知識點（二）同側(cè)“一線三直角模型”【題型2】同側(cè)“一線三直角模型”知識點（三）異側(cè)“一線三直角模型”【題型3】異側(cè)“一線三直角模型”知識點（四）構(gòu)造“一線三直角模型”【題型4】構(gòu)造“一線三直角模型”知識點（五）同側(cè)“一線三等角模型”【題型5】同側(cè)“一線三等角模型”知識點（六）異側(cè)“一線三等角模型”【題型6】異側(cè)“一線三等角模型”:上1=上D進一步研究，我們會發(fā)現(xiàn)，K型圖是重要的幾何模型之一，在證明全等三角形及以后相似三角形中，有著重要的應(yīng)用．這一節(jié)我們就來深入研究K型圖（一線三等角）這一專題．正方形的面積S=．3．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組計劃用一根1.8米的標(biāo)桿CD測量旗桿AB的高度．他們的方案如下：如圖，求得該旗桿的高度是()知識點（二）同側(cè)“一線三直角模型”【題型2】同側(cè)“一線三直角模型”(1)求證：AB=EC；(1)試判斷AC與CE的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖②,若把△CDE沿直線BD向左移動，使△CDE的頂點C與B重合，AC與BE交于(3)圖②中，若S△ABC=12，AF:CF=3:1知識點（三）異側(cè)“一線三直角模型”了DB=PA,PB=CA,所以【題型3】異側(cè)“一線三直角模型”AE丄CD、BF⊥CD，垂足為E、F，求證：EF=AE-BF．8．如圖，△PMN在平面直角坐標(biāo)系中，點P，M在坐標(biāo)軸上，P(0,2)，N(2,-2)，PM=PN，PM丄PN，ND丄y軸于點D，則點M的坐標(biāo)是．(1)當(dāng)直線AE處于如圖的位置時，證明：△BAD≌△ACE．(2)猜想BD、DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．知識點（四）構(gòu)造“一線三直角模型”【題型4】構(gòu)造“一線三直角模型”度．如圖，當(dāng)靜止時海盜船位于鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸BBD上，轉(zhuǎn)軸中心B到地面的距離為3m．在蕩秋千過程中，當(dāng)秋千擺動到最高點A得點A到BD的距離為2m，點A到地面的距離為1.8m；當(dāng)從A處擺動到A￠處時，有知識點（五）同側(cè)“一線三等角模型”【題型5】同側(cè)“一線三等角模型”(2)當(dāng)DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（2）如圖@，將（1）中的條件改為在△ABC中，AB=AC，D，A，E三點都在直線m上，知識點（六）異側(cè)“一線三等角模型”【題型6】異側(cè)“一線三等角模型”17．在△ABC中，AB=AC,AB>BC，點D在邊BC上，BC=3BD，點E、F在線段AD特例探究：如圖@，上MAN=90°,射線AE在這個角的內(nèi)部，點B，C在DMAN的邊AM，AN上，且AB=AC,CF丄AE于點F,BD丄AE于點D．證明：△ABD≌△CAF；歸納證明：如圖③,點B,C在DMAN的邊AM,AN上，點E,F在DMAN內(nèi)部的射線AD上，【拓展應(yīng)用】于點F，DE與直線AF交于點G，G是DE的中點嗎?請說明理由．AF丄AE且AF=AEF位于AC的上方）(1)E在線段BC上時，①如圖1，過F點作FD丄AC交AC于D點，求證：△ADF≌△ECA，并寫出EC、CD和DF②如圖2，連接BF交AC于G點，若，求證：E點為BC中點；正半軸上，AB交y軸負(fù)半軸于點D．(3)在（2）的條件下，若A點到x軸、y軸BE=1，則DE的長是()長為()AD=12,DE=7，則BE的長()A．(-3,-1)B．(-3.5,-1)C．(-1,-4)D．(-4,-1)A．40°B．50°C．6028．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是(4,0)，點象限作BC丄AB且BC=AB，則點C的坐標(biāo)是．點，此時他測得CM和DM的夾角為90°,且CM=DM，已知旗桿AC的高為3m，小強同學(xué)行走的速度為0.5m/s．（1）另一旗桿BD的高度為m；30．如圖，正方形ABCD的頂點A在直線l上，BE丄直線l于點E，連接DE．若AE＝5，則△ADE（陰影部分）的面積為．31．直線CD經(jīng)過上BCA的頂點C，CA=C@如圖2，若0°<上BCA<180°,若使①中的結(jié)論仍然成立，則上a與上BCA應(yīng)滿足的關(guān)系33．如圖，在△ABC中，分別以AB和AC為邊作△ABE和△ACD，AB=AE，AC=AD，連接DE，延長CA交DE于F．若上ACB=上BAE=上CAD=(1)△BED≌△CDF；(1)△AOC≌△OBD；(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：DE(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，請猜想DE、AD、BE之間有何數(shù)量關(guān)的正方形的邊長為().等的是()40．如圖，秋千OB垂直地面時所在直線與地面交于點E，當(dāng)秋千拉至OA處，點A距離地面高度AD=0.7m，與OB的水平距離DE=1.2m．推動秋千從OA至OC處，此時恰好DAOC=90°,點C距離OB的水平距離EF=2m，則點C距離地面的高度CF為m．則BECF；EFBE-AF（填“>”、“<”或“=”）(3)如圖3，若直線CD經(jīng)過上BCA的外部，若上BCA=上a，則EF、BE、AF三條線段有何(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE；(3)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請（2）如圖@，若點A的坐標(biāo)為(-6,0)，點B在y軸的正半軸上運動時，分別以O(shè)B，AB為邊在第一、第二象限作等腰直角三角形OBF，等腰直角三角形ABE，連接EF交y軸于點P，當(dāng)點B在y軸的正半軸上移動時，PB的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出PB的值；若變化，求PB的取值范圍．結(jié)論，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計算圖中實線所圍成的圖形的面積S=______；AD，在直線AC右側(cè)作AE丄AD，且AE=AD，連接BE交直線AC于M，若.___________于點F，DE與直線AF交于點G．若BC=28，AF=19，求△ADG的面積．(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用以上結(jié)論來解決問題：如圖③,以AH丄BC，垂足為點H，延長HA交EG于點M．求證：點M是EG的中點．:△ACD≌△CBE(AAS)，故答案為：30．【分析】本題考查了勾股定理的運用，全等三角形的判定和性質(zhì)，證得△ABC≌△2+BC2:△ABC≌△CDE(ASA)，:BC=DE，:AC2=AB2+DE2=S2+S1，2:AC2=35，在△CPD和△BAP中:△CPD≌△BAP(AAS)，:AB=PC=BC-PB=17.4-1.8=15.6米，【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定??:△ABE≌△ECD(AAS).:AB=EC；:AB=4．:∠ADB=∠BEC=90°,:∠ABD+∠CBE=90°,:∠BAD=∠CBE，:∠BCE+∠BAD=90°,故②正確；:△ADB≥△BEC，【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是找【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握此知識點并靈活運用:DB=90°,:四邊形CDEF的面積為S△BDE-S△BCF=12-3=9．【分析】要證EF=AE-BF，考慮通過證明三角形全等，得到對應(yīng)邊相等，再利用線段間的和差關(guān)系推導(dǎo)．觀察圖形，可嘗試證明△AEC≌△CFB，進而得出AE、BF與EF的關(guān)系．本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理（AAS等）及利用全等得到對應(yīng)邊相等，再結(jié)合線段和差關(guān)系推導(dǎo):DAEC=DCFB=DACB=90o，:DCAE=DBCF，??:△AEC≌△CFB(AAS)，:AE=CF，CE=BF，:EF=AE-BF．【詳解】解：:P(0,2),N(2,-2)，:PD=4，:PM丄PN，:OM=PD=4，:M(-4,0)，故答案為：(-4,0)．（2）由△BAD≌△ACE得出BD=AE，AD=CE，分三種情況可得出BD，DE，CE的數(shù):△BAD≌△ACE（AAS如圖①,由（1）知：△BAD≌△ACE，:BD=DE+CE；如圖②,同（1）可證△ABD≌△CAE（AAS如圖③,同（1）可證△ABD≌△CAE（AAS:AC=BF=5m，:DF=BD-BF=5m．故答案為：5m．在△ACD和△CBE中，:△ACD≌△CBE(AAS)，:△BCD的面積為(2)1m??:A￠F=BC，:CD=AE=1.8；:BC=BD-CD=3-1.8=1.2，:BF=AC=2m，:A￠H=FD，(3)可以；上BDA的度數(shù)為110°或80°:上ADB=上DEC，:△ABD≌△DCE(AAS)；:上DAC=上AED，:△ADE是等腰三角形；:上ADC=100°,:上DAC=40°,:上DAC=上ADE，:△ADE的形狀是等腰三角形．出CE．:△ABD≌△DCE(AAS)，:△ADB≌△CEA(AAS)，:BD=AE,AD=CE，??:△ADB≌△CEA(AAS)，:AE=BD,AD=CE，:上BCE=上CAF，??:△BEC≌△CFA（AAS:BE=CF，CE=AF，:EF=CF-CE=BE-AF．:上FCA+上FAC=60°,:上BCE=上CAF．:△BCE≌△CAF（AAS:BE=CF，CE=AF，:EF=CF-CE=BE-AF．根據(jù)△ABD與△ABC等高且底邊比為1:3得出△ABD與△ABC面積比為1:3，進而求得:△ABE≌△CAF(ASA)，:△ACF的面積=△ABE的面積，:△ACF與△BDE的面積之和=△AB:△ABD的面積:△ACF與△BDE的面積之和=△ABD的面積=8．181）見解析2）見解析3）5【分析】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積計算，三角形的外角性質(zhì)等知識點的綜合應(yīng)用，判斷出兩三角形（2）根據(jù)圖③,運用三角形外角性質(zhì)求出上ABE=上CAF,上BAE=上FCA，根據(jù)（3）根據(jù)圖④,由CD=2BD,△ABC的面積為15，可求出△ABD的面積為5，根據(jù)??:△ABD≌△CAF(AAS)．??:△ABE≌△CAF(ASA)．:S△ACF+S△BDE=S△AB（2）G是DE的中點，理由見解析性質(zhì)得到AF=DM，同理AF=EN，由此可得EN=DM，再由此證明△DMG≌△ENG，由全等三角形的性質(zhì)得到DG=EG，于是得到點:DE=AD+AE，:上DBA=上EAC，:△DBA≌△EAC(AAS)，:BD=AE，AD=CE，如圖，作DM丄AF于M，EN丄AF于N，:BC丄AF，:上ABF=上DAM，在△ABF與△DAM中，:AF=DM，:BC丄AF，:△ACF≌△EAN(AAS)，:AF=EN，又:AF=DM，:EN=DM，???lDM=EN:DG=EG，:點G是DE的中點．②過F點作FD丄AC交AC于D點，根據(jù)（1）中結(jié)論可得FD=AC=BC，即可證明（2）過F作FD丄AG于點D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=GD，AD在△ADF和△ECA中，:△ADF≌△ECA(AAS)，②證明:如圖2，過F點作FD丄AC交AC于D點，:△ADF≌△ECA，:FD=AC=BC，:AD=DC，:EC=EB，:E為BC的中點；（2）解：如圖2中，過F作FD丄AG于點D，BC=AC，CE=CB-BE，:AD=CE，CG=DG，:AG=AC-CG，（3）如圖3中，過點F作FN丄CD步利用面積公式解答即可.如圖1，過點A作AH丄y軸于點H．:上ACH=上CBO，:△AHC≌△COB(AAS)，:OH=CH-CO=2-1=1，:A(-1,-1).:CE丄CF，:上ECF=上ACB=90°,:△ECA≌△FCB(ASA)，:CE=CF.（3）證明：如圖3中，過點F作FN丄CD于點N，過點A作AM丄CD于點M．:上ECO=上CFN，在△EOC和△CNF中，??:△EOC≌△CNF(AAS)，:OC=FN，:OC=AM，:△FND≌△AMD(AAS)，:DF=AD，DN=DM，:MN=b-a，輔助線是解本題的關(guān)鍵.:∠DAB+∠DBA=∠DAB+∠EAC=90°,又∵AB=AC，:△DBA≌△EAC(AAS)，??:△CEB≌△ADC(AAS),:△ACD≌△CBE(AAS):△CEB≌△ADC(AAS)，:BE=CD，AD=CE=12，與性質(zhì)（AAS先根據(jù)AAS證明△APO≌△OQB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=OQ，OP=BQ，再根據(jù)點A的坐標(biāo)為(-1,4)，求出點B的坐標(biāo)．:△APO≌△OQB(AAS)，:AP=OQ，OP=BQ，∵點A的坐標(biāo)為(-1,4)，:B(-4,-1)，【分析】此題主要考查了點的坐標(biāo)，熟練掌握全等三角形的判定與據(jù)此即可得出點C的坐標(biāo)．【詳解】解：過點C作CD丄y軸于點D，如圖所示：Q點A的坐標(biāo)是(4,0)，點B的坐標(biāo)是(0,3)，:DDBC+DOBA=90°,:上C=上OBA，:△CDB≌△BOA(AAS)，:點C的坐標(biāo)是(3,7)．故答案為：(3,7)．定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．QCM和DM的夾角為90°,:△CAM≌△MBD(AAS)，:AM=DB，AC=MB，:MB=3m，:AM=9m，:DB=9m；答：小強從M點到達A點還需要18秒．故答案為1）92）18．過點D作DF丄l于F，易證△ADF≌△BAE，可得DF=AE=3，即可求出面積．【詳解】解：過點D作DF丄l于F，:AD=AB，上DAB=90°,:上BAE=上ADF，在△ADF和△BAE中，:△ADF≌△BAE(AAS)，:DF=AE=5，出BE=CF，CE=AF即可得出結(jié)果；@求出上CBE=上ACF，由AAS證△BCE≌△CAF，:△BCE≌△CAF(AAS)，:BE=CF，CE=AF，:EF=CF-CE=BE-AF；:上BCA=上CBE+上BCE，:△BCE≌△CAF(AAS)，:BE=CF，CE=AF，:EF=CF-CE=BE-AFGF=AF=7，S△AGF=GF.AF=24.5，再證△ACF和△BAH全等得AF=BH=7，從而得S△然后S△AOG=S△AGF-S△GFO可得出答案．【詳解】解：過點B作BH丄AF于H，如圖所示：:△ACF≌△BAH(AAS)，在△BHO和△GFO中，:△BHO≌△GFO(AAS)，:S△AOG=S△AGF-S△GFO=17.5．全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰直角三角形的性質(zhì)【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定過點E作EG^AF交AF延長線于點G，首先證明出△ABC≌△EAG(AAS)，得到EG=AC，【詳解】如圖所示，過點E作EG^AF交AF延長線于點G:△ABC≌△EAG(AAS):EG=AC，AG=BC:AC=AD:EG=ADAFAF1BCAG2:△BED≌△CDF(AAS)；:BE=CD,BD=CF，【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是:??由題意推出上BCE=上CAF，再證△BCE≌△CAF，繼:上BCE=上CAF．??:△BCE≌△CAF(AAS)．:BE=CF，EC=FA．:EF=CF+EC=BE+AF．而可得AD=CE,CD=BE，即可證明結(jié)論．:上ADC=上BEC=90°,??:△ADC≌△CEB(AAS)，:AD=CE,CD=BE，:AD+BE=DE．:上ACD=上EBC，:△ADC≌△CEB(AAS)，:AD=CE,CD=BE，:DE=EC-CD=AD-BE，即DE=AD-BE．:△ABC≌△CDE(AAS)，:BC=DE．在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，:CN=EF=2m，CF=EN，:△AOM≌△OCN(AAS)，:MN=OM-ON=0.8m，（1）證明△BCE≌△CAF即可得到BE=CF，CE=AF，故EF=CF-CE=BE-AF．（2）證明和（1）類似，根據(jù)△BCE≌△CAF即可得到BE=CF，CE=AF，故EF=CF-CE=BE-AF．:上BCE=上CAF，:△BCE≌△CAF(AAS)，:BE=CF，CE=AF，:EF=CF-CE=BE-AF:上BCE=上CAF，??:△BCE≌△CAF，:BE=CF，CE=AF，:EF=CF-CE=BE-AF．??:△BEC≌△CFA(AAS)，:EF=BE+AF．(3)DE=BE-AD，證明見解析:上BCE+上CBE=90°,:△ADC≌△CEB．:上BCE+上CBE=90°,:△ACD≌△CBE，:CD=BE，AD=CE，:DE=CE-CD=AD-BE．（3）解：DE=BE-AD，:上BCE+上CBE=90°,:△ACD≌△CBE，:AD=CE，CD=BE，:DE=CD-CE=BE-AD．431）(0,2)2）PB的長度不發(fā)生改變，是定值為3．（2）作EG丄y軸，易證△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG=AO和PB=PG，即可:△ABO≌△BCD(AAS)，:B點坐標(biāo)(0,2)，:△BAO≌△EBG(AAS)，:EG=BO，BG=AO=6．441）證明見解析2）503）8，S△CHD:上EAC=上DCB，:VAEC≌VCDB(AAS)；\EFⅡDH，:四邊形EFHD是直角梯形，:圖中實線所圍成的圖形的面積o:B￠H=AC=4，再根據(jù)AC=2,DE=4即可得出AD的長；況：①當(dāng)點D在邊BC上時，過點E作EF丄AC于點F，證明VFEA和VCAD全等得EF=AC=BC=7a,AF=CD，再證明△FEM和VCBM全等得FM=CM=2a，進而得@點D在CB的延長線上時，過點E作EF丄AC于點F，同①證明VFEAS△AEMAM9??:△ABC≌△DEB(