第講機(jī)械振動(dòng)[教材閱讀指導(dǎo)](對(duì)應(yīng)人教版選擇性必修第一冊(cè)相關(guān)內(nèi)容及問(wèn)題)第二章第1節(jié)閱讀“彈簧振子”這一部分內(nèi)容，為什么說(shuō)彈簧振子是一個(gè)理想化模型？提示：摩擦和空氣阻力不計(jì)，彈簧質(zhì)量不計(jì)。第二章第1節(jié)閱讀“彈簧振子的位移—時(shí)間圖像”這一部分內(nèi)容，彈簧振子的位移—時(shí)間圖像中的位移指的是相對(duì)于哪點(diǎn)的位移？提示：小球的平衡位置。第二章第2節(jié)[做一做]“測(cè)量小球振動(dòng)的周期”，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期與振幅有關(guān)嗎？提示：無(wú)關(guān)。第二章第2節(jié)[例題]，再做該題，對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，小球在eq\f(1,2)T時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程一定是2A嗎？在eq\f(1,4)T時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程一定是A嗎？提示：小球在eq\f(1,2)T時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程一定是2A；在eq\f(1,4)T時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程不一定是A，小球只有自最大位移處或平衡位置處開(kāi)始，在eq\f(1,4)T時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程才是A。第二章第2節(jié)[練習(xí)與應(yīng)用]T4；T5。提示：T4：如圖所示。T5：x甲＝0.5sin(5πt＋π)cm，x乙＝0.2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)πt＋\f(π,2)))cm。第二章第3節(jié)[做一做]，再填該表，體會(huì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各物理量的變化規(guī)律。提示：位置QQ→OOO→PP位移的大小最大→0→最大速度的大小0→最大→0動(dòng)能0→最大→0彈性勢(shì)能最大→0→最大機(jī)械能不變不變不變不變不變第二章第3節(jié)[練習(xí)與應(yīng)用]T1、T2，再做這兩道題，體會(huì)用動(dòng)力學(xué)方法分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。提示：T1：由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義出發(fā)，先確定平衡位置，再分析什么是回復(fù)力，進(jìn)而論證。T2：(1)木筷受力平衡的位置為振動(dòng)的平衡位置，分析木筷所受合力F合與其下端偏離平衡位置的位移x是否滿足F合＝－kx。(2)小球受到重力和圓弧面支持力的作用，分析這兩個(gè)力的合力沿圓弧切線方向的分力F與小球偏離最低點(diǎn)的位移x是否滿足F＝－kx。第二章第4節(jié)閱讀“單擺的回復(fù)力”這一部分內(nèi)容，單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件是什么？提示：擺角很小。第二章第4節(jié)[練習(xí)與應(yīng)用]T4。提示：(1)l＝eq\f(T2g,4π2)≈1m；(2)θmax＝arcsineq\f(0.04,1)＝2.3°。第二章閱讀“5實(shí)驗(yàn)：用單擺測(cè)量重力加速度”這一節(jié)內(nèi)容，請(qǐng)思考：除通過(guò)公式計(jì)算求平均值，還能用什么方法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到重力加速度？提示：設(shè)小球半徑為r，擺線長(zhǎng)為L(zhǎng)，則擺長(zhǎng)l＝L＋r，由T＝2πeq\r(\f(l,g))，得L＝eq\f(g,4π2)T2－r，由L-T2圖像的斜率即可求出g。第二章第6節(jié)“共振現(xiàn)象及其應(yīng)用”這部分的[做一做]圖2.6-3，使D擺偏離平衡位置后釋放，在振動(dòng)穩(wěn)定后其余各擺中哪個(gè)擺的振幅最大？提示：A擺、G擺。第二章[復(fù)習(xí)與提高]B組T1、T2、T5，再做這幾道題，體會(huì)動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)和能量觀點(diǎn)在分析振動(dòng)問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用。提示：T1：E＝nΔE＝nmgΔh＝eq\f(200s,40s)×0.2×10×(1.5－1.2)×10－2J＝3×10－2J。T2：eq\f(T1,T2)＝eq\f(2π\(zhòng)r(\f(l,g1)),2π\(zhòng)r(\f(l,g2)))＝eq\r(\f(g2,g1))，又eq\f(Gm1m擺,Req\o\al(2,1))＝m擺g1，eq\f(Gm2m擺,Req\o\al(2,2))＝m擺g2，解得：eq\f(T1,T2)＝eq\f(R1\r(m2),R2\r(m1))。T5：由力的周期性變化分析單擺的周期。(1)0.8πs，1.6m；(2)(3)設(shè)單擺的最大擺角為θ，則從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律有：mg(l－lcosθ)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,m)受力分析：在最高點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)min＝mgcosθ在最低點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)max－mg＝meq\f(veq\o\al(2,m),l)聯(lián)立解得：m＝eq\f(Fmax＋2Fmin,3g)＝5×10－2kg；vm＝eq\f(4\r(5),25)m/s。必備知識(shí)梳理與回顧一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)1．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的概念如果物體的位移與時(shí)間的關(guān)系遵從eq\x(\s\up1(01))正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動(dòng)圖像(x－t圖像)是一條eq\x(\s\up1(02))正弦曲線，這樣的振動(dòng)是一種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。2．平衡位置振動(dòng)物體eq\x(\s\up1(03))原來(lái)靜止時(shí)的位置。3．回復(fù)力(1)定義：使振動(dòng)物體在平衡位置附近做eq\x(\s\up1(04))往復(fù)運(yùn)動(dòng)的力。(2)方向：總是指向eq\x(\s\up1(05))平衡位置。(3)來(lái)源：可以是某一個(gè)力，也可以是幾個(gè)力的合力或某個(gè)力的分力。4．描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量物理量定義意義位移由eq\x(\s\up1(06))平衡位置指向物體eq\x(\s\up1(07))所在位置的有向線段描述物體振動(dòng)中某時(shí)刻的位置相對(duì)于eq\x(\s\up1(08))平衡位置的位移振幅振動(dòng)物體離開(kāi)平衡位置的eq\x(\s\up1(09))最大距離描述振動(dòng)的eq\x(\s\up1(10))強(qiáng)弱和能量周期振動(dòng)物體完成一次eq\x(\s\up1(11))全振動(dòng)所需要的時(shí)間描述振動(dòng)的eq\x(\s\up1(13))快慢，兩者關(guān)系：T＝eq\x(\s\up1(14))eq\f(1,f)頻率振動(dòng)物體完成全振動(dòng)的次數(shù)與eq\x(\s\up1(12))所用時(shí)間之比相位ωt＋φ0描述周期性運(yùn)動(dòng)在各個(gè)時(shí)刻所處的不同狀態(tài)二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的公式和圖像1．表達(dá)式(1)動(dòng)力學(xué)表達(dá)式：F＝eq\x(\s\up1(01))－kx，其中“－”表示回復(fù)力與位移的方向相反。(2)運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式：x＝eq\x(\s\up1(02))Asin(ωt＋φ0)，其中A表示振幅，ω＝eq\f(2π,T)＝2πf表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的快慢，ωt＋φ0表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位，φ0叫作eq\x(\s\up1(03))初相位。2．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像(1)如圖所示。(2)物理意義：表示振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移隨eq\x(\s\up1(04))時(shí)間變化的規(guī)律。三、彈簧振子、單擺及其周期公式簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的兩種理想化模型模型彈簧振子(以水平彈簧振子為例)單擺概念是小球和彈簧組成的系統(tǒng)，有時(shí)簡(jiǎn)稱為eq\x(\s\up1(01))振子。是一個(gè)理想化模型將一小球用細(xì)線懸掛起來(lái)，把小球拉離最低點(diǎn)釋放后，小球就會(huì)來(lái)回?cái)[動(dòng)，這樣的裝置就叫作單擺，是實(shí)際擺的理想化模型示意圖特點(diǎn)(1)彈簧質(zhì)量與小球相比可忽略；(2)桿光滑無(wú)摩擦，小球運(yùn)動(dòng)時(shí)空氣阻力可忽略(1)擺線為不可伸縮的細(xì)線；(2)細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可忽略；(3)球的直徑與線的長(zhǎng)度相比可忽略；(4)空氣等阻力可以忽略做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件彈簧形變?cè)趶椈蓮椥韵薅葍?nèi)最大擺角θeq\x(\s\up1(02))<5°做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力彈簧的eq\x(\s\up1(03))彈力提供擺球eq\x(\s\up1(04))重力沿與擺線垂直方向的分力提供做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置彈簧處于eq\x(\s\up1(05))原長(zhǎng)處eq\x(\s\up1(06))最低點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期與eq\x(\s\up1(07))振幅無(wú)關(guān)T＝eq\x(\s\up1(08))2π__eq\r(\f(l,g))做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量轉(zhuǎn)化彈性勢(shì)能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，eq\x(\s\up1(09))機(jī)械能守恒重力勢(shì)能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，eq\x(\s\up1(10))機(jī)械能守恒四、受迫振動(dòng)和共振1．振動(dòng)中的能量損失(1)阻尼振動(dòng)：由于實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)都會(huì)受到摩擦力、黏滯力等阻礙作用，振幅必然eq\x(\s\up1(01))逐漸減小，這種振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。(2)振動(dòng)系統(tǒng)能量衰減的方式：①由于受到摩擦阻力的作用，振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能逐漸轉(zhuǎn)化為eq\x(\s\up1(02))內(nèi)能；②由于振動(dòng)系統(tǒng)引起鄰近介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，使能量eq\x(\s\up1(03))向四周輻射出去。2．受迫振動(dòng)系統(tǒng)在eq\x(\s\up1(04))驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)叫作受迫振動(dòng)。物體做受迫振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定后，物體振動(dòng)的周期(或頻率)等于eq\x(\s\up1(05))驅(qū)動(dòng)力的周期(或頻率)，與物體的固有周期(或頻率)eq\x(\s\up1(06))無(wú)關(guān)。3．共振如圖反映了受迫振動(dòng)振幅A與驅(qū)動(dòng)力頻率f之間的關(guān)系。驅(qū)動(dòng)力的頻率f跟振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率f0相差越小，振幅越大；驅(qū)動(dòng)力的頻率f等于振動(dòng)系統(tǒng)的eq\x(\s\up1(07))固有頻率f0時(shí)，振幅最大，這種現(xiàn)象稱為共振。一、堵點(diǎn)疏通1．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是勻變速運(yùn)動(dòng)。()2．彈簧振子每次經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，位移為零、動(dòng)能為零。()3．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像描述的是振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡。()4．單擺無(wú)論擺角多大都做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。()5．單擺的振動(dòng)周期由擺球的質(zhì)量和擺角共同決定。()6．物體做受迫振動(dòng)時(shí)，其振動(dòng)頻率與固有頻率無(wú)關(guān)。()7．物體在發(fā)生共振時(shí)的振動(dòng)是受迫振動(dòng)。()答案1.×2.×3.×4.×5.×6.√7．√二、對(duì)點(diǎn)激活1．一個(gè)彈簧振子沿x軸做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，取平衡位置O為x軸坐標(biāo)原點(diǎn)。從某時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)四分之一周期，振子具有沿x軸正方向的最大加速度。能正確反映振子位移x與時(shí)間t關(guān)系的圖像是()答案A解析振子的加速度大小與回復(fù)力大小成正比，方向與位移方向相反，具有正向的最大加速度，就應(yīng)該具有最大的負(fù)方向的位移。振子從平衡位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，并向負(fù)方向移動(dòng)時(shí)，經(jīng)四分之一周期振子具有沿x軸正方向的最大加速度，A正確，B、C、D錯(cuò)誤。2.(人教版選擇性必修第一冊(cè)·第二章第6節(jié)[練習(xí)與應(yīng)用]T4改編)一個(gè)單擺在地面上做受迫振動(dòng)，其共振曲線(振幅A與驅(qū)動(dòng)力頻率f的關(guān)系)如圖所示，則()A．此單擺的固有周期約為0.5sB．此單擺的擺長(zhǎng)約為1mC．若擺長(zhǎng)增大，單擺的固有頻率增大D．若擺長(zhǎng)增大，共振曲線的峰將向右移動(dòng)答案B解析由共振曲線知此單擺的固有頻率為0.5Hz，則固有周期為2s，A錯(cuò)誤；由T＝2πeq\r(\f(l,g))，得此單擺的擺長(zhǎng)約為1m，B正確；若擺長(zhǎng)增大，單擺的固有周期增大，固有頻率減小，則共振曲線的峰將向左移動(dòng)，C、D錯(cuò)誤。關(guān)鍵能力發(fā)展與提升考點(diǎn)一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征1.受力和運(yùn)動(dòng)特征(1)回復(fù)力F＝－kx，“－”表示回復(fù)力的方向與位移方向相反，k是比例系數(shù)，不一定是彈簧的勁度系數(shù)。(2)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體加速度與物體偏離平衡位置的位移大小成正比而方向相反，為變加速運(yùn)動(dòng)。遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)，x、F、a均增大，v減小，靠近平衡位置時(shí)則相反。2．能量特征簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量包括動(dòng)能Ek和勢(shì)能Ep，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)能與勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。振幅越大，能量越大。遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)，Ek減小，Ep增大；靠近平衡位置時(shí)則相反。3．周期性特征(1)相隔nT(n為正整數(shù))的兩個(gè)時(shí)刻，物體處于同一位置且振動(dòng)狀態(tài)相同。(2)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的位移、回復(fù)力、加速度和速度均隨時(shí)間做周期性變化，變化周期就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T；動(dòng)能和勢(shì)能也隨時(shí)間做周期性變化，其變化周期為eq\f(T,2)。4．對(duì)稱性特征(1)相隔eq\f(T,2)或eq\f(（2n＋1）T,2)(n為正整數(shù))的兩個(gè)時(shí)刻，物體位置關(guān)于平衡位置對(duì)稱，位移、速度、加速度、回復(fù)力大小相等、方向相反，動(dòng)能、勢(shì)能相等。如圖甲所示，O為平衡位置，A、B為振子偏離平衡位置最大位移處，振子t時(shí)刻在C點(diǎn)，t＋eq\f(（2n＋1）T,2)時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，則位移xD＝－xC，速度vD＝－vC，加速度aD＝－aC。(2)如圖乙所示，振子經(jīng)過(guò)關(guān)于平衡位置O對(duì)稱的兩點(diǎn)P、P′(OP＝OP′)時(shí)，相對(duì)于平衡位置的位移大小相等，速度的大小、加速度的大小、回復(fù)力的大小、動(dòng)能、勢(shì)能相等。(3)如圖乙所示，振子由P到O所用時(shí)間等于由O到P′所用時(shí)間，即tPO＝tOP′。振子往復(fù)過(guò)程中通過(guò)同一段路程(如OP段)所用時(shí)間相等，即tOP＝tPO?？枷?簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的理解和基本物理量的分析例1(2023·上海高考)真空中有一點(diǎn)P與微粒Q，Q在運(yùn)動(dòng)中受到指向P且大小與離開(kāi)P的位移成正比的回復(fù)力，則下列關(guān)于Q的情況有可能發(fā)生的是()A．速度增大，加速度增大B．速度增大，加速度減小C．速度增大，加速度不變D．速度減小，加速度不變[答案]B[解析]由題意可知，微粒Q以P點(diǎn)為平衡位置做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，可知越靠近平衡位置，微粒Q的速度越大，加速度越小，則微粒Q的速度增大，加速度一定減小，速度減小，加速度一定增大，A、C、D錯(cuò)誤，B正確。分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的技巧(1)分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中各物理量的變化情況時(shí)，要以位移為橋梁，位移增大時(shí)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的回復(fù)力、加速度、勢(shì)能均增大，速度、動(dòng)能均減小；反之，則產(chǎn)生相反的變化。另外，各矢量均在其值為零時(shí)改變方向。(2)分析過(guò)程中要特別注意簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性和對(duì)稱性。(3)若沒(méi)有給出開(kāi)始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向，還須分情況討論，以防丟解。考向2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性與對(duì)稱性例2(2021·河北高考)如圖，一彈簧振子沿x軸做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振子零時(shí)刻向右經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，2s時(shí)第一次到達(dá)B點(diǎn)。已知振子經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)時(shí)的速度大小相等，2s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程為5.6m，則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為_(kāi)_______s，振幅為_(kāi)_______m。[答案]42.8[解析]根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，A、B兩點(diǎn)關(guān)于平衡位置對(duì)稱，從向右經(jīng)過(guò)A到第一次到達(dá)B經(jīng)過(guò)了半個(gè)周期的振動(dòng)，則周期為T＝2×2s＝4s，路程為s＝2A＝5.6m，解得振幅為A＝2.8m。考向3簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的判斷例3一質(zhì)量為m、側(cè)面積為S的正方體木塊，放在水面上靜止(平衡)，如圖所示?，F(xiàn)用力向下將其壓入水中一段深度后(未全部浸沒(méi))撤掉外力，木塊在水面上下振動(dòng)，試判斷木塊的振動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。[答案]見(jiàn)解析[解析]以木塊為研究對(duì)象，設(shè)水的密度為ρ，靜止時(shí)木塊浸入水中Δx深度，當(dāng)木塊被壓入水中x后所受力如圖所示，以向下為正方向，則F合＝mg－F浮又F?。溅裧S(Δx＋x)可得：F合＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx因?yàn)閙g＝ρgSΔx所以F合＝－ρgSx即F合＝F回＝－kx(k＝ρgS)所以木塊的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)?？键c(diǎn)二簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述深化理解1.解析法簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為x＝Asin(ωt＋φ0)，它是用解析的方法描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)可作定量分析。2．圖像法(1)圖像特征如圖1所示，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像是一條正弦函數(shù)曲線，是正弦曲線、余弦曲線還是一般的正弦曲線，取決于質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的位置，即初相位。(2)圖像的物理意義圖像反映的是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體(質(zhì)點(diǎn))的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律，圖像不代表質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。(3)圖像信息①由圖像可以看出質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅、周期、初相位。a．圖像中最大位移的絕對(duì)值就是質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅。如圖2所示，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅是10cm。b．振動(dòng)圖像上一個(gè)完整的正弦(或余弦)圖形在時(shí)間軸上拉開(kāi)的“長(zhǎng)度”表示周期，頻率等于周期的倒數(shù)。如圖2所示，OD、AE、BF的時(shí)間間隔都等于質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期，T＝0.2s，頻率f＝eq\f(1,T)＝5Hz。c．初相位可根據(jù)t＝0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移、速度方向及振幅的大小來(lái)綜合分析得到。②可以確定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移。③可以確定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所受的回復(fù)力、加速度的方向；或比較各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)加速度的大小。例如圖2中在t1時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移x1為正，則加速度a1為負(fù)；在t2時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移x2為負(fù)，則加速度a2為正；因?yàn)閨x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|。④可以確定質(zhì)點(diǎn)的速度方向：任一時(shí)刻在圖線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線的斜率絕對(duì)值表示該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度大小，斜率正負(fù)表示速度的方向，斜率為正時(shí)，表示質(zhì)點(diǎn)的速度沿x軸正方向；斜率為負(fù)時(shí)，表示質(zhì)點(diǎn)的速度沿x軸負(fù)方向。也可以通過(guò)下一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移的變化來(lái)判斷，若下一時(shí)刻位移增加，速度方向就是背離平衡位置；若下一時(shí)刻位移減小，速度方向就是指向平衡位置。如圖2所示，在t1時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)正遠(yuǎn)離平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)；在t3時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)正朝向平衡位置運(yùn)動(dòng)。⑤可以確定某段時(shí)間質(zhì)點(diǎn)的位移、回復(fù)力、加速度、速度、動(dòng)能、勢(shì)能等的變化情況。3．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)兩種描述方法的轉(zhuǎn)換兩種方法對(duì)同一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述是一致的。(1)根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像①根據(jù)x＝Asin(ωt＋φ0)找出振幅A和振動(dòng)周期T＝eq\f(2π,ω)。②令t＝0，找出初始時(shí)刻的位移x0(x0的正、負(fù)要有明確表示)，并根據(jù)表達(dá)式判斷此后極短時(shí)間內(nèi)位移的變化。③選好標(biāo)度，作出正弦函數(shù)圖像。(2)根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像寫(xiě)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式①?gòu)暮?jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像中找出振幅A和周期T，圓頻率ω＝eq\f(2π,T)。②根據(jù)t＝0時(shí)的位移求出初相位φ0，即x0＝Asinφ0；根據(jù)三角函數(shù)的周期性，一般在[0，2π)區(qū)間求φ0，然后再根據(jù)t＝0后極短時(shí)間內(nèi)位移的變化排除φ0的2個(gè)可能解中的一個(gè)。③把A、ω、φ0代入表達(dá)式x＝Asin(ωt＋φ0)即可?？枷?簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像法描述及應(yīng)用例4如圖所示為某彈簧振子在0～5s內(nèi)的振動(dòng)圖像，由圖可知，下列說(shuō)法中正確的是()A．振動(dòng)周期為5s，振幅為8cmB．第2s末振子的速度為零，加速度為正向的最大值C．從第1s末到第2s末振子的位移增加，振子在做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)D．第3s末振子的勢(shì)能最大[答案]B[解析]由圖可讀出振動(dòng)周期為T＝4s，振幅為A＝8cm，故A錯(cuò)誤；第2s末振子處于負(fù)向最大位移處，速度為零，由a＝－eq\f(kx,m)可知加速度為正向的最大值，故B正確；從第1s末到第2s末振子由平衡位置向負(fù)向最大位移處運(yùn)動(dòng)，速度減小，位移增加，振子在做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤；第3s末振子在平衡位置，勢(shì)能最小，故D錯(cuò)誤?？枷?簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的解析法描述及應(yīng)用例5(粵教版選擇性必修第一冊(cè)·第二章第二節(jié)[練習(xí)]T4改編)物體A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)位移xA＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100t＋\f(π,2)))cm，物體B做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)位移xB＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100t＋\f(π,6)))cm，則()A．振幅是矢量，A的振幅是6cm，B的振幅是10cmB．周期是標(biāo)量，A、B振動(dòng)的周期都是100sC．A振動(dòng)的相位始終超前B振動(dòng)的相位eq\f(π,3)D．A振動(dòng)的頻率fA等于B振動(dòng)的頻率fB，均為50Hz[答案]C[解析]振幅和周期只有大小沒(méi)有方向，是標(biāo)量，根據(jù)兩物體的振動(dòng)位移表達(dá)式可知，A振動(dòng)的振幅是3cm，B振動(dòng)的振幅是5cm，A、B振動(dòng)的周期為TA＝TB＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(π,50)s，故A、B錯(cuò)誤；根據(jù)兩物體的位移表達(dá)式可知，A振動(dòng)的初相位為φA0＝eq\f(π,2)，B振動(dòng)的初相位為φB0＝eq\f(π,6)，因此兩物體振動(dòng)的相位差為Δφ＝φA0－φB0＝eq\f(π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，即A振動(dòng)的相位始終超前B振動(dòng)的相位eq\f(π,3)，故C正確；由于兩物體振動(dòng)的周期相同，因此A、B振動(dòng)的頻率相同，頻率大小為fA＝fB＝eq\f(1,T)＝eq\f(50,π)Hz，故D錯(cuò)誤。例6(2023·山東高考)(多選)如圖所示，沿水平方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，依次通過(guò)相距L的A、B兩點(diǎn)。已知質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的位移大小為振幅的一半，B點(diǎn)位移大小是A點(diǎn)的eq\r(3)倍，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，t時(shí)刻第二次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，該振動(dòng)的振幅和周期可能是()A.eq\f(2L,\r(3)－1)，3t B.eq\f(2L,\r(3)－1)，4tC.eq\f(2L,\r(3)＋1)，eq\f(12,5)t D.eq\f(2L,\r(3)＋1)，eq\f(12,7)t[答案]BC[解析]以水平向右為正方向。當(dāng)A、B兩點(diǎn)在平衡位置的同側(cè)時(shí)，由B點(diǎn)位移大小是A點(diǎn)的eq\r(3)倍可知，平衡位置在A點(diǎn)左側(cè)，則有xA＝eq\f(1,2)A，xB＝eq\f(\r(3),2)A，而xB－xA＝L，解得振幅A＝eq\f(2L,\r(3)－1)；根據(jù)振動(dòng)方程x＝Asinφ，由xA＝AsinφA可得質(zhì)點(diǎn)向右經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)φA＝eq\f(π,6)，由xB＝AsinφB可得質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)φB＝eq\f(2,3)π，則eq\f(\f(2,3)π－\f(π,6),2π)T＝t，解得周期T＝4t。當(dāng)A、B兩點(diǎn)在平衡位置兩側(cè)時(shí)，有xA＝－eq\f(1,2)A，xB＝eq\f(\r(3),2)A，而xB－xA＝L，解得振幅A＝eq\f(2L,\r(3)＋1)；根據(jù)振動(dòng)方程x＝Asinφ，由xA＝AsinφA可得質(zhì)點(diǎn)向右經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)φA＝－eq\f(π,6)，由xB＝AsinφB可得質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)φB＝eq\f(2,3)π，則eq\f(\f(2,3)π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))),2π)T＝t，解得周期T＝eq\f(12,5)t。綜上可知，應(yīng)選B、C?？枷?簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)兩種描述方法的轉(zhuǎn)換例7(多選)某學(xué)生在粗細(xì)均勻的木筷下端繞上鐵絲，將其豎直浮在裝有水的杯子中(如圖甲)?，F(xiàn)把木筷向上提起一段距離后放手，之后木筷做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，以向上為正方向，以某時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，作出了木筷振動(dòng)的位移—時(shí)間圖像，如圖乙所示。不計(jì)水的阻力，則()A．木筷在振動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒B．前1.6s內(nèi)，木筷運(yùn)動(dòng)的路程為0.32mC．t＝0.4s時(shí)，木筷的重力小于其所受的浮力D．木筷的位移與時(shí)間的關(guān)系為x＝0.04sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2.5πt＋\f(5π,4)))m[答案]BD[解析]木筷在振動(dòng)過(guò)程中，水的浮力對(duì)木筷做功，木筷的機(jī)械能不守恒(但木筷與水組成的振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒)，A錯(cuò)誤；由題圖乙知，振動(dòng)周期T＝0.8s，振幅A＝0.04m，前1.6s內(nèi)，木筷振動(dòng)了2個(gè)周期，所以木筷運(yùn)動(dòng)的路程為2×4A＝0.32m，B正確；由題圖乙知，t＝0.4s時(shí)，木筷的位移為正，根據(jù)F＝－kx可知合力F方向?yàn)樨?fù)，即豎直向下，所以木筷的重力大于其所受的浮力，C錯(cuò)誤；簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一般表達(dá)式為x＝Asin(ωt＋φ0)，木筷振動(dòng)的圓頻率ω＝eq\f(2π,T)＝2.5πrad/s，由題圖乙可知，t＝0.3s時(shí)，x＝0，將數(shù)據(jù)代入振動(dòng)表達(dá)式，有0＝0.04·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋φ0))m，結(jié)合題圖乙可知eq\f(3π,4)＋φ0＝2π，可得初相位φ0＝eq\f(5π,4)，則木筷的位移與時(shí)間的關(guān)系為x＝0.04sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2.5πt＋\f(5π,4)))m，D正確。考點(diǎn)三單擺1.對(duì)單擺的動(dòng)力學(xué)分析除分析實(shí)際擺做阻尼振動(dòng)的情形外，一般不考慮空氣等對(duì)單擺的阻力。單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，(1)回復(fù)力：擺球重力沿軌跡切線方向的分力提供回復(fù)力，F(xiàn)回＝－mgsinθ＝－eq\f(mg,l)x＝－kx，負(fù)號(hào)表示回復(fù)力F回與位移x的方向相反。(2)向心力：細(xì)線的拉力和重力沿細(xì)線方向的分力的合力充當(dāng)向心力，F(xiàn)向＝FT－mgcosθ。兩點(diǎn)說(shuō)明：①當(dāng)擺球在最高點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)向＝eq\f(mv2,l)＝0，F(xiàn)T＝mgcosθm。②當(dāng)擺球在最低點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)向＝eq\f(mveq\o\al(2,max),l)，F(xiàn)向最大，F(xiàn)T＝mg＋meq\f(veq\o\al(2,max),l)。2．應(yīng)用單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))的注意事項(xiàng)(1)公式的適用條件：?jiǎn)螖[的最大偏角θm很小時(shí)，單擺的運(yùn)動(dòng)才能近似看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，公式T＝2πeq\r(\f(l,g))才適用。一般要求最大偏角θm<5°。(2)在等效單擺模型中，公式可變換為T＝2πeq\r(\f(l′,g′))。①l′——等效擺長(zhǎng)：擺動(dòng)圓弧的圓心到擺球重心的距離。如圖甲所示的雙線擺在垂直于紙面的平面內(nèi)擺動(dòng)，等效擺長(zhǎng)l′＝r＋Lcosα。乙圖中小球(可看作質(zhì)點(diǎn))在半徑為R的光滑圓槽中A點(diǎn)的附近振動(dòng)，其等效擺長(zhǎng)為l′＝R。②g′——等效重力加速度：與單擺所處物理環(huán)境有關(guān)。a．在不同星球表面，若忽略星球的自轉(zhuǎn)，g′＝eq\f(GM,R2)，M為星球的質(zhì)量，R為星球的半徑。b．單擺處于超重或失重狀態(tài)下的等效重力加速度分別為g′＝g＋a和g′＝g－a，a為超重或失重時(shí)單擺系統(tǒng)整體豎直向上或豎直向下的加速度大小。c．如圖丙所示，空間有豎直向下的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球的質(zhì)量為m、所帶電荷量為＋q，細(xì)線絕緣，則等效重力加速度g′＝g＋eq\f(qE,m)。例8(多選)如圖甲所示，O是單擺的平衡位置，單擺在豎直平面內(nèi)左右擺動(dòng)，做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，M、N是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置，設(shè)向右為正方向，圖乙是單擺的振動(dòng)圖像。當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?0m/s2，下列說(shuō)法正確的是()A．單擺振動(dòng)的周期為0.4sB．單擺振動(dòng)的頻率是1.25HzC．t＝0時(shí)擺球在M點(diǎn)D．單擺的擺長(zhǎng)約為0.16m[答案]BCD[解析]由題圖乙知，單擺振動(dòng)的周期T＝0.8s，A錯(cuò)誤；頻率f＝eq\f(1,T)＝1.25Hz，B正確；由題圖乙知，t＝0時(shí)擺球在負(fù)向最大位移處，因向右為正方向，所以t＝0時(shí)擺球在M點(diǎn)，C正確；由單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，得l＝eq\f(gT2,4π2)≈0.16m，D正確。(1)單擺和彈簧振子不同，單擺在平衡位置時(shí)，擺球所受回復(fù)力為零，但所受合力不為零。(2)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期只由擺長(zhǎng)和重力加速度決定。(3)在單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺的振幅A指的是擺球偏離平衡位置的最大位移大小，可以近似等于擺球偏離平衡位置的最大弧長(zhǎng)。(4)單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))僅適用于單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，即單擺偏離豎直方向的最大偏角θm<5°時(shí)的情形。若題目沒(méi)有明確說(shuō)明單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用公式T＝2πeq\r(\f(l,g))計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意檢驗(yàn)單擺的最大偏角是否滿足θm<5°，即驗(yàn)證振幅A與擺長(zhǎng)l是否滿足條件eq\f(A,l)<eq\f(5°,360°)×2π＝eq\f(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(注：\f(1,12)為近似值))。考點(diǎn)四受迫振動(dòng)與共振對(duì)比分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振的比較振動(dòng)類型項(xiàng)目簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)受迫振動(dòng)共振受外力情況沒(méi)有外力干預(yù)，僅受系統(tǒng)內(nèi)部的相互作用力受到周期性的驅(qū)動(dòng)力作用受到周期性的驅(qū)動(dòng)力作用振動(dòng)周期和頻率由系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定，即固有周期和固有頻率由驅(qū)動(dòng)力的周期和頻率決定：T＝T驅(qū)，f＝f驅(qū)T驅(qū)＝T固f驅(qū)＝f固振動(dòng)能量振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒由產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)力的物體提供振動(dòng)物體獲得的能量最大常見(jiàn)例子彈簧振子，單擺(θ<5°)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)底座發(fā)生的振動(dòng)共振篩，轉(zhuǎn)速計(jì)例9(多選)把一個(gè)篩子用四根彈簧支撐起來(lái)，篩子上裝一個(gè)電動(dòng)偏心輪，它每轉(zhuǎn)一周，給篩子一個(gè)驅(qū)動(dòng)力，這就做成了一個(gè)共振篩，如圖甲所示。該共振篩的共振曲線如圖乙所示。已知增大電壓，可使偏心輪轉(zhuǎn)速提高，增加篩子質(zhì)量，可增大篩子的固有周期。現(xiàn)在，在某電壓下偏心輪的轉(zhuǎn)速是54r/min，下列說(shuō)法正確的是()A．此時(shí)共振篩的振動(dòng)頻率為0.9HzB．減小篩子質(zhì)量，篩子的振幅一定增大C．轉(zhuǎn)速調(diào)至48r/min時(shí)，篩子出現(xiàn)共振狀態(tài)D．增大電壓，篩子振幅會(huì)先增后減[答案]AC[解析]根據(jù)受迫振動(dòng)的特點(diǎn)可知，共振篩的振動(dòng)頻率等于偏心輪的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率，所以當(dāng)偏心輪的轉(zhuǎn)速為54r/min時(shí)，共振篩的振動(dòng)頻率為f1＝eq\f(54,60)Hz＝0.9Hz，故A正確；由題圖乙知篩子的固有頻率為0.8Hz，減小篩子質(zhì)量后，篩子的固有周期將減小，固有頻率將增大，則篩子的振幅可能增大，也可能減小，故B錯(cuò)誤；轉(zhuǎn)速調(diào)至48r/min時(shí)，偏心輪的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為f2＝eq\f(48,60)Hz＝0.8Hz，此時(shí)偏心輪的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率等于篩子的固有頻率，篩子出現(xiàn)共振狀態(tài)，故C正確；增大電壓，偏心輪的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率將增大，由于開(kāi)始時(shí)偏心輪的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率大于篩子的固有頻率，所以根據(jù)共振曲線可知，篩子的振幅會(huì)一直減小，故D錯(cuò)誤?！靖M(jìn)訓(xùn)練】(2021·浙江1月選考)(多選)為了提高松樹(shù)上松果的采摘率和工作效率，工程技術(shù)人員利用松果的慣性發(fā)明了用打擊桿、振動(dòng)器使松果落下的兩種裝置，如圖甲、乙所示。則()A．針對(duì)不同樹(shù)木，落果效果最好的振動(dòng)頻率可能不同B．隨著振動(dòng)器頻率的增加，樹(shù)干振動(dòng)的幅度一定增大C．打擊桿對(duì)不同粗細(xì)樹(shù)干打擊結(jié)束后，樹(shù)干的振動(dòng)頻率相同D．穩(wěn)定后，不同粗細(xì)樹(shù)干的振動(dòng)頻率始終與振動(dòng)器的振動(dòng)頻率相同答案AD解析根據(jù)共振的條件，當(dāng)振動(dòng)器的頻率等于樹(shù)木的固有頻率時(shí)產(chǎn)生共振，此時(shí)落果效果最好，而不同的樹(shù)木的固有頻率可能不同，則針對(duì)不同樹(shù)木，落果效果最好的振動(dòng)頻率可能不同，A正確；當(dāng)振動(dòng)器的振動(dòng)頻率等于樹(shù)木的固有頻率時(shí)產(chǎn)生共振，此時(shí)樹(shù)干的振幅最大，則隨著振動(dòng)器頻率的增加，樹(shù)干振動(dòng)的幅度不一定增大，B錯(cuò)誤；不同粗細(xì)樹(shù)干的固有振動(dòng)頻率不同，則打擊桿對(duì)不同粗細(xì)的樹(shù)干打擊結(jié)束后，樹(shù)干自由振動(dòng)的振動(dòng)頻率不同，C錯(cuò)誤；樹(shù)干在振動(dòng)器的周期性驅(qū)動(dòng)力下做受迫振動(dòng)，則穩(wěn)定后，不同粗細(xì)樹(shù)干的振動(dòng)頻率始終與振動(dòng)器的振動(dòng)頻率相同，D正確?？键c(diǎn)五簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與力學(xué)的綜合問(wèn)題解題技巧1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與力學(xué)的綜合問(wèn)題簡(jiǎn)介高中階段常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)模型主要是彈簧振子、單擺，除了分析這類力學(xué)模型的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有時(shí)還會(huì)涉及動(dòng)力學(xué)、能量分析計(jì)算，這就要綜合運(yùn)用力學(xué)規(guī)律解決。2．彈簧振子的力學(xué)綜合問(wèn)題對(duì)于彈簧振子的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，常見(jiàn)的問(wèn)題有：彈簧振子的振幅、小球最大速度、所受的最大力的分析、計(jì)算。(1)彈簧振子的動(dòng)力學(xué)分析通常用到回復(fù)力公式及牛頓第二定律。(2)水平彈簧振子的能量由彈簧的最大彈性勢(shì)能決定eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(彈簧的彈性勢(shì)能可根據(jù)功能關(guān)系結(jié)合線性變力做功的求解方法得出：Ep＝\f(1,2)kx2))，它等于小球的最大動(dòng)能eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ekm＝\f(1,2)mveq\o\al(2,m)))。3．單擺的力學(xué)綜合問(wèn)題對(duì)于單擺的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，常見(jiàn)的問(wèn)題有：?jiǎn)螖[的振幅、擺球的最大速度、擺球所受的最小力、最大力的分析、計(jì)算。(1)單擺的動(dòng)力學(xué)分析通常用到回復(fù)力公式、圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律及牛頓第二定律。(2)單擺的能量由振幅(用弧長(zhǎng)表示)、擺長(zhǎng)及擺球的質(zhì)量共同決定：E＝Epm＝mgl(1－cosθm)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(以擺球的最低點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，其中sinθm≈\f(A,l)))。它等于擺球的最大動(dòng)能eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ekm＝\f(1,2)mveq\o\al(2,m)))。考向1彈簧振子的力學(xué)綜合問(wèn)題例10(2023·安徽省淮北市高三下一模)(多選)如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧一端固定在墻上，另一端與置于水平面上的質(zhì)量為m的物體A連接，質(zhì)量也為m的物體B緊挨物體A放置，此時(shí)彈簧水平且無(wú)形變，用水平力F緩慢推動(dòng)物體B，在彈性限度內(nèi)彈簧長(zhǎng)度被壓縮了x0，此時(shí)物體A、B靜止。撤去F后，物體A、B開(kāi)始向左運(yùn)動(dòng)，不計(jì)一切阻力，在此后運(yùn)動(dòng)過(guò)程中()A．物體A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為x0B．物體A向左運(yùn)動(dòng)的最大位移小于2x0C．物體A、B向左運(yùn)動(dòng)位移為x0時(shí)分離D．物體A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒[答案]BC[解析]撤去F后，物體A、B在彈簧彈力作用下開(kāi)始向左做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)彈簧形變量為零，即物體A、B向左運(yùn)動(dòng)位移為x0時(shí)，物體A、B的速度最大，設(shè)為v，從撤去F至彈簧形變量為零的過(guò)程，對(duì)A、B及彈簧組成的系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)能定理有eq\f(kx0,2)·x0＝eq\f(1,2)×2mv2，之后物體A做減速運(yùn)動(dòng)，物體B做勻速運(yùn)動(dòng)，所以物體A、B向左運(yùn)動(dòng)位移為x0時(shí)分開(kāi)，物體A繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)到速度為零時(shí)，設(shè)彈簧形變量為x1，根據(jù)動(dòng)能定理有－eq\f(kx1,2)·x1＝0－eq\f(1,2)mv2，解得x1＝eq\f(\r(2),2)x0，則物體A向左運(yùn)動(dòng)的最大位移為x0＋x1<2x0，物體A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置為彈簧原長(zhǎng)處，則其振幅為A＝x1＝eq\f(\r(2),2)x0，故A錯(cuò)誤，B、C正確；撤去F后，彈簧彈力對(duì)物體A、B組成的系統(tǒng)做功，則物體A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，故D錯(cuò)誤。考向2單擺的力學(xué)綜合問(wèn)題例11(2023·河北省石家莊市高三下教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)三)如圖甲所示，O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，在其正下方的P點(diǎn)有一個(gè)釘子，現(xiàn)將小球拉開(kāi)一定的角度后使其開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，小球在擺動(dòng)過(guò)程中的偏角不超過(guò)5°。從某時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，繩中的拉力大小F隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖乙所示，重力加速度g取10m/s2，忽略一切阻力。下列說(shuō)法正確的是()A．t＝0.1πs時(shí)小球位于B點(diǎn)B．t＝0.4πs時(shí)小球位于C點(diǎn)C．O、A之間的距離為1.5mD．O、P之間的距離為1.2m[答案]D[解析]設(shè)小球的質(zhì)量為m，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)速度大小為v，小球從右向左經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，速度不變，擺長(zhǎng)突然變短，由牛頓第二定律得F－mg＝meq\f(v2,L)，可知F突然增大，結(jié)合題圖乙可知，t＝0.6πs和t＝0時(shí)刻，小球從右向左經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，因t＝0.1πs時(shí)擺線拉力最小，可知此時(shí)小球位于C點(diǎn)，t＝0.2πs時(shí)F突然減小，則小球從左向右經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，0.2πs～0.4πsF一直減小，0.4πs后F開(kāi)始增大，則t＝0.4πs時(shí)，小球位于A點(diǎn)，A、B錯(cuò)誤；設(shè)O、A間距為L(zhǎng)1，P、B間距為L(zhǎng)2，根據(jù)上述分析，并結(jié)合題圖乙可知，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)1時(shí)，擺球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為T1＝0.8πs，根據(jù)T1＝2πeq\r(\f(L1,g))，可得L1＝1.6m，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)2時(shí)，擺球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為T2＝0.4πs，根據(jù)T2＝2πeq\r(\f(L2,g))，可得L2＝0.4m，則O、P之間的距離為L(zhǎng)3＝L1－L2＝1.2m，C錯(cuò)誤，D正確。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)和能量問(wèn)題求解關(guān)鍵對(duì)于這類問(wèn)題，關(guān)鍵是從動(dòng)力學(xué)角度、能量的角度結(jié)合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性、周期表達(dá)式等解題。(1)動(dòng)力學(xué)角度的分析通常要用到回復(fù)力表達(dá)式、力學(xué)平衡方程、牛頓第二定律及向心力表達(dá)式。(2)能量角度的分析通常要用到機(jī)械能守恒定律、功能關(guān)系。課時(shí)作業(yè)[A組基礎(chǔ)鞏固練]1．一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是()A．若位移為負(fù)值，則速度一定為正值，加速度也一定為正值B．振子通過(guò)平衡位置時(shí)，速度為零，加速度最大C．振子每次通過(guò)平衡位置時(shí)，加速度相同，速度也相同D．振子每次通過(guò)同一位置時(shí)，其速度不一定相同，但加速度一定相同答案D解析彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度方向與位移方向總是相反，若位移為負(fù)值，加速度一定為正值，而速度可能為正值，也可能為負(fù)值，故A錯(cuò)誤。振子每次通過(guò)平衡位置時(shí)，加速度為零，由于速度有兩種方向，所以速度大小相同，方向可能不同，故B、C錯(cuò)誤。振子每次通過(guò)同一位置時(shí)，位移相同，回復(fù)力相同，加速度一定相同，速度大小相同，方向可能不同，故D正確。2．如圖甲所示，彈簧的一端固定在豎直墻壁上，另一端與一個(gè)帶孔小球連接，小球穿在水平固定的光滑桿上。O點(diǎn)為小球的平衡位置，并以其為坐標(biāo)原點(diǎn)沿水平方向建立x軸，水平向右為x軸正方向。小球可在a、b兩點(diǎn)之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。圖乙為小球的振動(dòng)圖像。下列說(shuō)法正確的是()A．t1時(shí)刻小球運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)B．t2時(shí)刻小球的速度為零C．從t1到t2時(shí)間內(nèi)小球的回復(fù)力變大D．從t3到t4時(shí)間內(nèi)小球的加速度和彈簧的彈性勢(shì)能均變小答案D解析由題圖乙可知，t1時(shí)刻小球運(yùn)動(dòng)到x軸負(fù)向最大位移處即a點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；由題圖乙可知，t2時(shí)刻小球在平衡位置，則速度最大，故B錯(cuò)誤；由題圖乙可知，從t1到t2時(shí)間內(nèi)小球從a→O，則小球的回復(fù)力變小，故C錯(cuò)誤；由題圖乙可知，從t3到t4時(shí)間內(nèi)小球從b→O，則小球相對(duì)平衡位置的位移變小，由－kx＝ma，可知小球的加速度變小，而速度變大，動(dòng)能變大，彈簧彈力做正功，則彈簧的彈性勢(shì)能變小，故D正確。3.(2023·浙江省紹興市高三下二模)如圖所示，樹(shù)梢的擺動(dòng)可視為周期12s、振幅1.2m的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。某時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，36s后樹(shù)梢向右偏離平衡位置0.6m。下列說(shuō)法正確的是()A．開(kāi)始計(jì)時(shí)的時(shí)刻樹(shù)梢恰位于平衡位置B．樹(shù)梢做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的“圓頻率”為0.08HzC．樹(shù)梢在開(kāi)始計(jì)時(shí)后的36s內(nèi)通過(guò)的路程為4.8mD．再經(jīng)過(guò)4s，樹(shù)梢可能處于向左偏離平衡位置1.2m處答案D解析由題意可知，樹(shù)梢做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T＝12s，振幅A＝1.2m，36s＝3T，則開(kāi)始計(jì)時(shí)的時(shí)刻樹(shù)梢所在位置與t＝36s時(shí)刻相同，為向右偏離平衡位置0.6m處，故A錯(cuò)誤；樹(shù)梢做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的“圓頻率”為ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6)rad/s，故B錯(cuò)誤；樹(shù)梢在開(kāi)始計(jì)時(shí)后的36s＝3T內(nèi)，通過(guò)的路程為s＝3×4A＝14.4m，故C錯(cuò)誤；設(shè)樹(shù)梢做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相位為φ0，則其振動(dòng)方程為x＝Asin(ωt＋φ0)，由題意可知，A＝1.2m，ω＝eq\f(π,6)rad/s，t＝0時(shí)，x＝0.6m，解得φ0＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)，則x＝1.2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(π,6)))m或x＝1.2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(5π,6)))m，從36s時(shí)刻再經(jīng)過(guò)4s，即t＝40s，將t＝40s代入振動(dòng)方程，可得x＝0.6m或x＝－1.2m，故再經(jīng)過(guò)4s，樹(shù)梢可能處于向左偏離平衡位置1.2m處，故D正確。4．(2023·北京市豐臺(tái)區(qū)高三下綜合練習(xí)一)圖甲為水平放置的彈簧振子，圖乙為該彈簧振子的頻閃照片。拍攝時(shí)底片沿著垂直于小球振動(dòng)的方向從下向上勻速運(yùn)動(dòng)。圖乙中M為t1時(shí)刻拍攝的小球的像，N為t2時(shí)刻拍攝的小球的像，不計(jì)阻力。下列說(shuō)法正確的是()A．小球在t1、t2時(shí)刻的加速度方向相同B．增大底片勻速運(yùn)動(dòng)的速度，同樣尺寸的底片上拍攝的小球像的個(gè)數(shù)減少C．小球從t1時(shí)刻運(yùn)動(dòng)至平衡位置的時(shí)間大于從t2時(shí)刻運(yùn)動(dòng)至平衡位置的時(shí)間D．從t1時(shí)刻到t2時(shí)刻的過(guò)程中，彈簧的彈性勢(shì)能逐漸減小，小球的動(dòng)能逐漸增大答案B解析小球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，加速度方向始終指向平衡位置，由題圖乙可知，小球在t1、t2時(shí)刻的加速度方向相反，A錯(cuò)誤；設(shè)頻閃相機(jī)的頻閃周期為Δt，底片勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則底片上拍攝的小球像的個(gè)數(shù)n＝eq\f(t,Δt)，增大底片勻速運(yùn)動(dòng)的速度v，由x＝vt可知，同樣尺寸的底片運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t減少，則拍攝小球的像的個(gè)數(shù)n減少，B正確；底片從下向上勻速運(yùn)動(dòng)，則圖乙中上面的像拍攝的時(shí)刻比下面的像拍攝的時(shí)刻早，據(jù)此可在圖乙上作出小球的振動(dòng)圖像如圖，由圖可知，t1時(shí)刻小球所在M點(diǎn)為位移最大處，則小球從t1時(shí)刻運(yùn)動(dòng)至平衡位置的時(shí)間為eq\f(T,4)，t2時(shí)刻小球在N位置，先向最大位移處運(yùn)動(dòng)，再向平衡位置運(yùn)動(dòng)，則小球從t2時(shí)刻運(yùn)動(dòng)至平衡位置的時(shí)間大于eq\f(T,4)，所以小球從t1時(shí)刻運(yùn)動(dòng)至平衡位置的時(shí)間小于從t2時(shí)刻運(yùn)動(dòng)至平衡位置的時(shí)間，C錯(cuò)誤；由振動(dòng)圖像可知，從t1時(shí)刻到t2時(shí)刻的過(guò)程中，小球振動(dòng)的位移先減小后增大，則彈簧的彈性勢(shì)能先減小后增大，小球的動(dòng)能先增大后減小，D錯(cuò)誤。5.(2023·福建省南平市高三下第三次質(zhì)量檢測(cè))(多選)如圖，飛力士棒是一種物理康復(fù)器材，其整體結(jié)構(gòu)是一根兩端帶有配重的彈性桿。用戶在健身訓(xùn)練時(shí)，使桿體發(fā)生振動(dòng)，從而使桿體帶動(dòng)手臂肌肉運(yùn)動(dòng)，改變配重可以改變桿體振動(dòng)快慢，以達(dá)到最佳鍛煉效果。若桿體振動(dòng)越快，則()A．手臂肌肉的振動(dòng)快慢程度保持不變B．手臂肌肉的振動(dòng)一定越快C．手臂肌肉的振動(dòng)幅度一定越大D．手臂肌肉的振動(dòng)幅度不一定越大答案BD解析手臂肌肉在桿體帶動(dòng)下做受迫振動(dòng)，手臂肌肉的振動(dòng)頻率等于桿體的振動(dòng)頻率，則桿體振動(dòng)越快，手臂肌肉的振動(dòng)一定越快，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率越接近固有頻率時(shí)，做受迫振動(dòng)物體的振幅越大，桿體振動(dòng)越快時(shí)，其振動(dòng)頻率不一定越接近手臂肌肉的固有頻率，則手臂肌肉的振動(dòng)幅度不一定越大，C錯(cuò)誤，D正確。6．(2023·海南省?？谑懈呷聦W(xué)生學(xué)科能力診斷)(多選)如圖所示是兩個(gè)理想單擺在同一地點(diǎn)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖像，縱軸表示擺球偏離平衡位置的位移。下列說(shuō)法中正確的是()A．t＝2s時(shí)，甲單擺的擺線拉力為0，乙的速度為0B．增大乙的擺球質(zhì)量，乙的周期有可能與甲的相等C．甲擺球和乙擺球永遠(yuǎn)不可能同時(shí)均處于動(dòng)能最小的狀態(tài)D．乙擺球位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)t))cm答案CD解析由題圖可知，t＝2s時(shí)，甲單擺的擺球恰好運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)，擺球速度最大，細(xì)線拉力和重力的合力提供向心力，擺線拉力不為0，t＝2s時(shí)，乙單擺的擺球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，乙的速度為0，故A錯(cuò)誤；由題圖可知，甲的周期T甲＝4s，乙的周期T乙＝8s，由單擺周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，其周期與擺球質(zhì)量沒(méi)有關(guān)系，故B錯(cuò)誤；由題圖可知，甲擺球動(dòng)能最小即位移的絕對(duì)值最大的時(shí)刻，為t1＝(2n＋1)s(n＝0，1，2，…)，乙擺球動(dòng)能最小的時(shí)刻為t2＝(4m＋2)s(m＝0，1，2，…)，若t1＝t2，可得2n＝4m＋1，此式無(wú)正整數(shù)解，可知t1和t2永遠(yuǎn)不可能相等，即甲、乙兩擺球永遠(yuǎn)不可能同時(shí)均處于動(dòng)能最小的狀態(tài)，故C正確；由題圖可知，乙單擺的振幅為A乙＝1cm，圓頻率為ω乙＝eq\f(2π,T乙)＝eq\f(π,4)rad/s，又t＝0時(shí)，x＝0，且開(kāi)始向正方向運(yùn)動(dòng)，則初相位φ乙0＝0，則乙擺球位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為x＝A乙sin(ω乙t＋φ乙0)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)t))cm，故D正確。7.兩單擺在不同的驅(qū)動(dòng)力作用下其做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A隨驅(qū)動(dòng)力頻率f變化的圖像如圖中甲、乙所示，則下列說(shuō)法正確的是()A．單擺振動(dòng)時(shí)的頻率與固有頻率有關(guān)，振幅與固有頻率無(wú)關(guān)B．若兩單擺放在同一地點(diǎn)，則甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為4∶1C．若兩單擺擺長(zhǎng)相同放在不同的地點(diǎn)，則甲、乙兩單擺所處兩地的重力加速度之比為4∶1D．周期為2s的單擺叫作秒擺，在地面附近，秒擺的擺長(zhǎng)約為2m答案B解析做受迫振動(dòng)的物體的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率，由驅(qū)動(dòng)力的頻率決定，與物體的固有頻率無(wú)關(guān)，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率等于物體的固有頻率時(shí)，發(fā)生共振，物體的振幅最大，A錯(cuò)誤；由圖像可知，甲、乙兩個(gè)單擺的固有頻率之比為1∶2，由T＝eq\f(1,f)＝2πeq\r(\f(l,g))可知，l＝eq\f(g,4π2f2)，若兩單擺放在同一地點(diǎn)，即重力加速度相同，則甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為4∶1，若兩單擺擺長(zhǎng)相同放在不同的地點(diǎn)，則甲、乙兩單擺所處兩地的重力加速度之比為1∶4，B正確，C錯(cuò)誤；周期為2s的單擺叫作秒擺，在地面附近，秒擺的擺長(zhǎng)l＝eq\f(gT2,4π2)≈1m，D錯(cuò)誤。[B組綜合提升練]8．(2023·黑龍江省齊齊哈爾市高三下三模)(多選)某種彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，動(dòng)能與彈性勢(shì)能隨時(shí)間變化的圖像如圖所示，下列說(shuō)法中正確的是()A．此彈簧振子在光滑的水平面上振動(dòng)B．t0時(shí)刻彈簧振子處在位移最大處C．彈簧振子的振動(dòng)周期為4t0D．彈簧振子的振動(dòng)周期為2t0答案AC解析由圖像分析可得，該彈簧振子只有振子的動(dòng)能和彈簧的彈性勢(shì)能互相轉(zhuǎn)化，且機(jī)械能守恒，只有彈簧的彈力做功，重力不做功，則此彈簧振子在光滑的水平面上振動(dòng)，A正確；t0時(shí)刻彈簧振子