0=10^6)個(gè)/mL。（1）求(N(t))的表達(dá)式；（2）若活菌數(shù)降至(10^4)個(gè)/mL時(shí)變質(zhì)，求保質(zhì)期（精確到1天）。答案：（1）分離變量得(\frac{dN}{N}=-0.05dt)，積分得(\lnN=-0.05t+C)。代入(t=0)，(N=10^6)，得(C=\ln10^6)，故(N(t)=10^6e^{-0.05t})。（2）令(10^4=10^6e^{-0.05t})，化簡得(e^{-0.05t}=0.01)，取對數(shù)(-0.05t=\ln0.01\approx-4.605)，解得(t\approx92)天。飲料調(diào)配的線性方程組（14分）用A、B兩種濃縮液調(diào)配果汁，A含維生素C2g/L，糖50g/L；B含維生素C1g/L，糖100g/L。目標(biāo)：10L果汁含維生素C15g，糖800g。（1）設(shè)需A(x)L，B(y)L，列方程組；（2）求解(x)和(y)的值。答案：（1）根據(jù)總量和成分守恒：[\begin{cases}x+y=10\2x+y=15\50x+100y=800\end{cases}]（2）由前兩式解得(x=5)，(y=5)。代入第三式驗(yàn)證：(50×5+100×5=750\neq800)，說明含糖量不達(dá)標(biāo)。調(diào)整第三式為(50x+100y=800)，聯(lián)立(x+y=10)，解得(x=4)，(y=6)（此時(shí)維生素C為(2×4+1×6=14)g，需微調(diào)至15g，故原方程組無解，需優(yōu)化配方）。烘焙車間的概率統(tǒng)計(jì)（20分）某車間生產(chǎn)的餅干重量服從(N(100,2^2))（單位：g），質(zhì)檢隨機(jī)抽取100包。（1）求單包重量在98~102g的概率；（2）估計(jì)100包中重量超104g的數(shù)量；（3）若樣本均值(\bar{X})服從正態(tài)分布，求(P(99.6<\bar{X}<100.4))。答案：（1）(\mu=100)，(\sigma=2)，98~102g為(\mu\pm\sigma)，概率68.3%。（2）104g為(\mu+2\sigma)，單側(cè)概率2.3%，100包中約(100×2.3%=2)包。（3）樣本均值(\bar{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^2}{n})=N(100,0.2^2))，99.6~100.4為(\mu\pm2×0.2)，概率95.4%。四、拓展題（10分）食品供應(yīng)鏈的圖論模型某企業(yè)從3個(gè)產(chǎn)地（A、B、C）向2個(gè)倉庫（D、E）運(yùn)輸原料，單位運(yùn)價(jià)（元/噸）如下表，產(chǎn)地供應(yīng)量和倉庫需求量如下：|產(chǎn)地|供應(yīng)量（噸）|倉庫|需求量（噸）||------|--------------|------|--------------||A|20|D|30||B|30|E|25||C|15||||運(yùn)價(jià)|D|E||A|5|8||B|4|6||C|3|7|用最小成本法求運(yùn)輸方案及總成本。答案：優(yōu)先滿足低運(yùn)價(jià)：C→D（3元）：15噸（C供應(yīng)量用盡），D需求剩15噸；B→D（4元）：15