專題1.3二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質

教學目標1.學生能準確闡述二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的概念，理解函數表達式中系數a、b、c的幾何意義，能夠從實際情境中抽象出該形式的二次函數模型。2.熟練掌握通過配方法將二次函數y=ax2+bx+c轉化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k的方法，進而準確確定函數圖象的頂點坐標(h,k)、對稱軸x=h，并能運用描點法或利用函數性質繪制出完整、準確的函數圖象。3.深刻理解二次函數y=ax2+bx+c中系數a、b、c對圖象開口方向、大小、位置的影響規(guī)律，能夠根據函數表達式快速判斷圖象的基本特征，并能運用這些性質解決與函數圖象相關的問題。教學重難點1.重點（1）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的概念理解，以及從實際問題中建立該形式的二次函數模型。（2）掌握用配方法將二次函數一般式轉化為頂點式的方法，進而確定函數圖象的頂點坐標、對稱軸等關鍵要素，并能繪制函數圖象。（3）理解系數a、b、c對二次函數y=ax2+bx+c圖象的影響規(guī)律，能夠根據函數表達式分析圖象的開口方向、大小和位置。（4）運用二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質解決實際問題，如最值問題、函數圖象的平移問題等

2.難點（1）熟練、準確地運用配方法將二次函數y=ax2+bx+c轉化為頂點式，尤其是當系數較為復雜時，學生容易出現計算錯誤，需要深入理解配方的原理和步驟。（2）理解系數b對二次函數圖象對稱軸位置的影響，以及a、b、c三個系數綜合作用下對函數圖象位置和形狀的影響，這涉及多個變量的相互關系，學生理解起來具有一定難度。（3）在實際問題中，準確分析數量關系，建立合適的二次函數y=ax2+bx+c模型，并運用函數性質求解問題，需要學生具備較強的綜合運用知識和分析問題的能力。知識點01二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）與y=a（x-h)2+k之間的相互關系頂點式化成一般式從函數解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(h，k)，所以我們稱為頂點式，將頂點式去括號，合并同類項就可化成一般式．一般式化成頂點式．對照，可知，．∴拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是．【即學即練】1．將二次函數y=x2﹣2xA．y=(x+1)2C．y=(x+1)2知識點02二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象和性質函數二次函數（a、b、c為常數，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標增減性在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點，當時，y有最小值，拋物線有最高點，當時，y有最大值，【即學即練】1．對于二次函數y=-x2+2A．當x>0，y隨x的增大而減小 B．當x=1時，yC．圖象的頂點-1,-3 D．圖象與x2．已知一個二次函數y=ax2+x…-046…y…150824…則下列關于這個二次函數的結論正確的是（

）A．圖象的開口向下 B．函數的最小值是0C．當x>0時，y的值隨x值的增大而增大 D3．已知點A1,y1，B-2,y2和CA．y1<yC．y3<y4．二次函數y=ax2+bx+A．B．C． D．5．已知二次函數y=ax2-4ax+3（a為常數，且a>0A．4 B．3 C．2 D．1知識點03二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的平移

（1）上下平移若原函數為注：=1\*GB3①其中m均為正數，若m為負數則將對應的加（減）號改為（減）加號即可。=2\*GB3②通常上述變換稱為上加下減，或者上正下負。（2）左右平移若原函數為，左右平移一般第一步先將函數的一般式化為頂點式然后再進行相應的變形注：=1\*GB3①其中n均為正數，若n為負數則將對應的加（減）號改為（減）加號即可。=2\*GB3②通常上述變換稱為左加右減，或者左正右負?！炯磳W即練】1.若將函數的圖象向左平移2個單位，再向上平移5個單位，得到的拋物線的表達式是（

）A． B．C． D．2.將二次函數的圖象先向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度后得到的圖象的頂點坐標是（

）A． B． C． D．3.把二次函數的圖象先向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，如果平移后所得拋物線與坐標軸有且只有一個公共點，那么的值可能為（

）A．0 B．1 C．2 D．3知識點04待定系數法求二次函數解析式（1）一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c是常數，a不等于0）已知拋物線上任意三點的坐標可求\t"/item/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%9B%9B%E7%A7%8D%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F/_blank"函數解析式。（2）頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k為常數)。頂點坐標為（h,k)；對稱軸為直線x=h；頂點的位置特征和圖象的開口方向與函數y=ax2的圖象相同，當x=h時，y最值=k.有時題目會指出讓你用\t"/item/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%9B%9B%E7%A7%8D%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F/_blank"配方法把一般式化成頂點式。（3）交點式：僅限于與x軸即y=0有交點時的\t"/item/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%9B%9B%E7%A7%8D%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F/_blank"拋物線，即b2-4ac≥0]。已知拋物線與x軸即y=0有交點A(,0)和B(,0),我們可設y=a（x-)(x-),然后把第三點代入x、y中便可求出a。知識點05二次函數y=ax2+bx+c圖象和性質a、b、c及b2-4ac的符號之間的關系項目字母字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號)對稱軸在y軸左側ab＜0(a，b異號)對稱軸在y軸右側cc=0圖象過原點c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點b2-4ac＞0與x軸有兩個交點b2-4ac＜0與x軸沒有交點【即學即練】1.如圖，二次函數的圖象與軸交于點，頂點坐標為，結合圖象分析如下結論：①；②當時，隨的增大而增大；③；④．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型01二次函數y=ax2+bx+c化成頂點式【典例1】將二次函數y=12x2A．y=12C．y=12【變式1】二次函數y=A．x=1,1,-4 BC．x=-1,-1,0【變式2】拋物線y=x+1A．1,-4 B．-1,-4 C．-1,4 D【變式3】將二次函數y=-x2-4A．a=-1,m=-2,C．a=1,m=-2,題型02二次函數y=ax2+bx+c的性質【典例2】已知二次函數y=x2-3x+1A．-54≤C．-1≤y≤1【變式1】關于二次函數y=x2+A．其圖象的對稱軸是直線xB．當x>2時，y隨xC．若點Am，nD．把該函數的圖象先向上平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度后，圖象經過點1,24【變式2】已知拋物線過1,2，2,1，3,2三點，關于這個拋物線下列結論正確的是（

）A．拋物線的開口向下 B．拋物線的對稱軸為直線xC．拋物線與y軸的交點坐標為0,4 D．當x<2時，y隨x【變式3】如圖，拋物線y=ax2+bx+A．abc<0 B．C．2a+b<0 D．方程a題型03二次函數y=ax2+bx+c中a,b,c系數間的關系【典例3】二次函數y=ax2+bx+ca≠0的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=-1，給出下列結論：①c<0；A．①② B．①③ C．②③ D．②④【變式1】如圖，二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸交于點A3,0，與y軸交于點B，對稱軸為直線x=1，下列四個結論：①該圖象經過點-A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2】在平面直角坐標系中，若二次函數y=axA．abc>0 B．C．9a+3b【變式3】如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸是直線x=1，則下列結論：①a<0，b<0；②a+b+c>0；③a-b+cA．4個 B．5個 C．6個 D．7個【變式4】已知二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖，下列4個結論：①abcA．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型04二次函數y=ax2+bx+c的圖象的判定【典例4】在同一平面直角坐標系中，一次函數y=ax+b（a，b為常數，且a≠0A． B．C． D．【變式1】二次函數y=a(x-A． B．C． D．【變式2】一次函數y=ax+b與反比例函數y=-A． B．C． D．【變式3】一次函數y=ax-b和二次函數y=ax2+bx+A． B．C． D．題型05待定系數法求二次函數解析式【典例5】一個二次函數圖象的頂點為1,-4，圖象又過點2,-3，求二次函數的解析式．【變式1】如圖，拋物線分別經過點A-2,0，B3,0【變式2】已知二次函數的圖象經過5,15點，且頂點坐標為2,-3，求此二次函數的解析式．【變式3】已知二次函數y=x2-bx(1)求b，c的值．(2)若該拋物線經過點Pm,m【變式4】在平面直角坐標系xOy中，拋物線的最低點是C2,-1，且經過點M4,1，N0,題型06已知拋物線上對稱的兩點求對稱軸【典例6】已知二次函數y=axA．直線x=12 B．直線x=1 C．直線【變式1】已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象上有兩點A(-2,A．4 B．1 C．-8 D．【變式2】將拋物線y=ax2-4ax+ca<0向左平移tA．3 B．2 C．32 D．【變式3】已知拋物線y=ax2+bx+c經過【變式4】二次函數y=x2-bx+c圖象上兩點A(-3,-2),【典例7】拋物線y=ax2+bx+A．-1<x<0 B．x<0或x>2 C【變式1】如圖是拋物線y=x2+2x+m的部分圖象，且與xA．1,0 B．2,0 C．2.5,0 D．3,0【變式2】已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對稱軸為直線x=-1，設A(-2,A．y1>y2>y3 B．【變式3】表格列出的是一個二次函數的自變量x與函數y的幾組對應值，其中，a的值為（

）x???-----0???y???40--0a???A．4 B．3 C．2 D．1題型08y=ax2+bx+c的最值【典例8】已知二次函數y=ax2-2ax+a+2（A．1 B．-1 C．±1 D．【變式1】二次函數y=x2-4x+m在A．-1 B．4 C．7 D．4或【變式2】已知二次函數y=-x2+4x+9在t≤A．-1或5 B．-3或5 C．-1或7 D．【變式3】已知二次函數y=x2-4x(-2≤x≤A．2<m≤4 B．2<m≤6 C．一、單選題1．二次函數y=x2+bx+cA．直線x=1 B．直線x=3 C．直線x=4 2．拋物線y=2x2A．(1,-3) B．(-1,-3) C．(2,-3) D．(-2,-3)3．二次函數y=A．-3 B．3 C．-5 D4．一次函數y=ax+c（a≠0）與二次函數yA． B．C． D．5．已知二次函數y=ax2+x…-0135…y…5--012…則下列關于這個二次函數的結論正確的是（）A．a-bC．當x>0時，y隨x的增大而減小 D．y的最小值是6．二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，函數值A．-4 B．-2 C．0 D7．二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A-A．bB．4C．cD．二