高考數(shù)學(xué)專項研究：導(dǎo)數(shù)（27）含參的一元三次函數(shù)第五章函數(shù)模型第四節(jié)：含參的一元三次函數(shù)定義:f（1）單調(diào)性:當(dāng)Δ=b2?（2）對稱點:?b3a（3）零點:一個根,Δ=4兩個根,Δ=4三個根,Δ=4一個根,Δ=（4）當(dāng)三次函數(shù)僅有一個根,f當(dāng)三次函數(shù)有兩個根時,f當(dāng)三次函數(shù)有三個根時,f當(dāng)三次函數(shù)僅知一根時,fx(5)最值問題fx=ax3+bx一、零點問題1.fx=?13x3+x2?解法一:fx=?13fx關(guān)于1,f1由題意可得區(qū)間x1,x2為其子集,所以1<x1<x2解法二:fx?f1又x1+x2=3,所以1<x1,x2為x又3a=x1x2=所以x2∈2.設(shè)函數(shù)fx(I)求曲線y=fx(II)設(shè)a=b=4,若函數(shù)(III)求證:a2?3b解:(I)由fx=x3+所以曲線y=fx在點0(II)當(dāng)a=b=4時,令f′x=0,得3xfx與f′xx?∞,?????f+0?0+f7cLc↗所以,當(dāng)c>0且c?x3∈?由fx單調(diào)性知,當(dāng)且僅當(dāng)c∈0(III)當(dāng)Δ=4a此時函數(shù)fx在區(qū)間?∞,+∞上單調(diào)遞增,所以f當(dāng)Δ=4a2?12b=0時,f′x=3x2+2ax+b只有一個零點,記作所以fx不可能有三個不同零點。綜上所述,若函數(shù)fx有三個不同零點,則必有Δ=4a2?當(dāng)a=b=4,c=0時,a2?3b3.若函數(shù)fx=2x在?1解:f′x=6x2?2ax=2x3x?aa∈R,當(dāng)a≤0時f′x>0在0,+∞上恒成立,則fx在0,+∞上單調(diào)遞增,又f0=1,所以此時fx在0,+∞內(nèi)無零點,不滿足題意.當(dāng)a>0時,由f′x>0得x>a3二、最值問題1.已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)是否存在a,b,使得fx在區(qū)間0(1)f′x=6x2?2ax=2x3x?a.令f′x=0,得x=0或x=a若a<0,則當(dāng)x∈?∞,a3∪0,+∞時,f′x(2)滿足題設(shè)條件的a,b存在.(i)當(dāng)a≤0時,由(1)知,fx在0,1單調(diào)遞增,所以fx在區(qū)間b=?1,(ii)當(dāng)a≥3時,由(1)知,fx在0,1單調(diào)遞減,所以f最小值為f1=2?a+b.此時a,b滿足題設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)2?a+b=?1若?a327+b若?a327+b=?1,2綜上,當(dāng)且僅當(dāng)a=0,b=?1或2.已知函數(shù)fx=1(I)求函數(shù)fx(II)若函數(shù)fx在區(qū)間?2,(III)當(dāng)a=1時,設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間t,t+3上的最大值為Mt,最小值為(I)ff得:函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,?1(II)函數(shù)fx在?2,?原命題?(III)當(dāng)a=1時,fx=13當(dāng)t∈?3,?2時,t=3∈0,1,?1∈t,t+3,fx在t,?1上單調(diào)遞增,在?1,t因此ft≤f?2=?53,所以g下面比較f?1,f1f又由f1=f?綜上得:函數(shù)gt在區(qū)間?3,?三、升次與降次利用一元二次方程公式對一次式、二次式和參數(shù)進(jìn)行代換,如a(一)換二次項一階次1.fx=xb、c解:由題意有f′x2=3x22+6bx2+3c=0,即x當(dāng)b=?12,c=?2時,4b2.fx=13x3+x2+ax有兩個極值點x1解:f由x1?故f同理得f故x1,又因為這條直線交x軸于a2a?2代入可得f得a23a3.fx=x2法一【降次】:f′xbx1所以fx1令gt所以gt解法二:f′x=2x所以f因為b>3解法三:f′x=2f4.設(shè)函數(shù)fx=x(1)若a=b=(2)若a≠b,b=c,且fx(3)若a=0,0<b≤(1)因為a=b=因為f4=8,所以4(2)因為b=c,所以從而f′x=3x?b因為a,b,2a+b3此時fx=x?3x+x?∞,???11f+0?0+f↗極大值L極小值↗所以fx的極小值為f(3)因為a=0,f′x=3x則f′x有2個不同的零點,設(shè)為x1x1x?∞,xxxxf+0?0+所以fx的極大值MM==bb+解法二:因為0<b≤1,所以x1gx=xx?12x011g+0?g7極大值y所以當(dāng)x=13時,g所以當(dāng)x∈0,1時,(二)換一次項一一升次1.fx=x2解:x1、x2為2則b此時證f由x1+令x1x2=t,tx2?φ′t<0(三)換參數(shù)1.若a≤?1法一:令ff′x=2ax且?′0=1>0,故存在α使得又?0=1>即ax0?2fx法二:lnx2.fx=x?解:f′x=3x?12進(jìn)而f又f且3?2x0因此x1=四、對稱中心類問題定義:fx=若fx存在兩個極值點x1、以f拓展:已知fx,則當(dāng)f′′x0=0時,x01.fx=13x3+x2+ax有兩個極值點x解:由f′x直線l的斜率k直線若過x1,則l:y?2又因為a2a?代入得f得a23a2.已知直線l與曲線y=x3?6x2法一(標(biāo)答):易知該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)對稱軸為x=數(shù),可得原函數(shù)的對稱中心為2,1,由AB=BC聯(lián)立方程組:y可得1,?1法二:Ax1y兩者作差可得y令y1?解得x1又x1?又直線方程可設(shè)為y?1=t易知t=2五、同構(gòu)方程1.fx=13x直線l與x軸的交點在曲線y=fx解:fx=得x1?同理得f故x1,又因為這條直線交x軸于a2a?2代入可得f得a23a六、根的形式1.fx=?13x3+解:f故?13x1+x2=3若x1≤1<x若1<x1<則fx=?13xx?所以對任意x∈x即?332.fx=x解:當(dāng)a=0,當(dāng)a<0,f要想其有三個零點,則f?afa設(shè)零點為x1、x由fx=所以f?a又f3>【同源練習(xí)】fx=x解:當(dāng)a≥當(dāng)a<1時,fx在?∞,若有三個不同零點,至少要有a<1,設(shè)三個零點為mfxm+n+p所以a3=2a?a3.設(shè)函數(shù)fx=x3+2ax2+bx+a,(I)求a、b的值,并寫出切線(II)若方程fx+gx=mx有三個互不相同的實根0、解:(I)