數(shù)歹IJ

題型概覽

題型01數(shù)列的遞推公式

題型02等差數(shù)列及其性質(zhì)的應(yīng)用

題型03等比數(shù)列及其性質(zhì)的應(yīng)用

題型04等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯問題

題型05數(shù)列求和問題

題型06數(shù)列中的新定義問題

題型07數(shù)列與三角、解析幾何等知識交匯

題型01數(shù)列的遞推公式

1.(2U25?山東濰坊?一模)已知數(shù)列｛《,｝滿足—=<寸4為偶數(shù)，若6=1,則牝=

）

,3%+1,%為奇數(shù)

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)遞推公式逐項計算可得牝的值.

【詳解】因為數(shù)列｛q｝滿足。用=了嗎，且％=1,所以%=3q+l=3+l=4,

3a“+l,a”為奇數(shù)

a=—=—=2,a=—=—=1,%=3q+1=3+1=4.故選：D.

322422

2.(多選)(2025?江蘇南京?二模)已知數(shù)列｛/｝中，4-。川二-3勺必，其前〃項

O

和為S”，則（）

11

A.a,=—B.a?=------C.a,>aD.<0

114"17-3〃t7

【答案】ABD

11cl

【分析】由題意可得-------二-3、-=14,結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式可得a.=能,即

—an4

可判斷AB：結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可判斷C；結(jié)合放縮法計算即可判斷D.

【詳解】由34“，得工-'=-3,所以數(shù)歹l」｛-L是以-3為公差的等差數(shù)列，而

見+ian凡

l=l+2x(-3),所以5=14,得q=上，故A正確；所以：=：+(-3)(〃-1)=17-3“，得

%“Ixa\144%

1/46

凡二不一，故B正確：令;=17-3〃=0,解得〃=】，對■于4=/_,%,生，優(yōu)，4，的為正，且

17—3〃/317-3/7

依次遞增；49,…,明為負(fù)，且依次遞增，所以見之《，故C錯誤;

0,故D正確.

114II85247101314118522581114

故選：ABD

3.（多選）（2025?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）已知數(shù)列也｝滿足q=1,%=1°，且%+2=。e⑹，若記

數(shù)列｛%｝的前〃項的枳為小"二lg（4.q+J,｛"｝的前〃項和為S”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛"｝是等比數(shù)列B.邑=2"-1

C.當(dāng)〃為奇數(shù)時，=10~D.當(dāng)〃為偶數(shù)時，=]Q~

【答案】ABD

t分析】利用數(shù)列｛4｝的遞推關(guān)系式以及糖（勺?%+），根據(jù)等比數(shù)列定義即可判斷A正確，利

用等比數(shù)列前〃項和公式計算可得B正確，由｛a｝的通項公式可得知，對〃為奇數(shù)或偶

數(shù)時進(jìn)行分組計算可判斷C錯誤，D正確.

【詳解】對于A,由%+2=q+1〃1"=lg（%.a”+J可得：

〃+產(chǎn)收（牝+1。+2）=愴卜”+1。+1。2）=也向12.4.\42愴（/“?牝+1）=犯，即牛、2,又

4=lg（qq）=lg（lxl0）=l,可得數(shù)列”是以4=1為首項，公比為9:2的等比數(shù)列，可得A正確;

對于B,由選項A分析可知，S.=^=2"-1,即B1E確；對于C,易知”=*％.%）=2小，所以

2

a1t?%+]=10，"';當(dāng)〃為奇數(shù)時，Tt=a]-a2a3--an_lan=q?（%%）…卜*q）=1x10:'xlO?"x--xl0'

t,fcl）婦3,可知C錯誤；對于D,當(dāng)〃為偶數(shù)時，

=[淤+2++2"、=]0I=103

0

2

丁“…?6=（%?°2）.3?包）…Siq）=10"x10盧X…X1。2"'2+_+2旨號,

=10=1?！?10J

可得D正確.故選：ABD

4.（多選）（2025?山西臨汾?二模）已知數(shù)列也｝滿足：q=3,3%=（〃+1””則下列說法正確的

是（）

A.%=9

2/46

B.｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列

C.若■為數(shù)列,的前〃項和,則

［5+1)3J

D.若對任意〃cN?，都有(-1)”船”￡。田，則一34寸G

【答案】ABC

【分析】根據(jù)累乘法可得勺=二，即可判斷A,根據(jù)口包>1即可求解B,根據(jù)裂項相消法即可求解C,

n%

根據(jù)單調(diào)性，對〃分奇偶即可求解D.

［詳解］由3〃4=(〃+1”旬，可得亍八含，故凡=&.—???，?/=3("!)3("_；)…X苧<號3=—,at=3

n"juT@II.2。-I<J/ft

?a3〃9YI—i

也符合，故4=二，%=二=9,A正確，由于二"=—：=l+r>l，故〃z>/，因此｛%｝是

"n33/〃+1〃+1

3”

單調(diào)遞增數(shù)列，B正確，%_?_1?，

(“+1)3”("+1)3"(〃+1>?n〃+1

故Z，=h4W；-r|+…=1一」7<1'，正確,由(T)"MK%可定

I2)(23)\nn+\J〃+1

±1

(一1)144=3-7=3(1-」7］,當(dāng)〃為偶數(shù)時，則恒成立，由于/(〃)=1--1單

an〃+11〃+"I"+1J〃+1

調(diào)遞增，故/IK3(1-上1=2,當(dāng)〃為奇數(shù)時，則-443(1--三］恒成立，由于/(〃)=1--二單

調(diào)遞增，故一九431-占)=|,故對任意〃eN*，都有(一1)"而"工4一則一故D錯誤,

故選：ABC

5.：2025?重慶?二模)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，且0>0.4邑=。3-2《m+1,將數(shù)列｛/｝與

202

數(shù)列｛〃2-1｝的公共項從小到大排列得到新數(shù)列｛。｝，則2—=()

Z-lCi

408040

A.一BD.—D.——

4141?21

【答案】A

【分析】根據(jù)S,與之間的關(guān)系求得見=2〃-1,可得c.=4〃、l,則2=47一七，結(jié)合裂

C八Z〃~~1+1

項法求和，即可求解.

【詳解】因為為>0,4工=。3-2%7+1,當(dāng)〃N2時，則4sl=片-2為+1,兩式相減得

4%=。3-4-2%+2七,整理可得(凡+i+%)(《用-凡-2)=0,且%>0,則％”+為>0,可得

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⑵求數(shù)列｛%｝的前〃項利s”.

【答案】（1）證明見解析

，〃為偶數(shù)，

（2電=：；

Lx5"+J?，〃為奇數(shù).

44

【分析】（1）由遞推公式變形得；[5〃=7,利用等比數(shù)列的定義即可證明｛*-5"｝是等比數(shù)列.

n

（2）由（1）得%=（-1）"+5",再利用分組求和法及等比數(shù)列前〃項和公式求和即可

【詳解】（1）證明：?.?數(shù)列｛%｝滿足。川+/=6、5",即。.M=-%+6X5",.?.。同一5川二一（勺一5"）,

即"二二T，又,.?％=4,.?.數(shù)列｛/-5"｝表示首項為-1,公比為T的等比數(shù)列.

a”一,

（2）由（1）知勺-5"=-1x（-1）”"=（-1），.?q=（-l）"+5",「.S.=5'+52+…+5"+（-1）+1+???4（-t）\

當(dāng)〃為偶數(shù)時，可得S=5（"'’—。二，/'"二：當(dāng)〃為奇數(shù)時，可得S=5（1T）_]-X5*2：

“1-544"1-544

、5向-9,〃為偶數(shù)，

綜上可得，s.=；:

為奇數(shù).

44

9.（2025?黑龍江哈爾濱?二模）已知正項數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，2S,=a；+a”（〃eN）.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式：

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足3M■」一旦：.求數(shù)夕1J也｝的前〃項和為7；；

anq—

⑶設(shè)數(shù)列｛《｝的前〃項和為4，%+㈠）匕=為“+1,且4,=4.，若〃wN?時，以＞4,求數(shù)

列｛，｝首項G的取值范圍.

【答案】（1）?！?〃

⑵一%

〃+1

⑶『（就1111）

【分析】（1）令〃=1可求得q的值，令〃22,由2S,,=a：+4可得2S.T=a：T+%,兩式作差推導(dǎo)

出數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得數(shù)列｛4｝的通項公式；

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（2）求得“=-1+」，利用裂項相消法可求得7；：

nn+1

（3）根據(jù)已知條件求出。2?1+《2”_產(chǎn)2,Gz+G=&?+4,。2=。I+3，分〃=2A（Z€N）、

〃=2%-1（ACN.）,求出〃的表達(dá)式，根據(jù)一川>力可得出關(guān)于。的不等式組，由此可求得仇的取值

范圍.

【詳解】（1）由已知條件可知,對任意的〃uNLq>0.當(dāng)〃=1時.。；+6=25=2弓,解得4=1：

當(dāng),d2時，由2S.=a：+a”可得2sl=。3+。,1，上述兩式作差得2勺=。：一。3+?！?。小，即

端-<i-%一%.i=0，即（。,+%）（勺一%-1T）=°，由已知條件可知%+%>°，所以?！耙?=1，

所以，數(shù)列｛/｝是等差數(shù)列，且首項為1，公差也為1，因此，5=l+（〃-l）xl=〃.

（2）由（1）可得”=9二一旦—-]」+，

n〃+1\nJ\n+\)n"+1

2"」+二

所以,

"223nn+i〃+ln+\

(3)因為―+(-1)"c'=2an+1,所以C2n一。2”1=4〃-1①，qo+i+C”=4?+I②，三2一%川=4?+3③,

②一①可得。2?|+。2-1=2，②+③可得。2”.2+°2”=即+4，又。2—。=3=C2=C]+3，當(dāng)

〃=2攵,€1>1，)時，A2k=2A+12k+"(；T)X16=」?+6k,當(dāng)〃=2"1,eN)時，

4A-2=c\+c2+2(4-1)+20(攵-1)-H—~~—xl6=8片-2"-3+2c,又囚為d"一么”，當(dāng)〃wN'時，

22

dQd”,當(dāng)〃=2M：wN?)時,d2k+i>d2k=>A4k+2>J4Jt=>8(Ar+1)-2(Ar+1)-3+2c.>8A:+6k,當(dāng)

?=2^-l(XreN*)|h1,&jt>""-i=>>4u-2n8%~+6攵>8〃2—24—3+2C],對任意的左eN”,則

3

c.>-4k——

「1111

''恒成立,故一<<《<<?

c,<4A:+|22

等差數(shù)列及其性質(zhì)的應(yīng)用

1.（2025?江西上饒?二模）已知?。ィ?>0）為等差數(shù)列，q=3,4=96,則%=（）

20199

A.12D.125/2

【答案】A

6/46

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合對數(shù)的運算法則求值.

【詳解】因為｛ln4｝（%>0）為等差數(shù)列，設(shè)公差為d.則lnq=h】3,ln%=lnq+5d,所以

ln96=In3+5d=d=』9651n3=g2.所以Ina3=Inq+2d=In3+2In2=In12na3=12.故選：A

2.（2025?山西臨汾?二模）記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，公差d>0,且。2020。021<。，則S,取

得最小值時〃為（）

A.2021B.4039C.2020D.4040

【答案】C

【分析】由題意可得數(shù)列｛%｝前2020項全為負(fù)，從2021開始為正，可得結(jié)論.

【詳解】因為公差d〉0,所以數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，所以生皿<%。21，又生皿夕⑼<0,所以

的儂<。,。曲>。，所以數(shù)列｛4｝前2020項全為負(fù)，從2021開始為正，所以前2020項的和52。2。為S”的

最小值，故〃=202（）.故選：C.

3.（2025?云南昆明?二模）已知等差數(shù)列｛%｝,公差為d,。尸（），前〃項和為，，記集合

M=｛k\ak=Sk｝t若〃中有2個元素，則《，d的關(guān)系可以為（）

A.2q+3d=0B.2a｝-3t/=0

C.3?1+2d—0D.3i71—2d-0

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列通項公式、前〃項和列式建關(guān)系，再逐項判斷.

【詳解】由4=S*,得4+（"1川=陶+與2,則—2）町=0,由“中有2個元

素，得關(guān)于〃的方程2%+（4-2）1=0有不小于2的整數(shù)解，而。尸0,則4WO,A>2,A€N.,方程

2《+/-2）d=0中外系數(shù)為2,〃的系數(shù)左-2是止整數(shù)，選項A符合要求，選項BCD不符合要求.

故選：A

C

4.（2025?四川雅安二模）記S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若a+%=10,a網(wǎng)=65,貝。區(qū)=（）

n

A.14—//B.n—2C.12—〃D.〃—4

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出名與出的值，進(jìn)而求出首項4和公差d，再根據(jù)等差數(shù)列的前〃項

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和公式求出s“，最后得出序的表達(dá)式.

【詳解】已知｛4｝是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得〃3+%=%+%=2%=10,則%=5.

又因為%%=65,所以5%=65,解得名=13.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為"，根據(jù)等差數(shù)列通項公式

q,=q+(〃-lW,可得｛s'-解得d=2,%=-3.根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式可得

%=6+&/=13

2

=nx(-3)+x2=-3n+n(n-1)=n-4n.將S'=/一初代入冬可得：=Zi_4.

2niin

故選：D.

5.(2025?江西萍鄉(xiāng)?二模)己知等差數(shù)列｛q｝滿足：a3+a6+a9+L+%”=；〃(〃+1)(〃wN.),則｛凡｝

的公差為()

I1

A.1B.2C.-D.-

【答案】D

【分析】將〃=1、〃=2代入4+。6+/+1+4”+wN+),求出%、4的值，再由等差

數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由%+4+%+L+外,=；〃(〃+l)(〃wN+),可知當(dāng)〃=1

3303

時，則有％=7，當(dāng)〃=2時，則有4+。6=：x2x3=；；，解得4=3,所以3d=4-%=7，

2422

解得d=4.故選：D.

2

6.(2025?山東臨沂?二模)已知｛凡｝為正項等差數(shù)列，若4%-%=8,則的最大值為()

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】由題意求得弓二寸二0<4<4,講一步將所求轉(zhuǎn)換為關(guān)于”的二次式子即可求解.

【詳解】4。3-%=4(%+21)-(％+64)=3q+2d=8,解得q=它等，由于｛4｝為正項等差數(shù)列,

o_2H

a,=——>0，…8-24(8-24八(8-2")(8+44)

貝叫3,解得0<d<4,%%=-----------+2d=-------------

d>033),

=-(8-2J)(4-h267)<-/8-2fZ+4+2tZ2=8,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)d=L%=2,所以。化的最大值為

9912,

8/46

8.故選：C.

7.(2025?河北邯鄲?二模)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，且則公差

d=.

【答案】-2

【分析】利用等差數(shù)列的前〃項和公式與通項公式即可求解..

【詳解】由題意得叫+萼=匕=〃%+(〃-3］+〃(〃-1),解得d=-2.故答案為：—2.

8.(2025?安徽池州?二模)在等差數(shù)列｛4｝中，若％=2,%=6,則出+4=.

【答案】16

【分析】根據(jù)題意，列式求出公差d,求得通項公式4,得解.

［詳解］由4=2,則/=%+2d=2+2d=6,解得d=2,..可=2〃,則a2=4,a6=12,

%+。6=16.

9.(2025?河南新鄉(xiāng)?二模)已知S”是等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，數(shù)列｛凡｝的公差為“4工0),且

上3-%｝是等差數(shù)列,則:.

【答案】；/0.5

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前〃項和公式可得J-勺=：/+14一￡>+1一4，進(jìn)而結(jié)合

等差數(shù)列的特點求解即可.

【詳解】由題意，%=q+d("l)=而+=叫+"('LW、彳/卜一與),

所以S“+(/一?-〃+"一卬，因為｛js“-是等差數(shù)列,則｛jsn-4｝的通項是一次函

數(shù)型，則g〃2+(q?當(dāng))〃+能整理成完全平方型，所以△=(%—蓑J—4,g(d—4)=0,化簡

得(a4)2=0,所以卬=W，即§故答案為：1

I2J2(122

10.(2025?浙江金華?二模)已知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，S”為其前〃項和，滿足邑=5,幾=32,則

仆的值為.

【答案】3

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【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差，根據(jù)求和公式建立方程組，求得首項與公差，利用通項，可得答案.

3x7

$3=3%+——d=5

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則2,化簡可得<3a.+3(/=5

6%+33d=16,解得

S2=12qH------d=32

13

?,所以6=4+7d=3.故答案為：3.

d=-

9

11.(2025?山東青島?二模)記等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S.,且a.+2S.Sz=0(〃22),%=；,則

5"=?

【答案】4

【分析】利用通項與前〃項和的關(guān)系，把等式轉(zhuǎn)化為S”的遞推關(guān)系，利用等差數(shù)列公式即可求解.

【詳解】由?！?邑-5>_］代入已知可得：5“-5吁［+25囚_|=()=>￡—92=0=>J—^—=2,fJ>2

,、

可得!是公差為2的等差數(shù)列，因為4=：,所以5=2,即1=2+(〃-1)-2=2〃，所以邑=，-,

3”2。，2/1

12.(2025?陜西渭南?二模)已知等差數(shù)列｛4｝滿足?！?。川是關(guān)于萬的方程--4以+勿=()的兩個根.

⑴求6.

⑵求數(shù)列｛a｝的通項公式.

4〃

⑶設(shè)g=(-If-,求數(shù)列｛c.｝的前2〃項和先.

【答案】⑴％=1

(2也=4］一1

⑶”含

4〃+1

【分析】(1)利用韋達(dá)定理，結(jié)合等差數(shù)列公式即可求解：

(2)利用韋達(dá)定理可直接得到；

(3)利用裂項相消法即可求和.

【詳解】(1)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,由根與系數(shù)關(guān)系得勺+。用=4〃，

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a.+￡7,=4

于是有-4=4=2d,則d=2,故4=q+%=2q+1,則q=1；

。，+%=8

（2）由（1）知q=l,d=2,故q=%+（〃-,由根與系數(shù)關(guān)系知，=<V%+i=4"Ll；

(3)由(2)得C?1?11

”=(T)""7=(T)”--------+---------

4n~-12/1-12/2+1>

114〃

所以52“=-1+1+一+」

5、51)\4n-14n+14〃+1477+1

等比數(shù)列及其性質(zhì)的應(yīng)用

1.（2025?山東聊城?二模）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的前5項和為,，且3%+4%=%，則%=

)

A.2B.4C.8D.16

【答案】A

【分析】利用等比數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的前〃項和公式求解即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項為q，公比為「（廠>0）,根據(jù)題意3。尸+46=4/即/_3/-4=0,

解得r=2（r=-1舍），而Ss=。^----=—?故％=?,所以d=。尸=與22=：.4=2選選：A.

r-l2222

2.（2025?云南昆明?二模）已知正項等比數(shù)列｛%｝,滿足%=1,4=4,則《=（）

A.4B.vC.1D.2

42

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，求出公比，進(jìn)而求出首項.

【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列｛%｝的公比為夕，則/吟=4,而9>0,解得好2,所以《=亍=；.

故選：B

3.（2019?廣東茂名?一模）已知數(shù)列何,｝為止數(shù)項的等比數(shù)列，S”是它的前〃項和，若%%=4,且

4+2%=g,則04=（）

A.34B.32C.30D.28

【答案】C

【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)得。$二2,結(jié)合已知得生=；,再根據(jù)等比數(shù)列的公式求基本量，再

由前〃項和的公式得到結(jié)果.

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【詳解】數(shù)列M為正數(shù)項的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得-==4=4=2,由4+2%=g,

則內(nèi)二］根據(jù)等比數(shù)列的公式得%=:=＞，/=4,q=16,所以Sqnfdl二力=30.故選：C

442\-q

4.(2025?安徽滁州?二模)已知首項為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，若S?=3,S6=63,則

%=()

A.8B.16C.24D.48

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式與求和公式可得解.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛q｝的公比為9,則$2=q+。2=4(1+夕)=3,又卬＜0,則1+夕＜0,即1,

又$6=4+%+%+。4+%+%=包+出乂1+94g)63,即1++d=21,解得q，=4,又4＜一1,則

q=-2,所以《=-3,a4=^-cf=-3-(-2)'=24,故選：C.

5.(2025?山東濱州?二模)設(shè)｛〃”｝為等比數(shù)列，且%+%=3,%+。4=6,則%+/=()

A.12B.24C.48D.96

【答案】D

【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)以及等比數(shù)列定義直接計算即可.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛6,｝的公比為夕，由%+/=3,%+%=6可得色旦=必絲?=g=2,

a.+aya2+ay

所以為+4=.2+%)4'=3x2$=96.故選：D

6.(2025?山東荷澤?二模)已知S,為等比數(shù)列｛%｝前〃項和，若%=4%-4a2,則臺一=()

a\+a2

A.5B.3C.-3D.-5

【答案】A

【分析】利用等比數(shù)列的通項公式和求和公式來求解即可.

【詳解】由等比數(shù)列公式可得：*…‘J一而q=q，=的-4nq=2,所以

414)

5_1-2_15_,故選：A.

———J

%+aia\+勿13

7.(2025?江蘇?二模)已知等比數(shù)列幾｝的公比夕工-1,前〃項和為S”，則對于V/icN',下列結(jié)論

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一定正確的是()

A.Sn+Sin=2s2"B.3S“+S3n=2s2”

c.S)=S1ts31tD.S2n(S2tt-Sn)=Sn(S3n-S”)

【答案】D

【分析】舉反例即可判斷ABC,再分類討論g=l時和時，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可判斷.

【詳解】令凡=2",5)=2,§2=6,53=14,SI+SJW2snA錯；351+S3^2S2,B錯；

S；wS￡,C錯；一般情況，夕=1時，S.=n%,S.S.心,S?.⑸.-S“)=2/d，

S/&F=叫-2叫=2",此時SMS.-S,)=*(與-SJ”1時,*

"q

|JJ=1-q11-q1-q)(1)2=(1)2'

"If")k(1—/)］卜/).-/)〃*"http://+小)

故選：D.

8.(2025?遼寧?二模)記S”為正項數(shù)列｛%｝的前〃項和，4=2邑，?為等比數(shù)列，則卜.

【答案】3

【分析】根據(jù)題意整理可得寺=2當(dāng)，可知等比數(shù)列｛｝，的公比為2,即可得S,,=7嗎2”T,代入運

算即可.

【詳解】因為。3=2S,,則&=3S,,可得乎=2與■，可知等比數(shù)列［叫的公比為2,

則&二縣2"T=q2i,即S“二叼2"，所以生=區(qū)二幺=幺二3.

n\qqq

9.(2025?四川雅安?二模)在公比不為1的等比數(shù)列｛凡｝中，若見皿=1,且有

。得2…4=…J(〃?€N?，心5)成立,則"?=.

【答案】10或4049

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為＜?，由%?！?1，可得％=夕"。"，利用通項公式化簡條件等式

2

%令…牝=。避2…歐.5W>5),可得fn-4059m+40490=0即可求解.

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【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為"且9工1，由-25=1，則為4。24=1,故《=/0”，又

6%…生=。冏2…%-5（"?>5）,...q%qqq2L=%%夕L嗎夕…,：.a^ql+2+3+4=崎%—,

rin（吁句（l+"t-6）_->->

即/-，.-,1=<-,°-^_一，又4=q0-4，

，—2024（，"10）+^^^10=0,

化簡整理得病一4059〃】+40490=0,即（〃…4049）（〃?-1。）=。，解得根=10或加=4049,均滿足相>5.

等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯問題

1.（2025?安徽黃山?二模）已知各項均為整數(shù)的數(shù)列｛4｝中，％=-2,%=1,前10項依次成等差

數(shù)列，從第9項起依次成等比數(shù)列，則%023=（）

A.22015B.2M-C.220'3D.220,6

【答案】B

【分析】根據(jù)題意分別求出等差數(shù)列的公差d和等比數(shù)列的公比,，利用等比數(shù)列通項公式求值即

可.

【詳解】由題意，設(shè)前10項等差數(shù)列的公差為d,則為-4=3d=3,解得4=1,所以

q°=〃9+d=l+l=2.設(shè)第9項起依次成的等比數(shù)列的公比為4,則叫。二①“，即。/=2.

所以生023=aio,^2013=2x22013=2204做選：B.

2.：2025?廣東清遠(yuǎn)?二模）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，公差"H0,若&=35,.且七,西

成等比數(shù)列，則％的值為（）

A.11B.13C.19D.17

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)由等差數(shù)列的求和公式和等差中項可得q+2d=7,再由等比中項可

得d=3q,兩式聯(lián)立可得力和“，然后求出數(shù)列的通項可得.

【詳解】S5=/6+%）=必=35,即％+2d=7,乂因為生，%,%成等比數(shù)列，則

即（q+3"）2=（q+"）（q+8d）,整理可得d=3q,再與％+2d=7聯(lián)立可得6=1,d=3,

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所以(=3〃-2,%=19,故選：C.

3.(多選)(2025?遼寧沈陽?二模)己知數(shù)列｛為卜滿足%+I+%=/(〃)，則下列說法中正確的是()

A.若《=2,/(〃)=2〃，則｛凡｝是等差數(shù)列

B.若4=1,/(〃)=2〃+1,則｛q｝是等差數(shù)列

C.若4=2,/(〃)=4,則｛乙｝是等比數(shù)列

D.若q=l,/(〃)=3x2i,則｛q｝是等比數(shù)列

【答案】BCD

【分析】根據(jù)題意給出的條件進(jìn)行化簡，并結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列知識進(jìn)行逐項求解判斷.

【詳解】對于A,當(dāng)+&=/'(〃)=2〃時，若％=2,則。2=0嗎=4,4=2,%=6「一，所以數(shù)列｛〃”｝

不是等差數(shù)列，故A錯誤；對于B,當(dāng)—+凡=/(〃)=2〃+1時，(新一〃因為

%-1=0,所以a.-〃=0,即%=〃,因為+=所以數(shù)列｛《｝是等差數(shù)列，故B

正確;對于C,當(dāng)%+i+%=/(〃)=4時，有(1-2)=-(々”-2),因為4-2=0,所以%-2=。，

即%=2所以m｝是等比數(shù)列，故C正確：對于D,當(dāng)％+%=/(〃)=3X2〃T時，有

〃?n

(ae—2")—一(a「2i),囚為%-20=0,所以(-2小=0,即“”=2"，囚為3二聲=2,所以

an2

｛%｝是等比數(shù)列，故D正確；故選:BCD.

4.(多選)(2025?安徽淮北?二模)設(shè)數(shù)列｛〃.｝的前〃項和為S”，對任意正整數(shù)〃有S/2=4S.+3,

下列命題正確的有()

A.若％=1,貝4$3=7

B.｛%｝一定不是等差數(shù)列

C.若｛%｝為等比數(shù)列，則公比為2

D.若％=1,%=2,則｛%｝為等比數(shù)列

【答案】ABD

【分析】求出53可判斷A；假設(shè)｛〃.｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,求出S”,，+2代入工+2=4S”+3根據(jù)

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多項式相等可判斷C；若｛%｝為等比數(shù)列，由S”+2=4S“+3,S/3=4S"1+3兩式相減得%+3=4。川，

求出,可判斷C求出。3,利用。*+2=4勺可判斷D.

【詳解】對于A,%=1,當(dāng)〃=1時，S3=4S1+3=43+3=7,故A正確；對于B,假設(shè)｛4｝是等差

數(shù)列，設(shè)公差為d,則y=咐+與D/S"2=（〃+2R+上當(dāng)叱4/,

由工2=43.+3得（〃+2）q+（弋"2）d=4四d+3,

\d..

—=2a

2

即￡?[+便d+q卜+（2q+d）=2〃2d+（4q_2d）〃+3,根據(jù)多項式相等可得弓"+q=4/一）,

2a,+（/=3

方程組無解，所以也｝一定不是等差數(shù)列，故B正確：對于C,若｛%｝為等比數(shù)列，由

S/2=4S.+3,S“+3=4S..1+3兩式相減得。/3=也“，即。"/=也”由。"0得/二*解得q=±2,

故C錯誤：對于D,若4=1,%=2,則E=q=l,S2=a,+a2=1+2=3,當(dāng)〃=1時，S3=4^+3=7,

所以為=5-52=7-3=4,當(dāng)“22時，S/2=4S.+3,S.+|=4S“T+3,兩式相減可得a*=44，即

-=4,所以數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項是以q=l為首項，4為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項是以2首項4為

公比的等比數(shù)列，乂亍*=2管=2,所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，故D正確.故選：ABD.

5.1多選）（2025?江西新余?二模）已知遞增數(shù)列｛%｝的各項均為正整數(shù)，且其前〃項和為S”，則（）

A.存在公差為1的等差數(shù)列｛為｝,使得凡=2025

B.存在公比為2的等比數(shù)列｛q｝,使得S4=2025

C.若&二2025,則見4285

D.若%=2025,則％°2207

【答案】BCD

【分析】A選項用等差數(shù)列求和公式S.=〃4+如算出凡表達(dá)式，令其等于2025,看解出的首

項臼是否為正整數(shù)，不是則不存在.

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B選項用等比數(shù)列求和公式S.二駕二8算出國表達(dá)式，令其等于2025,看解出的首項4是否為止

整數(shù)，是則存在.C選項要使《最大，前面項應(yīng)最小，設(shè)q=x，后面項依次遞增，根據(jù)求和公式

算出，。表達(dá)式,由，=2025解出x,進(jìn)而得到為，判斷與285大小.D選項要使生。最小,前面項

應(yīng)最小，設(shè)q=x,后面項依次遞增，根據(jù)求和公式算出凡表達(dá)式，由$。=2025解出x,進(jìn)而得到

須，判斷與207大小.

【詳解】對于A,設(shè)公差為1的等差數(shù)列｛%｝的首項為q,根據(jù)等差數(shù)列前.〃項和公式可得

14x131934967

514=146/,+-^—^xl=14^+91.若SH=2025,則14q+91=2025,解得《二詈二牛名!^,所

以不存在這樣的等差數(shù)列，A選項錯誤.時于B,設(shè)公比為2的等比數(shù)列｛%｝的首項為4,qeN+.

根據(jù)等比數(shù)列前〃項和公式可得0=注番=1必.若&=2025,則15%=2025,解得

%=135wN+,所以存在這樣的等比數(shù)列，B選項正確.對于C,已知兒=2025,因為數(shù)列也｝是

遞增數(shù)列且各項均為正整數(shù).要使4盡可能大，則前面的項要盡可能小，設(shè)q=%，a2=x+\,

%=x+2,q=x+3,L,%o=x+9.則￡0=10.+（1+2+3+―+9）=10工+9）<（；+1）=10%+45.由

Slo=2O25,可得10x+45=2025,即lOx=1980,解得x=198.所以《=x+3=198+3=201<285,

所以巴4285成立，C選項正確.對于D,同樣因為幾=2025,要使《。盡可能小，則前面的項要

盡可能小，設(shè)q=x,a2=x+\,a3=x+2,L,a10=x+9.由前面計算可知10x+45=2025,解

得了=198,所以/o=x+9=198+9=207,所以須2207成立，D選項正確.故選：BCD

6.（多選）（2025?遼寧錦州?二模）已知數(shù)列｛q｝,其前〃項和為S"，數(shù)列｛"｝,其前〃項和為】，

則下列說法正確的是（）

C

A.若｛%｝為等差數(shù)列，則數(shù)列彳也是等差數(shù)列

B.若…2",則數(shù)列｛"｝為等比數(shù)列

C.若可二3〃-16,則〃=5時S”取到最小值

D.若也｝為等比數(shù)列，且7；=2-3"+〃i,則〃?=-彳

【答案】AC

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【分析】利用等差數(shù)列前〃項和公式推導(dǎo)'的表達(dá)式，即可判斷A；根據(jù)等比數(shù)列的定義即可判斷

n

B；通過等差數(shù)列前〃項和的二次函數(shù)的形式即可判斷C；根據(jù)等比數(shù)列前〃項和的形式與已知條

件給山的形式，即可解得

【詳解】因為｛〃“｝為等差數(shù)列，所以前〃項和S.=〃q+隼史=，+卜-3，

所以數(shù)列｛｝｝是等差數(shù)列，故