2.11函數(shù)模型及其應(yīng)用

I.在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律.

2.了解指數(shù)函數(shù)、電數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異，理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增

長”“直線上升”等不同函數(shù)類型增長的含義.

陞備知識(shí)回顧自土學(xué)習(xí),基班回扣

教材回扣

1.六種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型J[x)=ax-\-b(a,b為常數(shù)，。工0)

二次函數(shù)模型J(x)=axi-^hx+c(a,b,c為常數(shù)，a#O)

指數(shù)型

/U)=/〃P+c'3，b,c為常數(shù)，a>0且a#1,〃#O)

函數(shù)模型

對(duì)數(shù)型

fix)=b\ogx-}~c(a,b,。為常數(shù)，a>0且aXl,bKO)

函數(shù)模型lt

器型函數(shù)模型y(x)=aP+伙a,b,n為常數(shù)，aXO,〃H0)

“對(duì)勾”函

），=x+f（a為常數(shù)，。＞0）

數(shù)模型

2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較

y=axy=logaX

項(xiàng)目

(a>D31)(〃>0)

在（0,+8）

增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)

上的單調(diào)性

隨〃值變

增長速度越來越快越來越慢

化而不同

隨”值增大，圖象與工隨K值增大，圖象與三

圖象的變化隨〃值變化而不同

勉接近平行鈍接近平行

VLJ教材拓展

1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成

倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對(duì)數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.

2.充分理解題意并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果

對(duì)實(shí)際問題的合理性.

基礎(chǔ)檢測(cè)

一?W-----

1.判斷（正確的畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”）

（1）某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫存積壓降價(jià)，若按九折出

售，則每件還能獲利.（X）

（2）函數(shù)），=2』的函數(shù)值比），=f的函數(shù)值大.（X）

（3）不存在如使axo4Jvlogg）.（X）

（4）在（0,+8）上，隨著x的增大，y="（a>l）的增長速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=f（?l）

的增長速度.（J）

2.（人教A版必修第一冊(cè)Pl55T9改編）已知甲、乙西種商品在過去一段時(shí)間內(nèi)的價(jià)格走

勢(shì)如圖所示.假設(shè)某商人持有資金120萬元，他可以在人至小的任意時(shí)刻買賣這兩種商品，

且買賣能夠立即成交（其他費(fèi)用忽略不計(jì)）.如果他在〃時(shí)刻已經(jīng)賣出所有商品，那么他將獲得

的最大利潤是（D）

C.80萬元D.120萬元

解析：當(dāng)甲商品的價(jià)格為6元時(shí)，該商人全部買入甲商品，可以買120+6=20（萬份），在

及時(shí)刻全部賣出，此時(shí)獲利20X2=40（萬元）；當(dāng)乙商品的價(jià)格為4元時(shí)，該商人買入乙商品，

可以買（120+40）:4=40（萬份），在h時(shí)刻全部賣出，此時(shí)獲利40X2=80（萬元）.故該商人共

獲利40+80=120（萬元）.故選D.

3.（人教A版必修第一冊(cè)Pll9T5改編）有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表:

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（D）

A.y=2r+,—1B.），=/

C.y=21og2入D.y=x21

解析：將各點(diǎn)。，田分別代入各函數(shù)可知，最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是

1.故選D.

4.（人教B版必修第二冊(cè)P43例2改編）從盛滿10L純硫酸的容器里倒出1L,然后用水

填滿，這樣繼續(xù)下去，第三次填滿后的硫酸濃度為（D）

A.70.4%B.67.2%

C.81%D.72.9%

解析：每次填滿后，硫酸濃度都是原來的荒，所以第三次填滿后的硫酸濃度為高

XI00%=72.9%.故選D.

供鍵能力提升互動(dòng)探究?考點(diǎn)精講

考點(diǎn)1利用函數(shù)圖象刻畫變化過程

【例1】（2024.內(nèi)蒙古赤峰一模）在下列四個(gè)圖形中，點(diǎn)夕從點(diǎn)O出發(fā)，按逆時(shí)針方向

沿周長為/的圖形運(yùn)動(dòng)一周，。，。兩點(diǎn)連線的距離），馬點(diǎn)。走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，

那么點(diǎn)尸所走的圖形是（D）

【解析】對(duì)于A,點(diǎn)P在第一條邊上時(shí)，y=x,但點(diǎn)P在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，戶是隨

x的增大先減?。p到靛小時(shí)y即為三角形的第二條邊上的高的長度），再增大，對(duì)比圖象可知，

A錯(cuò)誤；對(duì)于B,y與1的函數(shù)圖象一定不是對(duì)稱的，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,一開始y與x的關(guān)系

不是線性的，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,因?yàn)楹瘮?shù)圖象左右對(duì)稱，所以D選項(xiàng)應(yīng)為正方形，不妨設(shè)邊

長為。，點(diǎn)P在第一條邊上時(shí)（即OWxWa時(shí)），y=x,點(diǎn)P在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即

時(shí)），5=*2+（X—〃）2,依然單調(diào)遞增，點(diǎn)p在第三條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），y=

yja2+（3a—x）2,單調(diào)遞減，點(diǎn)P在第四條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即34W.IW4”時(shí)），y=4a-x,單調(diào)遞

戒，且已知y關(guān)于r的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2a=g（其中/=4“）對(duì)稱，D」正確.故選D.

-------------------------------1

判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程是否吻合的方法

（1）構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖

象.

（2）驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否

C.小一1D.小+1

【解析】由。=6,得到?。=小/‘，，當(dāng)x=1時(shí)，11)=練/尸；當(dāng)犬=2時(shí)，12)=女

一6e"-2―]11

心;依題意，明年(x=2)的產(chǎn)量將是今年的e倍，得------"T)=e,.,.京一工=1,

L廠

ke

—小-i

即按+力一1=0,解得。=-2—.VZ?>0,???0=一故選A.

規(guī)律總結(jié)

求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)

(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)的值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](1)(2024?四川德陽三模)如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社

會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合.已知某類果蔬的保鮮時(shí)間N單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度M單位：℃)滿

足函數(shù)關(guān)系,v=es+〃3,b為常數(shù)),若該果蔬在7c的保鮮時(shí)間為288小時(shí)，在21c的保鮮

時(shí)間為32小時(shí)，且該果蔬所需物流時(shí)間為4天，則物流過程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度(假設(shè)物流過

程中恒溫)最高不能超過(A)

A.14℃B.15℃

C.13℃D.16℃

e7fl+6=288,..

解析：依題意，得J2(fl)/>_則e'=g,即/=4，顯然〃<0,設(shè)物流過程中果蔬

的儲(chǔ)藏溫度為于是產(chǎn)+6296=3/|-8=?-7氣2*+〃=/船+,解得3+6214。十仇因此

/W14,所以物流過程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度最高不能超過14℃.故選A.

(2)(2024.湖南長沙三模)地震震級(jí)通常是用來衡量地點(diǎn)釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級(jí)最

早是由查爾斯?里克特提出的，其計(jì)算基于地震波的振幅，計(jì)算公式為M=lgA—IgA。，其中

M表示某地地震的里氏震級(jí)，A表示該地地震臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅，Ao表示這

次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅.假設(shè)在一次地震中，某地地宸臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅

為5000,且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002,則該地這次地震的里氏震級(jí)約為(參考數(shù)據(jù)：

lg2Po.3)(B)

A.6.3級(jí)B.6.4級(jí)

C.7.4級(jí)D.7.6級(jí)

解析：由題意，某地地震波的最大振幅為5000,且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地發(fā)振幅為0.002,

可得M=lg5OOO-lgO.OO2=lg嗎也一1g丁器=4一怛2—(1g2—3)=7—21g226.4.故選B.

考點(diǎn)3構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題

[例3]雙碳戰(zhàn)略之下，新能源汽車發(fā)展成為乘月車市場(chǎng)轉(zhuǎn)型升級(jí)的重要方向.某企

業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場(chǎng)分析，每生產(chǎn)x(單位：千輛)獲利川(x)(單位：萬

|3-O^.r+354O0,.^03v4W0,2,2—6,該公司預(yù)計(jì)全年其他成本總投入為的+10)萬

元)，lV(x)=+

元.由市場(chǎng)調(diào)研知，該種車銷路暢通，供不應(yīng)求.記全年利潤為人幻(單位：萬元).

(1)求函數(shù)/U)的解析式.

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千輛時(shí)，該企業(yè)利潤最大？最大利潤是多少？請(qǐng)說明理由.

【解】(1)由已知得/U)=lV(x)-(20x+10),

30x4-350,0<AW2,

又W(x)=?

-2rH-4(h+340,2vr<6,

IOx+340,0<AW2,

?\/w="

-2A-2+20.V-F330,2<W6.

(2)當(dāng)0<xW2時(shí)，7U)=10x+340,則當(dāng)0<YW2時(shí)，人幻勺(2)=360;

當(dāng)2aW6時(shí)，人幻=-2?+20二+330=-2。-5)2+380,即.1=5時(shí)，1幻口耽=380.

???360080,的最大值為380,

故當(dāng)年產(chǎn)量為5千輛時(shí)，該企業(yè)利潤最大，最大利澗是380萬元.

"規(guī)律總結(jié)

應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟

(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型.

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建

立相應(yīng)的函數(shù)模型.

(3)解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.

(4)還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的答案.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】(1)(2024.湖南益陽三模)二手汽車價(jià)位受多方因素影響，交易市場(chǎng)常用

年限折舊法計(jì)算車價(jià)位，即按照同款新車裸車價(jià)格，第一年汽車貶值20%,從第二年升始每

年貶值10%.剛參加工作的小明打算買一輛約5年的二手車，價(jià)格不超過8萬元.根據(jù)年限折

舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價(jià)位是皿(小EN)萬元，則〃?=(C)

A.13B.14

C.15D.16

解析：依題意，機(jī)(1—20%)(1—10%)弋8,解得”?W調(diào)梟研=嘿翳，又則，〃

最大為15.故選C.

(2)某廠以上千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求IWXWIO),每小時(shí)可獲得

利潤100(3x+l-$元，要使生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，該廠應(yīng)選取的生產(chǎn)速度

是(C)

A.2千克/小時(shí)B.3千克/小時(shí)

C.4千克/小時(shí)D.6千克〃卜忖

解析：設(shè)生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤為7U）元，則寅x）=￥[00（3x+1一9=10

000（3+H）=10004_2（￡）2+：+3,KW10,令/=5，則g⑺=10000（一

22

2/+r+3）=-2000（^^-^-1|,故當(dāng)，=:時(shí)，g⑺的值最大，此時(shí)x=4.故選C.

課時(shí)作業(yè)16

/亞基礎(chǔ)鞏固.

1.（5分）（2024.山東泰安模擬）青少年視力問題是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助

視力表測(cè)量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記

錄法的數(shù)據(jù)丫滿足￡=5+lgV.已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.5和5.0,

記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為H，V2,則看的值所在區(qū)間是（D）

A.（1.5,2）B.（2,2.5）

C.（2.5,3）D.（3,3.5）

[5.0=54-igV2,%%

解析：依題意，得L兩式相減得0.5=lg3—lg%=lg77,解得正=10。5

4.5=5+lgVi,V|V|

=?e（3,3.5）.故選D.

2.（5分謀農(nóng)業(yè)研究所對(duì)玉米幼穗的葉齡指數(shù)R與可見葉片數(shù)x進(jìn)行分析研究，其關(guān)系

可以用函數(shù)R=15y（"為常數(shù)）表示.若玉米幼穗在伸長期可見葉片為7片，葉齡指數(shù)為30,

則當(dāng)玉米幼穗在四分體形成期葉齡指數(shù)為82.5時(shí)，可見葉片數(shù)約為（參考數(shù)據(jù)：In2能。7,In

5.5^1.7）（C）

A.15B.16

C.17D.18

解析：由題意知30=l5e7"，.\e7a=2,則等式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得7a=】n2七0.7,

??.〃心0.1,.,./?=15e0J\V82.5=15e0lr,???e°/x=5.5,A0.1x=ln5.5^1.7,??立比17.故選C.

3.（5分）（2024.四川涼山州三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進(jìn)行排放，廢

氣中污染物含量M單位：mg/L）與過濾時(shí)間”單位：h）的關(guān)系為曠=3，0€一“6,0,。均為正的常數(shù)）.

已知前5小時(shí)過濾掉J'10%污染物，那么污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過（最終結(jié)果精確到1h,

參考數(shù)據(jù)：1g2g0.301,1g3*0477）（D）

A.43hB.38h

C.33hD.28h

解析：令，=0,得），=優(yōu)，又前5小時(shí)過濾掉了10%污染物，???（1—10%）州=）狀',則a

910.I

InIQQ口）]?、],

=???當(dāng)污染物過濾掉50%時(shí)，（l-5O%）yo=>'oe-a/,則/=二=皆=盜=

''aIn—

海=』-38）,，污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過33T=28（h）.故選D.

*9

4.（5分）（2024?北京朝陽區(qū)二模）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時(shí)所受的阻力/滿足公式/

=\PCSV2,其中夕是空氣密度，S是該飛行器的迎風(fēng)面積，。是該飛行器相對(duì)于空氣的速度，

C是空氣阻力系數(shù)（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物

理量為功率尸=弁.當(dāng)〃，5不變，。比原來提高10%時(shí)，下列說法正確的是（C）

A.若C不變，則。比原來提高不超過30%

B.若C不變，則。比原來提高超過40%

C.為使P不變，則。比原來降低不超過30%

D.為使。不變，則C比原來降低超過40%

解析：由題意，P=fv,所以。=舄5,對(duì)于A,當(dāng)〃，S,C不

變，v比原來提高10%時(shí)，則P\=^）CS{I+10%）V=^CS-（1.1）V=1.331,所以。比

原來提高超過30%,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,由A的分析知，Pi=1.331%CS4所以P比原來

2P

提高不超過40%,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,當(dāng)p,S,P不變，。比原來提高10%時(shí)，C=[

?p7P

=鬲而2°.75.質(zhì)聲所以C比原來降低不超過30%,故C正確；對(duì)于D,由C的分析知，

C比原來降低不超過30%,故D錯(cuò)誤.故選C.

5.（5分）（2024.北京豐臺(tái)區(qū)一模）按國際標(biāo)準(zhǔn)，復(fù)印紙幅面規(guī)格分為A系列和B系列，其

中A系列以AO,A1,…來標(biāo)記紙張的幅面規(guī)格，具體規(guī)格標(biāo)準(zhǔn)：

①A。規(guī)格紙張的幅寬和幅長的比例關(guān)系為1:業(yè)

②將Ai（i=0,1,…，9）紙張平行幅寬方向裁開成兩等份，便成為A（i+1）規(guī)格紙張（如圖）.

某班級(jí)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)匯報(bào)，要用A0規(guī)格紙張裁剪其他規(guī)格紙張.共需A4規(guī)格紙張

40張，A2規(guī)格紙張10張，A1規(guī)格紙張5張.為滿足上述要求，至少提供A0規(guī)格紙張的張

數(shù)為（C）

A.6B.7

C.8D.9

解析：依題意1張A0規(guī)格紙張可以裁剪出2張A1,或4張A2或16張A4,設(shè)一張A0

規(guī)格紙張的面積為x,則一張A1規(guī)格紙張的面積為%,一張A2規(guī)格紙張的面積為%,一張

A4規(guī)格紙張的面積為七i,依題意總共需要的紙張的面積為40X-^7x4-10X+5X|x=7x4-1

x,所以至少需要提供8張A0規(guī)格紙張，其中將3張A0裁出5張A1和2張A2;將2張

A0裁出8張A2;將剩下的3張A0裁出3*16=48（張）A4,即共可以裁出5張A1、10張A2、

48張A4.故選C.

6.（5分）（2024?廣東韶關(guān)二模）在工程中估算平整一塊矩形場(chǎng)地的工程量做單位：平方米）

的計(jì)算公式是W=（長+4）義（寬+4）,在不測(cè)量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場(chǎng)地的面

積是10000平方米，每平方米收費(fèi)1元，請(qǐng)估算平整完這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用（單位；元）

是（C）

A.IOO（X）B.10480

C.10816D.10818

解析：設(shè)矩形場(chǎng)地”為，米，則寬為華曝，w=a+4）"%4）=4、+竺臀+

10016^2^4^-^+10016=10816,當(dāng)且僅當(dāng)41=且詈，即4=10（）時(shí)，等號(hào)成立.所

以平整這塊場(chǎng)地所需的戢少費(fèi)用為IX10816=1（）816（元）.故選C.

7.（6分）（多選）周末，自行車騎行愛好者甲、乙兩人相約沿同一路線從4地出發(fā)前往8

地進(jìn)行騎行訓(xùn)練，甲、乙分別以不同的速度勻速騎行，乙比甲早出發(fā)5分鐘.乙騎行25分鐘

后，甲以原速的，繼續(xù)騎行，經(jīng)過一段時(shí)間，甲先到達(dá)8地，乙一直保持原速前往8地.在

此過程中，甲、乙兩人相距的路程），（單位：米）與乙騎行的時(shí)間x（單位：分鐘）之間的關(guān)系如

圖所示，則下列說法正確的是（ABD）

A.乙的速度為300米/分鐘

B.25分鐘后甲的速度為400米/分鐘

C.乙比甲晚14分鐘到達(dá)8地

D.A,B兩地之間的路程為29400米

解析：因?yàn)橐冶燃自绯霭l(fā)5分鐘，由題圖知乙的速度為皆^=300（米/分鐘），故A正確;

設(shè)題甲的原速度為匕由圖可知25X300-（25-5）^=2500,解得V=250米/分鐘，所以25

Q

分鐘后甲的速度為250X§=400（米/分鐘），故B正確；根據(jù)題圖當(dāng)x=86時(shí)，甲到達(dá)E地，

此時(shí)乙距離B地還有250X20+400X（86—25）—300X86=3600（米），所以還需要守正-=

12（分鐘），所以乙比甲晚12分鐘到達(dá)B地，故C不正確；利用甲行駛的路程計(jì)算可得，A,

3兩地之間的路程為250X20+400X（86—25）=29400（米），故D正確.故選ABD.

8.（6分）（多選）（2024.河南鄭州一模）溶液酸堿度是通過pH來計(jì)量的.pH的計(jì)算公式為

pH=-lg[H+l，其中[FT]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.例如純凈水中氫離子的

濃度為IO,摩爾/升，則純凈水的pH是7.當(dāng)pH<7時(shí)，溶液呈酸性，當(dāng)pH>7時(shí)，溶液呈堿

性，當(dāng)pH=7(例如I：純凈水)時(shí)，溶液呈中性.我國規(guī)定飲用水的pH值在6.5?8.5之間，則

下列選項(xiàng)正確的是(參考數(shù)據(jù)：愴220.3)(ABC)

A.若蘇打水的pH是8,則蘇打水中的氫離子濃度為10-8摩爾/升

B.若胃酸中氫離子的濃度為2.5X10-2摩爾/升,則胃酸的pH約為1.6

C.若海水的氫陽子濃度是純凈水的1016倍，則海水的pH是8.6

D.若某種水中氫離子的濃度為4X10-7摩爾/升，則該種水適合飲用

解析：對(duì)于A,若蘇打水的pH是8,即pH=-lg[H+]=8,所以[H+]=10-\即蘇打水

中的氫離子濃度為MN摩爾/升，所以A正確；對(duì)于B,若胃酸中氫離子的濃度為2.5X10-2

摩爾/升，則pH=-1g(2.5X1O-2)=-1g2.5-1g10-2=2-(lg10-lg4)=1+21g2a1.6,所以B

正確；對(duì)于c,若海水的氫離子濃度是純凈水的1016倍，則海水的氫離子濃度是10/6.]()-7

=1086,因此pH=-lg1。86=8.6,即海水的pH是8.6,所以C正確；對(duì)于D,若某種水中

氫離子的濃度為4X10-7摩爾/升，則pH=-1g(4X1O-7)=-1g4-1g10-7=7—21g2心6.4,而

6.4不在6.5?8.5范圍內(nèi)，即可得該種水不適合飲用，所以D錯(cuò)誤.故選ABC.

9.(5分)(2024.廣東廣州模擬)“阿托秒”是一種時(shí)間的國際單位，“阿托秒”等于I018

秒，原子核內(nèi)部作用過程的持續(xù)時(shí)間可用''阿托秒”表示.《莊子?天下》中提到“一尺之趣，

日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之棒”的長度看成1米，按照此法，至少需要經(jīng)過復(fù)

天才能使剩下“趣”的長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走過的距離.(參考數(shù)據(jù)：光速為3X108

米/秒，1g220.3,1g3^0.48)

解析：依題意，光在2“阿托秒”內(nèi)走的距離為2X1048x3X|()8=6乂|()/。(米)，經(jīng)過〃

天后，剩余的長度./0?)—Q)得Q)<6X10/°,兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得心1。電

米，由42)(6乂10"。,

2

]01g(6X10*10-lg610-(lg2+lg3)10-0.78

(6XI0==比30.73,而則/2=31,

)=lollg2lj20.3

所以至少需要經(jīng)過31天才能使其長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走過的距離.

10.(5分)某單位幫助農(nóng)戶銷售當(dāng)?shù)靥厣a(chǎn)品，該產(chǎn)品的成本是30元/千克，產(chǎn)品的日銷

162—3x,3OWx〈5O,

售量P(單位：千克)與售價(jià)x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式P(x)=要使

112-2x,〉0WxW56,

農(nóng)戶獲得日利潤最大，則該產(chǎn)品售價(jià)為豆元/千克.

-3(X-42)2+432,30《x<50,

解析：由題意可知農(nóng)戶的日利洞W=(x-3()>P(x)=，

-2(A-43)24-338,50WxW56,

由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：若30Wx〈50,則當(dāng)x=42時(shí)，叫用=432;若50W%<56,則

當(dāng)x=5()時(shí)，叱皿=24(X432.故x=42時(shí)，日利潤取得最大值432元.

11.(15分)某公司制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：當(dāng)銷售利潤不超過20萬元時(shí)，

按銷售利潤的10%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)；當(dāng)銷出利潤超過20萬元時(shí)，若超出A萬元，則超出部分按21og2U

+5)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，記獎(jiǎng)金為)，(單位：萬元)，銷售利潤為x(單位：萬元).

(1)寫出獎(jiǎng)金y關(guān)于銷售利潤X的關(guān)系式；

(2)如果業(yè)務(wù)員老江獲得10萬元的獎(jiǎng)金，那么他的銷售利潤是多少萬元？

解：(1)根據(jù)題意可知，當(dāng)0WxW20時(shí)，y=0.1x;

當(dāng)x>20時(shí)，y=0.1X20+21og2(x—20+5)=2+21og2(x—15).

O.l.r,0?0,

所以可得獎(jiǎng)金y關(guān)于銷售利洞x的關(guān)系式為

2+21og2(x—15),x>20.

(2)易知當(dāng)0WxW20時(shí)，獎(jiǎng)金不可能為10萬元，所以令2+21og2(x—15)=10,即k)g2(x

-15)=4,解得x=31.

即業(yè)務(wù)員老江的銷售利澗是31萬元.

12.(16分)某旅游開發(fā)公司計(jì)劃2025年開發(fā)新的游玩項(xiàng)目，全年需投入固定成本500

萬元，若該項(xiàng)目在2025年有x萬游客，則需另投入成本PQ)萬元，且P(x)=

-2r+24x-380,0<v<10,

?,4800、該游玩項(xiàng)目的每張門票售價(jià)為50元，政府為鼓勵(lì)企業(yè)更好發(fā)

63x+—：—一860,%210,

展，每年給該旅游開發(fā)公司財(cái)政補(bǔ)貼10x萬元.

(1)求2025年該旅游公司開發(fā)的游玩項(xiàng)目的利潤L(x)(單位：萬元)關(guān)于人數(shù)x(單位：萬人)

的函數(shù)關(guān)系式；(利潤=收入一成本)

(2)當(dāng)2025年的游客為多少時(shí)，該游玩項(xiàng)目所獲利潤最大？最大利潤是多少？

解：(1)依題意得L(x)=50%+1Ox-P(x)-500=60x-P(x)-500,

2F+24x—380,0<x<10,

又P(x)=<4800、

63r+—：——860,10,

所以當(dāng)0W0時(shí)，L(x)=6O.r-P(x)-500=60x-500-(2.?+24x-380)=

一2?+36］一120,

當(dāng)x^lO時(shí)，〃?=60%一0(工)-500=604-500-(63.丫+管"860)=-(34+公詈)+

360,所以

-2r+36.v-120,O<v<IO,

什華)+36。，eo.

(2)當(dāng)0aV10時(shí)，L(x)=-2r4-36A-120=-2(A-9)24-42,

所以當(dāng)X=9時(shí)，L(X)nax=42；

當(dāng)x210時(shí)，L(x)=一(3工十^^)+360W—2^^^+360=120,

當(dāng)且僅當(dāng)3X=4：0°,即x=40時(shí)，L(A)nux=120.

因?yàn)?2()>42,所以當(dāng)x=40時(shí)，L(x)取得最大值120,即當(dāng)2025年的游客為40萬人時(shí),

該游玩項(xiàng)目所獲利潤最大，最大利潤是120萬元.

典提升.

13.（5分）在我國，每年因酒后駕車引發(fā)的交通事故達(dá)數(shù)萬起，酒后駕車已經(jīng)成為交通事

故的第一大“殺手”.《中華人民共和國道路交通安全法》中規(guī)定：酒后駕車是指車輛駕駛員

血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100mL.某課題個(gè)組研究發(fā)現(xiàn)人體血液中的酒精含量

%，）（單位：mg/100mL）與飲酒后經(jīng)過的時(shí)間，（單位：h）近似滿足關(guān)系式“，）=

^^X（—產(chǎn)+2，+1）,OW/<1,

其中W為飲酒者的體重（單位：kg）,機(jī)為酒精攝入量（單

嚕乂島廠加

位：mL）.根據(jù)上述關(guān)系式，已知某駕駛員體重75kg,他快速飲用了含150mL酒精的白酒，

若要合法駕駛車輛，最少需在（參考數(shù)據(jù)：ln2、0.69,ln3*l.l,In5M.61）（B）

A.12小時(shí)后B.24小時(shí)后

C.26小時(shí)后D.28小時(shí)后

解析：當(dāng)OW/<1時(shí)，*/）=爺X（一尸+2/+1）=一爺[（/一1）2—2],所以V（r）>V（O）=

50X150100/M

75=100>20,不能合法駕駛車輛，當(dāng)時(shí)，令=200X（m）

,9、'-11In24-In5

V2。，即（司<To>所以，_|>ln2+ln5_21n3〃23,所以。24.故選B,

14.（6分）（多選）（2024.湖南長沙模擬）瓶，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核

由一個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)中子組成，并帶有放射性，會(huì)發(fā)生“衰變，其半衰期是12.43年.樣本中

瓶的質(zhì)量N隙時(shí)間《單位：年）的衰變規(guī)律滿足N=No-12.13,其中No表示晁原有的質(zhì)量,

則(參考數(shù)據(jù)：1g2^03