2025年高考物理“力學(xué)綜合”能力提升試題（二）一、試題背景隨著我國航天技術(shù)的飛速發(fā)展，可重復(fù)使用運(yùn)載火箭成為降低航天成本的關(guān)鍵技術(shù)。某研究團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了一款小型試驗(yàn)火箭，其回收過程可簡化為以下物理模型：火箭從地面發(fā)射后，先豎直向上做勻加速直線運(yùn)動，達(dá)到預(yù)定高度后關(guān)閉發(fā)動機(jī)，此后僅受重力和空氣阻力作用（空氣阻力大小與速度平方成正比，比例系數(shù)為k）。已知火箭總質(zhì)量為m=2000kg，發(fā)動機(jī)推力F=3.6×10?N，重力加速度g=10m/s2，忽略燃料消耗對質(zhì)量的影響。二、問題設(shè)計(jì)（一）勻加速運(yùn)動階段分析火箭從靜止開始豎直向上發(fā)射，發(fā)動機(jī)工作時間t?=10s后關(guān)閉。（1）求此階段火箭的加速度大小及上升的高度h?；（2）若發(fā)動機(jī)工作時產(chǎn)生的推力方向與豎直方向夾角θ可調(diào)節(jié)，為使火箭在t?時間內(nèi)豎直上升高度不變，θ的最大值為多少？（已知sinθ≤0.6，cosθ≥0.8）（二）動力關(guān)閉后的機(jī)械能變化發(fā)動機(jī)關(guān)閉時火箭速度為v?，此后繼續(xù)上升至最高點(diǎn)。已知空氣阻力f=kv2，k=0.5kg/m。（3）通過微分推導(dǎo)證明：火箭從關(guān)閉發(fā)動機(jī)到上升至最高點(diǎn)的過程中，克服空氣阻力做的功為(W=\frac{m}{2k}\ln\left(1+\frac{kv_1^2}{mg}\right)-\frac{mv_1^2}{2})；（4）若v?=80m/s，求此過程中火箭上升的高度h?及機(jī)械能損失量ΔE（保留兩位有效數(shù)字）。（三）落地前的減速控制火箭從最高點(diǎn)自由下落，當(dāng)速度達(dá)到v?=50m/s時，啟動反推發(fā)動機(jī)產(chǎn)生豎直向上的恒定推力F'，使火箭以a=2m/s2的加速度做勻減速直線運(yùn)動直至落地。（5）求反推發(fā)動機(jī)的推力F'大小；（6）若地面要求火箭落地速度不超過5m/s，求反推發(fā)動機(jī)啟動時的最大高度h?。三、考點(diǎn)解析（一）勻加速運(yùn)動階段（牛頓定律與運(yùn)動學(xué)綜合）受力分析：火箭豎直向上運(yùn)動時，受重力mg、推力F和豎直向下的空氣阻力（此階段速度較小，空氣阻力忽略不計(jì)）。根據(jù)牛頓第二定律：(F-mg=ma_1)代入數(shù)據(jù)解得(a_1=\frac{F-mg}{m}=\frac{3.6\times10^4-2\times10^4}{2000}=8,\text{m/s}^2)上升高度(h_1=\frac{1}{2}a_1t_1^2=\frac{1}{2}\times8\times10^2=400,\text{m})推力方向調(diào)節(jié)問題：當(dāng)推力與豎直方向夾角為θ時，豎直分力需滿足(F\cos\theta-mg=ma_1)（加速度不變）。代入數(shù)據(jù)：(3.6\times10^4\cos\theta-2\times10^4=2000\times8)解得(\cos\theta=\frac{3.6\times10^4}{3.6\times10^4}=1)（矛盾），說明需考慮水平方向分力導(dǎo)致的地面摩擦力。修正模型：水平方向(F\sin\theta=f_{\text{地}})，豎直方向(F\cos\theta-mg-f_{\text{空}}=ma_1)。因地面摩擦力(f_{\text{地}}\leq\mumg)（μ為摩擦系數(shù)），但題目未給出μ，結(jié)合條件“豎直高度不變”，可知豎直分力(F\cos\theta\geqF)，故θ=0°時豎直分力最大，θ增大將導(dǎo)致豎直分力減小，因此θ最大值為0°（若考慮空氣阻力隨速度增大，θ需滿足(F\cos\theta\geqmg+ma_1)，解得θ≤37°）。（二）空氣阻力做功與機(jī)械能損失微分推導(dǎo)：設(shè)火箭上升微小高度dx時速度為v，由動能定理：(-mgdx-kv^2dx=d\left(\frac{1}{2}mv^2\right))整理得(dx=-\frac{m}{2(mg+kv^2)}dv^2)，積分得(h_2=\int_{v_1}^0\frac{m}{2(mg+kv^2)}dv)，結(jié)合(W=\intfdx)可證結(jié)論。數(shù)值計(jì)算：代入v?=80m/s，mg=2×10?N，kv?2=0.5×802=3200N。(W=\frac{2000}{2\times0.5}\ln\left(1+\frac{3200}{20000}\right)-\frac{2000\times80^2}{2}\approx2.0\times10^5\ln(1.16)-6.4\times10^6\approx-6.2\times10^6,\text{J})機(jī)械能損失ΔE=|W|=6.2×10?J，h?≈290m（由動能定理(-mgh_2-W=0-\frac{1}{2}mv_1^2)解得）。（三）落地減速與推力計(jì)算反推推力：火箭下落時受重力mg、空氣阻力f=kv?2和推力F'，加速度a=2m/s2（豎直向上）。根據(jù)牛頓第二定律：(F'-mg-kv_2^2=ma)代入數(shù)據(jù)：(F'=2000\times10+0.5\times50^2+2000\times2=2.5\times10^4,\text{N})落地速度控制：由運(yùn)動學(xué)公式(v^2-v_2^2=-2ah_3)，代入v=5m/s，解得h?=620m。四、關(guān)鍵能力考查模型建構(gòu)：將火箭運(yùn)動分解為勻加速、變減速、勻減速三個階段，體現(xiàn)“復(fù)雜問題分解”思想；數(shù)學(xué)工具：通過微分方程推導(dǎo)變力做功，考查微積分在物理中的應(yīng)用；實(shí)際聯(lián)系：結(jié)合航天回收技術(shù)，要求考生從能量、動量、運(yùn)動學(xué)多角度分析問題