專題11三角恒等變換及應用（八大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01兩角和與差的三角函數(shù)

?題型02二倍角公式

?題型03半角公式

?題型04輔助角公式及應用

?題型05降幕公式

?題型06萬能公式

?題型07積化和差與和差化積公式

?題型08三角恒等變換的應用

?題型01兩角和與差的三角函數(shù)

1.(23-24高三上?廣東肇慶?階段練習)cos50°cos70°+sin500cos160°=()

A.--B.—C.--D.y

2222

【答案】C

【分析】利用三角函數(shù)的誘導公式與和差公式即可得解.

【解析】cos500cos700+sin500cos1600

=cos500cos700+sin50°cos(90°+70°)

=cos500cos70°-sin50°sin70°

=cos(50°+70°)=cos1200=--.

故選：C.

2.（2023?福建原門?模擬預測）已知sina+sin（a+Tj=sin《-a,則sina=（）

A.0B.±—C.±—D.±—

722

【答案】A

【分析】利用兩角和差的正弦公式將題給條件化簡，得到關(guān)于sina的方程，解之即可求得sina的值.

Msinja+絢1.V5

【解析】—sina+——sina------cosor

I3)122

1.

=-sma+cosa,

22

sin——a=——cosa——sina,

U}22

Xsina+sin

則sina=0

故選：A

3.（23-24高三上?廣東江門?階段練習）如圖，。，夕是九個相同的正方形拼接而成的九宮格中的兩個角,

則a+P=()

【答案】B

【分析】求出鬼尸的正切值，即可得出。+夕的正切值，進而求出a+〃的度數(shù).

【解析】由題意及圖得，tan6z=ltan^=i,

11

+

,小tana+tan￡7Q,

???tan(?+/?)=-----------------J；=2.3.=1.

1-tan+tanpj_J^x￡

~23

4

故選：B.

4.(2023?四川宜賓?二模)已知tana=",tan/?=g,則tan(〃-a)=()

417

A.1B.—C.—D.—

376

【答案】C

【分析】根據(jù)正切的和差角公式艮1可代入求解.

!_1

c、tan/?—lana?31

【解析】tan(夕一。)=--^―----=上產(chǎn)f=三

1+tan/tanaJ+JxJ7

23

故選：C

5.(2024?廣西?模擬預測)已知aw(O,兀)，V3(sina+sin2a)4-cosa-cos2a=0,則sin(a+^)=()

AV2R73V64-5/2n\/6-V2

2244

【答案】A

【分析】利用正弦兩角和公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出。，代入即可求解.

【解析】因為Vi(sina+sin2a)+cosa-cos2a=0,

所以立sina+'cosa=—cos2cr--sin2a，

2222

所以sin(a+-sin('一2a,

所以a+^二色一為+2E,ZeZ或a+巴+色一為=2hr+兀，kwZ,

6666

又ae(Om),所以a二年，

「「［”?/711.(2n兀).3兀及

朋■以sina+—=sin——+—=sin—=——,

I\2)I3\2)42

故選：A

?題型02二倍角公式

6.(21-22高三上?陜西漢中?階段練習)已知sin2x=sinx,xe(0,7i),則cosx=()

A.0B.2C.0.5D.0或2

【答案】C

【分析】由正弦的二倍角公式求解即可.

n

tana+tan—

【解析】因為tan1a+；卜4tana+1一刖，

=--------=:，B|Jtana

,,7T1-tana2

I-tana-tan—

4

2x+1

22tana+l2

._22sinacosa+cos。8

m)|sm2a+cos'a=-----；--------；----\2

人」sirra+cos-ataira+15-

+1

2J

故選:A

42+2cos2a-3sin2a

10.(2024?遼寧?一模)若tan2a=§,則)

I-cos2a

1

A.或2B.-2或三C.2D.—

22

【答案】C

【分析】

根據(jù)已知條件，利用正切的二倍加公式求出tana,再利用正余弦二倍用公式和同角二角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化

簡要求值的式子，帶值計算即可得到答案.

_.?.342tan(7413

［解機】tan2a=—=>-------=一ntana=一或一2,

31-tan-a32

2+2cos2a-3sin2a

1-cos2a

2+2(2cos'a-1)-6sinacosa

4cos2a—6sinacosa

2sin2a

2-3tana

tan2a

代入tana求得值均為：2.

故選：C.

11.（202小全國?模擬預測）已知tanacos二-a71。,卦則sin2a

一COS—I-a=0,as()

1444cos%+sin2a

A.2x/3-2B.4及一3c.2V2D.3-25/2

【答案】D

【分析】先利用誘導公式和差角公式求出正切值，再利用齊次式可求答案.

n71.n

【解析】因為tanacos--a-cos—+a=0,所以tanacossin—a=0,

U)U14)14414

又aw。，5,所以710,所以tana-tan：-a)=0,

4

nnx[—tana八口/—I—

即tana------------=0,解得tana=J2—1或tana=-V2-I，

1+tana

因為二€(0,萬)，所以tana=0-1，

cr..sin2a2sin?cosatana也A__/r-

所以-----；--------------=-------；----------------------=------------=—j=——=3-2V2.

4cosa+sin2a4cos'a+2sinacosa2+tanaV2+1

故選：D

?題型03半角公式

12.(2024?全國?模擬預測)已知角a是第二象限角，且終邊經(jīng)過點(-3,4),則tan5=()

A.3B.jC.2D.g或2

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件求出sina和cosa的值，再利用tan|=產(chǎn)空求解即可.

1+cosa

【解析】???角a是第二象限角，且終邊經(jīng)過點(-3,4),

..43

..sintz=—,cosa=——,

55

.ac.aa4

sin—2-sin—?cos—.

???tan^=—2-=2__2=_5__=；

2cos^2882g"co畋1+(二］

22I5)

故選：c.

13.(23-24高三下?云南?階段練習)已知角。的終邊經(jīng)過點?！?,貝lj2cos2巴+sina=()

I，4)

A5-Vl5R-V15-55+而岳-5

c?Ln*?

4444

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求出正弦和余弦,結(jié)合半角公式求出答案.

【解析】由三角函數(shù)定義得sina=-巫，cosc

44

515-V15

所以2cos2—+sina=1+cosa+sina=1———I—=----------.

2444

故選：A.

14.(2023?全國?高考真題)已知。為銳角，cosa="舊，則s：n?=().

42

r3-亞T+弓

A.B.n

8844

【答案】D

【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出.

【解析】因為cosa=l-2sin20=t且，而。為銳角,

解得：siny=3一石

故選：D.

已知1+cosO二立,

15.（22-23高三上?河北石家莊?期末）則tan—=

sin032

【答案】石

【分析】利用半角公式即可求解.

0

o?6cos

_l+cos6^40°s22IJ+cos6_G

【解析】因為.「?=——產(chǎn)0

r?夕0e'

Sint/2sin—cos—esin—tan—sin<73

2222

所以tan?='

故答案為：.

?題型04輔助角公式及應用

八冗7t1.3V5(3叫

16.（23?24高三下?四川綿陽?階段練習）已知xe0,—,siav+coir=------,貝ijt4anx--

45I4J

【答案】3

【分析】借助輔助用公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系計算即可得.

3而

【解析】sinv+CO&.V=\/2sinx+：,故sin卜+；

10

由XW%,則X+n+itn

44,2

3兀3兀

tanx-----=tanx--------+n

4J4

故答案為：3.

17.（2024?新疆喀什?二模）已知函數(shù)/'（x）=sin（x-0）-co&r,其中0＜。＜乃，滿足〃0）=/任,則

\7

0二.

【答案】言

O

【分析】根據(jù)/(0)=/[?)代入計算，化簡可得關(guān)于。的方程，解方程即可.

【解析】因為/(x)=sin(K-Q)-cosx,/(0)=/[^,

所以一sin0-1=sin(--cp)---,

32

所以乎cos°-gsine+sine+g=0，即*cose+；sin*=-g，

所以sin(0+g)=一；,

又因為0<”"，所以即夕=學.

366

故答案為：.

O

18.(2024?全國?模擬預測)設(shè)0,],則函數(shù)尸Jsinx+Jcosx的最大值為.

【答案】2!

【分析】平方后，設(shè)，=sinx+cosx,得到/=-2百L1金《尤，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到最值，得到答

案.

【解析】設(shè)。=Jsinx+Jcosx,xw0,g,兩邊平方得。=sinx+cosx+2\/sinxcosx.

i^7=sinx+cosx,兩邊平方得/=sin2x+2sin.rcosx+cos2x=l+2sinxcosx，

貝lJsinxcosx=^——-?

2

由于OKxW'，-<x+-<—,HOt=s\nx+cosx=41sinfx+|,1</<72?

2444V4J

又由于/=/+2后I在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以當/=&時的最大值為2收，

則y=Jsinx+xlcosx在區(qū)間0,—上的最大值為Q=2、

故答案為：21

19.(2024?河南新鄉(xiāng)?二模)已知函數(shù)/(x)=siiwx-Gcoss:?>0),若存在%￡[0,捫，使得-2,則?

的最小值為.

【答案】

66

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)/（X）,求出相位的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.

【解析】函數(shù)/（x）=2sin（5-g，由王￡[0,兀],得口玉一：e[-5,初一§,

JJJJ

由存在X]€[0,句，使得/a）=-2,得乃出一個之^，解得口之?，

326

所以①的最小值為？■.

6

故答案為：

6

?題型05降幕公式

20.（2022?云南?模擬預測）S噌+：=（）

sin-5-1

A.一走B.—C.-2D.2

22

【答案】C

【分析】利用誘導公式和降寤公式化簡即得解.

sin80°+1_cos10+1cos1+1_

【解析】解：由題得sin'5°-lI-cos10=-cos10-1-

----------1

2

故選:C

21.（22-23高三下?安徽?開學考試）已知sine+2cos2?=（，則sin28=（）

人15c15-3>3

A.——B.——C.一一D.-

161644

【答案】A

【分析】先利用降霖公式，再利用二倍角公式化簡即得解.

5I

【解析】由已知sin<9+2cos‘一=二，彳乜簡得sin0+1+cos。=—sincos。=—.

2444

平方得1+sin26=4,

16

所以sin2<9=-”.

16

故選：A.

22.（202L四川巴中?模擬預測）已知黑|怒鬻=2,則由。二（）

A.1B.2C.3D.V2

【答案】B

【解析】根據(jù)降塞公式和二倍角的正弦公式化簡等式左邊即可得解.

【解析】因為;鼠奈；鬻=2,

所以2sin1e+2sine?cose

2,

2cos，0+2sinOcos。

“…sin6(sine+cos。)。

所以-Z7―Z―FT=2，

cos夕(cosd+sin，)

所以tan0=2.

故選：B

【點睛】本題考查了降哥公式，考查了二倍角的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

23.（22-23高三上?廣西柳州?階段練習）已知的數(shù)/（x）=2cos2（竽）

（3〉0）,若對任意的實數(shù)/,/（X）

在區(qū)間億/+6）上的值域均為[-5,-3],則◎的取值范圍為（）

it兀H

A.嗚B.6，+XC.3，+C°D.+8

【答案】D

【分析1對/（力運用倍角公式作恒等變換求出周期，則其周期74/+6-=6,據(jù)此可以求解.

其周期為

【解析】/(x)=2cos2-5=cos(^v)-4,7=2,

co

由題意有：T<t+6—/=6,.\—W6,①2一.

(D3

故選：D.

?題型06萬能公式

24.（20-21高一下?陜西西安?期末）若tana=3,則sin2a=)

3333

A.-B.--C.D.

5544

【答案】A

【分析】利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得sin2a的值.

2sinacoscr

?cc?2sinarcoscos2a2tana2>33

［解析】sin2a=2sinacosa=——：----------：—

siira+cos~asin2a+cos2atan2a+132+15

cos-a

故選：A.

25.（2022?全國?模擬預測）已知第二象限角。滿足tane.tan（a+W=g,則cos2a=（）

4433

A.—B.-C.-D.一一

5555

【答案】D

【分析】由tana.tan|；a+皆=|結(jié)合正切和角公式化簡，求得tana,利用萬能公式即可求解.

——（兀］tana+12.、

【解析】.tanatana+-=tan?------=-,..3tan2a+5tana-2=O?

V4）I-tan（23

解得tana=-2tana=（舍去），

叱1.1,2.2cos2a-sin2al-tan2a3

加以cosla=cos-a-snra=—；------；—=-------=—.

cos'a+siira1+tan-a5

故選：D

26.（2021?河北邯鄲?一模）已知2sin（乃一a）=3sin（，+a

則sin2a--sin2a-cos2a=）

2

5151

A.—B.一一C.——D.—

13131313

【答案】B

【分析】運用誘導公式及齊次化即可或解.

【解析】由2sin（乃-a）=3sin（1+Q）,得2sina=3cosa,所以tana=』，

22

“=.21.csin2a-sinacosa-cos2atan2ar-tana-11

從OUsin~a——sin2a-cos-2a=---------------3-------=--------------=----

2sin'a+cos-atan-a+113

故選：B

?題型07積化和差與和差化積公式

27.（2021高三?全國?專題練習）求cos^+cos包-2sin囚cosg的值:

8848

【答案】0

【分析】利用和差化積進行化簡求值即可得解.

【解析】cos7+cos-2sin7cos1

884o

兀3兀n3TI

COSCOS

=2coSi^^i.>/2i

22

=2cos-cos--41COS-^=5/2COS--5/2cos?=0.

48888

28.（22-23高三上?廣東汕頭?期末）設(shè)銳角三角形48C的內(nèi)角/、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知

a=bcosA-acosB.

（1）求證：B=2A；

⑵求"的取值范圍.

a

【答案】（1）證明過程見解析.

（2）（上+1,6+2）

【分析】（1）利用正弦定理及積化和差得到sin/l=sin（8-W）,結(jié)合角的范圍，得到4=24；

⑵利用正弦定理得到等=4胡"；［!根據(jù)三角形為銳角三角形，得到“《房

cosJe

(vf],從而求出取值范圍.

【解析】(1)a=bcosA-acosB,

由正弦定理得:sinA=sin8cos/一sinAcosB,

由積化和差公式可得:

sinJ=；sin(8+/f)+；sin(8一4)一；sin(4+B)-gsin(/i-8)=:sin(8-4)-/sin(4-8),

因為;sin(/l-8)=—gsin(8—力)，

所以sin力=sin(5-J),

因為三角形力8c為銳角三角形，故

所以8—可一芳），

故4=8-4,即8=24；

（2）由（1）知：B=2A,

由正弦定理得：

b+c_sinB+sinC_sin2J+sin(5+J)sin2A+sin3A

——=.9

asinJsinJsinJ

其中sin3A=sin(2/4+J)=sin2AcosA+cos2AsinJ=2sinAcos2A+cos2JsinA,

因為sin/HO，

力+c2sinJcosJ+2sinAcos:A+cos2JsinJ、，-2,、,

所以----=-----------------；------------------------------=2cosJ+2cos-/f+cos2J

sin/

5

=2cosA+2cos'A+2cos2A-\-4cos2A+2cosJ-l=4cosA+—

44

由8=24得：

Tl

由C=7T—4一3=兀-34￡0,解得:

兀n

結(jié)合Ie0,?可得：Ae,cosA

2）654

故叱

=41cosJ+—-2在cosAe上單調(diào)遞增,

44

所以

即誓e（及+1,百+2）.

?題型08三角恒等變換的應用

29.（2024?山東?二模）已知函數(shù)」（工）=小出2.丫-852.丫，則下列結(jié)論正確的是（）.

A.函數(shù)/（X）的最大值是G

B.函數(shù)/（力在-/,三_L單調(diào)遞增

63

C.該函數(shù)的最小正周期是2兀

D.該函數(shù)向左平移?個單位后圖象關(guān)于原點對稱

6

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，化簡函數(shù)/（i）=2sin2x-y,結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.

<6,

【解析】由函數(shù)/(x)=V3sin2x-cos2x=2sin

可得最大值是2,最小正周期是兀，所以選項A,C錯誤;

7in

當?可得2x-工wd,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì),

6,3622

7TTT

可得函數(shù)/(x)=2sin2x<在上單調(diào)遞增，所以B正確;

6)63

將函數(shù)/（X）圖象向左平移5得到函數(shù)/（x）=2sin2X+J,

6I6，

此時函數(shù)/（X）的圖象不關(guān)于原點對稱，所以D錯誤.

故選：B.

30.（2024?四川?模擬預測）已知函數(shù)/3=而5+2溫早（口〉0）在［0,可上有且僅有4個零點.則/（⑼圖

象的一條對稱軸可能的直線方程為（）

It7t

A.x=—B.x=—

201（）

3九5兀

C.x=------D.x=—

2014

【答案】D

7

【分析】化簡/（X）,由零點個數(shù)整體思想求出并求出對稱軸判斷其范圍，結(jié)合賦值法判斷各選

項.

［解析］(x)=sins+2cos2等=sin<yx+1+cos<yx=V2sinY+i

兀

令/(力=0,得sinCOX+—

4

因為所以8+彳G—,6771+—,

44

若f（x）在［0,可上有且僅有4個零點，則號4即+%乎，解得白3<5,

人n,,,r,zu4E+7U3”7/_

令0x+—=E+—,左wZ,得》=-----，4eZ,因為一W<y<5,

424/2

4尿+兀4也+兀4kn+n

所以-----<------<------，左eZ.當攵=0,—<x—,

204。142014

當上=1,青當—手一卡,只有D符合.

故選：D.

31.(22-23高三上?寧夏銀川?階段練習)已知函數(shù)/(x)=sin'x-cos4x+26sinxcosx-;R).

⑴求/（、）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間：

（2）若a€，不小，且/佟+白］=］求納口口+小的值.

122；V212；2k4；

【答案】⑴最小正周期為兀，單調(diào)遞減區(qū)間為他+配學+E|（旌Z）

.36

（2）2/2-76

4

【分析】(1)利用二倍角和輔助角公式化簡得到/(x)=2sin|'2x-?-根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期和單

I6)22

調(diào)區(qū)間的求法可直接求得結(jié)果;

a217t2廣軻求得,ma，進而得到。哈利用兩角和差余弦公式可求得結(jié)果?

(2)由/—+一

【解析】(1)

?.?/(x)=kin；:x-cos2x)bin2x+cos，xb\fsin2x-'^=-cos2x+Jsin2x-g=2sinl

\/(x)的最小正周期丁普=冗:

n,/,5幾

令(+2版工2AtMZ),解得:一+標<X<:——+kr.(keZ),

36

\/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為g+化wZ).

36

an

(2)由(1)得：/-4--=2sina--=sina=-,

1.212.222

nn

*.*ae

「T56

7171兀)Rn.n.nV2-76

cos(r2a+—=cos—+—=cos-cos—sin-sin-=-----------

I4j34；34344

32.(2024高三下?全國?專題練習)已知函數(shù)/(x)=2sinxcosx-Msin2_r-cos2x

則直線24X-9町-84=0與/⑴的圖象的交點個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】先將函數(shù)/(X)化簡得/a)=sin2x+acos2x,再結(jié)合■苧］以及x的任意性求出。的

I61

值，從而求出/(力的解析式，再數(shù)形結(jié)合探究即可得出結(jié)果.

【解析】由題/(x)=2sinxcosx-a(sin，x-cos2x)=sin2x+acos2x,

由“川=/卜一及知/(0)=/]-￡)，

所以a=sinm+acos5n

?解得〃

<3J

所以/(x)=sin2x+>/5cos2x=2sin2x+—.

<3，

對于24彳-9可，-8兀=0,令y=0,得刀=：；令y=2,^x=—

312

故直線24x-90-8兀=0經(jīng)過點：,0與點137rA

IJZ

易知/(X)的圖象也過點(小0)與點(詈,2),

在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)/(切的圖象與直線24x-9叮-8兀=0,如圖所示:

結(jié)合圖象可知/(力的圖象與直線24x-9可，-8兀=0恰有5個交點，

故選：C.

33.(23-24高三下?浙江寧波?階段練習)的內(nèi)角49C的對邊分別為〃也。，且

sin(/l-5)cosC=cos5sin(J-C).

⑴判斷ABC的形狀;

1?11

⑵若AJ8c為銳角三角形，sinJ=—,求一^+弁+丁的最大值.

b2b2c

【答案】⑴/8c為直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形

⑵及+1

【分析】

(1)利用三角恒等變換公式化簡后分別討論各項為0時的情況即可；

(2)先根據(jù)(1)中的結(jié)論判斷此時“8C為等腰三角形，再利用正弦定理將邊化為角，構(gòu)迨關(guān)于角8的

三角函數(shù)求值域，注意角8在銳角三角形中的范圍即可.

【解析】(1)由題意：(sitvlcosi?-cos^sini?)cosC=cosfi?(sitv/cosC-cosJsinC),

整理得cosJ?(cosBsinC-sin8cosc)=cos/sin(C-8)=0,

故cos4=0或sin(C-B)=0,

當cos4=0時，/=],“BC為直角三角形,

當$in(C-8)=0時，B=C,為等腰三角形，

當cos4=0且sin(C-6)=0時，A=^fB=C=^f為等腰直角三角形.

所以A8C為直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.

（2）由（1）知，若“8c為銳角三角形，則一定為等腰三角形，「4=c,

由正弦定理一"一=一2一得asinB=6sinJ=1,/.a=一■—

sinJsinBsinb

,二+。匚2+二2城"山

B2b2ca2b

2sin25+sinJ=1-cos25+sin25=1+V2sinI25--

4J

0<5<-

2，解得

因為』4c為銳角三角形，所以

0<J=TT-25<-42

2

.?.當2人A”寸，即時取最大值，最大值為及+L

綜二，最大值為夜+1

02模擬精練

一、單選題

1.(2024?福建廈門?三模)已知0,-,sin2<z=-,則sina+^~=()

I5I4)

A.好B.在C.超D.±

25555

【答案】C

【分析】由可得sinja+；）＞0,再利用整體思想結(jié)合誘導公式與二倍角公式計算即可得.

【解.析】由OG則a+住，5，則sin[a+：]＞0,

V4；4142Jk4；

7T=-cosS=2sin（a+富-1=j

sin2a=sin2a+---

4J2

則sin[a+：J=（,由sin[a+；）＞0,故sin（a+：）=^.

故選：C.

3ccwn

2.（2024?河北保定?二模）已知tana=,則cos2a=（)

sincr+11

D.4

【答案】B

【分析】利用切化弦和同角三角函數(shù)的關(guān)系，解出sina,再結(jié)合二倍角公式即可求解.

【僭^斤】因為上吧3cosa

cosasintz+11

所以4sin%+lIsina-3=0?

解得sina="!■或sina=-3（舍去）,

4

所以cos2a=1-2sin*2a3*5=—.

故選：B.

3.(2024?貴州?模擬預測)已知25cos2a-lOsina-I=0,則tanq=()

12J2

431

A.3B.-C.-D.-

343

【答案】A

【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函數(shù)的平方關(guān)系及ae1全j求出金。和cos。，再根據(jù)二倍角

的止弦公式及降幕公式化簡tan/,代入計算即可.

【解析】由題設(shè)有25（l-2sin2a）-10sina-l=0,即25SMa+5sina-12=0.

34因為ae(卓兀

JWMsina=—nJcsina=--所以sina=—，則cosa=-Jl-sin，a=——，

.a_.aa

sin—2sin—cos—

a2S1IYZ

則tan—=-----—22

2ar2a1+cosa

cos2cos