0-1背包分支限界法01問(wèn)題與模型0-1背包問(wèn)題定義與分支限界框架010-1背包問(wèn)題涉及n件物品，每件物品有重量w和價(jià)值p，背包容量為c。目標(biāo)是選擇若干物品裝入背包，使總價(jià)值最大，同時(shí)總重量不超過(guò)c。每件物品只能選擇裝入或不裝入，決策變量為0或1。問(wèn)題定義02暴力解法通過(guò)枚舉所有可能的物品組合來(lái)尋找最優(yōu)解，時(shí)間復(fù)雜度為O(2^n)。隨著物品數(shù)量n的增加，計(jì)算量呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，這種方法在實(shí)際應(yīng)用中效率極低，難以處理大規(guī)模問(wèn)題。暴力解法局限03分支限界法通過(guò)系統(tǒng)地搜索子集樹(shù)，并利用界函數(shù)剪枝，避免了不必要的搜索，兼顧了搜索的完備性和效率。優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法利用最大堆管理活結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)優(yōu)先級(jí)由價(jià)值上界uprofit決定，進(jìn)一步優(yōu)化了搜索過(guò)程。分支限界法優(yōu)勢(shì)子集樹(shù)與結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)子集樹(shù)是0-1背包問(wèn)題的搜索空間表示。從根結(jié)點(diǎn)開(kāi)始，左分支代表裝入當(dāng)前物品，右分支代表不裝。逐層展開(kāi)，每層結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一種物品的決策狀態(tài)。三層子集樹(shù)可直觀展示搜索過(guò)程。01bbnode和HeapNode是兩種關(guān)鍵結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)。bbnode包含parent指針和LChild標(biāo)志，用于維護(hù)樹(shù)結(jié)構(gòu)；HeapNode包含uprofit、profit、weight、level和ptr字段，用于最大堆管理和與bbnode的雙向綁定。

02結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)子集樹(shù)示意02核心算法上界函數(shù)Bound貪心估算機(jī)制剩余容量計(jì)算上界函數(shù)Bound首先計(jì)算剩余容量cleft=c-cw，其中cw是當(dāng)前已裝入背包的物品總重量。剩余容量用于后續(xù)的貪心估算。整塊裝入與比例填充從當(dāng)前物品開(kāi)始，按照單位重量?jī)r(jià)值遞減的順序，將后續(xù)物品整塊裝入背包，直到無(wú)法整塊裝入為止。對(duì)于無(wú)法整塊裝入的下一件物品，按比例填充剩余容量，計(jì)算價(jià)值上界b。上界意義計(jì)算得到的價(jià)值上界b滿足子樹(shù)中任何結(jié)點(diǎn)的價(jià)值不超過(guò)b。這為最大堆的剪枝提供了理論依據(jù)，確保每次從堆中取出的結(jié)點(diǎn)具有全局最優(yōu)的潛能。010203AddLiveNode雙插入同步邏輯AddLiveNode函數(shù)首先創(chuàng)建一個(gè)新的bbnode，設(shè)置其parent指針指向當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并標(biāo)記左孩子或右孩子標(biāo)志LChild。創(chuàng)建bbnode01接著組裝HeapNode，填寫其uprofit、profit、weight、level和ptr字段。其中ptr字段指向新創(chuàng)建的bbnode，實(shí)現(xiàn)堆與樹(shù)的雙向綁定。組裝HeapNode02調(diào)用H->Insert將HeapNode插入最大堆，確保堆中元素按價(jià)值上界uprofit排序。插入最大堆03右兒子結(jié)點(diǎn)必須滿足價(jià)值上界up≥當(dāng)前最優(yōu)解bestp才入隊(duì)，體現(xiàn)了“可能包含最優(yōu)解”的剪枝原則，有效控制堆的規(guī)模和搜索深度。右兒子剪枝04MaxKnapsack主循環(huán)與擴(kuò)展策略主循環(huán)條件MaxKnapsack函數(shù)的主循環(huán)條件是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的層數(shù)i不等于n+1，確保在到達(dá)葉結(jié)點(diǎn)前持續(xù)擴(kuò)展。左兒子擴(kuò)展每次循環(huán)先檢查左兒子結(jié)點(diǎn)。若其重量不超過(guò)背包容量，則更新當(dāng)前最優(yōu)解bestp，并將左兒子結(jié)點(diǎn)加入最大堆。右兒子擴(kuò)展與剪枝計(jì)算右兒子結(jié)點(diǎn)的價(jià)值上界，若上界不低于當(dāng)前最優(yōu)解bestp，則將右兒子結(jié)點(diǎn)加入最大堆。隨后從堆中取出新的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，同步其權(quán)重、價(jià)值、上界和層數(shù)。03算法實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)類Knap成員與構(gòu)造初始化01020304成員變量成員功能構(gòu)造初始化解向量長(zhǎng)度類Knap包含多個(gè)私有成員變量，如最大堆指針H、最優(yōu)解數(shù)組bestx、擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)指針E、當(dāng)前重量cw、當(dāng)前價(jià)值cp、背包容量c、物品總數(shù)n、物品重量數(shù)組w和價(jià)值數(shù)組p。--01----02----03----04--這些成員變量分別承擔(dān)不同的功能，如H用于管理活結(jié)點(diǎn)，bestx用于存儲(chǔ)最優(yōu)解，E用于記錄當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)狀態(tài)，cw和cp用于記錄當(dāng)前背包的重量和價(jià)值。構(gòu)造函數(shù)中分配最大堆內(nèi)存，初始化E為空，將cw和cp置為零，確保類的初始狀態(tài)正確。最優(yōu)解數(shù)組bestx的長(zhǎng)度為n+1，采用1-based索引，為后續(xù)回溯填解預(yù)留空間，避免數(shù)組越界。最優(yōu)解回溯構(gòu)造流程從葉結(jié)點(diǎn)開(kāi)始，沿E->parent鏈反向遍歷，逐層讀取LChild標(biāo)志，填入最優(yōu)解數(shù)組bestx。左孩子標(biāo)志為1，右孩子標(biāo)志為0，與樹(shù)的分支語(yǔ)義一致?；厮葸^(guò)程回溯結(jié)束后，當(dāng)前價(jià)值cp即為最大價(jià)值。通過(guò)Knapsack函數(shù)的外層映射，將bestx數(shù)組按原始物品編號(hào)順序返回，完成最優(yōu)解的構(gòu)造。結(jié)果輸出04預(yù)處理與接口在Knapsack函數(shù)中，首先計(jì)算所有物品的總重量W和總價(jià)值P。若總重量W不超過(guò)背包容量c，直接返回總價(jià)值P，實(shí)現(xiàn)最簡(jiǎn)單的剪枝?？傊嘏c總價(jià)值計(jì)算構(gòu)造Object數(shù)組Q，計(jì)算每件物品的單位重量?jī)r(jià)值d=p[i]/w[i]，并按d降序排序。排序后的物品順序用于后續(xù)的上界函數(shù)計(jì)算，確保貪心估算的準(zhǔn)確性。單位重量?jī)r(jià)值排序?qū)⑴判蚝蟮奈锲穬r(jià)值和重量分別復(fù)制到K.p和K.w數(shù)組中，為MaxKnapsack函數(shù)的執(zhí)行提供按單位重量?jī)r(jià)值排序的數(shù)據(jù)，奠定算法正確性和效率的基礎(chǔ)。數(shù)據(jù)復(fù)制結(jié)果映射與內(nèi)存清理01結(jié)果映射在MaxKnapsack函數(shù)返回最大價(jià)值bestp后，通過(guò)Q[j?1].ID將K.bestx[j]寫回用戶傳入的bestx數(shù)組，實(shí)現(xiàn)按原始輸入順序輸出最優(yōu)解向量。02內(nèi)存清理依次釋放Object數(shù)組Q、物品重量數(shù)組K.w、物品價(jià)值數(shù)組K.p和最優(yōu)解數(shù)組K.bestx的內(nèi)存，防止堆內(nèi)存泄漏，確保程序的健壯性。05復(fù)雜度與優(yōu)化時(shí)間空間復(fù)雜度時(shí)間復(fù)雜度最壞情況下，算法需生成O(2^n)個(gè)結(jié)點(diǎn)，但上界剪枝和最優(yōu)解的早期更新可將平均復(fù)雜度降至多項(xiàng)式級(jí)別。單位重量?jī)r(jià)值預(yù)排序耗時(shí)O(nlogn)，在n較小時(shí)可忽略不計(jì)。空間復(fù)雜度最大堆的規(guī)模與樹(shù)高成正比，最壞情況下為O(2^n)，但實(shí)際受最優(yōu)解快速收斂的影響，常遠(yuǎn)低于理論值。剪枝效率與實(shí)踐建議在Bound函數(shù)中加入earlytermination機(jī)制，計(jì)算得到的價(jià)值上界b小于等于當(dāng)前最優(yōu)解bestp時(shí)，即返回，減少不必要的浮點(diǎn)運(yùn)算。Earlytermination對(duì)于容量密集型實(shí)例，先執(zhí)行貪心法得到高質(zhì)量的初始最優(yōu)解bestp，進(jìn)一步削減搜索樹(shù)的規(guī)模，提高算法效率。貪心法預(yù)處理使用固定容量池分配HeapNode，避免頻繁的new和delete操作，提高內(nèi)存分配效率，減少內(nèi)存碎片。內(nèi)存池分配對(duì)于物品數(shù)量較多的情況，可改用深度優(yōu)先搜索結(jié)合內(nèi)存友好的分支限界法，防止最大堆規(guī)模過(guò)大導(dǎo)致內(nèi)存爆炸。深度優(yōu)先優(yōu)化06小結(jié)核心要點(diǎn)與拓展優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法的三要素是：子集樹(shù)的系統(tǒng)搜索、最大堆管理活結(jié)點(diǎn)、Bound函數(shù)保證剪枝的安全性。核心要點(diǎn)0-1背包問(wèn)題是NP-hard問(wèn)題的經(jīng)典原型，相同框架可遷移到多重背包、二