線性規(guī)劃與網(wǎng)絡(luò)流01線性規(guī)劃問(wèn)題背景線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)線性規(guī)劃問(wèn)題通過(guò)目標(biāo)函數(shù)與約束條件共同定義。目標(biāo)函數(shù)是變量的線性組合，約束條件包括不等式和等式約束，以及變量的非負(fù)性約束。這些約束構(gòu)成了問(wèn)題的基本框架。目標(biāo)函數(shù)與約束線性規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)可以是求極大值或極小值。通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)變換，極小化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為等價(jià)的極大化問(wèn)題，這為問(wèn)題的求解提供了便利。max與min的轉(zhuǎn)換滿足所有約束條件的變量值稱為可行解，所有可行解構(gòu)成的集合稱為可行域?？尚杏蚴蔷€性規(guī)劃問(wèn)題的解空間，最優(yōu)解必然存在于可行域中。可行解與可行域在可行域中，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值的可行解稱為最優(yōu)解，目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解處的值稱為最優(yōu)值。最優(yōu)解是線性規(guī)劃問(wèn)題的核心目標(biāo)。最優(yōu)解與最優(yōu)值最優(yōu)解的存在與基本定理01線性規(guī)劃基本定理指出，如果線性規(guī)劃問(wèn)題有最優(yōu)解，則必有一基本可行最優(yōu)解。這一定理將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為組合問(wèn)題，為單純形算法提供了理論基礎(chǔ)。基本定理02線性規(guī)劃問(wèn)題可能存在無(wú)界解或無(wú)可行解。無(wú)界解是指目標(biāo)函數(shù)在某個(gè)方向上可以無(wú)限增大，而無(wú)可行解則是指約束條件之間相互排斥，可行域?yàn)榭占o(wú)界與無(wú)解情形03基本可行解是滿足約束條件的可行解，其中某些變量取值為零?；究尚薪獾拇嬖跒榫€性規(guī)劃問(wèn)題的求解提供了初始點(diǎn)?；究尚薪?2單純形算法核心約束標(biāo)準(zhǔn)型與基本變量約束標(biāo)準(zhǔn)型線性規(guī)劃問(wèn)題僅包含等式約束和變量的非負(fù)性約束。這種形式便于求解，因?yàn)榭梢灾苯油ㄟ^(guò)設(shè)置非基本變量為零來(lái)獲得基本可行解。約束標(biāo)準(zhǔn)型入基與離基規(guī)則入基變量選擇在單純形算法中，選擇目標(biāo)函數(shù)系數(shù)為正的非基本變量作為入基變量，這可以保證目標(biāo)函數(shù)值在迭代過(guò)程中不斷增加。離基變量選擇通過(guò)最小比值測(cè)試選擇離基變量，以確保在調(diào)整變量值時(shí)不會(huì)違反約束條件。這一規(guī)則保證了算法的可行性和收斂性。轉(zhuǎn)軸變換是單純形算法的核心操作，通過(guò)高斯消元法調(diào)整變量的位置，使入基變量成為基本變量，離基變量成為非基本變量。轉(zhuǎn)軸變換在每次迭代中，目標(biāo)函數(shù)值單調(diào)增加，這保證了算法朝著最優(yōu)解的方向前進(jìn)，避免了無(wú)效的迭代。目標(biāo)函數(shù)單調(diào)性當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的所有系數(shù)都變?yōu)榉钦龝r(shí)，算法達(dá)到最優(yōu)解，迭代終止。這一條件確保了算法的有限步終止。迭代終止條件03一般問(wèn)題的兩階段法不等式到等式的標(biāo)準(zhǔn)化通過(guò)引入松弛變量，可以將不等式約束轉(zhuǎn)換為等式約束，從而將一般線性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題。松弛變量的非負(fù)性保證了約束的滿足。松弛變量的引入在沒(méi)有初始基本可行解的情況下，引入人工變量構(gòu)造輔助問(wèn)題，以找到一個(gè)可行的初始解。人工變量在后續(xù)求解過(guò)程中會(huì)被逐步消除。人工變量的作用兩階段算法兩階段單純形算法首先通過(guò)輔助問(wèn)題找到一個(gè)基本可行解，然后在第二階段對(duì)原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。這種分階段的方法可以有效處理一般線性規(guī)劃問(wèn)題。兩階段算法流程04算法實(shí)現(xiàn)與退化處理C++類封裝與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)010203類封裝數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)初始化過(guò)程通過(guò)C++類封裝線性規(guī)劃問(wèn)題，將數(shù)據(jù)和操作封裝在一起，便于管理和擴(kuò)展。這種面向?qū)ο蟮姆椒ㄌ岣吡舜a的可讀性和可維護(hù)性。設(shè)計(jì)合理的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)存儲(chǔ)單純形表和變量信息，是實(shí)現(xiàn)算法的基礎(chǔ)。良好的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)可以提高算法的效率和穩(wěn)定性。在類的構(gòu)造函數(shù)中完成單純形表的初始化，包括讀入數(shù)據(jù)、設(shè)置初始變量值等。初始化過(guò)程是算法運(yùn)行的起點(diǎn)。enter、leave與pivot函數(shù)01enter函數(shù)enter函數(shù)用于選擇入基變量，通過(guò)比較目標(biāo)函數(shù)系數(shù)來(lái)確定。這一函數(shù)是單純形算法迭代的關(guān)鍵步驟之一。02leave與pivot函數(shù)leave函數(shù)選擇離基變量，pivot函數(shù)執(zhí)行轉(zhuǎn)軸變換。這兩個(gè)函數(shù)協(xié)同工作，推動(dòng)算法的迭代過(guò)程。退化與Bland防循環(huán)規(guī)則退化問(wèn)題處理在單純形算法中，退化問(wèn)題可能導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)值停滯甚至循環(huán)。Bland規(guī)則通過(guò)選擇最小下標(biāo)的變量來(lái)避免循環(huán)，確保算法的有限步終止。05應(yīng)用：倉(cāng)庫(kù)租賃優(yōu)化問(wèn)題建模與變量定義問(wèn)題背景倉(cāng)庫(kù)租賃問(wèn)題是一個(gè)典型的線性規(guī)劃應(yīng)用場(chǎng)景，需要在滿足各時(shí)間段倉(cāng)庫(kù)需求的同時(shí)，最小化租賃成本。變量定義定義變量yij表示從時(shí)間段i到j(luò)的倉(cāng)庫(kù)租賃量，目標(biāo)函數(shù)為總租賃成本，約束條件為各時(shí)間段的倉(cāng)庫(kù)容量需求。模型構(gòu)建通過(guò)目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)建線性規(guī)劃模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題，為求解提供基礎(chǔ)。矩陣生成與求解通過(guò)程序生成線性規(guī)劃問(wèn)題的系數(shù)矩陣，并調(diào)用求解器進(jìn)行求解。這一過(guò)程將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，便于求解器處理。矩陣生成與求解接口06網(wǎng)絡(luò)流模型概述網(wǎng)絡(luò)與流的基本概念網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題是在有向圖中研究流量的分配，目標(biāo)是最大化流量或最小化成本。網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題與線性規(guī)劃密切相關(guān)，是其特殊形式。01最大流問(wèn)題關(guān)注如何在給定網(wǎng)絡(luò)中實(shí)現(xiàn)最大流量，而最小費(fèi)用流問(wèn)題則在滿足流量需求的同時(shí)最小化成本。這兩種問(wèn)題是網(wǎng)絡(luò)流領(lǐng)域的經(jīng)典問(wèn)題。

02最大流與最小費(fèi)用流網(wǎng)絡(luò)流定義07小結(jié)關(guān)鍵算法路線回顧算法路線從線性規(guī)劃問(wèn)題的建模、標(biāo)準(zhǔn)化到單純形算法的實(shí)現(xiàn)，再到實(shí)際應(yīng)用，本課程構(gòu)建了一套完整的線性規(guī)劃求解流程。學(xué)習(xí)小結(jié)通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，掌握線性規(guī)劃的基本概念、單純形算法的實(shí)現(xiàn)以及實(shí)際應(yīng)用，為后續(xù)學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)流等高級(jí)主題奠定基礎(chǔ)。網(wǎng)絡(luò)流與線性規(guī)劃關(guān)系網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題是線性規(guī)劃的一個(gè)特殊子類，具有獨(dú)特的圖結(jié)構(gòu)特性，可以利用這些特性設(shè)計(jì)更高效的算法。網(wǎng)絡(luò)流作為線性規(guī)劃子類最大流問(wèn)題可以通過(guò)容量約束和流量守恒方程表示為線性規(guī)劃問(wèn)題，為求解提供了理論基礎(chǔ)。最大流問(wèn)題的線性規(guī)劃表示最小費(fèi)用流問(wèn)題的線性規(guī)劃表示最小費(fèi)用流問(wèn)題在最大流的基礎(chǔ)上增加了費(fèi)用目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)一步豐富了