第十五章軸對稱大單元教學設計

一大單元主題背景分析（教材分析）一

教材地位與作用

“軸對稱”位于人教版八年級上冊第15章，在初中數學體系里占據關鍵位置。它是對圖形變換的深

入探究，此前學生已接觸簡單平面圖形，像二角形、四邊形等，也了解平移這一圖形變換方式。軸對稱作

為又一基礎圖形變化，不但豐富了圖形變換的知識架構，還為后續(xù)學習等腰三角形、等邊三角形、菱形、

正方形等特殊圖形的性質與判定筑牢根基。在現(xiàn)實生活中，軸對稱現(xiàn)象隨處可見，如建筑設計、藝術創(chuàng)作、

日常用品等，通過對這一章節(jié)的學習，學生能更好地感知數學與生活的緊密聯(lián)系，提升運用數學知識剖析

和解決實際問題的能力，進一步培育空間觀念和幾何直觀素養(yǎng)。

新課標銜接與核心素養(yǎng)

2022版初中數學新課標在“圖形與幾何”領域著重強調圖形的變化，軸對稱便屬于其中關鍵主題。

依據課標要求，學生需理解軸對稱的基本性質，能夠繪制簡單圖形的軸對稱圖形，借助軸對稱進行圖案設

計，并運用其性質解決簡單實際問題。在這一學習進程中，可有效培育學生多方面的核心素養(yǎng)：

數學抽象：從生活里豐富的軸對稱實例中抽象出軸對稱圖形及兩個圖形關于某直線成軸對稱的概念，

提煉出軸對稱的本質特征。

邏輯推理：在探究軸對稱性質、線段垂直平分線性質定理與判定定理、等腰三角形和等邊三角形性質

與判定定理時，歷經觀察、猜想、驗證、證明等環(huán)節(jié)，鍛煉邏輯推理能力。

直觀想象：借助繪制軸對稱圖形、利用坐標表示軸對稱等活動，增強對圖形的直觀感知，培育空間想

象能力，能夠在腦海中構建出圖形經軸對稱變換后的形態(tài)。

數學建模：運用軸對稱知識解決諸如最短路徑等實際問題，將實際情境抽象成數學模型，通過求解模

型得出實際問題的答案，提升數學建模素養(yǎng)。

學情分析

八年級學生正處于從形象思維向抽象思維過渡的關鍵階段，他們對直觀、生動的生活實例興趣濃厚，

且具備一定的觀察、分析和歸納能力。此前已學習過一些基本圖形和圖形變換知識，積累了一定的幾何學

習經驗，但在抽象概念的理解以及邏輯推理的嚴密性上還有待提升。在學習本章時，學生能夠輕松識別生

活中的軸對稱現(xiàn)象，可對于精準提煉軸對稱的數學概念或許存在一定難度：在探究圖形性質和證明定理過

程中，部分學生可能在思路梳理和推理表述方面遭遇困難；對于將軸對稱知識靈活運用于解決實際問題，

更是對學生的綜合素養(yǎng)提出了較高要求，需要教師加以引導和啟發(fā)。

------單元教學目標------

知識與技能

?清晰識別軸對稱圖形，準確理解軸對稱及相關概念，熟練掌握軸對稱的基本性質。

?能夠精準繪制簡單平面圖形關于給定對稱軸對稱的圖形，切實掌握用坐標表示軸對稱的方法。

?透徹理解線段垂直平分線、等腰三角形、等邊三角形的概念，牢固掌握其性質定理與判定定理，并能

熟練運用。

數學思考

?歷經從具體實例抽象出軸對稱概念的過程，提升數學抽象能力。

?通過探究軸對稱性質、各類定理的證明，鍛煉邏輯推理能力，學會有條理地思考與表達。

?借助圖形繪制、變換等活動，發(fā)展空間觀念和直觀想象能力，提高對圖形的感知與處理能力。

問題解決

?能夠敏銳發(fā)現(xiàn)并提出與軸對稱相關的數學問題，靈活運用所學知識加以分析和解決。

?在解決問題過程中，積極嘗試不同策略和方法，積累解決問題的經驗，增強應用意識和創(chuàng)新能力。

?通過小組合作探究活動，提升合作交流能力與團隊協(xié)作精神，共同攻克問題。

情感態(tài)度

?積極主動參與課堂探究活動，對數學學習滿懷熱情，感受數學的對稱美，激發(fā)學習興趣。

?在解決問題遭遇困難時，勇于堅持和嘗試，培養(yǎng)克服困難的意志品質，增強學習數學的自信心。

?體會數學在生活中的廣泛應用，認識到數學的價值，提升學習數學的積極性和主動性。

■學習活動設計

活動一軸對稱及其性質

活動二線段的垂直平分線

活動三軸對稱的圖形的畫法

活動四等腰三角形

活動五最短路徑問題

?學習評價設計

過程性評價

?課堂表現(xiàn)：密切觀察學生在課堂上的參與度，包括是否積極回答問題、參與小組討論，關注其思維活

躍度和對知識的理解程度。對于主動發(fā)言且回答正確的學生給予口頭表揚；針對在討論中提出新穎觀

點或思路的小組，在班級內進行展示和肯定。

?作業(yè)完成情況：認真批改作業(yè)，對作業(yè)完成質量高、解題思路清晰、書寫規(guī)范的學生進行表揚，并在

班級展示優(yōu)秀作業(yè)；針對作業(yè)中存在的普遍問題，在課堂上集中講解；對于個別學生的問題，進行單

獨輔導，要求學生及時訂正，并對訂正情況進行二次批改。

?小組活動評價：在小組探究活動中，觀察學生的團隊協(xié)作能力，如是否能明確分工、積極配合，對表

現(xiàn)突出的小組和個人進行記錄，活動結束后進行總結評價，可通過小組自評、互評和教師評價相結合

的方式，讓學生相互學習，共同提高。

終結性評價

?單元測試：精心設計單元測試卷，涵蓋選擇題、填空題、解答題等多種題型，全面考查學生對軸對稱

知識的掌握程度，包括概念理解、性質運用、定理證明、圖形繪制以及實際問題解決等方面。嚴格按

照考試規(guī)范進行測試，測試結束后認真批改，統(tǒng)計分析成績，了解學生的整體學習情況和知識薄弱點。

?項目式學習成果展示：布置項目式學習任務，如讓學生利用軸對稱知識設計一個校園景觀方案或一件

藝術品等。學生以小組形式完成項目，在課堂上進行成果展示。從項目的創(chuàng)新性、實用性、數學知識

運用的合理性以及展示效果等方面進行綜合評價，評選出優(yōu)秀項目進行表彰。

-----反思性教學改進------

教學結束后，全面收集學生的學習反饋，深入分析過程性評價和終結性評價結果，總結教學中的優(yōu)點

與不足，據此提出針對性的改進措施。若發(fā)現(xiàn)學生在軸對稱概念理解上存在模糊之處，后續(xù)可補充更多豐

富且典型的實例，強化直觀教學；要是學生在定理證明環(huán)節(jié)困難較大，可增加證明思路引導和專項練習；

針對學生實際問題解決能力有待提升的狀況，可引入更多貼近生活的真實案例，加強建模訓練，從而持續(xù)

優(yōu)化教學過程，提升教學質量，促進學生更好地掌握知識，發(fā)展核心素養(yǎng)。

-----單元教學結構圖------

軸對稱圖形

關于工軸對稱

關于丁軸對稱用坐標表兩個圖形成軸對稱

關于原點對稱示軸對稱性質

定義

?性質■

?判定■

互逆命題/定理

一尺規(guī)作圖

畫軸對畫對稱軸

含有落三角形

3稱圖形

步驟

直角三角形

追問：常見的幾何圖形中哪些是軸對稱圖形？

圖照對稱軸條數圖形對稱軸條數

師生活動：觀察圖片，學生判斷哪些是軸對稱圖形，教師訂正。

設計意圖：通過不同類型圖片的觀察，幫助學生理解生活中的軸對稱圖形。

思考：下面的每對圖形有什么共同特點？乂有什么區(qū)別？

把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線

（成軸）對稱，這條直線叫對稱軸浙疊后重合的點是對應點，叫做對稱點.

思考：軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱有什么區(qū)別？

一個圖形具有的特殊形狀兩個有特殊位置關系的全等圖彩

1.都是沿著某條直線折疊后能重合；f為二

'2.可以通過分割或整合互相轉化.岫對稱圖形.一軸對掰

師生活動：觀察圖片，回答問題。

設計意圖：通過不同圖片的對比，幫助學生理解軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區(qū)別。

■應用新知

例L下列四組圖片中有哪兒組圖形成軸對稱？

Nd冷移

00I

例2E.猜字游戲H

4一C

日

口Z

例3.一輛汽車的車牌在水中的倒影如圖所示，你能確定該車車牌的號碼嗎？

設計意圖：通過例題的解答，讓學生真正掌握軸對稱圖形的含義，會根據軸對稱的性質補全圖形。

活動二線段的垂直平分線

■情境引入

思考：如圖所示，某快遞公司為方便居民收取快遞，準備在幸福大道上修建一個快遞收發(fā)點，請問快遞收

發(fā)點應建在什么地方，才能使A,B到它的距離相等？

■探究新知

思考：如圖，ZXABC和AA'B'U關于直線MN對稱，點A',B',C'分別是點A,B,C的對稱點,

線段AA'，BB，,CC與直線心有什么關系？

A.WMN,

BB'A-MN,

CCA-MN.

線段垂直平分線的定義：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條戲段的垂直平分線.

如圖，MNJ_AA',AP=A'P.直線MN是線段AA'的垂直平分線.

圖形軸對稱的性質：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分

線.

思考：如圖，直線1垂直平分線段AB,Pl,P2,P3,……是1上的點，請你猜想點Pl,P2,P3,…到

點A與點B的距離之間的數量關系.

猜想:AP=BP.

追問：你能證明以上猜想嗎？

已知：如圖，直線dLHB,垂足為C,』C=C5,

求證：PA=PB.

證明：/?ZPC1=ZPC5.

又AC=CB,PC=PC、

△PCAgbPCB(SAS).PA=PB.

線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.

師生活動：觀察圖片，動手實踐，得出線段垂直平分線的性質。

設計意圖：通過動手實踐，培養(yǎng)學生的歸納能力。

■應用新知

例I.如圖,AD_LBC,BD=DC,點C在AE的垂直平分線上，AB,AC,CE的長度有什么關系?AB+BD與DE有

什么關系？

解：:AD1BC,BD=DC,

3是的垂直平分線，

「?AB^AC

:點。在花的垂直平分線上,

AC=CE.

*'-AB=AC=CE.

AB=CE,BD=DC,

AB+BD=CD+CE.

即AB+BD=DE.

例2.如圖，在AABC中，BC=8,AB的垂直平分線交BC于D,AC的垂直平分線交BC于E,求△ADE的周

長.

解：:線段3的垂直平分線,

:.DA=DB.

同理可得E4=EC

，ZUDE的周長三4。+。七+/1￡

=BD+DE+EC

=BC

=8.

思考：如果PA=PB,那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？

已知:如圖,PA=PB.

求證：點P在線段AB的垂直平分線上.

證明：過點尸作"的垂線尸C,垂足為點C.

則NPC4=NPCB=90°.

在RtAPC4和RtAPCB中，P

R4=PBtPC=PC,

；?RtAPG4?RtAPCB(HL)./|X.

AC-BC.4N-------菅-、

又PC工AB,

:.點P在線段AB的垂直平分線上.

線段垂直平分線的判定：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

應用格式：

PA=PB,

???點P在AB的垂直平分線上.

作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.

--------!--------

例3.Z\ABC中，AB=AC,D在AB邊上,M在線段AD上，且MB例C,求證:DB=DC.

證明：A

,..4B=AC,MB=MC,/\

「?直線4”是線段另。的垂直平分線，/\

。在直線上，//r\\

「?DB=DC._I__A

BDC

設計意圖：通過例題的解答，讓學生真正掌握線段垂直平分線的性質和判定，同時培養(yǎng)學生變相思考問題

的能力，運用知識.學生審題是解題的關鍵，培養(yǎng)了學生的應用意識.

從上面兩個結論可以看出，線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與線段

兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.所以線段的垂直平分線可以看成與這條線段兩個端點

距離相等的所有點的集合.

思考：分析上面關于線段的垂直平分線的兩個命題，它們的題設和結論有什么關系？

你還學習過其他具有類似關系的命題嗎？

這兩個命題的題設、結論正好相反.

我們把具有這種關系的兩個命題叫作互逆命題，如果把其中一個叫作原命題，那么另一個叫作它的逆命題.

一般地，原命題成立時，它的逆命題可能成立，也可能不成立.

例如，上面關于垂直平分線的兩個互逆命題都是成立的；

而命題“對頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”卻不成立.

如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫作互逆定理，其中一

個定理叫作另一個定理的逆定理.

在幾何中，有許多互逆的定理.

例如，上面關于垂直平分線的兩個互逆命題是互逆定理，“兩直線平行，內錯角相等”和“內錯角相

等，兩直線平行”也是互逆定理.

你還能舉出類似的例子嗎？

例4.命題：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角的平分線互相垂直.

(1)請寫出該命題的逆命題；

(2)判斷(1)中的命題是否是真命題？如果是真命題，請畫圖，寫出已知、求證，并證明：如果是假命題,

請舉反例畫圖說明.

(1)解：逆命題：如果兩條直線被笫三條直線

所截形成的同旁內角的平分線互相垂直，那么

這兩條直線互相平行.

(2)解：已知：如圖，直線

思考：我們知道下面的圖形是對稱的，那么我們應該如何驗證呢？又如何作出它們的對稱軸呢？

如圖，點A和點B關于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？

分析：我們只要連接點A和點B,作出線段AB的垂直平分線，就可得到點A和點B的對稱軸.為此作

出到點A,B的距離相等的兩點，即線段AB的垂直平分線上的兩點，從而作出線段AB的星直平分線.

(1)分別以點A,B為圓心，以大于1/2AB的長為半徑作弧，兩弧交于C,D兩點；

⑵作直線CD.CD即為所求.

例5.如圖，某小區(qū)有A,B,C三個單元，現(xiàn)準備在小區(qū)內建一個純凈水取水點，要求取水點到三個單元的

距離相等，請你確定取水點的位置.

追問：根據線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法，你會作軸對稱圖形的對稱軸嗎？

總結：學習了線段的垂直平分線的作法,就可以作對稱軸了.

由于成軸對稱的兩個圖形的對稱軸是其任意一對對稱點所連線段的垂直平分線，所以只要任意找一對對稱

點,作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸.同樣地，對于軸對稱圖形，只要任

意找一對對稱點，作出連接它們的線段的垂直平分線,就得到此圖形的對稱軸.

師生活動：利用尺規(guī)作圖，明確俏圖步驟和方法，教師指導。

設計意圖：通過學習線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖，解決實際問題，為學習作圖形的對稱軸做鋪墊。

思考：右圖中的六角星有幾條對稱軸？如何作出這些對稱軸呢？

作法：

⑴找出六角星上的一對對稱點A和B,連接AB.

⑵作出線段AB的垂直平分線I.則I就是這個六角星的一條對稱軸.

用同樣的方法，一共可以找出六條對稱軸，所以六角星有六條對稱軸.

例6.畫出下列圖形的對稱軸.

思考：尺規(guī)作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線.

追問：你能寫出已知和求作嗎？

已知：直線AB和AB外一點C.

求作：AB的垂線，使它經過點C.

作法：(1)任意取一點K,使點K和點C在AB的兩旁；

(2)以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和點E；

(3)分別以點D,E為圓心，大于1/2DE的長為半徑畫弧，兩弧相交于點F(不同于點C)；

⑷作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.

追問1：為什么直線CF即為所求？

團從作法的(2)(3)步可知CD=CE,DF=EF,

團點C,F都在DE的垂直平分線上.

HCF就是線段DE的垂直平分線.

團點D,E在直線AB上，

0CF就是所求直線AB的垂線.

追問2：為什么任意取一點K，使點K與點C在直線兩旁？

如果K、C在同側，則以KC為半徑畫弧將會與直線AB沒有交點.

追問3：為什么要以大于1/2DE的長為半徑作?。?/p>

如果以小于1/2DE的長為半徑作弧，兩弧將沒有交點.

師生活動：教師提問，學生思考回答。

設計意圖：通過問題串的形式，讓學生充分掌握經過已知直線外一點作這條直線的垂線的尺規(guī)作圖方法,

避免出現(xiàn)錯誤。

活動三軸對稱的圖形的畫法

■情境引入

思考：前面我們學習了軸對稱圖形以及軸對稱圖形的一些相關的性質，知道了作軸對稱圖形或成軸對稱的兩

個圖形的對稱軸的方法.

1.找到軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形任意一對對應點

2.連接這一對對應點

3.作出對應點所連線段的垂直平分線

師生活動：觀察圖片，回顧舊知。

設計意圖：通過熟悉的窗花圖案，回顧作軸對稱圖形的對稱軸的方法。

■探究新知

思考：果果的父母給孩子定制了一份特別的周歲禮物，將孩子的腳印制作成相框留作紀念.如何根據左腳的

腳印制作兩腳的足跡呢？

思考：果果的父母制作的兩腳的足跡有何特點？

追問：1?點P和點P'有何關系？

2.線段PP'與對稱軸有何關系？

歸納：由一個平面圖形可以得到與它關于?條直線I對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相

同（位置、朝向可能不同）：新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于直線I的對稱點；連接任意一對對

應點的線段被對稱軸垂直平分.

■應用新知

例1.已知點A和直線I,畫出點A關于直線I的對稱點A'.

0

AA

解.：如圖所示即為所求，步驟如下：

1.過點A作直線I的垂線，垂足為0,

2.在垂線上截取0Az=0A,

3.點A，就是點A關于直線I的對稱點.

例2.已知線段AB和直線I,畫出線段AB關于直線I的對稱線段A'B'.

BPB'

（1）過點A作直線I的垂線，垂足為0,在垂線上截取0A，=0A,點A，就是點A關于直線I的對稱點.

（2）過點B作直線I的垂線，垂足為P,在垂線上截取PBGPB,點夕就是點B關于直線I的對稱點.

（3）連接A，、B\則線段AB即是所畫.

思考：已知線段AB,畫出AB關于直線I對稱的線段.

歸納總結：幾何圖形都可以看作由點組成，對?于某些圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點（如線段端點）

的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.

注意：

（1）特殊點對畫軸對稱圖形特別重要，找特殊點時，要把確定圖形形狀的特殊點找全，否則畫出的圖形將

不準確或不完整.

（2）常見的特殊點，除線段的端點外，還有線與線的交點、中點等.

總結：畫軸對稱圖形的方法可以歸納為“一找、二畫、三連”：

L在原圖形上找特殊點（如線段端點）

2.畫出各個特殊點關于對稱軸的對稱點

3.依次連接各對稱點

例3.如圖，把下列圖形補成關于直線I對稱的圖形.

例4.如圖，在正方形網格中，^ABC是格點三角形.（請僅用無刻度直尺完成以下作圖，保留作圖痕跡）.

⑴畫出用A1B1C1,使得mA1B1C1和（3ABC關于直線I對稱：

（2）i青在直線I上找一點P,使點P到A,C兩點的距離相等.

追問2：你能寫出其他點關于X軸的對稱點的坐標嗎?這些對稱點的坐標有何特點？

已知點關于X軸的對稱點

42國

?(-U)

。（6用

伏1.1)

自4⑼

總結：關于X軸對稱的點的坐標的特點：橫坐標相等，縱坐標互為相反數.

思考：如圖，在平面直角坐標系中你能畫出點A關于y軸的對稱點A'嗎?

追問2：你能寫出其他點關于y軸的對稱點的坐標嗎?這些對稱點的坐標有何特點？

已知點關于X軸的對稱點

/(23)

?(-U)

。(6尚

歡1.1)

￡(4,0)

總結：關于y軸對稱的點的坐標的特點：縱坐標相等，橫坐標互為相反數.

城里標不直.根

坐標互為相反長

■，產力—一對稱.和口

.，.-en?.-2＞橫里標不變,以

愛標互為於反JK

師生活動：教幣提問，學生思考回答。小組交流，班內匯報。

設計意圖：通過觀察、操作、交流得出體會一對關于x軸或者y軸對稱的點的坐標的規(guī)律，加強學生用數

學語言表達所表示規(guī)律的能力。

■應用新知

例5.填空：

1.點P(-5,6)與點Q關于x軸對稱，則點Q的坐標為__________.

2.點M(a,-5)與點N(-2,b)關于x軸對稱，則a=_____,b=_____.

3.點P(-5,6)與點Q關于y軸對稱，則點Q的坐標為_______.

4.點M(a,-5)與點N(-2,b)關于y軸對稱，則a=____,b=_____.

5.點M(a,-5)與點N(-2,b)關于原點對稱，則a=____,b=_____.

例6.如圖，已知網格中每個小正方形的邊長均為1.

⑴作出AABC關于y軸的對稱圖形4A'B'C',并分別寫出A「，U三點的坐標;

(2)求4ABC的面積.

:在直角坐標系中畫軸對稱圖形的方法

:計算出已知圖形中的一些特殊點的對稱點的坐標;

:根據對稱點的坐標描點；

:按原圖對應點連接所描各點得到對稱圖形.

例7.已知點A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b).

(1)若點A、B關于x軸對稱，求a、b的值；

(2)若A、B關于y軸對稱，求(4a+b)2025的值.

解：(1”..點4、5關于x軸對稱，

2a—b=2b—\t5+a-a+Z>=0.

解得々=—8,b=-5.

(2),/A.3關于y軸對稱，

二.2a—6+26-1=0,5+a=-a+6.

解得a=-1,b=3.

(4a+Z>)2025=-l.

師生活動：學生思考例題，主動練習，教師引導學生解題并講評。

設計意圖：讓學生通過例題鞏固所學，熟悉點關于坐標軸對稱的點的規(guī)律，并能利用其解決實際問題。

活動四等腰三角形

■情境引入

思考：觀察圖片，你能找到什么特殊的幾何圖形？

師生活動：觀察圖片，回答問題。

設計意圖：通過生活中的圖片，得到等腰三角形的定義。

■探究新知

定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，

另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.

思考：找一張等腰二角形紙片，動手折?折，它是軸對稱圖形嗎？其中有哪些相等的角和線段？

相等的邊相等的角

AB^ACN5與NC

BD與CDNSzLD與NC4Q

AD與AD與NdDC

等腰三角形的性質1:等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）.

追問1:你能寫出已知和求證嗎？

已知：如圖,在"BC'|>,AB=AC.

求證：ZB=ZC.

追問2：你能寫出證明過程嗎？

證明：作頂角的平分線4D,

方法1：作底邊上的中線.證明：作底邊BC上的高HD.

則N5HD=NC/1D.

證明：作底邊的中線TO,貝IJ5O=CDVAD1BC,AZ.ADB=^ADC=9C°.

AB=AC在△45。和△48中，

在RtAjBD與RtZkJCD中，

在公切。和△CXO中，■BD=CDAB=AC（B?）,

AD=AD.N54。=NCW（己作）.（已知），

???^BAD^ACAD（SSS）.1AD=AD（公共邊），

=（公共邊），

???NB=NC（全等三角形的對應角相等）.

AJ5D221JCD（SAS）.N5=NC二.RtA.lBD^RtZUCD（HL）：N3=NC.

師生活動：學習等腰三角形的概念，舉手回答問題，學生思考等邊對等角的證明方法。

設計意圖：通過折紙活動理解等股三角形的性質1,通過一題多解鍛煉學生的邏輯思維。

例L填空：

（1）等腰直角三角形的每一個銳角的度數是；

（2）如果等腰三角形的底角等于40°,那么它的頂角的度數是;

（3）如果等腰三角形有一個內角等于80°,那么這個三角形的最小內角等于

（4）AABC中，AB=AC,NA=36<^|NB=,ZC=.

（5IAABC中，AB=AC,NB=36<^I|NA=，ZC=.

例2.如圖，ZAOB=15°,且OA=AB=BC=CD.求N1的度數.

解：VOA=AB,

ALABO=Z.O=\y,砌0=150°,

/.ZBAC=/.AB&￥￡0=309.

,；AB=BC,

A/.ACB=^BAC=3Q°,

，NCBO=135°,:.乙CBD=48乙ACB=45°.

,/BC=CD,：.^D=ZCBD=4S9,AZBCD=909,

???N1=180°一/BCD—/BCO=60°.

例3.根據等腰三角形的性質定理完成卜.列填空.

在“BC中，AB=AC.

(1)0AD0BC,

03=0,=.

(2)0AD是中線,

團0,m=0.

(3)SAD是角平分線，

00,=.

思考：對于以上三組條件和結論，你有何思考？

總結：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡寫成“三線合一”).

注意：一定是需要底邊上的中線和高才行！

例4.如圖，在ZXABC中，AB=AC,AD±BC,CE1AB,AE=CE.

求證：⑴△AEFgACEB；(2)AF=2CD.

證明：；Z.B+^BAD=909,

CELAB,:.NB+NBCE=90’,

(2)-."AAEF^△CE5,

，乙EAF=4ECB,

在△ylEFiftJZkCES中，：AF=BC,

2EAF=4CB,

'：AB=AC,AD上BC,

=

■"AECEt

ZAEF=4CEB/.CD=BD,：.BC=2CD,：AF=2CD

：.AAEFa△CEB(ASA)

例5.Z\ABC,AB=AC=5,AB的垂直平分線DE交AB、AC于E、D.

(1)若ABCD的周長為8,求BC的長；

(2)若(3ABD=(3DBC,求同A.

BC

解：(2)設乙4=x,

懈:(1)

vDA=DB,

的垂亙平分線DE交48、4c于E、D,乙48。=乙4=x,

DA=DB,■:Z.ABD=Z.DBC,

:.AD3C=x,

,??△8CD的周長為8,???AB=AC,

--.4C+BC=8,乙48c■LACB■2x,

則x+2x+2x=180°,

又AC=?5,

解得*=36°,

BZ-3.LA=36°.

師生活動：學生思考例題，主動練習，教師引導學生解題并講評。

設計意圖：讓學生通過例題見周所學，熟悉等腰三南形的性質，并能利用其熟練解題。

探究：己知aABC中，NA=NC,求證：AB=BC.

證明：過B作平分NH5C交4C千點Q.

BI]Z1=Z2.

在&4BD與ACBD中,

「/1=/2，發(fā)

//=",

BD=BD,A^~-------------

&4BD9ACBD.

AB=BC.

等腰三角形的判定方法:如果個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.（簡稱“等角對等邊”）.

?應用格式：

在A45C中，A

?,，b=/C（已知），

?AC^AB（等角對等邊）,

即AC為等腰三角形./C

名稱圖形叔念性質判定

兩晨相等兩邊相等

A

有兩邊相等

等原的三角形是

等這對等角等角對等邊

三,形等用三用形

BAC

三段合一

師生活動：結合猜想，學生說出已知和求證，指定學生板演。教師歸納定理，寫出幾何語言，同時講解判

定和性質的區(qū)別和聯(lián)系。

設計意圖：在自主探究的過程中，學會合作學習，強化學生的合作意識，提升交流能力，使學生在探究學

習的過程中領悟得到其命題的方法。

例6.如圖，D是AC上的一點.

（1）若回A=E）ABD,則=

（2）若CB=CD,貝幅=0

例7.如圖，在AABC中，BD平分/ABC,過點D作BC的平行線DE交AB于E,試說明DE=BE的理由.

解：

平分NTIBC（已知）

：.4BD=NDBC（角的平分線的意義）

,:DEHBC（已知）

:.乙DBC=4EDB（兩直姣平行，內錯角相等）

:.乙ABD=ZEDB（等量代換）

BE=DE（等角對等邊）

例8.尺規(guī)作圖：已知等腰三角形的底邊長為a,底邊上的高為h（如圖所示），求作這個等腰三角形.

作法：

a⑴作線電45=a

（2）作線阻5的垂直平分線MV與X5相交于點。

h<3）在MV上取一點C使DC=〃.

--------------------------------（4）連接4cBe則。C就是所作的等腹三角形.

思考：下面的交通標志是什么圖形？什么是等腰三角形？

氐N

在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三條邊都相等

的三角形叫做等邊三角形.

追問：等邊三角形三個內角之間有何關系？

等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60。.

已知：AJ5c中，.4B=aC=BC求證：ZJ=ZB=ZC=60°.

證明：VAB=AC,A

.../5=NC（等邊對等角）.A

同理，ZJ=ZC./

LA=Z-B=Z-C./

VZJ+ZB+ZC=180°,?/

A/J=ZB=ZC=60°.

追問：等邊三角形是軸對稱圖形嗎？有幾條對稱軸？

等邊三角形一定是銳角三角形嗎？

等邊三角形仍然滿足"三線合一"嗎？

（1）等邊三角形是軸對稱圖形，它有3條對稱軸.

（2）等邊三角形三個角都相等，都是60".

（3）等邊三角形三條邊都相等.

（4）等邊三角形一定是銳角三角形.

（5）等邊三角形每條邊上的中線，高和所對角的

平分線都“三線合一”.

追問：等邊三角形和等腰三角形有什么區(qū)別和聯(lián)系？

圖形等屋三角影等邊三角影

兩條邊相等三條邊任相等

兩個底角相等三個角都相等，且邯是60?

性質

底邊上的中戰(zhàn)、每一邊上的中線、高和這

高和頂角的平分一邊所對的角的平分線互

統(tǒng)互相生合相重合

1條對稱軸3條對希勃

師生活動：以小組為單位先猜想、再通過合作探究，得出結論后表達交流。先獨立猜想，然后以小組為單

位對本組成員的所有猜想通過畫圖利定義進行驗證。

設計意圖；類比等腰三角形的學習方法理解和學報等邊三角形的性質梟判定，使學生對研究幾何圖形的一

般方法有了進一步的感知和體臉。

例9.如圖，I3ABC為等邊三角形，DE0BC,分別交AB,AC于點D,E.

求證：姐DE為等邊三角形.

證明：

???△48C為等邊三角形，

???LA=zS=zC,

vDEIBC9

???Z.ADE=zS,Z,AED=zC,

-%―4—^.ADE=^AED9

.?.△4DE為等邊三角形

例10.求證：有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

證明：

情況二：

情況一：

若底角NA=NO60'，

若頂角,

由三角形的內角和得

由三角形的內角和得

Z.A=（180s-60°B）WO,

Z5=ZO=^x（180。-60°）

z^=zs=zc

等邊三角形

/.Z^=ZB=ZC綜上所示，有一個角是60’的

為等邊三羯形等腰三角形是等邊三角形

歸納：等邊三角形的判定方法

三條邊都相等的三角形是等邊三角形

三個角都相等的三角形是等邊三角形

有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形

例11.如圖，等邊0ABe中，D、E,F分別是各邊上的點，且AD=BE=CF.

求證：0DEF是等邊三角形.

證明：乙^。為等邊三角形，且AD=BE=CF,

:.AF=BD=CE,ZJ=ZB=ZC=6O°.

，MDF受ABED叁4CFE(SAS).

DF=ED=FE.

「.△DEF是等邊三角形.

師生活動：學生獨立解答，并板書展示，學生相互評價。

設計意圖：夯實底礎，培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力。

思考：如圖，在RtZ\ABC中，ZBCA=90°,如果NA=30°,那么直角邊BC與斜邊AB有什么關系呢?

BA

含30°角的直角三角形的性質：在直角三角形中，如果一個更角等于30°,那么它所對的直角邊等于

斜邊的一半.即BC=CD=1/2BD=1/2AB.

應用格式：

在RtAABC中，VZC=90°,NA=30°,

:.BC=1/2AB.

思考：如何證明以上結論？

證明方法二：中姣法

證明方法一：或長法

證明：在上假取B￡=8C,連接EC.

證明：取線段45的中點D,連接8

VZB=60°,BE=BC,

ABCE是等邊三角影.CD為RtZUSC斜邊AB上的中線,

Z5￡C=60*,BE=EC.:.CD=xAB=BD

VZy<=30,,

ZECABEC-N/=60°-30*=30°?-?4BCA=9Q‘，且N/=3(T,

AE=EC.

:.N5=60’.

：.AE=BE=BC

AB-AE-BE~2BC???4CBD為等邊三角形

3C=^AB?*-BC=BD=；AB.

證明方法三：倍長法

證明：在△々c中，

VZJC5=90°,ZfiJC=30".

，NB=60°.

延長5c到。，使BD=4B,送接.4D,

則△的是等邊三角形.

BC=-BD=-AB.

22

追問：如圖，在RtZ\ABC中，NBCA=90°,若BC=1/2AB,那么NA=30"嗎？

解:如圖，取線段X5的中點。，連接8.

CD是曲邊上的中線，

：-CD^\AB=BD.

???BC=^AB,

BC=BD=CD,即△5DC為等邊三角形.

."5=60°.

,/Nd+N5=90°

，N4=30°.

互為逆命題

在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所時的直角邊等于斜邊的一半.

在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30。.

師生活動：學生獨立解答，并板書展示，學生相互評價。

設計意圖：利用等邊三角形的性質學習在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等

于斜邊的一半，培養(yǎng)學生的推理能力，同時學習互逆命題的概念。

例12.如圖，在aABC中，已知NACB=90°,CD垂直于AB,垂足為點D,/A=30°.求證:AB=4BD.

解：在RtZX/fBC中，VZJ=30°,..BC=\AB.

又Nd+/B=90°,N5=60°.

在RtZkBCD中，,??N5+NBCD=90。，

A^BCD=9Q9-N5=30°.

故BZ>=：5C.又5cg5,

則或>二95,即J5=45Z).

例13.如圖是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC,DE垂直于橫梁AC,AB=7.4cm,NA=30°.

求立柱BCZDE的長.

解：vDE1AC,BC1AC,ZLA=30°,

11

BC=-AB.DE=-=AD.

22

BC=-x7.4=3.7(m).

又

:.DE=-/ID=-x3.7=1.85(m).

二立柱8c的長是3.7m,DE的長是1.85m.

設計意圖：通過例題的解答，讓學生真正掌握知識的應用，同時培養(yǎng)學生變相思考問題的能力，運用知識.

學生審題是解題的關鍵，培養(yǎng)了學生的應用意識.

活動五最短路徑問題

■情境引入

思考：如圖，一位將軍從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊1飲馬，然后到B地，將軍到河邊的什么地方飲

馬，可使所走的路徑最短？

■探究新知

思考：如何把前面我們提到的“將軍飲馬”問題抽象成我們熟知的數學問題？

將A,B兩地抽象為兩個點，將河1抽象為條直線

問題轉化為：在直線1上確定一點C,使得AC+BC最短.

數學問題

追問1：現(xiàn)在假設點A,B分別是直線I異側的兩個點，如何在I上找到一個點，使得這個點到點A、點B

的距離的和最短？

連接AB,與直線I相交于點C.根據“兩點之間，線段最短”，電知這個交點C即為所求.

追問2：如果點A,B分別是直線I同側的兩個點，乂應該如何解決？能夠借助異側兩點的思路來解決同

側問題？

如果將點B"移”到I的另一側B，處，滿足直線I上的任意一點C,都保持CB與CB，的長度相等，就可

以了！利用軸對稱，作出點B關于直線I的對稱點

總結：“將軍飲馬”問題解決思路

⑴作點B關于直線I的對稱點B，；

⑵連接ABS與直線I相交于點C.則點C即為所求.

師生活動：學生獨立思考，教師板書展示，學生相互討論。

設計意圖：通過情境引入，提升學生的學習興趣，利用異側兩點之間的最短距離的學習，類匕同側兩點之

間的最短距離，從學生的最近發(fā)展區(qū)建立新知識的生長點，幫助學生快速獲得問題的答案。

■應用新知

例L如圖，在長度為1個單位的小正方形組成的網格中，點A,B,C在小正方形的頂點上.(1)在區(qū)中畫出與4

ABC關于直線MN成軸對稱的ADEF;

⑵在直線MN上找一點P,使PB+PC的長最短.

⑴分別作出點A,B,C關于直線MN的對稱點，再順次連接即可;

(2)由題意，PB+PC=PB+PF,根據兩點之間線段最短即可求作.

例2.如圖，在RtZ\ABC中，NC=90°,AC=3如B=5,D,E,F分別是AB,BC,AC邊上的動點,求DE+EF+FD的最小

值.

解：如圖，作D關于直線AC的對稱點M,關于BC的對稱點N,

連接CM,CN,CD,EN,FM,DN,DM.

0DF=FM/DE=EN,CD=CM/CD=CN/

0CD=CM=CN/

配]MCA=13DCA,(3BCN=[2)BCD,

0ACD+@BCD=9O°,

團團MCD+回NCD=180°,

0M,C,N共線，

團DE+EF+FD=FM+EN+EF,

0FM+EN+EF>MN,

團當M,F,E,N四點共線時,且CD回AB時，

DE+EF+FD的值最小為MN=2CD,

0