2025年高中物理知識競賽復(fù)雜系統(tǒng)下的物理問題求解測試（一）一、多體耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析（一）彈簧振子網(wǎng)絡(luò)的振動(dòng)模式在光滑水平面上固定有N個(gè)質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)，相鄰質(zhì)點(diǎn)間通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連接，形成一維鏈狀結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)初始時(shí)刻處于平衡狀態(tài)，t=0時(shí)給第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿鏈方向的初速度v?，其他質(zhì)點(diǎn)初速度為零。試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程組，并求解第n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移表達(dá)式。解析思路：模型簡化：將系統(tǒng)抽象為具有周期性邊界條件的耦合振子系統(tǒng)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移記為x?(t)，其動(dòng)力學(xué)方程滿足：[m\ddot{x}i=k(x{i+1}-2x_i+x_{i-1})\quad(i=1,2,...,N)]其中x?=x_N，x_{N+1}=x?（周期性邊界條件）。分離變量法：假設(shè)解的形式為x?(t)=A?e^(iωt)，代入方程得色散關(guān)系：[ω2=\frac{4k}{m}\sin2\left(\frac{nπ}{N}\right)\quad(n=1,2,...,N-1)]對應(yīng)簡正模式的振幅分布為A?∝sin(2πni/N)。初值條件匹配：通過傅里葉變換將初始條件展開為簡正模式疊加，最終得到第n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移：[x_n(t)=\frac{2v?}{N}\sqrt{\frac{m}{k}}\sum_{p=1}^{N-1}\frac{\sin\left(\frac{πpn}{N}\right)\sin\left(\frac{πp}{N}\right)}{\omega_p}\sin(\omega_pt)]其中ω?=2√(k/m)sin(πp/N)。（二）天體多體系統(tǒng)的軌道穩(wěn)定性考慮三星系統(tǒng)中，兩顆質(zhì)量為M的恒星繞共同質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng)，另一顆質(zhì)量為m的行星在垂直于雙星軌道平面的軸線上做圓周運(yùn)動(dòng)。已知雙星間距為2a，行星軌道半徑為r（r>>a），試分析行星軌道穩(wěn)定的條件。關(guān)鍵分析點(diǎn)：參考系選擇：在雙星質(zhì)心平動(dòng)參考系中，行星受到的有效勢能包括引力勢能和離心勢能：[U_{\text{eff}}(r)=-\frac{GMm}{\sqrt{r2+a2}}-\frac{GMm}{\sqrt{r2+a2}}+\frac{1}{2}m\omega2r2]其中ω為行星軌道角速度，需滿足引力提供向心力：[\frac{GMmr}{(r2+a2)^{3/2}}=m\omega2r]穩(wěn)定性判據(jù)：對有效勢能求二階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)d2U?ff/dr2>0時(shí)軌道穩(wěn)定。經(jīng)過計(jì)算可得穩(wěn)定條件為：[r>a\sqrt{8}]此時(shí)行星軌道平面不會(huì)發(fā)生翻轉(zhuǎn)，且徑向小擾動(dòng)會(huì)產(chǎn)生簡諧振動(dòng)。二、非線性物理系統(tǒng)的自組織現(xiàn)象（一）貝納德對流的臨界條件在厚度為d的水平液層中，下表面溫度T?高于上表面溫度T?（T?-T?=ΔT），重力加速度g豎直向下，液體的熱膨脹系數(shù)為α，動(dòng)力粘度為η，熱擴(kuò)散率為κ，導(dǎo)熱系數(shù)為k。試推導(dǎo)系統(tǒng)出現(xiàn)貝納德對流的臨界溫度差ΔT_c。無量綱分析：控制參數(shù)：定義瑞利數(shù)Ra=αgΔTd3/(νκ)，其中ν=η/ρ為運(yùn)動(dòng)粘度。線性穩(wěn)定性分析：對納維-斯托克斯方程和熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行小擾動(dòng)展開，得到臨界瑞利數(shù)Ra_c=1708（對于剛性邊界條件）。臨界溫度差：代入瑞利數(shù)定義式，解得：[\DeltaT_c=\frac{1708\nu\kappa}{\alphagd3}]當(dāng)ΔT>ΔT_c時(shí)，系統(tǒng)從熱傳導(dǎo)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閷α鲬B(tài)，形成規(guī)則的六角形對流胞結(jié)構(gòu)。（二）混沌系統(tǒng)的初值敏感性考慮Logistic映射x???=μx?(1-x?)，其中x∈[0,1]，控制參數(shù)μ∈[0,4]。當(dāng)μ=3.83時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入周期3窗口，試計(jì)算其Lyapunov指數(shù)，并分析初值差異Δx?=10??經(jīng)過100次迭代后的偏差Δx???。計(jì)算步驟：Lyapunov指數(shù)定義：對于一維映射，Lyapunov指數(shù)λ=lim?→∞(1/n)Σln|f’(x?)|，其中f(x)=μx(1-x)。數(shù)值計(jì)算：迭代映射至穩(wěn)定周期軌道：x?=0.1498，x?=0.4891，x?=0.9593，x?=0.1498（周期3）導(dǎo)數(shù)乘積：|f’(x?)f’(x?)f’(x?)|=|μ(1-2x?)·μ(1-2x?)·μ(1-2x?)|≈3.83×1.20×3.56×1.84≈30.2Lyapunov指數(shù)λ=(1/3)ln30.2≈1.1偏差演化：Δx?≈Δx?·e^(λn)，代入得Δx???≈10??·e^(1.1×100)=10??·e11?≈10?3，呈現(xiàn)指數(shù)級放大。三、電磁學(xué)中的復(fù)雜邊界問題（一）非均勻介質(zhì)中的電磁波傳播半徑為R的無限長介質(zhì)圓柱，介電常數(shù)沿徑向分布為ε(r)=ε?(R/r)2，磁導(dǎo)率μ=μ?。當(dāng)平面電磁波沿圓柱軸向入射時(shí)，求電磁波在介質(zhì)內(nèi)外的傳播模式及衰減系數(shù)。電磁場分析：柱坐標(biāo)系分離變量：設(shè)入射波為TE波（磁場平行于圓柱軸），磁場強(qiáng)度H_z(r,θ)=R(r)Φ(θ)，代入亥姆霍茲方程：[\frac{1}{r}\fracz3jilz61osys{dr}\left(r\frac{dR}{dr}\right)+\left(k2-\frac{m2}{r2}\right)R=0]其中k2=ω2μ?ε(r)=ω2μ?ε?R2/r2，令ξ=ωR√(μ?ε?)=ωR/c，方程化為貝塞爾方程：[\xi2\frac{d2R}{d\xi2}+\xi\frac{dR}{d\xi}+(\xi2-m2)R=0]邊界條件匹配：介質(zhì)內(nèi)（r≤R）：解為第一類貝塞爾函數(shù)J?(ξ)介質(zhì)外（r>R）：解為漢克爾函數(shù)H??1?(kr)（輻射條件）邊界r=R處H_z和?H_z/?r連續(xù)，得到色散關(guān)系：[\frac{J'_m(\xi)}{\xiJ_m(\xi)}=\frac{H'_m?1?(kR)}{kRH_m?1?(kR)}]衰減系數(shù)計(jì)算：當(dāng)頻率低于截止頻率ω_c=mc/R時(shí)，介質(zhì)外波矢k為虛數(shù)，電磁波以指數(shù)形式衰減，衰減系數(shù)α=|Im(k)|=√(m2c2/R2-ω2)/c。四、熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理綜合問題（一）非平衡態(tài)熱力學(xué)中的熵產(chǎn)率在溫差ΔT和壓差ΔP驅(qū)動(dòng)下，理想氣體通過半徑為r、長度為L的毛細(xì)管流動(dòng)，已知?dú)怏w熱導(dǎo)率κ、粘度η、定容比熱c?，試推導(dǎo)系統(tǒng)的熵產(chǎn)率表達(dá)式。不可逆過程分析：通量-力關(guān)系：系統(tǒng)存在熱流J_Q和物質(zhì)流J_N（粒子數(shù)通量），對應(yīng)的熱力學(xué)力為X_T=ΔT/(T2L)，X_P=ΔP/(TL)，滿足線性關(guān)系：[J_Q=L_{11}X_T+L_{12}X_P][J_N=L_{21}X_T+L_{22}X_P]由昂薩格倒易關(guān)系L??=L??。熵產(chǎn)率計(jì)算：根據(jù)非平衡態(tài)熱力學(xué)，熵產(chǎn)率σ=J_QX_T+J_NX_P，代入唯象系數(shù)得：[\sigma=\frac{L_{11}(\DeltaT)^2}{T^4L2}+\frac{2L_{12}\DeltaT\DeltaP}{T3L2}+\frac{L_{22}(\DeltaP)^2}{T2L2}]其中唯象系數(shù)可通過微觀模型計(jì)算：L??=πr?/(8ηL)，L??=πr?ΔP/(8TL)，L??=κπr2/(LΔT)。（二）量子統(tǒng)計(jì)中的玻色-愛因斯坦凝聚考慮三維各向異性諧振子勢V(r)=?m(ω?2x2+ω?2y2+ω_z2z2)中的玻色氣體，試計(jì)算系統(tǒng)發(fā)生玻色-愛因斯坦凝聚的臨界溫度T_c，并討論各向異性對凝聚分?jǐn)?shù)的影響。統(tǒng)計(jì)力學(xué)處理：態(tài)密度計(jì)算：在量子力學(xué)中，諧振子能級ε=?(n?ω?+n?ω?+n_zω_z)，對大量粒子系統(tǒng)，配分函數(shù)的對數(shù)可化為積分：[\lnZ=-\int_0^\inftyg(\varepsilon)\ln(1-e^{-\beta(\varepsilon-\mu)})d\varepsilon]其中態(tài)密度g(ε)=ε2/(8π?3ω?ω?ω_z)（三維各向同性時(shí)退化為ε2/(8π?3ω3)）。臨界溫度推導(dǎo)：當(dāng)化學(xué)勢μ→0時(shí)，粒子數(shù)N=N?+∫?^∞g(ε)/(e^(βε)-1)dε，凝聚溫度T_c滿足：[N=\left(\frac{k_BT_c}{\hbar}\right)^3\frac{\zeta(3)}{8π\(zhòng)omega?ω?ω_z}\prod_{i=x,y,z}\omega_i]其中ζ(3)≈1.202為黎曼ζ函數(shù)。對各向異性系統(tǒng)，定義幾何平均頻率ω=(ω?ω?ω_z)^(1/3)，則T_c=?ω(k_B?1)(N8πζ(3))^(1/3)，與各向同性情況形式一致，但激發(fā)態(tài)分布依賴于各方向頻率分量。五、波動(dòng)光學(xué)中的干涉衍射綜合（一）光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)二維正方格子光子晶體由介電常數(shù)ε=12的介質(zhì)柱排列在空氣（ε=1）中，晶格常數(shù)a，柱半徑r=0.2a，試計(jì)算Γ-X方向（布里淵區(qū)邊界）的光子帶隙寬度。平面波展開法：**Maxwell方程組的傅里葉展開**：將電場E(r)=ΣE_Ge^(iG·r)，介電函數(shù)ε(r)=Σε_Ge^(iG·r)代入亥姆霍茲方程?×(?×E)=(ω2/c2)ε(r)E，得到矩陣方程：[\sum_{G'}\left[(k+G)×(k+G')×E_{G'}-\frac{\omega2}{c2}\sum_{G''}\varepsilon_{G-G''}E_{G'}\right]=0]其中G為倒格矢，k為波矢。數(shù)值計(jì)算結(jié)果：在Γ點(diǎn)（k=(0,0)），最低帶隙下邊界ω?=0.85c/a；在X點(diǎn)（k=(π/a,0)），上邊界ω?=1.2c/a，帶隙寬度Δω=0.35c/a，對應(yīng)頻率范圍Δν=Δω/(2π)=0.056c/a。當(dāng)a=500nm時(shí)，Δν≈34THz，落在可見光頻段。（二）超表面透鏡的聚焦特性設(shè)計(jì)一個(gè)由矩形納米天線陣列組成的超表面，工作波長λ=600nm，相對介電常數(shù)ε=2.25，要求實(shí)現(xiàn)焦距f=10λ的平面透鏡。試計(jì)算納米天線的尺寸參數(shù)及空間排列周期。相位調(diào)控原理：廣義斯涅爾定律：超表面對入射光的相位調(diào)制需滿足：[\sin\theta_t-\sin\theta_i=\frac{\lambda}{2π}\frac{d\phi}{dx}]對正入射（θ_i=0）的平面波，聚焦要求相位分布φ(x)=-π(x2+y2)/(λf)，即拋物面相位輪廓。納米天線設(shè)計(jì)：矩形天線的長度L決定其共振相位，通過FDTD仿真得到：當(dāng)天線寬度w=λ/10，厚度t=λ/5時(shí)，長度L在[0.3λ,0.7λ]范圍內(nèi)變化可實(shí)現(xiàn)0到2π的相位覆蓋，對應(yīng)的相位靈敏度dφ/dL≈10π/λ?？臻g排列：相鄰天線中心間距p=λ/2（避免高階衍射），沿x方向第n個(gè)天線的長度修正量ΔL_n=φ(x_n)·dL/dφ=-π(np)2/(λf)·λ/(10π)=-n2p2/(10f)，代入f=10λ，p=0.5λ得ΔL_n=-n2λ/400，實(shí)現(xiàn)連續(xù)相位補(bǔ)償。六、相對論力學(xué)與電磁學(xué)耦合（一）高速運(yùn)動(dòng)電荷的輻射場電荷量為q的粒子在均勻磁場B中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑R，相對論因子γ=1/√(1-v2/c2)>>1，試計(jì)算輻射場的角分布及總輻射功率。相對論電動(dòng)力學(xué)處理：李納-維謝爾勢：粒子速度v⊥B，加速度a=v2/R=qBv/(γm?)，方向指向圓心。在retarded時(shí)刻t'=t-R/c，輻射電場為：[\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\frac{q}{4πε?c2}\frac{\mathbf{n}×[(\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta})×\dot{\boldsymbol{\beta}}]}{(1-\mathbf{n}·\boldsymbol{\beta})3R}]其中β=v/c，n為輻射方向單位矢量，與v夾角為θ。角分布特性：當(dāng)γ>>1時(shí)，輻射集中在θ≈1/γ的圓錐內(nèi)，電場強(qiáng)度E∝γ2/(1+γ2θ2)3，輻射功率角分布滿足：[\frac{dP}{dΩ}=\frac{q2a2γ?θ2}{16πε?c3(1+γ2θ2)^5}]對立體角積分得總輻射功率（相對論拉莫爾公式）：[P=\frac{q2a2γ?}{6πε?c3}=\frac{q?B2v2γ2}{6πε?c3m?2}]同步輻射特征：輻射頻譜在臨界頻率ω_c=3γ3c/(2R)處達(dá)到極大，當(dāng)γ=10?，R=1m時(shí)，ω_c≈4.5×1021rad/s，對應(yīng)X射線波段。（二）引力場中的電磁波傳播考慮球?qū)ΨQ引力場（史瓦西度規(guī)）中，電磁波沿徑向傳播，試推導(dǎo)其頻率紅移公式及波包傳播延遲效應(yīng)。廣義相對論效應(yīng)：史瓦西度規(guī)線元：ds2=-(1-2GM/c2r)c2dt2+(1-2GM/c2r)?1dr2+r2(dθ2+sin2θdφ2)光傳播方程：對零測地線ds=0，光子波矢k^μ滿足測地線方程?_μk^ν=0，協(xié)變守恒k_μk^μ=0。解得徑向傳播時(shí)，頻率變換關(guān)系：[\frac{\nu}{\nu_0}=\sqrt{\frac{1-2GM/(c2r)}{1-2GM/(c2r_0)}}]當(dāng)光源位于r?，觀測者在r→∞時(shí)，引力紅移z=ν?/ν-1≈GM/(c2r?)。**Shapiro延遲**：光從r?傳播到r?的坐標(biāo)時(shí)間間隔Δt=∫(r?→r?)dr/[c(1-2GM/c2r)]≈(r?-r?)/c+(2GM/c3)ln(r?/r?)，比平直時(shí)空多出的延遲項(xiàng)為2GM/c3ln(r?/r?)，在太陽引力場中（M=1.989×103?kg），當(dāng)r?=太陽半徑（6.96×10?m），r?=地球軌道半徑（1.5×1011m）時(shí)，延遲量約2.4×10??s，與實(shí)驗(yàn)觀測一致。七、流體力學(xué)與波動(dòng)理論綜合（一）粘性流體的穩(wěn)定性分析密度ρ、粘度η的不可壓縮流體沿傾斜平面向下流動(dòng)，層流厚度h，重力加速度g，傾角θ，試通過線性穩(wěn)定性理論分析流動(dòng)失穩(wěn)的臨界雷諾數(shù)。Orr-Sommerfeld方程：基本流剖面：在邊界層近似下，流速沿法向分布滿足泊肅葉流動(dòng)規(guī)律：[U(z)=\frac{\rhog\sinθ}{2η}z(2h-z)\quad(0≤z≤h)]小擾動(dòng)方程：引入擾動(dòng)速度(u',v',w')和壓力p'，假設(shè)擾動(dòng)形式為(u',v',p')=(\hat{u}(z),\hat{v}(z),0,\hat{p}(z))e^(iαx+βy-iωt)，代入Navier-Stokes方程得Orr-Sommerfeld方程：[(D2-α2)^2\hat{v}=iαRe(U-c)(D2-α2)\hat{v}-iαReU''\hat{v}]其中D=d/dz，Re=ρU?h/η為雷諾數(shù)，U?=ρgsinθh2/(2η)為最大流速，c=ω/α為相速度。臨界雷諾數(shù)：通過數(shù)值求解特征值問題，當(dāng)αh=1.02時(shí)，中性穩(wěn)定曲線的最小雷諾數(shù)Re_c=585，此時(shí)流動(dòng)從層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧?。（二）表面波的非線性演化深度為h的無限大水池中，初始時(shí)刻水面高度分布為ζ(x,0)=acos(kx)，考慮表面張力σ和重力g的共同作用，試推導(dǎo)波面高度ζ(x,t)的三階非線性演化方程，并分析波峰尖化現(xiàn)象。Korteweg-deVries方程：色散關(guān)系：線性近似下，表面波的角頻率ω滿足：[ω2=(gk+σk3/ρ)\tanh(kh)]當(dāng)kh<<1（淺水波）時(shí)，tanh(kh)≈kh，色散關(guān)系簡化為ω2≈ghk2+σk?h/ρ。非線性修正：采用多尺度展開法（ε=a/h<<1，kh=O(ε)），引入慢變量ξ=ε(x-ct)，τ=ε2t，代入歐拉方程和連續(xù)性方程，得到三階KdV方程：[\frac{\partialζ}{\partialτ}+Aζ\frac{\partialζ}{\partialξ}+B\frac{\partial3ζ}{\partialξ3}=0]其中系數(shù)A=3/2√(gh)，B=(1/6)h3√(gh)-σh/(2ρ√(gh))。孤波解：當(dāng)B<0（色散為負(fù)）時(shí)，方程存在孤波解ζ(ξ,τ)=ζ?sech2[√(ζ?A/(4|B|))(ξ-(Aζ?/3)τ)]，波峰高度隨傳播逐漸增大，最終形成尖點(diǎn)（波峰角為120°），對應(yīng)實(shí)際物理中的波浪破碎現(xiàn)象。八、量子力學(xué)綜合應(yīng)用題（一）含時(shí)微擾下的躍遷概率氫原子處于基態(tài)，受到沿z軸的含時(shí)電場E(t)=E?e^(-t2/τ2)作用，計(jì)算t→∞時(shí)原子躍遷到2p態(tài)（n=2,l=1,m=0）的概率。費(fèi)米黃金規(guī)則：躍遷矩陣元：基態(tài)波函數(shù)ψ???=1/√(πa?3)e^(-r/a?)，2p態(tài)ψ???=1/√(32πa??)re^(-r/(2a?))cosθ，電偶極矩算符d=-ercosθ，矩陣元：[\langle210|d|100\rangle=-e\int\psi_{210}^*r\cosθ\psi_{100}dV=-\frac{32ea?}{243}]躍遷概率計(jì)算：根據(jù)含時(shí)微擾論，躍遷概率P=|∫?∞^∞〈f|H'(t)|i〉e^(iω_fit)dt|2/?2，其中H'=-d·E(t)=-d_zE?e^(-t2/τ2)，ω_fi=(E?-E?)/?=3e?μ?/(8?3)=3Ry/?（Ry為里德堡能量）。積分結(jié)果：[P=\frac{πe2E?2τ2a?2}{?2}\left(\frac{32}{243}\right)^2e^{-ω_{fi}2τ2/2}]當(dāng)τ>>1/ω_fi時(shí)，概率P≈(256πe2E?2a?2τ)/(2432?2√π)，與脈沖寬度τ成正比；當(dāng)τ<<1/ω_fi時(shí)，P≈(1024e2E?2a?2τ?)/(2432?2)，呈現(xiàn)τ?依賴關(guān)系。（二）量子糾纏態(tài)的貝爾不等式驗(yàn)證考慮兩個(gè)自旋1/2粒子組成的糾纏態(tài)|ψ??=(|↑↓?-|↓↑?)/√2，對粒子1測量自旋分量σ?·n?，對粒子2測量σ?·n?，其中n?=(sinθ?,0,cosθ?)，n?=(sinθ?,0,cosθ?)。計(jì)算關(guān)聯(lián)函數(shù)〈σ?·n?σ?·n?〉，并驗(yàn)證貝爾不等式的破壞程度。量子關(guān)聯(lián)計(jì)算：關(guān)聯(lián)函數(shù)展開：[\langle\sigma_1·\mathbf{n}1\sigma_2·\mathbf{n}2\rangle=\langle\psi^-|(\sigma{1x}n{1x}+\sigma_{1z}n_{1z})(\sigma_{2x}n_{2x}+\sigma_{2z}n_{2z})|\psi^-\rangle]利用泡利矩陣對易關(guān)系和糾纏態(tài)性質(zhì)，化簡得：[\langle\sigma_1·\mathbf{n}1\sigma_2·\mathbf{n}2\rangle=-n{1x}n{2x}-n_{1z}n_{2z}=-\cos(\theta_1-\theta_2)]貝爾不等式檢驗(yàn)：取θ?=0，θ?=π/4，θ?=π/2，構(gòu)造CHSH不等式：[|S|=|\langleAB\rangle+\langleAB'\rangle+\langleA'B\rangle-\langleA'B'\rangle|≤2]代入量子關(guān)聯(lián)結(jié)果：[S=-\cos(0-π/4)-\cos(0-π/2)-\cos(π/2-π/4)+\cos(π/2-π/2)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-0-\frac{\sqrt{2}}{2}+1=1-\sqrt{2}≈-0.414]但實(shí)際量子力學(xué)預(yù)言當(dāng)θ?=0，θ?=π/3，θ?=π/6時(shí)，|S|=2√2≈2.828>2，明確違反貝爾不等式，證實(shí)量子糾纏的非局域性。九、綜合問題：復(fù)雜系統(tǒng)中的能量輸運(yùn)（一）聲子熱傳導(dǎo)的玻爾茲曼方程考慮三維晶體中聲子的熱傳導(dǎo)過程，聲子色散關(guān)系ω=vsk，弛豫時(shí)間τ(k)=τ?(k/k?)^(-2)，試推導(dǎo)高溫極限下的熱導(dǎo)率κ(T)表達(dá)式。玻爾茲曼輸運(yùn)理論：分布函數(shù)修正：在溫度梯度?T作用下，聲子分布函數(shù)偏離平衡態(tài)f?(ω)，滿足玻爾茲曼方程：[v_s\cdot\nablaT\frac{\partialf_0}{\partialT}=-\frac{f-f_0}{\tau(k)}]解得非平衡修正f-f?=-v_sτ(k)·?T?f?/?T。