預(yù)習(xí)08等差數(shù)列

模塊導(dǎo)航一素養(yǎng)目標(biāo)*

模塊

一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.通過生活中的實(shí)例,理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)

模塊

二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理公式的意義；

模塊

三核心考點(diǎn)舉一反三2.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的性質(zhì),

模塊

四

小試牛刀過關(guān)測并能運(yùn)用這些性質(zhì)簡化運(yùn)算；

3.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)引1的等差關(guān)系,

并解決相應(yīng)的問題.

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

等差數(shù)列的定義

/等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

等差數(shù)列y等差中項(xiàng)

\等差數(shù)列的性質(zhì)

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

知識(shí)點(diǎn)一、等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式

1.等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)

列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.

2.等差中項(xiàng)

由三個(gè)數(shù)%/力組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時(shí)X叫做。與分的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列

的定義可以知道,24=a+8.

3.等差數(shù)列的遞推公式及通項(xiàng)公式

已知等差數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)為％,公差為4則遞推公式為。M一。〃=d,

通項(xiàng)公式為%=q+(〃T)d

知識(shí)點(diǎn)二、等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用

1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣

(1)%=而+(4[-d)(〃￡

(2)an=am+(n-m)d(〃？,nwN、.

（3）-=%一“用（〃7,〃￡%",且加工〃）.

n-m'

2.若｛〃”｝,｛4｝分別是公差為d,d'的等差數(shù)列，則有

數(shù)列結(jié)論

｛c+叫公差為d的等差數(shù)列（c為任一常數(shù)）

｛叫｝公差為cd的等差數(shù)列（c為任一常數(shù)）

｛刖+%｝公差為2d的等差數(shù)列G為常數(shù)，攵$N*）

｛夕見+獨(dú)｝公差為pd+qd的等差數(shù)列（p,q為常數(shù)）

3.下標(biāo)性質(zhì)

在等差數(shù)列｛《J中，若m+n=p+q（m,n,p,qeN*），則品+%=%,+%.特別的，若

"?+〃=2P(m,pG/V*)，則有am+an=2ap

6模塊三核心考點(diǎn)舉一反三-----------------------

考點(diǎn)一：等差數(shù)列的通項(xiàng)及計(jì)算

1.已知等差數(shù)列｛4｝滿足%+%=32,牝一出=6,則4=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【詳解】在等差數(shù)列｛%｝中,

2as=a3+a7=32,/.as=16,2d=a6-a4=6二d=3，.a[=a$-4d=4,故選：B.

?、

變式1-1.已知數(shù)列-!"是首項(xiàng)為5,公差為2的等差數(shù)列，則即=()

lan]

A.—B.-C.-D.—

25221719

【答案】A

【詳解】由題意得'=5+(〃—1)X2=2〃+3,即%則卬=工.

出2〃+325

故選：A.

變式12數(shù)列｛4｝中，4=1,%+]-4=3,則。”=()

A.an=3n-2B.an=3n+\

C.an=-3H+4D.an=-3n+1

【答案】A

【詳解】數(shù)列｛4｝中，q=l,a“+「a”=3,

所以數(shù)列｛〃“｝是首項(xiàng)4=1,公差d=3的等差數(shù)列，

所以=6+(〃-1”=1+3(〃-1)=3〃-2.

故選：A.

變式1-3.在等差數(shù)列｛%｝中，a2a4=5,且a；-a；=10,則詈-詈=______?

0204

【答案】-0.5

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為d,

因?yàn)橛?=10,即(4+%)(4-aj=(〃2+。4)(-41)=10,

整理得d(a2+a4)=2%?d=.g,

_5

所以。3%=%(4-%)=勿3人=二1=_.

a24a2a4a2q52

故答案為：-；.

考點(diǎn)二：等差數(shù)列的判斷與證明

例2.已知數(shù)列｛〃/是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中①｛%,,｝②｛4+4+J③｛34+1｝④｛|。出必為等差數(shù)列

的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】由數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，不妨設(shè)其公差為d,則％=《+(〃-1”，

對(duì)于①,因%”+1)=%+(2〃+1)",a2M=%+(2〃T)d，則“2(川)一%=%+(2〃+l)d-[%+(2〃-l)d]=2"為常

數(shù),故｛%.｝是等差數(shù)列；

對(duì)于②，不妨設(shè)4-勺+.],則》-2%+(2〃-1)4,%「2勺+(2〃+1)4,于是包“-4-2”為常數(shù)，故

｛4+%“｝是等差數(shù)列；

對(duì)于③,設(shè)c“=3a”+l,則c“=3q+3(〃-l)d+l,*=3q+3〃d+l,于是。川-q=3d為常數(shù),故｛3%+1｝是

等差數(shù)列；

對(duì)于④，若數(shù)列｛4｝為-2,-1,01,2,3…，顯然是等差數(shù)列，則數(shù)列打1｝為2,1,0,1,2,3…，因0-102-1,故

｛㈤｝不是等差數(shù)列.

在等差數(shù)列｛%｝中若%+4=1。，貝IJ%=（)

A.5B.7C.9D.10

【答案】A

【詳解】由于｛%｝是等差數(shù)列，故10=生+（=2%，所以《=5.

故選：A.

變式3-1.已知°=百+近，6=石-&,則。、/）的等差中項(xiàng)為（）

「「11

A.<2B.石C?耳D.7：

【答案】B

【詳解】。、.的等差中項(xiàng)為*=（百+>）+（百一八）=△.

22

故選:B.

變式32"數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列”是“4+/=24”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【詳解】如果數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)的擴(kuò)展可得一定有%+為=2《,

反之生+%=2%成立，不一定有數(shù)列｛〃”｝是等差數(shù)列.

故選:A.

變式3-3.在等差數(shù)列｛〃"｝中，若小和田是方程x2—4x+l=0的兩實(shí)數(shù)根，則4=（）

A.；B.IC.2D.4

【答案】C

【詳解】由％和%是方程x2-4x+l=0的兩實(shí)數(shù)根，則%+%=4,

由等差數(shù)列性質(zhì)可得2《=%+/=4,故=2.

故選：C.

考點(diǎn)四：等差數(shù)列的性質(zhì)

4.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且滿足的+卬=3（）,則4+%+%等于（）

A.45B.60C.75D.90

【答案】A

【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算可得%+卬=2%=30,即％=15,

所以可得，+/+A=3%=45.

故選：A

變式4-1.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，牝=2,則%+。一%=()

A.4B.-2C.-4D.-8

【答案】C

【詳解】因?yàn)?%-牝=2，貝1」%-2。5=4,又2他=的+%,貝1]%一(%+%)=4,

所以氏+4o—4=%+/_%=%=-4.

故選：C

變式4-2.設(shè)公差”W0的等差數(shù)列｛%｝中，滿足區(qū)=%6,則;7亡U的值為

【答案】90.8

【詳解】因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，所以qr=q+(〃-l”,

所以%=q+4d,ay=at+2d,4=q+7d,

因?yàn)?。3%，所以(q+4d)2=(4+2d)?(%+7d),

整理得：a；+8qd+16/=a；+9q"+l4d：即qd=2/,

因?yàn)椤肮?)，所以q=勿，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有:

q+%+%=3%=3(q+2")=124,

q+q+%=3%=3(q+3d)=15d,

在［,［苗+“3+6_12d_4

所以-7----777—7.

q+4+%15d5

故答案為：!4

變式43已知等差數(shù)列｛4｝的公差為多且0<4<(記"=C0S4”，若數(shù)列仇｝的前3項(xiàng)和5=-#,

則cos(q+%)-

【答案】0

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛《,｝的公差為5，

又?jǐn)?shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和S3=co洶+CO嗎+COSfZj=-，

相

所以cosq+cosa2+cos(q+兀)=cos/］+cos72-COJH,=cos72=----

因?yàn)樗陨陨??，

所以外+%=2生=—，所以cos(%+a)=cos—=0.

232

故答案為：0.

考點(diǎn)五：等差數(shù)列的單調(diào)性及最值

［、一］例5.設(shè)%=2"-9,則當(dāng)數(shù)列｛4〃｝的前〃項(xiàng)和取得最小值時(shí)，〃的值為()

A.4B.5

C.4或5D.5或6

【答案】A

【詳解】由Ka\<o0,即12(〃2/+?>-99<0紂解得廣7〃若9'因?yàn)椤?,故〃=4.

故選：A.

變式5-1.(多選)若數(shù)列｛為｝是等差數(shù)列，公差d>0,則卜列對(duì)數(shù)列｛超｝的判斷止確的是()

A.若…a”,則數(shù)列也｝是遞減數(shù)列

B.若4=。3則數(shù)列也｝是遞增數(shù)列

C.若則數(shù)列也｝是公差為d的等差數(shù)列

D.若4=%+〃，則數(shù)列帆｝是公差為d+1的等差數(shù)列

【答案】AD

(詳解】由%=%+(n-\)d=力?+(%-d)且4>0,

A：由。=乜=-而+("-%),即數(shù)列｛「｝是遞減數(shù)列,對(duì)；

B：由d=a；="〃+(q—d)F，若d>/時(shí),如d=l嗎=-2,也｝不單調(diào),錯(cuò);

C：由"二?！?。7=2而+(2q-d),則數(shù)列｛4｝是公差為2d的等差數(shù)列，錯(cuò)；

D：由2=qr+〃=(d+l)〃+(q-d),則數(shù)列也｝是公差為d+1的等差數(shù)列，對(duì).

故選：AD

變式52已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)％=TS.表示｛4｝的前〃項(xiàng)和，若數(shù)列電｝是嚴(yán)格增數(shù)列，則凡｝的

公差［取值范圍是.

【答案】。,+8)

【詳解】若數(shù)列｛SJ是嚴(yán)格增數(shù)列,

則除「'=”用>0恒成立,

即-l+〃d>0恒成立,

又〃wN”,

所以d>1,

所以｛〃”｝的公差d取值范圍是（1，+8），

故答案為：（L+8）.

變式5-3.已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)卬=16,公差d=—：.

（1）此等差數(shù)列中從第幾項(xiàng)開始出現(xiàn)負(fù)數(shù)？

（2）當(dāng)〃為何值時(shí)，|?！蛔钚?？

【答案】（1）從第23項(xiàng)開始出現(xiàn)負(fù)數(shù)

（2）當(dāng)〃=22時(shí)同最小

【詳解】（1）等差數(shù)列｛《｝的苜項(xiàng)q=16,公差d=

由-=〃+字<0,得〃〉口，即從第23項(xiàng)開始出現(xiàn)負(fù)數(shù).

443

（2）由等差數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式勺=-??+與

367f

——〃+—,〃<22

367

可得以|=——〃+一44

44367、”

—n---,/;>23

44

/〃(〃)=一,〃+K22,〃cN*)在〃=22時(shí)取最小值為7

44、4

?〃)=223,〃eN)在〃=23時(shí)取最小值為、

44、/2

,n<22

367

則㈤二一『彳44在〃=22時(shí)取最小值為:

3

-n-

144

考點(diǎn)六：構(gòu)造法的應(yīng)用

6.已知數(shù)列｛《,｝的首項(xiàng)4=1,且滿足+則此數(shù)列的通項(xiàng)公式仆等于（）

A.2nB.?(w+l)

C.4）噌

21T.

【答案】C

【詳解】?.?%=￡+5，七+1,

即2a.「23.=1,則2"%川-2工=2，

所以數(shù)列｛2%』是以2q=2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)歹U，

所以2"4=2+(〃—l)x2=2〃，所以%=合.

故選：C.

變式6-1.已知數(shù)列｛(｝滿足(〃+l)g+i-(〃+2)a”=(〃+D(〃+2)(〃cN)出=3，則嘖產(chǎn)()

A.2024B.2025C.20242-1D.20252-1

【答案】D

【詳解】由("5-(〃+2)%=(〃+1)(〃+2)得黑*5

所以島為公差為?的等差數(shù)列,乂

所以。2025+(2025-2)x1=2024

2025+12+1

則峻=(2025-1)(2025+1)=20252-1

故選：D.

變式62已知數(shù)列入滿足3,“仁+I￡為%數(shù)記"=限則"。=----------

【答案】59

【詳解】由題意得2〃為偶數(shù)，則町川=%+2嗎”+2=02川+1，

所以。2/2=。2”+3,

即=〃+3,且4=%=q+1=2,

所以｛4｝是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)歹U,

貝岫=2+3x(〃-l)=3〃-l,

所以=2+3(20—1)=59.

故答案為：59.

2a

變式6-3.已知數(shù)列｛%｝中，卬=2且4M==七〃eN'),則.24=

【答案】礪

【詳解】因?yàn)?=，所以勺+4+2%+1=初,

所以數(shù)列檸是首項(xiàng)為g公差為;的等差數(shù)列,

11/11

所以丁=]+(〃―卜萬二5〃，

22|

所以%=二,所以。2。，=麗=,?

1

故答案為:1012

考點(diǎn)七：實(shí)際問題中的等差數(shù)列

我國古代數(shù)學(xué)家提出的“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，它在世界數(shù)學(xué)史上具有光輝的?頁,

堪稱數(shù)學(xué)史上名垂百世的成就，而且一直啟發(fā)和指引著歷代數(shù)學(xué)家們.定理涉及的是數(shù)的整除問題，其數(shù)學(xué)

思想在近代數(shù)學(xué)，當(dāng)代密碼學(xué)研究及日常生活都有著廣泛的應(yīng)用，為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，現(xiàn)

有這樣一個(gè)整除問題：將?1到2022這2022個(gè)數(shù)中能被3除余2,且被5除余3,且被7除余I的數(shù)按從小

到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列,”｝，那么此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）

A.17B.18C.19D.20

【答案】D

【詳解】由題意得：能被3除余2的數(shù)為2,5,8,11……,

故a機(jī)=2+3(〃？-1)=3〃？-1,meN,,

被5除余3的數(shù)為3,8,13...，故4=3+5(〃-1)=5攵-2,AeN*，

被7除余1的數(shù)為1,8,15……,故q=l+7（/-1）=7-6,小底，

由《=3加一1=3（加一3）+8,勺=5%—2=5（左一2）+8,=7/-6=7（/-2）+8,

故%=105（〃—1）+8=105〃-97,也eN’，

98211919

4-1<105/7-97<2022,解得：——<?<——=20——，

105105105

因?yàn)椤╡NZ所以〃=1,2,3,…,2（）,故此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為20.

故選:D

變式7-1.習(xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵.要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).為

鼓勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對(duì)青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)'也資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員.預(yù)計(jì)該

鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列｛4｝（單位萬元，nwND,每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)I”投入的

資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金4的3倍，已知《2+生2=72.則預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為

()

A.72萬元B.96萬元C.12()萬元D.144萬元

【答案】C

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

由題意可知，五年累計(jì)總投入資金為：

4%+%+%+5倉電a[=20q+104=10q+10%=1°(卬+%)，

因?yàn)榫?“=72,

所以10(q+%)=10小(q+%)2￡1。,2(端+生2)RO,

當(dāng)且僅當(dāng)q=%時(shí)取等號(hào)，

故預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為120萬元，

故選：C.

變式72百善孝為先，孝敬父母培中華民族的傳統(tǒng)美德.因父母年事已高，大張與小張兄弟倆約定：如果兩

人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把這一天記為“家庭日”.由于工作的特殊性，大張每工作三天休息

?大，小張每周星期?與星期五休息，除此之外，他們沒有其它休息口.已知2021年共有365大，2021年1

月I日(星期五)是他們約定的首個(gè)“家庭日”，則2021年全年他們約定的“家庭日”是星期五的天數(shù)

為:2021年全年他們約定的“家庭日”共有個(gè).

【答案】14：27.

【詳解】設(shè)大張的休息口構(gòu)成的等差數(shù)列為｛%｝,顯然大張?jiān)?021年第1,5,9,…天放假，

所以有%=1+4(〃-1)=4〃-3,

若小張每周星期五休息，小張休息日構(gòu)成等差數(shù)列為何｝,則有"=1+7(〃-1)=7〃-6,

此時(shí)兩數(shù)列的公共項(xiàng)為：1,29,57,…，首項(xiàng)為1,公差為28,末項(xiàng)為365,

設(shè)共有〃[項(xiàng)，所以有365=1+(m-1)?28=>m=14；

若小張每周星期一休息，小張休息日構(gòu)成等差數(shù)列為仁｝,則有。,=4+7(〃-1)=7〃-3,

此時(shí)兩數(shù)列的公共項(xiàng)為:25,53,81,…，首項(xiàng)為1,公差為28,末項(xiàng)為361,

設(shè)共有f項(xiàng),所以有361=25+(—l)-28n,=13,

所以2021年全年他們約定的“家庭日”共有14+13=27天，

故答案為：14；27

變式7-3.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題；現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)

的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則自上而下的第1節(jié)的容積為，這9節(jié)竹子的總?cè)莘e

為.

【答案】9

【詳解】解：將自上而下各節(jié)竹子的容積分別記為外，的

依題意可得q+%+%+%=3,%-6+劭=4,

即4q+6d=3①，3q+21d=4②，②x4—①x3,得66d=7,解得4=[,

66

把d=2代入①，得q=4,

6622

0°672011

to^=9^=9x—=—/I-.

模塊四小試牛刀過關(guān)測-------------------------------

一、單選題

1.已知等差數(shù)列｛q｝,若見+%產(chǎn)6〃+1,則4=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【詳解】方法1：因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為九則%=%+(〃-l)d,

所以=%+(〃-l)d+q+〃"=2q+(2〃-1)"=2d〃+2q—"，

所以2d〃+2q—d=6〃+1,

2d=6

所以'//解得10]=2于

za]-d=\[d=3

方法2：因?yàn)榉?。用=6〃+1,所以見+]+凡+2=6〃+7,

兩式相減可得4.2-。”=6,

所以｛q｝的公差"=3.

所以=q+3(〃-1),則%+]=q+3〃，

故%+%+i=6〃+2%-3,所以2%-3=1，解得q=2-

方法3：當(dāng)”=1時(shí)，《+。2=7；

當(dāng)〃=2時(shí),%+4=13.

兩式相減可得%=6,

所以｛/｝的公差d=3,

所以%=《+3,代入4+%=7中，解得q=2.

故選:C.

2.已知｛〃”｝是等差數(shù)列，且％+%+%=15,〃2+%+4=21,則%+4+4的值是()

A.24B.27C.30D.33

【答案】B

【詳解】因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，所以6+%+%,a2+a5+as,%+a+%也成等差數(shù)列，

所以%+4+%=2(生+%+/)-(％+4+%)=2x21-15=27.

故選:B

3.黃州青云塔矗立在黃岡市寶塔公園的缽孟峰上，乂名文峰塔，因高入青云而得名.該塔塔身由青灰色石塊

砌成，共七層，假設(shè)該塔底層（第一層）的底面面積為16平方米，且每往上一層，底面面積都減少1平方

米，則該塔頂層（第七層）的底面面積為（）.

A.8平方米B.9平方米C.10平方米D.11平方米

【答案】C

【詳解】由題意可得該塔第一層至第七層的底面面積依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為16,公差為-1,

故該塔頂層的底面面積為16-1x6=10平方米.

故透:C

4.已知遞減等差數(shù)列｛4｝,%,%。24是方程9一2025工+2024=0兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)?！?0時(shí)，〃=（）

A.2026B.2025C.1012D.2

【答案】B

【詳解】方程/一2025.丫+2024=0的兩個(gè)根是1和2024,

又等差數(shù)列｛〃“｝遞減，則4=2024,a2O24=1,

數(shù)列的公差為d==-1，所以。2。25=，。24+"=1—1=（）,故〃=2025.

:20若24:-"1：

故選：B.

5.設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,則是［為遞增數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必

要條件

【答案】A

【詳解】因?yàn)?=%+（〃-1必，所以工=4+（"」.二①應(yīng)+小

nnn

當(dāng)0</<4時(shí),q-4<(),此時(shí)/（〃）=色二4+d顯然單調(diào)遞增,

n

所以()<q<d可以推出為遞增數(shù)列：

當(dāng)為遞增數(shù)列時(shí)，不妨取q=T/=i,此時(shí)％=-2+1為遞增數(shù)列，但o</<d不滿足,

nnn

所以冬：為遞增數(shù)列不能推出。<勺<“，

n

所以“0</<4”是“｛+｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，

故選:A.

6.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)q=0,4+i=?！?2在g+1,則%=()

A.48B.8()C.63D.65

【答案】C

【詳解】數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)q=0,。加=%+2向石+1,則：。向+1=4+1+2血M+1,

整理得：(Jq,.|+1)+1+1).所以：+1=J"”+1+1,

即：〃一+i-V^TT=i(常數(shù))，

所以數(shù)列｛而1｝是以歷T=i為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

2

則：+1=1+(〃-1)=〃,整理得：/=，/T(首項(xiàng)符合通項(xiàng))，則：an=n

所以：4=64-1=63.

故選：C

二、多選題

7.已知等差數(shù)列｛《,｝的公差為d,且4=3,6+%+%=12,則()

A.d=\B.d=2C.勺=2〃-1D.?！?〃+1

【答案】AD

【詳解】由題知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，

a.+d=3[a.=2

所以可知得〈I?解得匕一

所以%=〃+1,故A、D正確.

故選：AD.

8.已知數(shù)列｛%｝,｛"｝均為無窮等差數(shù)列，則下列說法正確的是()

A.數(shù)列｛-%｝是等差數(shù)列

B.數(shù)列?是等差數(shù)列

c.｛4-4｝是等差數(shù)列

D.若則｛%%+〃也｝為等差數(shù)列

【答案】ACD

【詳解】???｛?！埃秊榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為4，???知.「a“N1.

???也｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為由，???〃+「a=d2.

對(duì)于A,-%+i-(-4)=%-%+1=-4,是常數(shù)，A選項(xiàng)正確.

||Q一Q—d

對(duì)于B,-------=-一-=-不是常數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

為+1%凡+以4+凡

對(duì)于c,%+i--")=。“+[-%+“一&[=4一4,是常數(shù),c選項(xiàng)正確.

對(duì)于D,kan+i+mbn+y-(kan+mbn)=k(an+l-an)+m(bn+l-bn)^kd^mdt,是常數(shù)，D選項(xiàng)正確.

故選:ACD

三、填空題

9.在等差數(shù)列｛。"｝中，若/+%+%+%+《1=1。。，則〃1+《3的值為.

【答案】40

［詳解】由題設(shè)%+。5+%+/+%=5%=100=%=20,

所以4+陽=2/=40.

故答案為：40

10.已知數(shù)列｛/｝滿足著q=m7+l(〃￡N)且4=3,則｛q｝的通項(xiàng)公式勺=_____.

2〃-12〃-3'/

【答案】(2〃-3)(〃-4).

【詳解】由+可知數(shù)列1—J是以m=-3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,

2n-\2w-31712/Z-3J2-3

即可得J^=_3+(〃—1)X|=〃—4,所以卬=(2〃一3)(〃一4).

2〃一3

故答案為：(2—)

11.已知各項(xiàng)均為整數(shù)的等差數(shù)列｛《｝，若q=1920,*=1950,%=2020,則加-〃|的最小值是一

【答案】7

【詳解】設(shè)公差為4,

因?yàn)閝=1920,。加=1950,%=2020,

a

所有m="I+(/〃-1)4=1950,a”=q+(〃—1”=2020,

所以(6—1"=30,(〃-1)4=1()(),

…」30100八30,100,

所以d=----=---->0,m=—+1,〃=----F1,

m-\n-\dd

所以〃>m>1,

又因?yàn)椋玻母黜?xiàng)均為整數(shù)，所以"=一三=當(dāng)為整數(shù)，

m-\〃一1

70

則帆一〃|=7,

因?yàn)?見